图形计数及最短路线新
最短路线问题二
最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。
怎样计数从A 到B 的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。
【例1】 咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A 作为起点，再在A 的右上方任取一点B 作为终点划一条由A 到B 的最短路线。
聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB 是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A 到B 的最短路线，那么从A 点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB 、ACIEB 、ACIFB 、AHGFB 、AHIEB 、AHIFB 这六条路线。
在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A 到B 的最短路线呢？如果A 、B 两点变成图1、2、3的位置，那么从A 到B 的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A 到B 的最短路线均为6条。
小朋友们，你是怎么做的？你发现了什么规律？如果图形变得复杂，还要保证找出的路线既不重又不漏呢？你又该如何解决呢？我们一起来看【例2】。
【例2】阿呆和阿瓜到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训。
请你想一想他们从学校到少年宫的最短路线最多有多少种？分析：我们采用对角线法（如图）从学校到少年宫共有10种走法。
我们观察图发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数.这样，我们可以通过计算来确定从A→B的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”。
聪明的小朋友，你总结出什么规律了吗？请填在下面的空格内：【例3】下图是动物王国的街道平面图，纵横各有5条路，森林之王老虎先生通知大家去运动场开会，如果迟到就要挨罚喝100杯水。
爱睡懒觉的树袋熊一觉醒来，呀，要迟到了，想想那100杯水，树袋熊都快晕了。
善良的小朋友们，快来给树袋熊找找最近的吧！分析：教师可参考例1的解答过程，用对角线法（如下图）解，所以共有20条路线。
三年级奥数《数学最短路线课件》
例题【二】（★ ★ ★ ）
寒假到了，艾伦和爸爸决定去黄山玩。聪明的小朋友请你找找看从 北 京到黄山的最短路线共有几条呢？
目标：右、下 方向：左、上
1 1
1
1
12
23
2 1
3
4
7
10
老师点睛 箭头很重要，一定逐一标； 步骤要严谨，不能跳着做。
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
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例题【一】（★ ★ ）
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路 最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
例题【一】（★ ★ ）
A→C→D→G→B、A→C→F→G→B、 A→E→F→G→B、A→C→F→I→B、 A→E→F→I→B、A→E→H→I→B、
例题【一】（★ ★ ）
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行，那么 从A到B的最短路线有几条？
从起点开始标数，注意积水处都是 坏点，那好把这些点划去或看成0。
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行，那么 从A到B的最短路线有几条？
111111
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路 最近。小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
方法二：标数法
目标：右、下 方向：左、上
1
1
3
2
1
36
知识点睛
步骤：
1、找目标、定方向 2、从起点标数，起点标1 3、按顺序每个点都要标到
图形计数的多种方法和总结
数线段的5种方法和拓展例1数一数图中共有多少条线段？方法一：基本线段法（把图中单个的线段看作一个基本图形）由一个基本线段组成的线段有__4___条由二个基本线段组成的线段有__3___条由三个基本线段组成的线段有__2_由四个基本线段组成的线段有___1__条所以，图中一共有线段____4+3+2+1=10_______________条方法二：端点法加法（线段都是有两个端点组成，一个起点，一个终点）以A为起点的线段有__4___条以B为起点的线段有__3___条以C为起点的线段有__2___条以D为起点的线段有__1___条所以，图中一共有线段______4+3+2+1=10_____________条方法三：端点法乘法（线段都是有两个端点组成，一个起点，一个终点）端点数×间隔÷2=总条数5×4÷2=10方法四：标数法（基本线段法的简化版，可以快速得到结果）方法五：组合法（取两个点就可以组成一条线段）10124525=⨯⨯=C上面的五种方法都适应于所有的数线段的题，其中方法二和方法三可以延伸到握手问题，线段上端点数比较多可以用方法三，方法五可以解决不在一条直线上线段数握手问题1、有5个人，每两个人都需要握手一次，请问一共需要握手多少次？2、三年级有6个班，每两个班比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？3、有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？端点比较多不在一条直线上1. 平面上有12个点，任意三点都不在同一直线上，这些点可以连成多少条直线？1 2 4 3 A C 1 … C 2C 102 B …… 1 2 3 4 99 100。
四年级下册数学课件-图形计数问题 全国通用 (共14 张ppt)
有什么规律：
总结
长边上的线段条数×宽边上 的线段(共14 张ppt)
四年级下册数学课件-图形计数问题 全国通用 (共14 张ppt)
图形五：如何数正方形
有多少个正方形？
四年级下册数学课件-图形计数问题 全国通用 (共14 张ppt)
有多少个三角形？
有没有更加简单 的方法？？？
1个
3个
1+2=3个
2×3÷2=3个
6个
1+2+3=6个
3×4÷2=6个
10个
1+2+3+4=10个
4×5÷2=10个
有什么规律：
总结
若由一个顶点引出n条射线 ，则一共可数出n(n－1)÷2 个三角形。
思维提升：
分别数出下列各图中各有几个三角形？
提示：分两部分
提升思维：
例1.数出图中共有多少条线段。
图形二：如何数角的个数
有多少个角？
有没有更加简单 的方法？？？
1个
3个
1+2=3
6个
1+2+3=6
2×3÷2 3×4÷2
10个
1+2+3+4=10
5×4÷2
有什么规律：
总结
若由一个点引出n条射线， 则一共可数出n(n－1)÷2个 角。
图形三：如何数三角形的个数
5×4+（5-1）×（4-1）+（5-2）×（4-2)+(5-3)× （4-3）=40
四年级下册数学课件-图形计数问题 全国通用 (共14 张ppt)
有什么规律：
总结
数正方形的公式：一个被划分成m×n的小 正方形的长方形中共可以数出的正方形的 个数是：（其中m≤n）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT） 初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
一笔画和最短路线问题
造桥选址问题:
如图, A,B两地在一条河的两岸, 现要在 河上造一座桥MN, 桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是 平行的直线,桥要与河垂直)
平行且相等的原理
利用勾股定理 求解几何体的最短路线长
一、台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短.
