线性代数模拟试题及答案

《线性代数B 》模拟试卷二参考答案

时间：120分钟

一、填空题（每空3分，共30分）

1．设(1,2,1)α=-，(1,1,1)β=，则T αβ= 0 ；T αβ=1

11222111⎛⎫ ⎪

--- ⎪ ⎪⎝⎭；

解：1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,1)111(2)11101T T αβ⎛⎫

⎪=-=-=⨯+-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 1111(1,2,1)(1,1,1)2(1,1,1)2221111T T αβ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

=-=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。

2．设cos sin sin cos A θ

θθθ-⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，则A 的行列式det()A = 1 ;方阵A 的秩为 2 ; 解：22cos sin det()cos (sin )1sin cos A θθ

θθθ

θ

-=

=--=，所以A 可逆，故()2R A = 3．设向量组A ：1(1,4,1,0)α=，2(2,1,1,3)α=--，3(1,0,3,1)α=--，4(0,2,6,3)α=-， 则A 的秩为： 3；A 的一个最大线性无关向量组为：123,,ααα；

解：因为122131341

41

014102

113073321031044102630263r r A r r αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

------ ⎪ ⎪ ⎪

==

−−−−→

⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪

⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 433

2324314

101

14

10332

01

33770

1

(7)(7)77165140

00

01657725000000

8

2r r r r r r r r ⎛⎫

⎪⎛⎫

+ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⨯-÷- ⎪−−−−−→−−−−−→ ⎪+ ⎪-

⎪

+- ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭- ⎪⎝

⎭

所以A 的秩为3，123,,ααα是一个最大无关组。

4．设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为3，已知1η，2η，3η是

它的三个解向量，且11111η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，230110ηη⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭

，则方程组Ax b =的通解为： ; 解：因为()3R A =，所以0Ax =的基础解系所含向量个数为：4()431R A -=-=；

又1η，2η，3η是Ax b =的三个解向量，且11111η⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，230110ηη⎛⎫

⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭

， 所以123102111

2()2111102ξηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是0Ax =的一个非零解，故为其基础解系；

从而Ax b =的通解为：12111

1121x c c ξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（c R ∈）

5．设二次型2231231231213(,,)26422f x x x x x x x x x x =---++，则二次型对应的矩阵

为：21

1160104-⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

；它是 负 （正/负）定二次型。 解：二次型2231231231213(,,)26422f x x x x x x x x x x =---++对应的矩阵为：

211160104A -⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪-⎝⎭

，因为该矩阵的各阶主子式为： 220-=-<，21

12111016

-=-=>-，211

16048(6)(4)380104

--=-----=-<-，

故该二次型是负定二次型。

６．设非奇异方阵A 有一个特征值2，则矩阵22A E -+必有一个特征值为：9

4

。 解：因为2()2f A A E -=+，令2()2f x x -=+，非奇异方阵A 有一个特征值2，

所以219(2)22244f -=+=+=，即22A E -+的一个特征值为94

。

二、举例说明下列命题是错误的（每小题5分，共10分）

1．若20A =，则0A =。 解：若01000A ⎛⎫=≠

⎪

⎝⎭

，但2

010*********A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。 2．若0Ax =有唯一解，则Ax b =有唯一解。

解：如12100010010x x ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

只有零解，但 12101012013x x ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

无解。 三、计算题（共50分）

1．计算行列式1

1111

111

11111111

D --=

----。（６分）

解法一：11

111000*********

11112,3,4111111111111

i

r r D i +----=

--=------

421

31

111

111

411140024(04)16111020

r r r r r ----+-----=--=+---按展开

解法二：21313241431

1

1

111111111111102200220

16111102020022

11

1

1

2

2

4

r r r r r r D r r r r -++------==--++---

注：本题有多种解法，只要行列式性质使用正确，并且结果正确即可给满分；如出现错误，可适当扣分。

2．设34004300002000

22A ⎛⎫

⎪- ⎪

=

⎪

⎪⎝⎭

，问A 是否可逆？若A 可逆，求其逆阵。（８分）