结构力学 第5章 静定结构位移计算
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结构力学 Structural Mechanics 第8页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：
R c
其中： R —由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力 c —真实的支座位移
支座移动产生的位移——刚体位移 荷载作用产生的位移——变形体位移 制造误差产生的位移——刚体位移 温度改变产生的位移——变形体位移
显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚 体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位 移应该用变形体的虚力原理计算。
结构力学 Structural Mechanics 第7页
由制造误差引起的位移计算公式如下：
FN M FQ
其中：
FN M FQ
——虚设单位力作用下产生的轴力、 剪力和弯矩。 ——由制造产生的轴向变形、弯曲 变形和剪切变形。
结构力学
正负号规定：虚内力与变形方向一致为正，方向相反为负。
Structural Mechanics 第19页
结构力学 Structural Mechanics 第13页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
3、力的虚设法
力的大小—— 一般虚设单位力。 力的位置—— 作用在需要求位移的点及方向上。 力的方向—— 随意假设，若求出的位移是正的，说 明位移与假设的方向一致。若是负的， 说明与假设的方向相反 。 力的性质—— 求线位移加单位集中力；求转角加单位 力矩；求二点的相对水平或竖向位移加 一对相反的单位集中力；求二点相对转 角加一对单位力矩。
真实的位移状态
D
CY （ 2 0.01 0 0.01 ） 0.02m
2
结构力学 Structural Mechanics 第12页
A
虚设的力状态
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
结构力学 Structural Mechanics 第1页
第一章 论 第七章 绪 位移法
Chapter Displacement Method Chapter 1 7 Preface to Steel Structure
第六章
Chapter6
静定结构位移计算
Displacement Calculation
【例题1】图示三铰刚架A支座往下位移了b，B支座往右位移 了a，求C点的竖向位移 CY ， C 和C点的相对转角 C 。 解：（1）求C点的竖向位移 CY
b A L/2 L/2 B a L
真实的位移状态
结构力学 Structural Mechanics 第9页
第一章位移计算 绪 论 第五章
结构力学 Structural Mechanics 第6页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理。 2）静定结构位移的类型
● ● ● ●
2、支座移动产生的位移计算
【例题2】图示结构发生了支座 移动，求铰C的竖向位移 CY 及其两侧截面的相对转角 C 。
4m
D
C
B
0.01m
A
解：（1）求C的竖向位移 CY
在C点加竖向单位荷载，求出虚设 力状态的支座反力，如图所示。 则：
0.01rad 2m 2m 1m FP = 1 B C 0
为了校核结构的刚度，保证它在使用过程中不致于发生 过大的变形。
●
在计算超静定结构时，除利用静力平衡条件外，还必须 考虑结构的位移条件，也就是说位移计算是超静定结构计算 的基础。
●
结构在制作、施工、架设和养护等过程中采取技术措施 时，也需要知道结构的位移。
●
结构力学 Structural Mechanics 第4页
虚设的力状态
CY
1 1 b a ( b a ) 2 4 2 4
Structural Mechanics 第10页
结构力学
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
结构力学 Structural Mechanics 第18页
第一章位移计算 绪 论 第六章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
利用虚功方程有： 1BY MC 0 得：
BY MC
第一章 论 第七章 绪 位移法
Chapter Displacement Method Chapter 1 7 Preface to Steel Structure
第五章
Chapter5
静定结构位移计算
Displacement Calculation
1、概述
2、支座移动产生的位移计算
3、力的虚设方法
4、制造误差产生的位移计算
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
2、支座移动产生的位移计算
