角平分线的性质定理

E
F
B
D
C
小结：
1、角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
逆定理：到角的两边的距离相等的点在这 个角的平分线上 2、性质与判定定理的应用。
∴BD = DC
(
角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。
)
B
A
D
C
• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
想一想，你会证明吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等．
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1PBiblioteka 2∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
O
EB
∴ ∠PDO= ∠PEO=900 在△PDO和△PEO中,
∵∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上 （ ）
G M
H
练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，
且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
宁强三中 徐健
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等
探究角平分线的性质
实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第 一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三 条折痕，得出结论PD=PE
即：角平分线线上的点到角的两边距离相等。
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等A ．
∵点P是∠AOB平分线上的一点 D
且PD⊥OA，PE⊥OB
P
∴（P角D平=分PE线上的点到角的两边的O距离相等）E B
应用定理的前提条件是：
有角的平分线，有垂直距离
定理的作用： 证明线段相等
随堂练习
× 判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
逆定理： 到角的两边的距离相等的点在
这个角的平分线上
例1： 已知：如图，△ABC的角平 分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距 离相等.
A
D F
N PM
B
E
C
例2：如图，已知△ABC的外角∠CBD 和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M