高二数学导数单元测试题(文科)

赣县中学北区高二年级导数（文科）单元测试题
命题人：刘文平 审题人：付兴文 做题人：邓新如 2011.11.24
班级 姓名 得分
（一）．选择题
（1）曲线32
31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A ．34y x =-
B 。

32y x =-+
C 。

43y x =-+
D 。

45y x =- a
(2) 函数y ＝a x 2
＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( )
A ．
18 B ．41 C ．2
1
D ．1 (3) 函数13)(2
3
+-=x x x f 是减函数的区间为
( )
A ．),2(+∞
B ．)2,(-∞
C ．)0,(-∞
D ．（0，2）
(4) 函数,93)(2
3
-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
(5) 在函数x x y 83
-=的图象上，其切线的倾斜角小于
4
π
的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
（6）函数3
()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）
A ．0a >
B ．0a ≥
C ．0a <
D ．0a ≤ （7）函数3
()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ）
A ．
1
2
B ． -1
C ．0
D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ）
A 、0
B 、1002
C 、200
D 、100！ （9）曲线313y x x =
+在点413⎛⎫
⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23
（二）．填空题
（1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3
＋3x －5相切的直线方程是 。

（2）．设 f ( x ) = x 3
－
2
1x 2
－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 .
（3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2
，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。

（4）．已知函数32
()45f x x bx ax =+++在3
,12x x ==-处有极值，那么a = ；b =
（5）．已知函数3
()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是
（6）．已知函数32
()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是
（7）．若函数32
()1f x x x mx =+++ 是R 是的单调函数，则实数m 的取值范围是
（8）．设点P 是曲线3
2
33+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 。

（三）．解答题
1．已知函数d ax bx x x f +++=2
3)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .
（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间. 2．已知函数x bx ax x f 3)(2
3
-+=在1±=x 处取得极值. （Ⅰ）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.
3．已知向量b a x f t x b x x a ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2
若函数在区间（－1，1）上是增函数，
求t 的取值范围. 4．已知函数323
()(2)632
f x ax a x x =-
++- （1）当2a >时，求函数()f x 极小值；（2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。

5．已知1x =是函数3
2
()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；
（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.
6．已知两个函数c x x x f --=287)(2，x x x x g 4042)(2
3-+=.
（Ⅰ）若对任意∈x [－3，3]，都有)(x f ≤)(x g 成立，求实数c 的取值范围；
（Ⅱ）若对任意∈1x [－3，3]，∈2x [－3，3]，都有)(1x f ≤)(2x g 成立，求实数c 的取值范围
7．设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围． 8．设函数2
2
()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；
（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围
9．已知cx bx ax x f ++=2
3
)(在区间[0,1]上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,
又.2
3
)2
1
(=
'f (Ⅰ)求)(x f 的解析式;(Ⅱ)若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围.
10．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
11．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的
结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为)10(<<x x ，那么月平均销售量减少的百分率为x 2
.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）. （1）写出y 与x 的函数关系式;
（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润
最大.
12．某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知AB ⊥BC ，OA//BC ，且AB=BC=2 AO=4km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精
确到0.1km 2
）。

13．设三次函数3
2
()(),f x ax bx cx d a b c =+++<<在1x =处取得极值，其图象在x m =处的切线的斜率为3a -．
（1）求证：01b
a
≤
<； （2）若函数()y f x =在区间[,]s t 上单调递增，求||s t -的取值范围；
（3）问是否存在实数k （k 是与,,,a b c d 无关的常数），当x k ≥时，恒有'
()30f x a +<恒成立？若存在，试求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．
14．已知函数14)(2
34-+-=ax x x x f 在区间[0，1]单调递增，在区间)2,1[单调递减． （1）求a 的值；
（2）若点00(,())A x f x 在函数f (x )的图象上，求证点A 关于直线1=x 的对称点B 也在函数
f (x )的图象上； （3）是否存在实数b ，使得函数1)(2
-=bx x g 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，
若存在，请求出实数b 的值；若不存在，试说明理 15．已知3
2
()(,0]f x x bx cx d =+++-∞在上是增函数,在[0,2]上是减函数，且
()0,2,(2)f x αβαβ=≤≤有三个根。