支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。 图示简支梁B支座往下位移了 ，求由此产生的A点转角 A 。 虚设一个力状态，即在结构 A B 的A点作用一单位力矩。运用刚 A Δ L 体的虚功原理：虚设力状态上的 真实的位移状态 所有外力在真实的位移状态上所 做的虚功应该等于零，有： M=1 1 1 A 0 L 1/L 1/L 虚设的力状态 得： A L
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
计算所采用的理论——虚功原理 1）复习一下相关概念
●
虚功——力在由其它原因产生的位移上所做的功。
1 A △11 △ 12 △22 Fp1 2 Fp2 B
FP=1 A FP=1
求B点水平位移
B A FP=1
求C点转角位移
B
FP=1
求A、B两点相对竖向位移
结构力学
求A、B两点相对水平位移
第15页
Structural Mechanics
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
2
虚设的力状态
B
B
结构力学
A
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第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
利用虚功方程有：
1 CH ( 2) (2)
刚体虚功原理：
所有外力所做的虚功等于零，即： W外 变形体虚功原理： 所有外力做的虚功=所有内力做的虚功，即：W外 W内 虚功原理： 虚力原理 虚位移原理
0
虚力原理——位移是真的，力是虚设的。用虚设力的 办法来求真实的位移。 虚位移原理——力是真的，位移是虚设的。用虚设位 移的办法来求真实的力。
结构力学 Structural Mechanics 第14页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
FP=1 B C
FP=1 B C B
M=1 C
A
A
A
求C点竖向位移
1、概述
结构位移——结构上的任意点由于各种原因产生的移动。 例如：工程结构在荷载作用下就会产生变形，由于变形，结 构上各点的位置就会发生移动。
q
AX
AX
BX
B
A A A A,
AY
A q C
B
C
C
D
D
A点位移：
A
A ——角位移
结构力学
AY AX ——线位移
Structural Mechanics
3、力的虚设法
M= 1 C C
FP=1/L
D FP=1/L
求C点相对转角位移
求C、D杆转角位移
结构力学
Structural Mechanics
第பைடு நூலகம்6页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
得：
CH 2 2cm
【例题4】图示悬臂梁C点由于制造误差有一转角 ，求由 此引起的B点竖向位移 BY 。
α A 啊 C a b a B A 啊 a M C= b FP = 1 B b a
C
解：虚设一力状态：在B点加一竖向单位力，求出C点的 弯矩，并把C点的抗弯连系去掉，用弯矩MC表示。
5、温度作用时的计算
6、荷载作用下的位移计算
7、图乘法
8、线性变形体系的互等定理
结构力学 Structural Mechanics 第2页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
2、支座移动产生的位移计算
在C点作用一个竖向单位力，求出FYA和FXB。
FP = 1 C L b A L/2 L/2 B a 1/2 A B 1/4 C
真实的位移状态
（2）求C点的相对转角 C
C
L b A L/2 L/2
M= 1 C
B
a
A 0
B
1/L
真实的位移状态
虚设的力状态
FYA 0
1 FXB L
C
结构力学
1 a ( a ) L L
Structural Mechanics 第11页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
4、制造误差产生的位移计算
制造误差产生的位移采用虚力原理计算。 【例题3】图示桁架AC杆比要求的短了2cm，求由此产生的C 点水平位移 。
解：在C点作用一水平单位力，方向朝左，求出AC杆的内力， 令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚力方程有 ：
C C FP = 1
-2cm
b
-2cm
真实的位移状态
A b
（2）求铰C两侧截面的相对转角 C
在C点的两侧截面上加一对单位力矩，求出虚设力状态的 支座反力，如图所示，则：
D C B 0.01m 4m
D
M= 1 C
B
1/2
A
0.01rad 2m 2m 1m
A 2
真实的位移状态
虚设的力状态
1 C = （2 0.01 0.01 ） = 0.015 （rad） 2
其中： T FP1 12
●
——虚功
虚功原理
刚体虚功原理 变形体虚功原理
结构力学 Structural Mechanics 第5页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
AX BX AB相对水平位移：
CD相对转角：A B
第3页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
除了荷载以外，温度改变、支座移动、制造误差和材料 收缩等因素，都能使结构产生位移。 计算结构位移的目的：