D D1 C1
2
D1
C1
1
A1
B1
4
①
②
A B 2
C1
1
D
C
2 4
③
C
A 1 A1
4
B1
A
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
AC1 =√52+22 =√29
18世纪风景秀丽的哥尼斯堡（位于立陶宛与波兰之间，现属俄罗 斯）中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建 有七座桥（如图），城中的居民经常沿河过桥散步，不知从什么时 候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传 开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次？ 最后是否仍能回到出发点？ 这就是数学史上著名的七桥问题。
哈里发的失算，却是可以用拓扑学的知 识加以证明的。其所需之概念，只有“内部” 与“外部”两个。事实上，我们很容易用线 把①一①、②一②连起来。明眼的读者可能 已经发现：我们得到了一条简单的闭曲线， 这条曲线把整个平面分为内部(阴影部分)和 外部两个区域。其中一个③在内部区域，而 另一个③却在外部区域，要想从闭曲线内部 的③，画一条弧线与外部的③相连，而与已 画的闭曲线不相交，这是不可能的！这正是 哈里发悲剧之所在。
第二讲 图形计数
第二讲图形计数【知识精讲】数线段规律：一条直线上如果有n个点，那么线段总数为1+2+3+⋯+（n−1）.数角规律：角的个数等于从1开始的连续自然数之和，这个连续自然数中最大的数是射线的条数减1，同时也是基本角的个数。
数三角形规律：数三角形时，可以简化成数有共同顶点的角的个数，或是数公共底边上线段的条数。
数长方形规律：一个规则的长方形图形（由m行、n列构成），它的长方形总数为（1+2+3+⋯+m）×（1+2+3+⋯+n）.数正方形规律：对于n行n列（n×n）的大正方形来说，正方形的总数为1×1+2×2+3×3+⋯+n×n.例题1：数一数，图中共有多少条线段？练习1：数一数，图中共有多少条线段？例题2：数一数，下图中有多少个角？练习2：数一数，图中共有几个角？例题3：数一数，下图中有几个三角形。
练习3：数一数，下图中有几个三角形。
例题4：数一数，图中共有（）个三角形。
练习4：数一数，图中共有（）个三角形。
例题5：数一数，下图中有多少个长方形？练习5：数一数，图中共有多少个长方形？例题6：含有☆的正方形有（）个。
练习6：含有☆的正方形有（）个。
例题7：在一块画有2×3方格网的木板上钉了12颗钉子，以钉子为顶点，用橡皮筋能围成（）个正方形。
练习7：下面有20个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。
用这样的方法，你可以得到（）个正方形。
巩固练习1、下图中一共有（）条线段.2、下图中有_____个三角形.3、数一数，一共有( )个长方形.4、在下图中,所有正方形的个数是______.5、下面有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，将四个点用直线连起来可以得到一个正方形。
用这样的方法，你可以得到（）个正方形。
最短路线(4年级培优)学生版
寻找最短路线，关键在于不能走“回头路”（冤枉路），要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复不遗漏。
在日常生活和实际生产中，我们经常会遇到选择最短路线的问题，这种问题的类型较多。
这里我们将通过几个实例，着重介绍用对角相加法、取短舍长法，如何在不同的线路中选择最短的路线。
每一个小格右上角标的数正好是这个小格左上角与右下角的数的和，这个和就是从出发处A到这点处的所有最短路线的条数。
这样我们就可以由近及远，通过计算再逐次标数，来确定A处到B处的最短路线的条数。
我们把这种方法称为对角相加法。
要求从A地出发到D地的最短时间，我们可以把从A地到附近地点的最短时间一一算出，标在各点的旁边，再算出到后面的点的最短时间，标在各点旁边。
这样由近及远，顺着推算下去，最后就能求出从A地到D地的最短时间。
我们把这种方法称为取短舍长法。
下图的线段表示纵横的道路，如要从A处走到B处，问共有多少条最短路线？图图和壮壮到少年宫参加数学培训。
如果他们从学校出发，到少年宫共有多少种不同的最短路线？下图中，从甲地到乙地最短路线有几条？下图中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。
小明上学时走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。
那么小明从家到学校可以走多少条不同的路线？某城市的街道非常整齐，如下图所示，从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（因正在修路）。
共有多少种不同的走法？在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？下图是一个街道平面图，每段长度都是500米，现在有一辆汽车要从甲地到乙地，要求走最近的路，但不能通过十字路口A 、B 、C （正在修路），问共有多少条最短的路线？从甲地到乙地最少要行多少米？乙甲C BA下图是一个街道的平面图，C 处正在施工，不能通车，一辆汽车从A 地到B 地的最短路线共有多少条？如果横的每段200米，竖的每段150米，那么从A 地到B 地最少要行多少米？CBA如下图所示，是一张道路图，每段路上的数字是小明走这段路所需的分钟数，请问小明从A 地出发到D 地的最短时间是多少分钟？7331033I JH GFE DC BA533342221下图是一张城镇交通道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需要的时间（单位：分钟），请问小王从A 出发到E ，最快需几分钟？61710912185117171415O HG F E D CBA某乡七个村的位置如下图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点表示村的位置，线表示村与村之间的道路，旁边的数字表示相邻两个村的距离（单位：千米）。
标数法最短路线 排列组合
标数法最短路线排列组合
标数法是一种求解最短路径问题的有效方法，尤其适用于有多个起点和终点的情况。
这种方法的基本思想是在图上标出从起点到终点的所有路径，并比较它们的长度，选择最短的一条。
具体步骤如下：
1. 从起点开始，将起点标记为已访问，并将起点到终点的距离设为0。
2. 遍历与起点相邻的节点，如果该节点未被访问过，则标记为已访问，并计算从起点到该节点的距离。
3. 对于每个已访问的节点，将其作为新的起点，重复步骤2，直到所有节点都被访问过。
4. 在每条路径上标记从起点到终点的距离，选择最短的一条作为最短路径。
这种方法可以应用于多种问题，如旅行商问题、最短路径问题等。
在求解最短路径问题时，标数法可以有效地处理多个起点和终点的情况，并且可以找到全局最
优解。
对于排列组合问题，标数法同样适用。
可以将问题转化为求从起点到终点的最短路径问题，然后使用标数法求解。
这种方法可以处理多种排列组合问题，如排列、组合、全排列等。
图形计数及最短路线新
最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。
怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。
一、长方形方格标号：【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B 作为终点划一条由A到B的最短路线。
聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，那么从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。
在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。
例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?AB421 1 1 1 11 14 422 3 4 52 5 9 145 14 28【分析】如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母， 按箭头所示，走1A 有一条路，到1B 有2种办法；再往下到2A 有从1A 走和2B 走两种方法，这样到2A 有3条路线；到2B 可从2A 、1B 走，有5种方法到2B ．过3A 可从2A 、2B 走，共有8条路线；到3B 可走3A 、2B ，这样共有13种走法；经过4A 可从3A 、3B 两条路走，有21种方法都到4B ；到达4B 可以走4A 和3B ，因而有34种路线到达4B ．这样由A 到B ，可经过4A 和4B 两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如图所示．因此，从A 点到B 点的不同路线共有55条．例3：动物园的门票1元1张，每人限购1张。
现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别.用标数法求共有多少种排队方法.如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A 到B 只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法.我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）, 同理拿2元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）. 根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）.二、不规则图形标号：【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D 点：从学校到C 点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点有2 种走法。
数量—最短路径
数量——最短路径一、立体图形①正方体（相对的两个顶点）：最短路径（沿表面走）结论：（1）距离：√5边长（2）路径数：6 条②长方体（相对的两个顶点）：最短路径（沿表面走）结论：（1）最短距离：√最长边²+（两短边之和）²（2）最短路径数：2 条（展开可以从前面和上面走，也可以从后面和下面走，是两个相对面）二、平面图形1.结论：三点共线时，距离之和最短。
2.方法：（1）两点异侧，直接连线。
如图，A 点在直线的上面，B 点在直线的下面，直接连接AB，就是最短距离。
（2）两点同侧，先对称再连线。
如图，A、B 点在水平线的同一侧，求AB的最短距离。
将A 点根据水平线对称成异侧点A’，连接A’B 就是最短距离三、一笔画图形1.最短路径=总路径+重复路径。
2.重复路径：（1）从奇点出发：留下 2 个，把其他的奇点两两一组相连，找最短。
①奇点数为2 时，一笔画（无重复）。
②奇点数为4 时，两笔画（即重复一条路径），找奇点两两间线段最短的一条。
③奇点数为6 时，三笔画（重复两条），找奇点两两间线段最短的两条。
（2）从偶点出发：奇点数为0 时，一笔画；所有奇点两两一组相连，找最短长度。
（2017 江苏）某市规划建设的4 个小区，分别位于直角梯形ABCD的4 个顶点处（如图），AD=4 千米，CD=BC=12 千米。
欲在CD 上选一点S 建幼儿园，使其与4 个小区的直线距离之和为最小，则S 与 C 的距离是：（ D ）A.3 千米B.4 千米C.6 千米D.9 千米（2016 山东）一块由两个正三角形拼成的菱形土地ABCD 周长为800米，土地周围和中间的道路如下图所示，其中DE、BF 分别与AB 和CD 垂直。
如要从该土地上任何一点出发走完每一段道路，问需要行进的距离最少是多少米？（B ）A.1000+400√3B.1100+400√3C.1100+500√3D.1000+600√3→图中有 4 个奇点为 A、E、F、C。
第8章图第8讲-最短路径和Dijkstra算法PPT课件
S
每一步求出v到U中一个 U=V-S
顶点u的最短路径，并将u
移动到S中。直到U为空。
u
v
3/21
狄克斯特拉算法的过程
（1）初始化：，S只包含源点即S={v}，v的最短路径为0。U包 含除v外的其他顶点，U中顶点i距离为边上的权值（若v与i有边<v， i>）或∞（若i不是v的出边邻接点）。
path[5]={0,2,3,5}。
？
所有n-1条最短路径可以用二维数组path[][]存储。
9/21
改进的方法是采用一维数组path来保存：
若从源点v j的最短路径如下：
v
…
a
…
v j最短路径中j的前一个顶点
u
j
则
v
…
a
…
？ u 一定是从源点v u的最短路径
反证法证明：
b
是v u的最短路径
v
k
j
考虑中间其他所有顶点k，通过 比较得到v j的最短路径
8/21
算法设计（解决2个问题）
如何存放最短路径长度：
用一维数组dist[j]存储！ 源点v默认， dist[j]表示源点 顶点j的最短路径长度。如 dist[2]=12表示源点 顶点2的最短路径长度为12。
如何存放最短路径：
从源点到其他顶点的最短路径有n-1条，一条最短路径用一 个一维数组表示，如从顶点0 5的最短路径为0、2、3、5， 表示为
v
…
a
…
u
j
而通过b的路径更短，则v → … a → … u → j不是最短路径
与假设矛盾，问题得到证明。
10
正方体、长方体中最短路线PPT课件
2、连接AB6
则AB6为最短路径
A
由勾股定理得
AB6= 22 12 5
B6
总结
从A到B共有六种最短路径
B
最短路径为 5
a2 (2a)2 5a
A
问题二
1.如图所示的长方体中,长BF=7cm, 宽AB=5cm,高AC=5cm,一只蚂蚁从点A沿着 长方体的外表面爬行到点E的最短路程为( )
（A）12 （B）17 （C）13 （D） 149
在长为5、宽为3、
B
高为4的长方体的右下
角A处有一只蚂蚁，欲
从长方体的外表面爬 4
行去吃右上角B处的食
物，问怎样爬行路径 A 最短，最短路径是多
5
3
少？
思维分析
1、长方体和立方体的情况一样吗？它们 有什么相同和不同点呢？ 和A相连的面是左面、前面和下面；
和B相连的面是上面、右面和后面. 共有六种不同的选择路径
前面右面方法一1展开前面和右面2连接ac?则ac?为最短路径由勾股定理得ac?26前面上面方法二2连接ac?则ab为最短路径ab1展开前面和上面由勾股定理得左面上面方法三2连接ac?则ac?为最短路径ac?261展开左面和上面由勾股定理得方法四2连接ac?则ac?为最短路径ac?261展开左面和后面由勾股定理得方法五2连接ac?则ac?为最短路径ac?1展开下面和右面由勾股定理得方法六2连接ac?则ac?为最短路径ac?1展开下面和后面由勾股定理得10总结从a到b共有六种最短路径最短路径为一只蚂蚁从点沿着长方体的外表面爬行到点的最短路程为a12b17c13问题二14912思维方法和过程前面左面下面上面右面后面13思维方法和过程前面左面下面上面右面后面14思维方法和过程前面左面下面上面右面后面从a到b走最短路径要走几个面
最短路线(4年级培优)教师版
寻找最短路线，关键在于不能走“回头路”（冤枉路），要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复不遗漏。
