第02章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析-运筹学(1)
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解：用（-1）乘以第二个约束方程两边 min w=x1+2x2 +3x3
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 -3 y2 x1，x2 ， x3 0
该问题的对偶问题： max z = 2 y1 - 3y2
s.t. 2y1- 3y2 1 3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
2 y1 - y2 2 y1，y2 0
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运筹学基础及应用
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
例2.4 写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
A
Ⅰ
2
Ⅱ
2
设备可用机时
12
数（工时）
B
C
产品利润／
（元／件）
4
0
2
0
5
3
16
15
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下：
max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 5x2 ≤15 xj≥0，j=1，2
第 9页
第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
例2.2写出下列线性规划问题的对偶问题
min w=12x1+8x2 +16x3+12x4
s.t. 2x1+ x2 +4x3
2
2x1+2x2 + 4x4 3
x1，x2 ， x3 ， x4 0
min w=12x1+8x2 +16x3+12x4 s.t. 2x1+ x2 +4x3 2 y1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2
(1)
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym
s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
运筹学基础及应用
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山 厂分别以每小时什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
运筹学基础及应用
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为
min w=12y1+16y2+15y3 2y1+4y2 ≥2 2y1 +5y3≥3 yj≥0，j=1，2，3
a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2
(2)
……
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
为其对偶问题，其中 yi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）称为对偶变量， 并称（1）、（2）为一对对称型对偶问题
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原关系
a1n
a2 n
... ...
amn
Min w
b1 b2 ... bm
Max Z = Min w
cn
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
原始问题 max z=CX s.t. AX≥b
X ≥0
max
C
m
A
n
对偶问题 min w=bTY s.t. ATY≤CT
Y ≥0
min
例2.3 写出下列线性规划问题的对偶问题 max z = 10x1 + x2 + 2x3 s.t. X1 + x2 + 2x3 10 y1
4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0
解：该问题的对偶问题： min w = 10 y1 + 20 y2
s.t. y1 + 4y2 10 y1 + 2y2 1
bT
运筹学基础及应用
≥b
n
AT
≤ CT
m
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
2 原问题与对偶问题
运筹学基础及应用
设原 LP 问题为Leabharlann Baidu
则称下列 LP 问题
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
2
3
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
原问题与对偶问题的形式关系
运筹学基础及应用
xj yi
u1 u2 ... um
对偶关系
Max Z
X1 , X2 , … , Xn
a11 a12 ... a21 a22 ... ... ... ... am1 am2 ...
…
c1 c2 ...
Ⅰ（x1）
Ⅱ （x2）
设备可用机时 数（工时）
A（y1） 2 2 12
B（y2） 4 0 16
C（y3） 0 5 15
产品利润／ （元／件）
2
3
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
运筹学基础及应用
2
3
x1
x2
原问题
12
y1
2
2
≤
12
16
y2
4
0
≤
16
15
y3
0
5
≤
15
对偶问题
运筹学方法及其应用
讲授：毕德春 辽东学院信息技术学院信息管理系
第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
运筹学基础及应用
第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
§1 对偶问题的提出
运筹学基础及应用
例2.1常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工 每件Ⅰ产品或Ⅱ产品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问： 充分利用设备机台时，工厂应生产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的 线性规划数学模型。
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运筹学基础及应用
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
例2.5写出下列线性规划问题的对偶问题
min z = 7x1 ﹢4x2 ﹣ 3x3 s.t. ﹣4x1﹢2x2 ﹣ 6x3 ≦24
﹣3x1﹣6x2 ﹣4x3 ≧15 5x1 ﹢3x3 = 30
x1≦0，x2无约束 ， x3 0
2x1+2x2 + 4x4 3 y2 x1，x2 ， x3 ， x4 0
解：该问题的对偶问题：
max z = 2y1 + 3y2
s.t. 2y1 + 2y2 12
y1 + 2y2 8
4 y1
16
4y2 12
y1，y2 0
