高一数学三角函数的概念PPT优秀课件
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三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
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积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
三角函数的概念+课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3
3π
2
π
2π
x
y
P
追问: 求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗?
显然，当x≠0时，
也唯一确定
画终边—找交点—算数值
终边与圆成交点，纵横坐标正余弦；比值作商成正切，直角三角总相伴
探谜环节二 变量分析寻函数（目标2）
问题3: 点P的坐标被唯一确定，能刻画点P在运动过程中位置变化的量有
哪些？
三角学之父
探谜环节三 归纳总结得定义（目标2）
追问:我们习惯用x,y分别表示自变量和因变量，你能把三角函数表示成习
惯的形式吗?
角 终边与单位圆交点 P( x, y) ，则
形成
对应
关系
正弦函数： y sin
， R ；
余弦函数： x cos
， R ；
正切函数：
得到
函数
概念
人教A版高中数学必修第一册第五章
春秋昼夜“函”新数
似曾相识“弦”归来
5.2 三角函数的概念
活动一：春秋昼夜“函”新数（目标1）
想一想：能否用学过的数学模型来刻画地球围绕太阳做圆周运动时的
位置变化情况？
轨道
圆
太阳
圆心
地球
动点
位置
坐标
活动一：春秋昼夜“函”新数（目标1）
想一想：能否用学过的数学模型来刻画地球围绕太阳做圆周运动时的
位置变化情况？
追问：地球公转轨道半径约为1.5亿公里.这个数字
导致运动过程中地球坐标数值太大，不利于计算，
怎么办呢？
模型——单位圆
活动一：春秋昼夜“函”新数（目标1）
追问：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径研究上
3π
2
π
2π
x
y
P
追问: 求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗?
显然，当x≠0时，
也唯一确定
画终边—找交点—算数值
终边与圆成交点，纵横坐标正余弦；比值作商成正切，直角三角总相伴
探谜环节二 变量分析寻函数（目标2）
问题3: 点P的坐标被唯一确定，能刻画点P在运动过程中位置变化的量有
哪些？
三角学之父
探谜环节三 归纳总结得定义（目标2）
追问:我们习惯用x,y分别表示自变量和因变量，你能把三角函数表示成习
惯的形式吗?
角 终边与单位圆交点 P( x, y) ，则
形成
对应
关系
正弦函数： y sin
， R ；
余弦函数： x cos
， R ；
正切函数：
得到
函数
概念
人教A版高中数学必修第一册第五章
春秋昼夜“函”新数
似曾相识“弦”归来
5.2 三角函数的概念
活动一：春秋昼夜“函”新数（目标1）
想一想：能否用学过的数学模型来刻画地球围绕太阳做圆周运动时的
位置变化情况？
轨道
圆
太阳
圆心
地球
动点
位置
坐标
活动一：春秋昼夜“函”新数（目标1）
想一想：能否用学过的数学模型来刻画地球围绕太阳做圆周运动时的
位置变化情况？
追问：地球公转轨道半径约为1.5亿公里.这个数字
导致运动过程中地球坐标数值太大，不利于计算，
怎么办呢？
模型——单位圆
活动一：春秋昼夜“函”新数（目标1）
追问：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径研究上
三角函数的概念 课件PPT
如图，点P是齿轮上任意一点， 做圆周运动，那么如何刻画点P 的位置变化呢？
创设情境
y
·P
· · O
Ax
新知探究
1 已知∠α的度数，如何求角的终边与单位圆交点P的坐标？
y
Mx
2 计算：当∠α变化的时候，点P的坐标情况
y
M
x
y
M
x
3 思考：任意给定一个角，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
tanα对应的函数值分别等于什么？
y
α
M M0
O
x
·P0x0, y0 Px, y
三角函数定义的推广：
课堂检测
当角确定时，点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的 点P的横坐标x、纵坐标y都是关于∠α的函数
知识梳理
正切函数 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
知识梳理
三角函数都是以角为自变量，以单位圆上点的
坐标或坐标的比值为函数值的函数。
角
实数 (角的弧度)