在日常生活和实际生产中，我们经常会遇到选择最短路线的问题，这种问题的类型较多。
这里我们将通过几个实例，着重介绍用对角相加法、取短舍长法，如何在不同的线路中选择最短的路线。
每一个小格右上角标的数正好是这个小格左上角与右下角的数的和，这个和就是从出发处A到这点处的所有最短路线的条数。
这样我们就可以由近及远，通过计算再逐次标数，来确定A处到B处的最短路线的条数。
我们把这种方法称为对角相加法。
要求从A地出发到D地的最短时间，我们可以把从A地到附近地点的最短时间一一算出，标在各点的旁边，再算出到后面的点的最短时间，标在各点旁边。
这样由近及远，顺着推算下去，最后就能求出从A地到D地的最短时间。
我们把这种方法称为取短舍长法。
下图的线段表示纵横的道路，如要从A处走到B处，问共有多少条最短路线？答案：6【知识点：规则图形简单标数法】【难度：A】【出处：底稿修改】分析：先给所有点标上字母，首先我们应该明确从A到B的最短路线到底有多长？从A点走到B点，最短要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD+DB。
因此，水平方向只能走一个长AD的长度，竖直方向只能走一个宽DB的长度，我们要做到不走“回头路”，则在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走，因此只能向右和向下走。
怎样做到不重复不遗漏呢？现在让同学们观察这种题是否有规律可循。
①看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线。
因此，从A到C只有一条路线。
同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线。
我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如右上图。
②看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法。
立体图形上的最短路径问题
08立体图形上的最短路径问题(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第8讲 立体图形上的最短路径问题一、方法技巧解决立体图形上最短路径问题：1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”2.“平面化”的基本方法：（1）通过平移来转化例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可（2）通过旋转来转化例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解（3）通过轴对称来转化例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距离3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图二、应用举例类型一通过平移来转化【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少【答案】13cm【解析】试题分析：只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，2251213AB cm =+=所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm类型二 通过旋转来转化【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少【答案】cm 412【解析】试题分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.试题解析：解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2）)(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++=所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412【难度】一般【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.【答案】34cm【解析】试题分析：展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可.试题解析：解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S ，F 各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF 即为所求的最短路线.过点S 作点F 所在母线的垂线，得到SEF Rt ∆.2230(1811)34SF cm =+--=【难度】较易【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m （结果不取近似值）【答案】35 【解析】 试题分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中90BAP ∠=︒，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP 长.试题解析：解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n ，由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得180n AC BC ππ⋅=⋅， 再由6AC BC m ==，可得180n =︒，故在展开的平面图形中，1180902BAC ∠=⨯︒=︒ 点B 到P 的最短距离为 22226335()BP AB AP m =+=+=【难度】一般类型三 通过轴对称来转化【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置【答案】15厘米【解析】试题分析：把圆柱展开，得到矩形形状，A B 、的最短距离就是线段'BA 的长，根据勾股定理解答即可试题解析：解：如图所示，作A 点关于杯口的对称点'A则22'91215BA =+=厘米【难度】较易三、实战演练类型一 通过平移来转化1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 dm ．【答案】25dm【解析】试题分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答试题解析：解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理可得x2=202+[（2+3）×3]2，解得x=25．即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm．【难度】较易类型二通过旋转来转化2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长【答案】13m【解析】试题分析：把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理得出结论试题解析：解：展开图如图所示，12AC m =，5BC m = 222212513AB AC BC m =+=+=【难度】较易3.有一个圆柱体，如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处蚂蚁爬行的最短距离 .