一个资源和环境约束下的两部门内生经济增长模型
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3. School of Environment & Natural Resources, Renmin University of China, Beijing 100872, China)
Abstract: Based on the "learn by doing" model, this paper presented a two-sector endogenous economic growth model with exhaustible resources, pollution abatement. The balance growth solutions were obtained by the method of dynamic optimal control. Further, the characteristics and prerequisites for sustainable economic growth were discussed according to these solutions, that is, what dynamic relations must be satisfied between economic growth and the rate of resource exhausting, the parameters of the economy system and the pollution intensity. Key words: "learn by doing" model; material production sector; pollution abatement sector
（11） 式中，b1、-b2分别为人均消费c和污染物存量x的效用 弹性，且有b1> 0，b2>0， 于是，一个时间连续条件下同时考虑资源耗竭、环境 污染与治理的动态模型可以表示如下： 目标函数：
约束条件：式（8）、（9）、（10） 控制变量：c、v2、z 状态变量：k1、k2、x
2 模型求解
2.1 一阶条件与欧拉方程 上述动态优化问题可以利用庞特里亚金极大值方法处
Research Center of China, Beijing 100012, China; 2. Post-Doctor Work Station of Traffic Transportation Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China;
（8） （9）
70
《生态经济》 2010年 第11期 总第232期
ECOLOGICAL ECONOMY
（10）
式（8）中，y=Y/L=Ak1α +1 β1L1β1R1-α1-β z1 为人均产出，r=R/L 为人均资源投入，c=C/L为人均消费。式（10）中， J=φ+k2L2β2/yzγ。 1.4 社会福利
理，最优增长路径的现值Hamilton函数为：
这里，λ1、λ2、λ3分别为时刻人均物质生产资本、污染 治理资本和污染物存量的影子价格。
经整理，得三个控制变量的一阶条件为 （12） （13） （14）
三个状态变量的欧拉方程为：
20世纪80年代中后期出现的以Romer[6]、Lucas[7]、
Grossman & Helpman[8]、Aghion & Howitt[9]等人为代 表的内生增长理论，通过运用“干中学”（learn by doing） [10～11]、人力资本积累[7]、R&D [6, 8]等模型将技术进 步内生化，从而较好地刻画了经济持续增长的内生机制。 随着内生增长理论的不断发展，经济学家开始在内生增长 模型框架下探讨经济增长与资源耗竭、环境污染之间的问 题[12～15]，这些模型较好地将环境成本内生化到经济增长过 程中，但较少关注资源耗竭问题对长期经济增长的影响。
69
绿色经济 GREEN ECONOMY
等[21]建立了一个考虑能源耗竭、污染治理的基于R&D思想 的经济持续增长内生模型。然而，在他们的模型中，污染 治理投入只考虑了资本投入，并没有将劳动投入也纳入其 中，该处理方法与污染治理同时需要投入资本和劳动的现 实情况不甚吻合。
本文以下将基于“干中学”的思想，将耗竭性资源纳入 生产函数，并考虑环境质量（文中用污染物存量作为环境质 量的替代变量）对跨时效用的影响，建立一个两部门内生经 济增长模型。在此基础上，利用动态优化作为基本分析工 具，讨论了耗竭性资源利用、消费与污染物存量在长期增长 过程中的相互关系以及经济稳态持续增长的可能性。
对于物质生产部门，假定生产函数是劳动附加型的， 且只讨论生产过程中的耗竭性资源投入，并且假定只生产 一种产品，只有一种污染物，生产过程的污染往往是与产 品的生产同时产生的，可视为生产的副产品。