三角 函数值
思考：在初中我们学习了锐角三角函数，知道它们以锐角为 自变量，以比值为函数值的函数。与按本节三角函数定义求 得的三角函数值相等吗？
y
B
O
C A1,0 x
例1.求 5 的正弦、余弦和正切值．
3
解：在直角坐标系中，如图所示作A∠OB 5
。
3
可知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为
1 2
，
3 2
所以
sin 5 3
3
2
cos5 1
32
tan 5 3
3
y
5பைடு நூலகம்
3
O
Ax
B
常见角的三角函数值
创设情境
y
·P
· · O
Ax
新知探究
1 已知∠α的度数，如何求角的终边与单位圆交点P的坐标？
y
Mx
2 计算：当∠α变化的时候，点P的坐标情况
y
M
x
y
M
x
3 思考：任意给定一个角，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
tanα对应的函数值分别等于什么？
y
α
M M0
O
x
·P0x0, y0 Px, y
三角函数定义的推广：
课堂检测
当角确定时，点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的 点P的横坐标x、纵坐标y都是关于∠α的函数
知识梳理
正切函数 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
知识梳理
三角函数都是以角为自变量，以单位圆上点的
坐标或坐标的比值为函数值的函数。
角
实数 (角的弧度)
三角 函数值
思考：在初中我们学习了锐角三角函数，知道它们以锐角为 自变量，以比值为函数值的函数。与按本节三角函数定义求 得的三角函数值相等吗？
y
B
O
C A1,0 x
例1.求 5 的正弦、余弦和正切值．
3
解：在直角坐标系中，如图所示作A∠OB 5
。
3
可知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为
1 2
，
3 2
所以
sin 5 3
3
2
cos5 1
32
tan 5 3
3
y
5பைடு நூலகம்
3
O
Ax
B
常见角的三角函数值
三角函数的概念 完整版PPT课件
通常将它们记为： 正弦函数 y sin x, x R
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
余弦函数 y cosx, x R
正切函数 y tanx, x k (k Z )
2
注意：
y
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标， 余弦就是交点的横坐标 正切就是交点的纵坐标与横坐标的比值.
(x, y)
x o
（2） 正弦函数、余弦函数总有意义.当α 的终边在y 轴上时，点P 的
单位圆半径不变，点P的横、纵坐标只与α的大小有关， α确定时，p的坐标能唯一确定。
任意角的三角函数定义
设 α是一个任意角， R ,它的终边与单位圆交于点 P(x, y)
那么:（1） y 叫做 α的正弦函数，记作 sin α 即 y = sin α
（2） x 叫做 α的余弦函数，记作 cos α 即 x = cos α
.
证明：如图，设角 的终边与单位圆交于点 P0 (x0 , y0 )
分别过点P, P0 作 x 轴的垂线PM , P0M 0 ，垂足分别为 M , M0
则 | P0M0 || y0 |,| PM || y |,| OM0 || x0 |,| OM || x |,
OMP ∽ OM0P0
于是，| P0M 0 | | PM
P c
b
O
a
M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
三角函数的概念 课件(39张)
tan cos = × +1× = .
数学
方法总结
诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些
角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值
相等.其作用是可以把任意角转化为0°～360°之间的角.
因为 a<0,所以 a=- ,所以 P 点的坐标为( ,- ),
所以 sin α=- ,cos α= ,
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
数学
[变式训练1-1] 若将本例中“a<0”删掉,其他条件不变,结果又是什么?
解:因为点 P 在单位圆上,则|OP|=1,即 (-) + () =1,解得 a=± .
②若 a<0,则 r=-5a,且 sin α=
-
-
-
=- ,cos α=
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
= .