A O
B C
（1）求c 的值，并求出b 和d 的取值范围。

（2）求证(1)2f ≥。

（3）求||βα-的取值范围，并写出当||βα-取最小值时的()f x 的解析式。

16．设函数3
()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．
（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．
参考解答
一．BBDDD CDDA 二．1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、18,3-- 5、
(,0)-∞ 6、1
,)3⎡+∞⎢⎣
7、(,1)(2,)-∞-⋃+∞ 8、),32[]2,0[πππ 三．1．解：
（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(2
3
+++=cx bx x x f .23)(2
c bx x x f ++='由
在
))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知
.
6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,
0,
32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （
2
）.
012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解
得 .
21,2121+=-=x x
当
;
0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或当
.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在
)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.
2．（Ⅰ）解：323)(2
-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即
⎩⎨
⎧=--=-+.
0323,
0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2
3-+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x .
若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则0)(>'x f ，
故)(x f 在)1,(--∞上是增函数，)(x f 在),1(∞+上是增函数.
若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值.
（Ⅱ）解：曲线方程为x x y 33
-=，点)16,0(A 不在曲线上.
设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03
003x x y -=.
因)1(3)(2
00-='x x f ，故切线的方程为))(1(30200x x x y y --=-
注意到点A （0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(1602
0030x x x x --=--
化简得83
0-=x ，解得20-=x .
所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x .
3．解：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.
0)()1,1(,)1,1()(.
23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若
)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，
时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f
.
5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在
4．解：（1）'22
()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a =-++=--()f x 极小值为(1)2
a f =- （2）①若0a =，则2
()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02a
f =-
>，()f x 的极小值为2
()0f a
<，
()f x ∴的图像与x 轴有三个交点；
③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点；
④若2a =，则'
2
()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133
()4()044
f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点；
综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。

5．解(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,
所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+
（II ）由（I ）知，2
()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
当0m <时，有2
11m
>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：
故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫
-∞+ ⎪⎝⎭
单调递减， 在2
(1,1)m
+
单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （III ）由已知得()3f x m '>，即2
2(1)20mx m x -++>
又0m <所以222(1)0x m x m m -
++<即[]222
(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212
()2(1)g x x x m m
=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以22(1)0120(1)010g m m
g ⎧
-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得 4
3
m -<又0m < 所以4
03
m -<<
即m 的取值范围为4
,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
6．略
7．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，
．
解得3a =-，4b =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．
则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)
(9)-∞-+∞，，．
8．解：（Ⅰ）
23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，
∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，
即3()1h t t t =-+-．
（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，
由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：
()g t ∴在(02)，()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，
即等价于10m -<，
所以m 的取值范围为1m > 9．解：（Ⅰ）2()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，
即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032
c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，． 2()33f x ax ax '∴=-，1333
24
22a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+．
（Ⅱ）令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤，
(21)(1)0x x x ∴--≥，1
02
x ∴≤≤或1x ≥．
又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，1
02
m ∴<≤
10．解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=
230(m)35.44
1218＜＜x x x
h .
故长方体的体积为
).2
30()
(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=
从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='
令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1.
当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜3
2
时，V ′（x ）＜0，
故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。

从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3
），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.答：
当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3。