参考Stokey提供的方法[14]，假定物质产品由一系列已 知的技术生产，其差别仅仅在于不同技术的清洁程度不一 样，用z [0,1]表示污染强度，用来衡量已有技术的不清洁 程度，它可作为生产的要素，这是因为环境管制越宽松意 味着使更不清洁但更多的生产技术被采用。当不考虑环 境因素的影响时，z=1，于是得到最大产出量（潜在产出 量）；当考虑环境因素的影响时，z<1，则产出量低于其 潜在产出量。若记Y为物质生产部门的产出量，则Yz为实 际产出量。
在中国，王海建、彭水军、包群等分别利用“干中 学”、R&D、人力资本积累的思想给出了若干考虑资源耗 竭与环境污染的内生增长模型[16～20]。但是，在他们的模型 中，表征污染治理的变量被外生化处理，即模型只考虑自 然环境对污染的自净能力，而没有考虑人为的污染治理。
鉴于人为污染治理在可持续发展中的重要作用，于渤
3. 中国人民大学 环境学院，北京 ห้องสมุดไป่ตู้00872）
摘要：基于“干 学”的思想，建立了一个 源和环境约束下的两部门内生经济增长模型。利用动态优化 为基本分析工 具，得到了该模型的 优稳态增长解。在模型稳态增长解的基础上，进一步讨论了经济可持续增长的必要条件和规范特征， 即耗竭性 源消耗速率、经济系统 各类消费偏好和技术参数、污染强度变化率与经济增长 间应满 的动态关系。 关键词：“干 学”增长模型；物 生产部门；污染 理部门 文献引用：夏传勇，张曙光，昌敦虎. 一个 源和环境约束下的两部门内生经济增长模型[J]. 生态经济，2010
物质生产部门的产品可用于三个部分，一是社会消费 C，二是用于本部门的投资V1，三是用于污染治理部门的 投资V2，易知，V1=Y-C-V2，故物质生产部门资本存量的 变化方程可以表示为：
（5） 污染治理部门资本存量的变化方程可以表示为：
（6） 另，自然环境中污染物存量的变化方程可以表示为：
（7） 结合式（1）～（4），对式（5）、（6）、（7）进 行变换，可得出人均物质生产资本存量k1=K1/L、人均污染 治理资本存量k2=K2/L和人均污染物存量x=X/L满足如下变 化方程：
生产过程中的污染排放量P，是产出水平和污染强度 的函数，可以表示为：
（2） 式中，γ为污染程度指数且γ>1，可理解为环境标准的严厉 程度。γ越大意味着给定生产技术的实际污染排放越小，zγ 刻画了已有技术z的污染效应。 1.2 污染治理与环境自净
物质生产部门的污染排放，在污染治理部门得到治 理，治理比例与污染排放量、污染治理部门的资本和劳动 投入有关。利用“干中学”的思想，考虑到污染治理设备 和劳动投入在去除污染物的过程中所具有的饱和效应，即 在污染治理中，不管资本和劳动怎样增加，都不可能把所 有的污染全部治理，污染治理量Q的值有一个上限P，可 以将污染治理量Q表示为：
地球只有一个，资源和环境是有限的。如果经济增长 不断地对自然环境造成损害，则经历一定阶段之后，势必 会造成环境恶化和资源耗竭的危机，从而影响到人类社会 的可持续发展。可以说，可持续发展的核心问题，就是如 何协调好经济增长与资源耗竭、环境污染之间的问题。
对于上述问题，经济学家先是引入新古典经济增长 理论对其进行分析，如Dasgupta & Heal[1]、Stiglitz[2]、 Solow[3]、Hartwick[4]以及Garg & Sweeney[5]等运用新古典 增长模型探讨了耗竭性资源的最优配置及其对长期经济增 长的限制。但是，新古典增长模型是将技术进步外生化处 理的，它没有解释技术进步的原因，从而也就不能解释经 济增长的内在机制并揭示技术进步对耗竭性资源可持续利 用的影响，这使得研究结果的合理性具有较大的局限性。
1 模型描述
现代经济增长理论的一个重要研究发现是：多数国家 的长期增长过程具有稳态特征[22]，这一发现使得在增长具 有稳态假设条件，数学处理很方便。增长理论还发现只有 劳动附加型技术进步才能保证增长的稳态性。因此，本文 在以下的分析中也假定增长是稳态的。
将经济系统划分为两个部门，即物质生产部门和污染治 理部门，在这两个部门中均有资本和劳动的投入。为分析方 便，假定总人口与劳动力人数相等，且第0期的总人口与总 劳动力人数都标准化为1，劳动力人数L的增长率为n。 1.1 物质产品生产与污染排放
（3）
式中，φ>0表示外生的一般性生产技术水平参数，K2、L2 分别表示污染治理部门的资本存量、劳动投入，0<β2<1。
对于污染物，除了人为治理之外，自然环境也能洁净 一部分，描述环境自净量与环境中污染物存量之间关系的 环境自净函数D(X)可以写作：
（4） 式中，η为环境对污染物的自净能力，0<η<1，X为环境中 污染物的存量。ηX表明污染物存量在任一时点的衰减比例 不变，这种线性的假设完全是为了计算的方便。实际上， 污染物在环境中的衰减方式是一个很复杂的问题，本文暂 不过多讨论。 1.3 资本与污染物存量的变化
作者简介：夏传勇（1979～ ），男，江西宜春人，博士，研究方向为环境经济学、战略管理、可持续发展；张曙光（1969～ ），女，广东 惠州人，博士，博士生导师，研究方向为现代飞机飞行品质和飞行仿真、非线性飞行动力学和控制、交通运输管理；昌敦虎（1977～ ）， 男，湖北武汉人，博士，研究方向为环境经济学、可持续发展。
（11）：69～72，80.