数学
方法总结
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余
弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
倍角公式
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
三角函数的定义ppt课件
(2) 熟 记 几 组 常 用 的 勾 股 数 组 ， 如 (3,4,5) ， (5,12,13) ， (7,24,25)，(8,15,17)，(9,40,41)等，会给我们解题带来很多方便．
(3)若角 α 已经给定，不论点 P 选择在 α 的终边上的什么 位置，角 α 的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角 α 终 边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角 α 的三角 函数值也都是确定的.
∴角 2α 的终边在第一或第二象限或 y 轴的非负半轴上． (2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为 α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π(k∈Z)⇒－37≤k＜178(k∈Z)． ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为27π， 2201π，3241π.
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互 化．
2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的含义． 3.借助单位圆中理解三角函数线。
一．角及有关概念
1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线 OA 叫做角的 始边 ，旋转终止时的射线 OB 叫做角的终边 ，按逆 时针 方向旋转所形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转所形成的 角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
(2)若 θ 是第二象限角，则csoinsscions2θθ的符号是什么？ [分析] (1)由点 P 所在的象限，知道 sinθ·cosθ，2cosθ 的 符号，从而可求 sinθ 与 cosθ 的符号． (2)由 θ 是第二象限角，可求 cosθ，sin2θ 的范围，进而把 cosθ，sin2θ 看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在 的象限，从而 sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．
(3)若角 α 已经给定，不论点 P 选择在 α 的终边上的什么 位置，角 α 的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角 α 终 边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角 α 的三角 函数值也都是确定的.
∴角 2α 的终边在第一或第二象限或 y 轴的非负半轴上． (2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为 α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π(k∈Z)⇒－37≤k＜178(k∈Z)． ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为27π， 2201π，3241π.
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互 化．
2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的含义． 3.借助单位圆中理解三角函数线。
一．角及有关概念
1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线 OA 叫做角的 始边 ，旋转终止时的射线 OB 叫做角的终边 ，按逆 时针 方向旋转所形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转所形成的 角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
(2)若 θ 是第二象限角，则csoinsscions2θθ的符号是什么？ [分析] (1)由点 P 所在的象限，知道 sinθ·cosθ，2cosθ 的 符号，从而可求 sinθ 与 cosθ 的符号． (2)由 θ 是第二象限角，可求 cosθ，sin2θ 的范围，进而把 cosθ，sin2θ 看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在 的象限，从而 sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．
1 5．2.1三角函数的概念(共46张PPT)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 B.由－π2＜α＜0 知 α 为第四象限角，
则 tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．
()
2．已知 sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角 θ 是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
解得 b＝3(b＝－3 舍去)．
4．sin 780°＝________，cos94π＝________．
答案：
3 2
2 2
探究点 1 求任意角的三角函数值 (1)已知角 α 的终边与单位圆的交点为 P35，y(y<0)，求 tan α 的值．
(2)已知角 α 的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上，求 sin α，cos α 的值．
第五章 三角函数
5．2 三角函数的概念 5．2.1 三角函数的概念
数学
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点
学习目标
三角函数的概念
理解三角函数的概念，会求 给定角的三角函数值
掌握各象限角的三角函数值 三角函数值的符号判断
的符号规律
诱导公式一及应用
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵 三角
坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦 函数
函数和正切函数统称为三角函数
■微思考 1 (1)初中学习的锐角三角函数的定义是什么？ 提示：如图，在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则： sin B＝bc＝对 斜边 边， cos B＝ac＝斜 邻边 边， tan B＝ba＝邻 对边 边.
高中数学新人教A版必修一三角函数的概念课件34张
【跟踪训练 3】 若角α的终边与直线 y=3x 重合,且 sin α<0,又 P(m,n)是角α终边
上一点,且|OP|= 10 ,则 m-n=
.
解析:由题,所以n=3m, 又m2+n2=10, 所以m2=1. 又sin α＜0,所以m=-1,所以n=-3. 故m-n=2.