【答案】()21625cm π+【解析】试题分析：圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求试题解析：解：∵4AB =，BC 为底面周长的一半，即5BC π=∴()()22222451625AC AB BC cm ππ=+=+=+【难度】较易4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ,则它爬行一周的路程是多少（2）如果树干的周长是80cm ,绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少【答案】（1）50cm ；（2）6m【解析】试题分析：（1）如下图，将圆柱展开，可知底面圆周长，即为AC 的长，圆柱的高即为BC 的长，求出AB 的长即为葛藤树的最短路程（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高试题解析：解：（1）如图，O 的周长为30cm ，即AC =30cm高是40cm ，则BC =40cm ， 由勾股定理得2250AB AC BC cm =+=故爬行一周的路程是50cm（2）O 的周长为80cm ，即AC =80cm绕一圈爬行100cm ，则AB=100cm ，高BC =60cm∴树干高=60×10=600cm =6m故树干高6m【难度】一般5．（2015·江阴市）如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，蚂蚁爬行的最短距离是 （ ）A ．13B ．17C ．1D ．25+【答案】B【解析】试题分析：根据已知得出蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，蚂蚁爬行的最短距离是如图BM 的长度，进而利用勾股定理求出试题解析：解：∵蚂蚁从盒外的B 点沿正方体的表面爬到盒内的M 点∴ 蚂蚁爬行的最短距离是如图BM 的长度∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M∴1224A B =+= 11A M =∴224117BM =+=故选：B【难度】较易6.已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示，若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（ ）【答案】C【解析】试题分析：要求小蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线.试题解析：解：∵C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A ∴侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即是最短路线∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可.故选C【难度】一般7．（2014·枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm．【答案】(3236cm【解析】试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果试题解析：解：如答图，易知△BCD 是等腰直角三角形，△ACD 是等边三角形，在Rt△BCD 中，2262CD BC BD cm =+=， ∴1322BE CD cm ==， 在Rt△ACE 中，2236AE AC CE cm =-=，∴从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为()3236cm +【难度】一般8.一个圆锥的母线长为QA =8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是________（结果保留根式）【答案】82【解析】解：设圆锥的展开图扇形’QAA 的中心角'AQA ∠的度数为n ，则 822180n ππ⨯⨯⨯=，解得：90n =即'90AQA ∠=在'Rt AQA 中，根据勾股定理'82AA = 【难度】一般9.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一只蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是多少【答案】25【解析】试题分析：根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆，点B 是半圆的一个端点，而点P 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B 和P 在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离试题解析：解：设圆锥的展开图的圆心角为n ，则422180n ππ⨯⨯⨯=， 解得：180n =︒ 即'180CAC ∠=︒在展开图中，'BA CC ⊥，4BA =，2AP =由勾股定理得，22422025BP =+==点评：本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题化为平面的问题是解题的关键【难度】较难10.（1）如图○1，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为3BC cm =，4AB cm =，15AA cm =，盒子的内部顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲1C 处的最短路程，并画出其最短路径，简要说明画法（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为6AB BC cm ==，114AA cm =，如图○2，假设昆虫甲从盒内顶点1C 以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲【答案】（1）1A E C →→就是最短路径 （2）5秒【解析】解：（1）如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即11A A D 、、三点共线，111538AA A D +=+= 114D C =根据勾股定理得180AC如图三，将右侧面展开，使右侧面与下面在同一平面内，即1A B B 、、三点共线 1459AB BB +=+=，113B C =根据勾股定理得 190AC =如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即A B C 、、三点共线.437AB BC +=+=，15CC = 根据勾股定理得174AC =74809074cm .在图四中，∵1ABE ACC ∽ ∴1BE AB CC AC =∴457BE=，207BE =如图一，在1BB 上取一点E ，使207BE =，连接AE ，1EC ，1A E C →→就是最短路径（2）如图五，设1C F x =，则3AF x =，5CF x =-在Rt ACF 中，根据勾股定理得222AF AC CF =+即：()()()22236614x x =++-解得：15x =，2172x =-∵0x ＞∴5x =所以，昆虫至少需要5秒才能捉到昆虫甲.点评：在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边即为最短路线长【难度】较难11．