中图分类号：F062.2；X196 文献标识码：A
A Two-Sector Endogenous Economic Growth Model with Exhaustible Resources, Pollution Abatement
XIA Chuanyong1, 2, ZHANG Shuguang2, CHANG Dunhu3 (1. Research Institute of Economy & Management, Aviation Industry Development
假定存在一社会计划者，其面临的问题是在人口增长 率为n，以及式（8）、（9）、（10）的约束下，选择人 均消费c、人均污染治理投入v2以及污染强度z，使得如下 跨时效用最大化：
2.2 稳态增长解 令g为各个变量的增长率，即
（15）
（16） （17）
这里，ρ>0为主观折现率，U(t)为瞬时效用函数，依赖 于人均消费及环境质量，由于环境质量与人均污染物存量 大致成反比关系，因此，瞬时效用函数可以写作：
《生态经济》 2010年 第11期 总第232期
ECOLOGICAL ECONOMY
一个资源和环境约束下的两部门内生经济增长模型
夏传勇1, 2 张曙光2 昌敦虎3
（1. 中国航空工业发展研究中心 经济管理研究所，北京 100012； 2. 北京航空航天大学 交通运输工程博士后流动站，北京 100191；
利用“干中学”的思想，假设生产函数为CobbDouglas型，资源R在生产过程中是基本的（essential）， 即当R=0时，有Y=0，若Y>0，则必有R>0，可将产出量Y 表示为：
（1） 式中，A>0表示外生的一般性生产技术水平参数，K1、 L1、R分别表示物质生产部门的资本存量、劳动投入与耗 竭性资源投入，0<α1<1，0<β1<1，0<1-α1-β1<1。
Abstract: Based on the "learn by doing" model, this paper presented a two-sector endogenous economic growth model with exhaustible resources, pollution abatement. The balance growth solutions were obtained by the method of dynamic optimal control. Further, the characteristics and prerequisites for sustainable economic growth were discussed according to these solutions, that is, what dynamic relations must be satisfied between economic growth and the rate of resource exhausting, the parameters of the economy system and the pollution intensity. Key words: "learn by doing" model; material production sector; pollution abatement sector
（11） 式中，b1、-b2分别为人均消费c和污染物存量x的效用 弹性，且有b1> 0，b2>0， 于是，一个时间连续条件下同时考虑资源耗竭、环境 污染与治理的动态模型可以表示如下： 目标函数：
约束条件：式（8）、（9）、（10） 控制变量：c、v2、z 状态变量：k1、k2、x
2 模型求解
2.1 一阶条件与欧拉方程 上述动态优化问题可以利用庞特里亚金极大值方法处
Research Center of China, Beijing 100012, China; 2. Post-Doctor Work Station of Traffic Transportation Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China;
（8） （9）
70
《生态经济》 2010年 第11期 总第232期
ECOLOGICAL ECONOMY
（10）
式（8）中，y=Y/L=Ak1α +1 β1L1β1R1-α1-β z1 为人均产出，r=R/L 为人均资源投入，c=C/L为人均消费。式（10）中， J=φ+k2L2β2/yzγ。 1.4 社会福利