答案:2
考查角度2:三角函数值的符号 【例4】 (2018·石家庄质检)已知sin α＜0,tan α＞0. (1)求角α的集合;
(A) 4 5
(B)- 4 (C) 3
5
5
(D)- 3 5
解析:因为点 A 的纵坐标 yA= 4 ,且点 A 在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,所以 A 5
点的横坐标 xA=- 3 ,由三角函数的定义可得 cos α=- 3 .故选 D.
5
5
【例2】 若角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0). (1)求sin θ+cos θ的值;
(A)1 (B)-1 (C)±1 (D)±2
解析:sin α= 2 = 2 ,x=2,tan α= y = 2 =1.故选 A.
x2 22 x
x2
4.(教材改编题)若sin α＜0且tan α＜0,则α是( D ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角
解析:由sin α＜0,得α在第三或第四象限;由tan α＜0,得α在第二或第四象 限,故α在第四象限.故选D.
2.弧度制
(1)定义 长度等于 (2)公式
半径长
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算 弧长公式
扇形面积公式
的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.
|α|= ①1°=
数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件
(3) y 叫做的正切,记作 y tan(x 0);
x
x
注 : 当x 0,即 k (k Z )时, y tan无意义.
2
x
正弦函数 : y sin x , x R x为角的弧度
三角函数 余弦函数 : y cos x , x R y为角的三角函数值
正切函数 :
y
tan
x
,
x
2
k
(2)
cos2
1 2 sin2
的值是
___
.
分子为1
(3)5cos2 3sin2 的值是 ____ . 暗含：分母为1
1 sin2 cos2
(4)sin cos的值是 ____ . 暗含：分母为1
原式
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5
[变式]已知 sin 2 cos 2,则sin cos的值为 ____ . sin cos
(其中k Z )
公式一（角度制）
sin( k 360) sin cos( k 360) cos tan( k 360) tan
(其中k Z )
巩固：公式一的运用（求值）
[例5]求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ; (2) tan 3 (3)sin ( 11 ) (4) tan(1050)
新知：同角三角函数的基本关系
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
tan sin cos
(sin cos )2 1 2sin cos sin4 cos4 sin2 cos2
求5cos 4 tan的值.
解 : 由sin2 cos2 1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
高中数学课件三角函数ppt课件完整版目录•三角函数基本概念与性质•三角函数诱导公式与恒等式•三角函数的加减乘除运算•三角函数在解三角形中的应用•三角函数在数列和概率统计中的应用•总结回顾与拓展延伸PART01三角函数基本概念与性质三角函数的定义及性质三角函数的定义正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的性质。
特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度下各三角函数的值。
诱导公式利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数诱导公式。
正弦、余弦函数的图像及其特点，如振幅、周期、相位等。
三角函数图像周期性图像变换正弦、余弦函数的周期性及其性质，如最小正周期等。
通过平移、伸缩等变换得到其他三角函数的图像。
030201三角函数图像与周期性正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R 。
值域在各象限内，正弦、余弦函数的单调性及其变化规律。
单调性利用三角函数的性质求最值，如振幅、周期等参数对最值的影响。
最值问题三角函数值域和单调性PART02三角函数诱导公式与恒等式诱导公式及其应用诱导公式的基本形式01通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基本角度（如0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
诱导公式的推导02利用三角函数的周期性、对称性、奇偶性等性质，通过逻辑推理和数学归纳法等方法推导出诱导公式。
诱导公式的应用03在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛应用。
例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法恒等式的基本形式两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。
其中，代数法是通过代数运算和变换来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函数的性质和关系来证明恒等式。
人教B版必修4高一数学1.2.1三角函数的定义教学课件
B．
α
|
α
=
kπ
+
π 6
,
k
Ζ
β
|
β
=
kπ
+
π 6
,
k
Ζ.
C．若a是第二象限的角，则 sin 2 0 .