如图，A 是高为10cm 的圆柱底面圆上一点，一只蜗牛从A 点出发，沿30°角绕圆柱侧面爬行，当他爬到顶上时，他沿圆柱侧面爬行的最短距离是（ ）A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 40cm【答案】B【解析】试题分析：将圆柱侧面展开，连接AB ,根据三角函数求出AB 的长即可试题解析：解：根据题意得，10BC cm =，30BAC ∠=︒ ∴13010202A BC Sin cmB =÷︒=÷= 故选B ．【难度】一般12．如图，是一个长4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处（长的四等分）有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）A ．B ．29C ．5D ．223+【答案】C【解析】有两种展开方法：①长方体展开成如图所示，连接A B 、，根据两点之间线段最短，225229AB =+=；②将长方体展开成如图所示，连接A B 、，则2234529AB =+=<；故选C ．【难度】较易13．（2015-2016·内蒙古包头）如图，长方体的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为20 cm ，点B 距离C 点 5 cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 cm ．【答案】25【解析】试题分析：要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.试题解析：解：如图：（1）22AB BD AD =+=22152025+=（2）22AB AE BE =+221025529=+=；（3）2222305537AB AC BC =+=+=．所以需要爬行的最短距离是25．【难度】较难14．已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中6,4,8===BF BC AB ，在顶点E 处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF 的中心沿长方体表面爬行到点E ．则此蚂蚁爬行的最短距离为 ．【答案】109 【解析】 试题分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将立体图形转化为平面图形，将E 、O （设面BCSF 的中心为点O ）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是两种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO 的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径试题解析：解：设面BCSF 的中心为点O ，根据题意，最短路径有下列两种情况： ○1如图1，沿SF 把长方体的侧面展开， 蚂蚁爬行的最短距离()()228624255=+÷+÷=○2如图2，沿BF 把长方体的侧面展开， 蚂蚁爬行的最短距离()()2284262109=+÷+÷=∵55109＞109【难度】较难15．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿与蚊子相对．．的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）.【答案】1.3m【解析】试题分析：将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A ’B 的长度即为所求试题解析：解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在EC 上找一点P ，使PA+PB 最短，过点A 作EC 的对称点A ’，连结A ’B ，则A ’B 与EF 的交点P 就是所求的点P因为两点之间，线段最短，A’B 的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离 ∵底面周长为1m∴'0.5A D m =， 1.2BD m = 2222''0.5 1.2 1.3A B A D BD m =+=+=【难度】一般类型三 通过轴对称来转化16.一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A 点爬到桶内的B 点处寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ,点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 的长为15cm ，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少【答案】25cm【解析】试题分析：如图，作点B 关于CD 的对称点B’，连结AB ’， 交CD 于点P ，连结PB ，则最短路线应该是沿AP 、PB ’ 即可试题解析：解：如下图所示，作点B 关于CD 的对称点'B ，连结'AB ，交CD 于点P ，则蚂蚁的爬行路线'A P B →→ 为最短，且'AP PB AP PB +=+在'Rt AEB 中，15AE CD ==，''=12820EB ED DB AC BD =++=+= 由勾股定理知 '25AB =所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm【难度】一般。
一笔画和最短路线问题
（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 欧拉
欧拉出生在牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读 巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世 纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把 数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的 数学家，圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十 七年。 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环 境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁 边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目 失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间， 他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高 斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了 解数学的最好方法．"
“内部”与“外部”
“内部”与“外部”是拓扑 学中很重要的一组概念
以下有趣的故事，将增加你 对这两个概念的理解：
传说古波斯穆罕默德的继承人 哈里发，有一位才貌双全的女儿。 姑娘的智慧和美貌，使许多聪明英 俊的小伙子为之倾倒，致使求婚者 的车马络绎不绝。哈里发决定从中 挑选一位才智超群的青年为婿。于 是便出了一道题目，声明说：谁能 解出这道题，便将女儿嫁给谁！
小 结： 把几何体适当展开成平面图 形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D A 4 C1 1 B1 C 2 B
.