理，最优增长路径的现值Hamilton函数为：
这里，λ1、λ2、λ3分别为时刻人均物质生产资本、污染 治理资本和污染物存量的影子价格。
经整理，得三个控制变量的一阶条件为 （12） （13） （14）
三个状态变量的欧拉方程为：
20世纪80年代中后期出现的以Romer[6]、Lucas[7]、
Grossman & Helpman[8]、Aghion & Howitt[9]等人为代 表的内生增长理论，通过运用“干中学”（learn by doing） [10～11]、人力资本积累[7]、R&D [6, 8]等模型将技术进 步内生化，从而较好地刻画了经济持续增长的内生机制。 随着内生增长理论的不断发展，经济学家开始在内生增长 模型框架下探讨经济增长与资源耗竭、环境污染之间的问 题[12～15]，这些模型较好地将环境成本内生化到经济增长过 程中，但较少关注资源耗竭问题对长期经济增长的影响。
69
绿色经济 GREEN ECONOMY
等[21]建立了一个考虑能源耗竭、污染治理的基于R&D思想 的经济持续增长内生模型。然而，在他们的模型中，污染 治理投入只考虑了资本投入，并没有将劳动投入也纳入其 中，该处理方法与污染治理同时需要投入资本和劳动的现 实情况不甚吻合。
本文以下将基于“干中学”的思想，将耗竭性资源纳入 生产函数，并考虑环境质量（文中用污染物存量作为环境质 量的替代变量）对跨时效用的影响，建立一个两部门内生经 济增长模型。在此基础上，利用动态优化作为基本分析工 具，讨论了耗竭性资源利用、消费与污染物存量在长期增长 过程中的相互关系以及经济稳态持续增长的可能性。
对于物质生产部门，假定生产函数是劳动附加型的， 且只讨论生产过程中的耗竭性资源投入，并且假定只生产 一种产品，只有一种污染物，生产过程的污染往往是与产 品的生产同时产生的，可视为生产的副产品。
参考Stokey提供的方法[14]，假定物质产品由一系列已 知的技术生产，其差别仅仅在于不同技术的清洁程度不一 样，用z [0,1]表示污染强度，用来衡量已有技术的不清洁 程度，它可作为生产的要素，这是因为环境管制越宽松意 味着使更不清洁但更多的生产技术被采用。当不考虑环 境因素的影响时，z=1，于是得到最大产出量（潜在产出 量）；当考虑环境因素的影响时，z<1，则产出量低于其 潜在产出量。若记Y为物质生产部门的产出量，则Yz为实 际产出量。
在中国，王海建、彭水军、包群等分别利用“干中 学”、R&D、人力资本积累的思想给出了若干考虑资源耗 竭与环境污染的内生增长模型[16～20]。但是，在他们的模型 中，表征污染治理的变量被外生化处理，即模型只考虑自 然环境对污染的自净能力，而没有考虑人为的污染治理。
鉴于人为污染治理在可持续发展中的重要作用，于渤
3. 中国人民大学 环境学院，北京 ห้องสมุดไป่ตู้00872）
摘要：基于“干 学”的思想，建立了一个 源和环境约束下的两部门内生经济增长模型。利用动态优化 为基本分析工 具，得到了该模型的 优稳态增长解。在模型稳态增长解的基础上，进一步讨论了经济可持续增长的必要条件和规范特征， 即耗竭性 源消耗速率、经济系统 各类消费偏好和技术参数、污染强度变化率与经济增长 间应满 的动态关系。 关键词：“干 学”增长模型；物 生产部门；污染 理部门 文献引用：夏传勇，张曙光，昌敦虎. 一个 源和环境约束下的两部门内生经济增长模型[J]. 生态经济，2010
物质生产部门的产品可用于三个部分，一是社会消费 C，二是用于本部门的投资V1，三是用于污染治理部门的 投资V2，易知，V1=Y-C-V2，故物质生产部门资本存量的 变化方程可以表示为：
（5） 污染治理部门资本存量的变化方程可以表示为：
（6） 另，自然环境中污染物存量的变化方程可以表示为：
（7） 结合式（1）～（4），对式（5）、（6）、（7）进 行变换，可得出人均物质生产资本存量k1=K1/L、人均污染 治理资本存量k2=K2/L和人均污染物存量x=X/L满足如下变 化方程：
生产过程中的污染排放量P，是产出水平和污染强度 的函数，可以表示为：
（2） 式中，γ为污染程度指数且γ>1，可理解为环境标准的严厉 程度。γ越大意味着给定生产技术的实际污染排放越小，zγ 刻画了已有技术z的污染效应。 1.2 污染治理与环境自净
物质生产部门的污染排放，在污染治理部门得到治 理，治理比例与污染排放量、污染治理部门的资本和劳动 投入有关。利用“干中学”的思想，考虑到污染治理设备 和劳动投入在去除污染物的过程中所具有的饱和效应，即 在污染治理中，不管资本和劳动怎样增加，都不可能把所 有的污染全部治理，污染治理量Q的值有一个上限P，可 以将污染治理量Q表示为：