D．第四象限的角可表示为:
α
|
2kπ
+
3π 2
<
α
<
2kπ,
y
y 叫α的正弦
P(x, y)
sin α y
x叫α的余弦
O
x
cos x
y 叫α的正切 x tan y
x
思考：
对应关系sin y，cos x ，tan y (x 0)
都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标x或坐标
的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦 函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中， 这三个三角函数的定义域分别是什么？
tan(α + k 2π) = tanα
(k z).
利用公式一，作用在于可将求任意角的 三角函数值，转化为求0～２π （或0°～ 360°)范围内的三角函数值.
例6：求下列三角函数的值.
(1)cos 17π ; 4
(2)sin 9π tan 7π .
4
3
解：(1)cos 17π = cos π = 1
P(4,-3) ａ的终边
事实上: 三角函数也可定义为
设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则
sin α y r
的终边 P(ｘ，ｙ) y
cos x
r
tan y
x
r
o
x
三角函数的概念高一数学精品课件
由 r＝|OP|＝ 12＋22＝ 5，得 sin α＝ 2 ＝2 5，cos α＝ 1 ＝ 5，tan α＝2＝2.
55
55
1
当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点 Q(－1，－2)，
由 r＝|OQ|＝ －12＋－22＝ 5，
得
sin
α＝－52＝－2 5 5，cos
α＝－1＝－ 5
55，tan
此三角形为钝角三角形． 答案：B
2．设 α 是第三象限角，且cosα2＝－cosα2，则α2所在象限是
A．第一象限
B．第二象限
()
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋3π，k∈Z， 2
∴kπ＋π2<α2<kπ＋34π，k∈Z，∴α2在第二、四象限．
| | 又∵
10
10
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限．
在第二象限取直线上的点(－1， 3)，则 r＝ －12＋ 32＝2，
所以 sin α＝ 3，cos α＝－1，tan α＝－ 3；
2
2
在第四象限取直线上的点(1，－ 3)，则 r＝ 12＋－ 32＝2，
所以 sin α＝－ 3，cos α＝1，tan α＝－ 3.
() () ()
2．若 sin α<0，tan α>0，则 α 在
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限ຫໍສະໝຸດ 解析：由 sin α<0 可知 α 在第三或第四象限，由 tan α>0 可知 α 在第
一或第三象限，综上，α 在第三象限．答案：C
3．已知角 α 的终边与单位圆的交点 P 55，－255，则 sin α＋cos α＝ ()
三角函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
√
A. −
5
5
2 5
B.−
5
2 5
C.
5
5
5
√
D.
(2)若角的终边经过点ሺ−5，12ሻ，则sin＋tan等于（
A.
7
13
√
B.−
96
65
C.−
181
65
）
69
65
D.
(3)已知角的终边经过点 2 + 1， − 2 ，且cos =
√
B.cos =
5
5
√
C.sincos < 0
3
C.−
3
√
2 2
D.
3
探究
初中我们也学习了锐角三角函数，它们是以锐角为自变
量，以比值为函数值的函数，请问按照本节课求得的三角
函数值与初中的学习的锐角三角函数值的求解结果矛盾吗？
由此谈谈你的体会.
如果所取的点不是终边与单位圆的交点呢？角的三角函数
值又该如何求解呢？
例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原
D.第四象限
的值可能为(
)
D. −1
√
C. 1
(3)点ሺcos2023°，tan8ሻ在平面直角坐标系中位于(
√
C.第三象限
)
)
D.第四象限
1.三角函数的概念（第一定义和第二定义）
2.三角函数值在各象限的符号
3.诱导公式一
π
2
对于确定的角 ≠ + π， ∈ ，以为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横
坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.，通常将它们记为：
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续表
质疑探究1：(1)终边相同的角相等吗？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？
提示：(1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍． (2)第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角，但它们不是锐 角． 小于90°的角也不一定是锐角，如0°，－30°，都不是锐角．
(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角(连同α在内)，可以构成一个集合：S＝ {β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(3)象限角：若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限， 就认为这个角是第几象限角．若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何一个 象限．
(4)象限角的表示： (5)终边落在坐标轴上的角的表示
解析：因为点 P(tan α，cos α)在第三象限，因此有
tan α<0
，
cos α<0
∴α 是第二象限角，故选 B.