解决“最短”问题的总思路：
化曲为平，化折为直
2022年奥数知识点图形计数
巧数图形例1、数出下图中共有多少条线段。
分析与解：对于基本图形，用最小线段为单位，按序递增。
单拼：3（段），双拼：2（段），三拼：1（段）通过以上旳计数措施可以发现：开小火车旳方式解决。
最小线段（基本线段）旳数量为火车头火车头为基本线段数3段：3+2+1=6（段）或者，线段个数=基本线段数×端点÷2（高阶）基本线段规定：手拉手，肩并肩对于相交旳线段，分别计算各个方向，然后加总例2、数出下页左上图中锐角旳个数。
分析与解：对于基本图形，可以使用开小火车旳方式解决。
最小线段旳数量为火车头。
或者，角旳个数=最小角个数×（最小角个数+1）÷2又，角旳个数=射线旳个数×（射线个数-1）÷2例3、下列各图形中，三角形旳个数各是多少？分析与解：对于基本图形，可以使用开小火车旳方式解决，最小线段旳数量为火车头。
因此，三角形个数=底边线段个数(每个底边基本线段构成一种基本三角形)或者，三角形旳个数=最小三角形个数×（最小三角形个数+1）÷2（高阶）以上旳内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决措施：开小火车！对于多层规整旳图形，应当以单层规整图形为基本，运用技术，算出多层规整图形旳数量。
例4、下图形中各有多少个三角形？分析与解：措施（1）使用分层计数法：图（1）图（2）上层：4+3+2+1=10（个）上层：4+3+2+1=10（个）下层： 0（个）中层： 0（个）上下层：4+3+2+1=10（个）下层： 0（个）上中层：4+3+2+1=10（个）中下层： 0（个）上中下层：4+3+2+1=10总数：10+0+10=20（个）总数：10+10+10=30（个）措施（2）公式法：第一层三角形旳总数×层数公式法：第一层三角形旳总数×层数图（1）图（2）第一层：4+3+2+1=10（个）第一层：4+3+2+1=10（个）层数： 2（层）层数： 3（层）总数：10×2=20（个）总数：10×3=30（个）例5、下图形中各有多少个三角形？分层法：上层：4+3+2+1=10（个）下层： 4（个）（吹泡泡法）上下层：4+3+2+1=10（个）总数：10+4+10=24（个）小TIPS：吹泡泡法例6、右图中有多少个三角形？例7、右图中有多少个三角形？分析与解：对于不规则旳图形，数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单拼三角形1、4、3号，共3个。
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最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。
怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。
一、长方形方格标号：【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B 作为终点划一条由A到B的最短路线。
聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，那么从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。
在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。
例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?AB421 1 1 1 11 14 422 3 4 52 5 9 145 14 28【分析】如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母， 按箭头所示，走1A 有一条路，到1B 有2种办法；再往下到2A 有从1A 走和2B 走两种方法，这样到2A 有3条路线；到2B 可从2A 、1B 走，有5种方法到2B ．过3A 可从2A 、2B 走，共有8条路线；到3B 可走3A 、2B ，这样共有13种走法；经过4A 可从3A 、3B 两条路走，有21种方法都到4B ；到达4B 可以走4A 和3B ，因而有34种路线到达4B ．这样由A 到B ，可经过4A 和4B 两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如图所示．因此，从A 点到B 点的不同路线共有55条．例3：动物园的门票1元1张，每人限购1张。
现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别.用标数法求共有多少种排队方法.如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A 到B 只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法.我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）, 同理拿2元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）. 根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）.二、不规则图形标号：【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D点：从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点有2 种走法。
请教师根据学生的理解情况灵活把握，选择几个点讲透彻。
从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。
从而得到小明可以选择的最短路线共有12条。
分析：教师讲解时要注意阶梯形与前几题的不同。
我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有126种不同的最短路线。
【例5】“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩。
聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？分析：我们采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，在解题时要格外注意是D、G、K、E、H、L这样的点共有几条最短路线，具体是怎么走的，即由哪两点的数之和来确定另一点的。
从北京到黄山最近的道路共有10条。
【例6】大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！分析：（解法1）先假设直接学校到养老院（也就是说可以经过市中心，也可以不经过市中心）对角线法共126条。
再减去必经过市中心的60 条，即得126-60=66（条）。
