2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练

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高三高考数学总复习《解三角形》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇《解三角形》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一利用正、余弦定理解三角形 (3)题型二角的正弦值和边的互化 (4)题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (5)题型四和三角形面积有关的问题 (6)【巩固训练】题型一利用正、余弦定理解三角形 (8)题型二角的正弦值和边的互化 (10)题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (11)题型四和三角形面积有关的问题 (11)高考数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一利用正、余弦定理解三角形例1 在ABC ∆中，cos2=C ，1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．【答案】A【解析】因为213cos 2cos 121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理，得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．例2 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若54cos =A ，135cos =C ，1=a ，则=b ．【答案】1321【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，所以3sin 5A =，12sin 13C =，所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．例3 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =则C =（）.A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即sin (sin cos )sin 04C A A C A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以34A π=.由正弦定理sin sin a c A C =，得23sin sin 4C =π，即1sin 2C =，得6C π=.故选B .【易错点】两角和的正弦公式中间的符号易错【思维点拨】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.题型二角的正弦值和边的互化例1 ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．CD 【答案】B【解析】由正弦定理，得22sin sin sin cos A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b B a A==．例2 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π32 【解析】3sin 5sin A B =，π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π32．例3 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（1）求角B 的大小；（2）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．【答案】（1）3B π=（2）b =，sin(2)14A B -=【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214⨯-⨯= 例4 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （1）求C ；（2）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长．【答案】（1）π3C =（2）5a b c ++= 【解析】(1)()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =∵()0πC ∈， ∴π3C =．⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅ 221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-= ∴ABC △周长为5a b c ++=+题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例1 设ABC ∆，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】∵cos cos sin b C c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴ABC ∆是直角三角形．例2 设ABC ∆，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A bccos <，则ABC ∆为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形【答案】C【解析】由A b c cos <，得A BC cos sin sin <，所以A B C cos sin sin <，即()A B B A cos sin sin <+，所以0cos sin <B A ，因为在三角形中0sin >A ，所以0cos <B ，即B 为钝角，所以ABC ∆为钝角三角形.例3 在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则ABC ∆的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由已知可得AABB B Acos sin sin cos sin sin 22=,B B A A cos sin cos sin =,B A 2sin 2sin =即B A 22=或π=+B A 22,可得B A =或2π=+B A ,所以ABC ∆的形状为等腰三角形或直角三角形.【易错点】诱导公式易出错【思维点拨】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.题型四和三角形面积有关的问题例1 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=，所以222sin cos 2a b c C C ab +-==，所以在ABC ∆中，4C π=．故选C ．例2 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239C ．233 D ．33 【答案】C【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆==例3 ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．【答案】(1)4 (2)3【解析】（1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD从而点D 为BC 的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△ 【易错点】给出三角函数值求角、余弦定理求边【思维点拨】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【巩固训练】题型一利用正、余弦定理解三角形1.在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =A ．B ．CD 【答案】B【解析】由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b ==，sin cos B B +=A 的大小为．【答案】6π【解析】由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=，即sin 21B =，因02B π<<，所以2,24B B ππ==.又因为2,a b ==由正弦定理得2sin sin 4A π=，解得1sin 2A =，而,a b <则04A B π<<=,故6a π=． 3.在ABC ∆中，π4B，BC 边上的高等于13BC ，则cos =A （）.C.10D.310【答案】C【解析】如图所示.依题意，3AB BC =，3AC BC =.在ABC △中，由余弦定理得222cos 2AB AC BC A AB AC +-==⋅222225210BC BC BC BC +--==-故选C. 4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin 24A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】见解析【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 13a B A b ==. （2）由（Ⅰ）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 5. 如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥，sin 3BAC ∠=，AB =3AD =，则BD 的长为_______．C【答案】3【解析】∵sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，2223BD ∴==题型二角的正弦值和边的互化1. 在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠= A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【答案】A【解析】边换sin 后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=． 2. 在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若bc b a 322=-，且B C sin 32sin =，则角A 的大小为________.【答案】6π【解析】由B C sin 32sin =，根据正弦定理得，b c 32=，代入bc b a 322=-得227b a =，由余弦定理得：232cos 222=-+=bc a c b A ，∴6π=A .3.已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos a C +sin 0C b c --=．（1）求A ；（2）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b 、c ．【答案】（1）︒60 （2）2b c == 【解析】（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=，解得：2b c ==．题型三利用正、余弦定理判定三角形的形状1.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】A【解析】由已知可得222c b a <+，02cos 222<-+=abc b a C ，所以△ABC 的形状是钝角三角形 2. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，若()A b a B a c cos 2cos -=-，则ABC ∆的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】∵()A b a B a c cos 2cos -=-，∴由正弦定理得()A B A B A C cos sin sin 2cos sin sin -=-， ∴()()A B A B A B A cos sin sin 2cos sin sin -=-+,∴()0sin sin cos =-A B A ，∴0cos =A 或A B sin sin =，∴ABC ∆为等腰或直角三角形.题型四和三角形面积有关的问题1.ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对的边长．已知3,cos 32a A B A π===+．（1）求b 的值；（2）求ABC ∆的面积．【答案】（1）23=b （2）223 【解析】（1）在ABC ∆中，由题意知sin A ==，又因为2B A π=+，所有sin sin()cos 2B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a Bb A===．（2）由2B A π=+得，cos cos()sin 23B A A π=+=-=-，由A B C π++=，得()C A B π=-+．所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(=13=．因此，ABC ∆的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=． 2. ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+．（1）求B ；（2）若2b =，求△ABC 面积的最大值．【答案】（1）4π（21 【解析】（1）因为cos sin a b C c B =+，所以由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+，所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+，即cos sin sin sin B C C B =，因为sin C ≠0，所以tan 1B =，解得B =4π；（2）由余弦定理得：2222cos4b ac ac π=+-，即224a c =+，由不等式得：222a c ac +≥，当且仅当a c =时，取等号，所以4(2ac ≥，解得4ac ≤+，所以△ABC的面积为1sin 24ac π(44≤⨯+1，所以△ABC 1． 3. 设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ，且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +．（1）求角A 的大小；（2）若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长．【答案】(1) 3π=A (2) 27=AD【解析】（1）,,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=1cos 23A A π⇔=⇔=（2）2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔==+⇒=在Rt ABD ∆中，2AD ===． 4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （1）求证：2A B =；（2）若ABC △的面积24a S =，求出角A 的大小.【答案】(1) 见解析 (2)π2A =或π4A = 【解析】（1）由正弦定理得sin +sin 2sin cosBC A B =，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是()B A B -=sin sin ,又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以()B A B --=π 或B A B =-，因此=πA （舍去）或2A B =，所以2.A B =（2）由42a S =，得21sin 24a ab C =.由正弦定理得1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，得sin cos C B =．又Β，()0,πC ∈，所以π2C B =±．当π2B C +=时，由πA B C ++=，2A B =，得π2A =；当π2C B -=时，由πA B C ++=，2A B =，得π4A =．综上所述，π2A =或π4A =．新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。