地球只有一个，资源和环境是有限的。如果经济增长 不断地对自然环境造成损害，则经历一定阶段之后，势必 会造成环境恶化和资源耗竭的危机，从而影响到人类社会 的可持续发展。可以说，可持续发展的核心问题，就是如 何协调好经济增长与资源耗竭、环境污染之间的问题。
对于上述问题，经济学家先是引入新古典经济增长 理论对其进行分析，如Dasgupta & Heal[1]、Stiglitz[2]、 Solow[3]、Hartwick[4]以及Garg & Sweeney[5]等运用新古典 增长模型探讨了耗竭性资源的最优配置及其对长期经济增 长的限制。但是，新古典增长模型是将技术进步外生化处 理的，它没有解释技术进步的原因，从而也就不能解释经 济增长的内在机制并揭示技术进步对耗竭性资源可持续利 用的影响，这使得研究结果的合理性具有较大的局限性。
1 模型描述
现代经济增长理论的一个重要研究发现是：多数国家 的长期增长过程具有稳态特征[22]，这一发现使得在增长具 有稳态假设条件，数学处理很方便。增长理论还发现只有 劳动附加型技术进步才能保证增长的稳态性。因此，本文 在以下的分析中也假定增长是稳态的。
将经济系统划分为两个部门，即物质生产部门和污染治 理部门，在这两个部门中均有资本和劳动的投入。为分析方 便，假定总人口与劳动力人数相等，且第0期的总人口与总 劳动力人数都标准化为1，劳动力人数L的增长率为n。 1.1 物质产品生产与污染排放
（3）
式中，φ>0表示外生的一般性生产技术水平参数，K2、L2 分别表示污染治理部门的资本存量、劳动投入，0<β2<1。
对于污染物，除了人为治理之外，自然环境也能洁净 一部分，描述环境自净量与环境中污染物存量之间关系的 环境自净函数D(X)可以写作：
（4） 式中，η为环境对污染物的自净能力，0<η<1，X为环境中 污染物的存量。ηX表明污染物存量在任一时点的衰减比例 不变，这种线性的假设完全是为了计算的方便。实际上， 污染物在环境中的衰减方式是一个很复杂的问题，本文暂 不过多讨论。 1.3 资本与污染物存量的变化
作者简介：夏传勇（1979～ ），男，江西宜春人，博士，研究方向为环境经济学、战略管理、可持续发展；张曙光（1969～ ），女，广东 惠州人，博士，博士生导师，研究方向为现代飞机飞行品质和飞行仿真、非线性飞行动力学和控制、交通运输管理；昌敦虎（1977～ ）， 男，湖北武汉人，博士，研究方向为环境经济学、可持续发展。
（11）：69～72，80.
中图分类号：F062.2；X196 文献标识码：A
A Two-Sector Endogenous Economic Growth Model with Exhaustible Resources, Pollution Abatement
XIA Chuanyong1, 2, ZHANG Shuguang2, CHANG Dunhu3 (1. Research Institute of Economy & Management, Aviation Industry Development
假定存在一社会计划者，其面临的问题是在人口增长 率为n，以及式（8）、（9）、（10）的约束下，选择人 均消费c、人均污染治理投入v2以及污染强度z，使得如下 跨时效用最大化：
2.2 稳态增长解 令g为各个变量的增长率，即
（15）
（16） （17）
这里，ρ>0为主观折现率，U(t)为瞬时效用函数，依赖 于人均消费及环境质量，由于环境质量与人均污染物存量 大致成反比关系，因此，瞬时效用函数可以写作：
《生态经济》 2010年 第11期 总第232期
ECOLOGICAL ECONOMY
一个资源和环境约束下的两部门内生经济增长模型
夏传勇1, 2 张曙光2 昌敦虎3
（1. 中国航空工业发展研究中心 经济管理研究所，北京 100012； 2. 北京航空航天大学 交通运输工程博士后流动站，北京 100191；
利用“干中学”的思想，假设生产函数为CobbDouglas型，资源R在生产过程中是基本的（essential）， 即当R=0时，有Y=0，若Y>0，则必有R>0，可将产出量Y 表示为：
（1） 式中，A>0表示外生的一般性生产技术水平参数，K1、 L1、R分别表示物质生产部门的资本存量、劳动投入与耗 竭性资源投入，0<α1<1，0<β1<1，0<1-α1-β1<1。