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运筹学基础及应用
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 y1 -3x1- x2 - 7x3 -3 y2 x1，x2 ， x3 0
该问题的对偶问题： max z = 2 y1 - 3y2
s.t. 2y1- 3y2 1 3y1- y2 2 5y1- 7y2 3 y1，y2 0
2 y1 - y2 2 y1，y2 0
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运筹学基础及应用
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
例2.4 写出下列线性规划问题的对偶问题 min w = x1 + 2x2 + 3x3
s.t. 2x1+3x2 + 5x3 2 3x1+ x2 + 7x3 3 x1，x2 ， x3 0
A
Ⅰ
2
Ⅱ
2
设备可用机时
12
数（工时）
B
C
产品利润／
（元／件）
4
0
2
0
5
3
16
15
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下：
max z =2x1+3x2 2x1+2x2≤12 4x1 ≤16 5x2 ≤15 xj≥0，j=1，2
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
例2.2写出下列线性规划问题的对偶问题
min w=12x1+8x2 +16x3+12x4
s.t. 2x1+ x2 +4x3
2
2x1+2x2 + 4x4 3
x1，x2 ， x3 ， x4 0
min w=12x1+8x2 +16x3+12x4 s.t. 2x1+ x2 +4x3 2 y1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2
(1)
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym
s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
运筹学基础及应用
现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山 厂分别以每小时什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
运筹学基础及应用
设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为
min w=12y1+16y2+15y3 2y1+4y2 ≥2 2y1 +5y3≥3 yj≥0，j=1，2，3
a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2
(2)
……
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
为其对偶问题，其中 yi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）称为对偶变量， 并称（1）、（2）为一对对称型对偶问题
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原关系
a1n
a2 n
... ...
amn
Min w
b1 b2 ... bm
Max Z = Min w
cn
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
原始问题 max z=CX s.t. AX≥b
X ≥0
max
C
m
A
n
对偶问题 min w=bTY s.t. ATY≤CT
Y ≥0
min
例2.3 写出下列线性规划问题的对偶问题 max z = 10x1 + x2 + 2x3 s.t. X1 + x2 + 2x3 10 y1
4x1 +2x2 - x3 20 y2 x1，x2 ， x3 0
解：该问题的对偶问题： min w = 10 y1 + 20 y2
s.t. y1 + 4y2 10 y1 + 2y2 1
bT
运筹学基础及应用
≥b
n
AT
≤ CT
m
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
2 原问题与对偶问题
运筹学基础及应用
设原 LP 问题为Leabharlann Baidu
则称下列 LP 问题
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
2
3
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
原问题与对偶问题的形式关系
运筹学基础及应用
xj yi
u1 u2 ... um
对偶关系
Max Z
X1 , X2 , … , Xn
a11 a12 ... a21 a22 ... ... ... ... am1 am2 ...
…
c1 c2 ...
Ⅰ（x1）
Ⅱ （x2）
设备可用机时 数（工时）
A（y1） 2 2 12
B（y2） 4 0 16
C（y3） 0 5 15
产品利润／ （元／件）
2
3
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
运筹学基础及应用
2
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x1
x2
原问题
12
y1
2
2
≤
12
16
y2
4
0
≤
16
15
y3
0
5
≤
15
对偶问题
运筹学方法及其应用
讲授：毕德春 辽东学院信息技术学院信息管理系
第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
运筹学基础及应用
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
§1 对偶问题的提出
运筹学基础及应用
例2.1常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工 每件Ⅰ产品或Ⅱ产品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问： 充分利用设备机台时，工厂应生产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的 线性规划数学模型。
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
例2.5写出下列线性规划问题的对偶问题
min z = 7x1 ﹢4x2 ﹣ 3x3 s.t. ﹣4x1﹢2x2 ﹣ 6x3 ≦24
﹣3x1﹣6x2 ﹣4x3 ≧15 5x1 ﹢3x3 = 30
x1≦0，x2无约束 ， x3 0
2x1+2x2 + 4x4 3 y2 x1，x2 ， x3 ， x4 0
解：该问题的对偶问题：
max z = 2y1 + 3y2
s.t. 2y1 + 2y2 12
y1 + 2y2 8
4 y1
16
4y2 12
y1，y2 0
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运筹学基础及应用
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第2章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析