（解法2）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去（或者认为市中心那一点标“0”），共有66条。
【例7】第三届希望杯五年级2试试题）右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法。
（咱们三年级的小朋友都会做五年级的竞赛题了，真聪明！）分析：本题实际是最短路线问题，从我（1个）、爱（2个）、希（3个）、望（4个）、杯（5个）中组成“我爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有16种。
对角线法，其实最短路线问题还有【附1】类型，教师可选讲。
【附】假如直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村庄。
现在要在公路上建一个汽车站，让两个村子的人到汽车站的路线之和最短，问汽车站建在哪？分析：找到甲村关于AB的对称点C，连接C和乙村交AB的那一点即为汽车站。
课后练习：1、从X到Y最短路线共有多少种不同的走法？分析：对角线法。
共20种。
2.如图，从A到B，最短路线有几条？分析：共有41 条3. 如图，从P点出发到Q点，走最短的路程，有多少种不同的走法？分析：共有115种。
4.小海龟在小猪家玩，它们想去游乐园坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐园共有几条最短路线呢？分析：对角线法，共14 条。
5.（第五届希望杯六年级1试）小君家到学校的道路如右图所示。
从小君家到学校有种不同的走法。
(只能沿图中向右或向下的方向走)分析：10种。
6.从甲到乙最短路线有几条？分析：有11条。
7、学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往东南角的李家村（如图）。
爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？8、在三角形网络的圆圈中，填有“北京欢迎你”的字样，问：可以有多少种不同的方法，沿着连有线段的方向，连成“北京欢迎你”这句话？9、如图，从X到Y最短路线总共有几种走法？分析：共有716种。
10、阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行。
咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？几何计数内容概述几何中的计数问题包括：数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，做到不重不漏地准确数出图形，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力，选择适当的计数方法解决问题.经典分类：一、数线段【例1】数一数，下图中有多少条线段?小朋友们，你有几种方法有序的把它数出来？分析：我们要做到有序思考问题，做到不重、不漏，必须有一个“找”的依据，下面我将给大家展示两种常见的方法：法1：以线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．法2：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们还可以这样分类数，由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF 5条。
由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF 4条．由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF 3条．由4个基本线段构成的线段有：AE、BF 2条．由5个基本线段构成的线段有：AF 1条．总数5+4+3+2+1＝15条．这两个方法你掌握的怎么样啊？细心的你从中能发现什么规律么？从这道例题中我发现了下面这个结论：（结论内容学生版没有，请教师注意帮助学生总结填写）如果一条直线上有n个点，那么线段的条数为：(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+3+2+1=n× (n-1)÷2 (条).为巩固学生对结论的记忆及应用，教师可在此多多举例联系！【例2】有一把奇怪的尺子，上面只有“0”“1”“4”“6”这几个刻度（单位：厘米）。
请你想一想，有这把尺子一次可以画出几条不同长度的线段？分析：把“0”“1”“4”“6”看成4个点；0～1：1厘米； 0～4：4厘米； 0～6：6厘米；1～4：3厘米； 1～6：5厘米； 4～6：2厘米。
共6种不同长度的线段。
【例3】（第三届兴趣杯少年数学邀请赛预赛）数一数，右图中共有线段多少条？分析：讲解此题之前可先向学生介绍一下下题：数一数，右下图中共有多少条线段？分析：数线段要分类数：我把它分成两大类：“个人”和“集体”。
这里面AC、BD是“个人”，BC（其中包含BO、CO）、AD（其中包含AO、DO）是“集体”，思路如下：“个人”：AC、BD ，2个；“集体1”：BC、BO、CO ；“集体2”：AD、AO、DO，所以共有8条线段。
回到例题，观察可知这个图形中都是“集体”，在数的时候我们也可以对“集体”进行分类.【例2】含4个交点的集体：AG、AB中共有线段：(3+2+1)×2=12(条)；【例3】含3个交点的集体：EF，CD，BC，AC中共有线段：(2+1)×4=12(条)；所以总共有线段：12+12=24(条)．【例4】（第七届小数报数学竞赛决赛）右图中共有多少个圆 ? 把紧挨在一起的两个圆称为一对，例如圆A、B、C可以看成3对(分别是A与B，B与C，C与A)，图中这样的圆对共有多少对？分析：添加一些辅助线，如右下图所示，显然“圆对”数就是基本线段的数目：（1+2+3+4+5）×3=45（个）.二、数三角形【例5】如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：仔细观察可知，每个三角形中，有两条边都是由O点引出的，而第三边是AE和FG上的线段，AE和FG上的线段条数就和三角形的个数一一对应了.于是数三角形个数的问题就转化为数线段的问题了.FG上含有的基本线段有：5×4÷2=10（条）；AE上含有的基本线段有：5×4÷2=10（条）；所以共有：10+10=20（个）三角形.【例6】（第三届迎春杯决赛）右图中有多少个三角形？分析：边长为1的正三角形，有16个；边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个；共22个.【例7】数一数，右图中共有多少个三角形?分析：（按所含的基本图形个数分类）只含有一个基本三角形的三角形有6个；恰含两个基本三角形的三角形有3个；恰含三个基本三角形的三角形有6个；恰含四个或五个基本三角形的三角形一个也没有；恰含六个基本三角形的三角形只有1个。