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：
R c
其中： R —由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力 c —真实的支座位移
支座移动产生的位移——刚体位移 荷载作用产生的位移——变形体位移 制造误差产生的位移——刚体位移 温度改变产生的位移——变形体位移
显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚 体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位 移应该用变形体的虚力原理计算。
结构力学 Structural Mechanics 第7页
由制造误差引起的位移计算公式如下：
FN M FQ
其中：
FN M FQ
——虚设单位力作用下产生的轴力、 剪力和弯矩。 ——由制造产生的轴向变形、弯曲 变形和剪切变形。
结构力学
正负号规定：虚内力与变形方向一致为正，方向相反为负。
Structural Mechanics 第19页
结构力学 Structural Mechanics 第13页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
3、力的虚设法
力的大小—— 一般虚设单位力。 力的位置—— 作用在需要求位移的点及方向上。 力的方向—— 随意假设，若求出的位移是正的，说 明位移与假设的方向一致。若是负的， 说明与假设的方向相反 。 力的性质—— 求线位移加单位集中力；求转角加单位 力矩；求二点的相对水平或竖向位移加 一对相反的单位集中力；求二点相对转 角加一对单位力矩。
真实的位移状态
D
CY （ 2 0.01 0 0.01 ） 0.02m
2
结构力学 Structural Mechanics 第12页
A
虚设的力状态
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
结构力学 Structural Mechanics 第1页
第一章 论 第七章 绪 位移法
Chapter Displacement Method Chapter 1 7 Preface to Steel Structure
第六章
Chapter6
静定结构位移计算
Displacement Calculation
【例题1】图示三铰刚架A支座往下位移了b，B支座往右位移 了a，求C点的竖向位移 CY ， C 和C点的相对转角 C 。 解：（1）求C点的竖向位移 CY
b A L/2 L/2 B a L
真实的位移状态
结构力学 Structural Mechanics 第9页
第一章位移计算 绪 论 第五章
结构力学 Structural Mechanics 第6页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理。 2）静定结构位移的类型
● ● ● ●
2、支座移动产生的位移计算
【例题2】图示结构发生了支座 移动，求铰C的竖向位移 CY 及其两侧截面的相对转角 C 。
4m
D
C
B
0.01m
A
解：（1）求C的竖向位移 CY
在C点加竖向单位荷载，求出虚设 力状态的支座反力，如图所示。 则：
0.01rad 2m 2m 1m FP = 1 B C 0
为了校核结构的刚度，保证它在使用过程中不致于发生 过大的变形。
●
在计算超静定结构时，除利用静力平衡条件外，还必须 考虑结构的位移条件，也就是说位移计算是超静定结构计算 的基础。
●
结构在制作、施工、架设和养护等过程中采取技术措施 时，也需要知道结构的位移。
●
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虚设的力状态
CY
1 1 b a ( b a ) 2 4 2 4
Structural Mechanics 第10页
结构力学
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
结构力学 Structural Mechanics 第18页
第一章位移计算 绪 论 第六章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
利用虚功方程有： 1BY MC 0 得：
BY MC
第一章 论 第七章 绪 位移法
Chapter Displacement Method Chapter 1 7 Preface to Steel Structure
第五章
Chapter5
静定结构位移计算
Displacement Calculation
1、概述
2、支座移动产生的位移计算
3、力的虚设方法
4、制造误差产生的位移计算
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
2、支座移动产生的位移计算
支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。 图示简支梁B支座往下位移了 ，求由此产生的A点转角 A 。 虚设一个力状态，即在结构 A B 的A点作用一单位力矩。运用刚 A Δ L 体的虚功原理：虚设力状态上的 真实的位移状态 所有外力在真实的位移状态上所 做的虚功应该等于零，有： M=1 1 1 A 0 L 1/L 1/L 虚设的力状态 得： A L