【例 1】 (2010 年江苏“金太阳”百校大联考)若 A，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点 P(cos B－sin A，sin B－cos A)在第________象限．
解析：由 A＋B>π2知，A>π2－B， ∴sin A>cos B，同理 sin B>cos A， ∴点 P 在第二象限． 答案：二
(1)判断三角函数值的符号就是判断角所在的象限．熟记各个三角函数在每个象 限内的符号是解决此类问题的关键．
(2)对于角所在象限的判断，关键是熟记终边相同角的表示及变形形式．
变式探究11：已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________ 象限．( )
(A)一 (B)二 (C)三 (D)四
5 25 (A) 5 (B) 5
(C)－
5 5
(D)－2 5 5
解析：由 r＝|OP|＝ －12＋22＝ 5，
得Leabharlann sinα＝2 ＝2 5
5
5，
∴选 B.
7．函数f(x)＝lg(sin x－cos x)的定义域是________．
解析：由已知 sin x－cos x＞0，即 sin x＞cos x，利用单位圆中的三角函数线可知函数 f(x) 的定义域为{x|π4＋2kπ＜x＜54π＋2kπ，k∈Z}．
【例题】 已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0)，求θ角的正弦、余弦和正切值．
错解：∵x＝3a，y＝4a， ∴r＝ 3a2＋4a2＝5a， 于是 sin θ＝yr＝45，cos θ＝xr＝35， tan θ＝yx＝43. 错解分析：本题的错误在于求 r 时，没有考虑参数 a 的取值情况，默认为 a>0，从而导 致出错．
续表
1．若α＝k·360°＋140°(k∈Z)，则α的终边在( B )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析：根据终边相同角的表示及意义可知，α的终边与140°的终边相同，即终 边落在第二象限，故选B. 2．若 α 是第二象限角，P(x， 5)是其终边上一点，且 cos α＝ 42x，则 x 的值为( D ) (A) 3 (B)2 2 (C)－2 2 (D)－ 3
【例 2】(2011 年福建厦门模拟)已知点 P(sin 34π，cos 34π)落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π)，
则 θ 的值为( )
π3
5π 7
(A)4 (B)4π (C) 4 (D)4π
解析：由于点 P 可化为( 22，－ 22)，所以 P 点在第四象限， ∴θ＝74π，故选 D.
错源：忽视对参数的讨论
解析：∵α 是第二象限角，
∴x<0，r＝ x2＋5，
∴cos α＝
x＝ x2＋5
42x，解得
x＝－
3，故选 D.
3 ． ( 教 材 改 编 题 ) 弧 长 为 3π ， 圆 心 角 为 135° 的 扇 形 半 径 为 ________ ， 面 积 为 ________．
解析：弧长 l＝3π，圆心角 α＝34π， 由弧长公式 l＝|α|·r 得 r＝αl ＝334ππ＝4， 面积 S＝12lr＝6π. 答案：4 6π
答案：{x|π4＋2kπ＜x＜54π＋2kπ，k∈Z}
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
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第1节 三角函数的概念
1．角的有关概念
(1)角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形．旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线的端 点叫做角的顶点．按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形 成的角叫做负角，若一射线没作任何旋转，称它形成了一个零角．
【选题明细表】
知识点、方法 角的推广及有关概念 扇形的弧长、面积
三角函数的定义 综合问题
题号 4、6 3、8 1、2、9 5、7、10
一、选择题
1．若sin θ·cos θ>0，且tan θ·cos θ<0，则角θ的终边落在( C )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析：因为sin θcos θ>0，所以角θ在第一或第三象限，又tan θcos θ<0，则角θ在第 三或第2．四(2象01限1 ，年故惠角州θ市的高终三边一落模在)角第三α 终象边限过，点因此P(选－C1,.2)，则 sin α 等于( B )