11．解：（1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x ）元
月平均销售量为)1(2
x a -件则月平均利润]15)1(20[)1(2
-+⨯-=x x a y （元）
y 与x 的函数关系式为)10)(441(53
2<<--+=x x x x a y （1） 令2
10)1224(52'==--=x x x a y 得 当012
1
;0210''<<<><
<y x y x 时当时 即函数)441(53
2x x x a y --+=在)1,2
1()21,0(上单调递增；在上单调递减，
所以函数)10)(441(53
2<<--+=x x x x a y 在2
1=x 取得最大值.
所以改进工艺后，产品的销售价提高的百分率为302
1
120,21=+）（销售价为元时，旅游部
门销售该纪念品的月平均利润最大.
12．解：以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）
依题意可设抛物线的方程为.2
1,422).4,2(,222=∴⋅=∴=p p C py x 且 故曲线段OC 的方程为).20(2
≤≤=x x y 3分
设P （2
,x x ）)20(<≤x 是曲线段OC 上的任意一点，则|PQ|=2+x ，|PN|=4－x 2
. 5
分
∴工业园区面积S=|PQ|·|PN|=（2+x ）（4－x 2
）=8－x 3
－2x 2
+4x . 6分
∴S ′=－3x 2
－4x +4，令S ′=0,2,3
2
21-==
⇒x x 又.3
2
,20=
∴<≤x x 7分 当)3
2,0[∈x 时，S ′>0，S 是x 的增函数；8分 当2,32
(∈x ）时，S ′<0，S 是x 的减函数. 9分
32=∴x 时，S 取到极大值，此时|PM|=2+x =,8324||,382=-=x PN
).(5.927
256932382km S ≈=⨯=10分
当.8,0==S x 时 ).(5.92
max km S =∴ 11分
答：把工业园区规划成长为
,932km 宽为km 3
8
时，工业园区的面积最大，最大面积为9.5km 2. 13．解：（1）'2()2f x ax bx c =++ 由题设，得'
(1)320f a b c =++= ①
'2()323f m am bm c a =++=- ②
∵,6326,0,0a b c a a b c c a c <<∴<++<∴<>
由①代入②得2
2
3220,4240am bm b b ab +-=∴=+≥， 得26()0,b b a a +
≥∴6b a ≤-或0b
a
≥ ③ 将32c a b =--代入a b c <<中，得11b
a
-<< ④ 由③、④得01b
a ≤
<； （2）由（1）知，'2()32f x ax bx c =++的判别式：2
4120,b ac ->
∴方程'2
()320f x ax bx c =++=有两个不等的实根12,x x ，又
'(1)320f a b c =++=
∴122121,1,03b
x x x x a
==-
-<<，∴当2x x <或1x x >时，'()0f x <， 当21x x x <<时，'
()0f x >，∴函数()y f x =的单调增区间是12[,]x x
∴122||23b x x a -=+，由01b a ≤<知128
2||3
x x ≤-<
∵函数()y f x =在区间[,]s t 上单调递增，∴12[,][,]s t x x ⊆
∴82||3s t ≤-<，即||s t -的取值范围是8
[2,)3
；
（3）由'
()30f x a +<，即23230ax bx c a +++<，
∵2
220,033b b
a x x a a
<∴+⋅->，
01b a ≤<∴2
2
3220
x x x ⎧+-≥⎪⎨>⎪⎩
∴
x ≤
或x ≥．由题意，
得
31
[,)(
[,).3k -+∞⊆-∞+∞
∴12k ≥，∴存在实数k 满足条件，即k 的最小值为1
3
．
14．解：（1）由函数432()41f x x x ax 在区间[0，1）单调递增，在区间[1，2）单调
递减，
0)1(,,1='∴=∴f x 取得极大值时，32
()4122f x x x
ax ． 412204a a
（2）点))(,2(1))(,(0000x f x B x x f x A -=的坐标为的对称点关于直线，
4
3
2
220000004320
0(2
)
(2
)4(2
)4(2
)1(2
)[(2)
2]1
41
()f x x x x x x x x ax f x
∴点A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f （x ）的图象上．
（3）函数1)(2
-=bx x g 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，等价于方程
311442234恰有-=-+-bx x x x 个不等实根．
0)4(411442342234=-+-⇒-=-+-x b x x bx x x x ．
0=x 是其中一个根，0)4(4234=-+-∴x b x x 方程有两个非零不等实根．
164(4
)
0,44
b b
b
b 且
15．（1）
](]((),0f x -∞在上是增函数,在0,2上是减函数
20'()0'()32'(0)0
x f x f x x bx c f ∴===++∴=是的根又
0c ∴=
()0,2,(2)0840'(2)012403
84f x f b d f b b d b αβ=∴=∴++=≤∴+≤∴≤-=--又的根为又又
4d ∴≥
（2）
(1)1(2)0f b d
f =++= 8463
(1)184673d b f b b
∴=--≤-∴=+--=--且 2≥
（3）
()0f x αβ=有三根,2,
32()()(2)()
(2)222
f x x x x x x b d αβαβαβαβαβ∴=---=-++-++=-⎧⎪∴⎨=-⎪⎩
222222|2|()4(2)244168412(2)16
3
||3
b d b b b
b b b b βαβαβ
βα∴-=+-=++=++--=--=--≤-∴-≥又当且仅当b=-3时取最小值,此时d=4
32()34f x x x ∴=-+·
16
11 （Ⅰ）∵()f x 为奇函数，
∴()()f x f x -=-
即33ax bx c ax bx c --+=---
∴0c =
∵2'()3f x ax b =+的最小值为12-
∴12b =-
又直线670x y --=的斜率为
16
因此，'(1)36f a b =+=-
∴2a =，12b =-，0c =．
（Ⅱ）3()212f x x x =-．
2'()6126(f x x x x =-=，列表如下：
∵(1)10f -=，f =-(3)18f =
∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-。