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
计算所采用的理论——虚功原理 1）复习一下相关概念
●
虚功——力在由其它原因产生的位移上所做的功。
1 A △11 △ 12 △22 Fp1 2 Fp2 B
FP=1 A FP=1
求B点水平位移
B A FP=1
求C点转角位移
B
FP=1
求A、B两点相对竖向位移
结构力学
求A、B两点相对水平位移
第15页
Structural Mechanics
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
2
虚设的力状态
B
B
结构力学
A
Structural Mechanics 第17页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
利用虚功方程有：
1 CH ( 2) (2)
刚体虚功原理：
所有外力所做的虚功等于零，即： W外 变形体虚功原理： 所有外力做的虚功=所有内力做的虚功，即：W外 W内 虚功原理： 虚力原理 虚位移原理
0
虚力原理——位移是真的，力是虚设的。用虚设力的 办法来求真实的位移。 虚位移原理——力是真的，位移是虚设的。用虚设位 移的办法来求真实的力。
结构力学 Structural Mechanics 第14页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
FP=1 B C
FP=1 B C B
M=1 C
A
A
A
求C点竖向位移
1、概述
结构位移——结构上的任意点由于各种原因产生的移动。 例如：工程结构在荷载作用下就会产生变形，由于变形，结 构上各点的位置就会发生移动。
q
AX
AX
BX
B
A A A A,
AY
A q C
B
C
C
D
D
A点位移：
A
A ——角位移
结构力学
AY AX ——线位移
Structural Mechanics
3、力的虚设法
M= 1 C C
FP=1/L
D FP=1/L
求C点相对转角位移
求C、D杆转角位移
结构力学
Structural Mechanics
第பைடு நூலகம்6页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
得：
CH 2 2cm
【例题4】图示悬臂梁C点由于制造误差有一转角 ，求由 此引起的B点竖向位移 BY 。
α A 啊 C a b a B A 啊 a M C= b FP = 1 B b a
C
解：虚设一力状态：在B点加一竖向单位力，求出C点的 弯矩，并把C点的抗弯连系去掉，用弯矩MC表示。
5、温度作用时的计算
6、荷载作用下的位移计算
7、图乘法
8、线性变形体系的互等定理
结构力学 Structural Mechanics 第2页
第一章位移计算 绪 论 第五章
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Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
2、支座移动产生的位移计算
在C点作用一个竖向单位力，求出FYA和FXB。
FP = 1 C L b A L/2 L/2 B a 1/2 A B 1/4 C
真实的位移状态
（2）求C点的相对转角 C
C
L b A L/2 L/2
M= 1 C
B
a
A 0
B
1/L
真实的位移状态
虚设的力状态
FYA 0
1 FXB L
C
结构力学
1 a ( a ) L L
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第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
4、制造误差产生的位移计算
制造误差产生的位移采用虚力原理计算。 【例题3】图示桁架AC杆比要求的短了2cm，求由此产生的C 点水平位移 。
解：在C点作用一水平单位力，方向朝左，求出AC杆的内力， 令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚力方程有 ：
C C FP = 1
-2cm
b
-2cm
真实的位移状态
A b
（2）求铰C两侧截面的相对转角 C
在C点的两侧截面上加一对单位力矩，求出虚设力状态的 支座反力，如图所示，则：
D C B 0.01m 4m
D
M= 1 C
B
1/2
A
0.01rad 2m 2m 1m
A 2
真实的位移状态
虚设的力状态
1 C = （2 0.01 0.01 ） = 0.015 （rad） 2
其中： T FP1 12
●
——虚功
虚功原理
刚体虚功原理 变形体虚功原理
结构力学 Structural Mechanics 第5页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
AX BX AB相对水平位移：
CD相对转角：A B
第3页
第一章位移计算 绪 论 第五章
Chapter 6 1 Displacement Calculation Chapter Preface to Steel Structure
1、概述
除了荷载以外，温度改变、支座移动、制造误差和材料 收缩等因素，都能使结构产生位移。 计算结构位移的目的：