(新高考)2020高考数学大题考法专训(一)解三角形

大题考法专训（一）解三角形A 级——中档题保分练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －cos 2C ＝sin 2A ＋sin A sinB ．(1)求角C 的大小；(2)若A ＝π6，△ABC 的面积为43，M 为BC 的中点，求AM . 解：(1)由cos 2B －cos 2C ＝sin 2A ＋sin A sin B ，得sin 2C －sin 2B ＝sin 2A ＋sin A sin B ．由正弦定理，得c 2－b 2＝a 2＋ab ，即a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12. 因为0＜C ＜π，所以C ＝2π3. (2)因为A ＝π6，所以B ＝π6. 所以△ABC 为等腰三角形，且顶角C ＝2π3. 因为S △ABC ＝12ab sin C ＝34a 2＝43，所以a ＝4. 在△MAC 中，AC ＝4，CM ＝2，C ＝2π3，所以AM 2＝AC 2＋CM 2－2AC ·CM ·cos C ＝16＋4＋2×4×2×12＝28，所以AM ＝27. 2．(2019·长沙统考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a .解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A 2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A 2，所以sin A ＝cos A 2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A2，所以sin A 2＝12，故A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12.又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝7，sin C ＝265. (1)若cos B ＝57，求b 的值； (2)若a ＋b ＝11，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝57，且B ∈(0，π)，所以sin B ＝267，根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，及c ＝7，sin C ＝265，解得b ＝5. (2)在△ABC 中，因为sin C ＝265，所以cos C ＝±15. 当cos C ＝15时，根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，及a ＋b ＝11，c ＝7，得49＝121－2ab －2ab 5，所以ab ＝30，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝11，ab ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝6 6. 当cos C ＝－15时，根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，及a ＋b ＝11，c ＝7，得ab ＝45，此时方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝11，ab ＝45无解．综上，△ABC 的面积为6 6.B 级——拔高题满分练1．(2019·福州质检)在Rt △ABC 中∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，CD ＝5，CE ＝3，且△EDC 的面积为3 6.(1)求边DE 的长；(2)若AD ＝3，求sin A 的值．解：(1)如图，在△ECD 中，S △ECD ＝12CE ·CD sin ∠DCE ＝12×3×5×sin∠DCE ＝36，所以sin ∠DCE ＝265，因为0°＜∠DCE ＜90°，所以cos ∠DCE ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2652＝15，所以DE 2＝CE 2＋CD 2－2·CE ·CD ·cos∠DCE ＝9＋25－2×3×5×15＝28，所以DE ＝27.(2)因为∠ACB ＝90°，所以sin ∠ACD ＝sin(90°－∠DCE )＝cos ∠DCE ＝15，在△ADC 中，由正弦定理，得AD sin ∠ACD ＝CDsin A ，即315＝5sin A，所以sin A ＝13. 2．(2019·昆明质检)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c －a cos B )＝3b .(1)求角A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由2(c －a cos B )＝3b 及正弦定理得2(sin C －sin A cos B )＝3sin B ，所以2sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝3sin B ，即2cos A sin B ＝3sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又0＜A ＜π，所以A ＝π6. (2)因为a ＝2，所以由正弦定理得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝14bc ＝4sin B sin C . 因为C ＝π－(A ＋B )＝5π6－B ，所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ，所以S △ABC ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos B ＋32sin B ＝2sin B cos B ＋23sin 2B＝sin 2B －3cos 2B ＋ 3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＋ 3. 因为0＜B ＜5π6，所以－π3＜2B －π3＜4π3，所以－32＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3≤1，所以0＜S △ABC ≤2＋ 3.即△ABC 面积的取值范围为(0,2＋3]．3.如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD ⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)2. (1)求CD ；(2)求∠ABC . 解：(1)∵S △BCD ＝12BD ·BC ·sin∠CBD ＝3(2＋3)2， BC ＝23，BD ＝3＋6，∴sin ∠CBD ＝12. ∵∠ABC 为锐角，∴∠CBD ＝30°.在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos∠CBD ＝(23)2＋(3＋6)2－2×23×(3＋6)×32＝9， ∴CD ＝3.(2)在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，即23sin ∠BDC ＝3sin 30°，解得sin ∠BDC ＝33. ∵BC ＜BD ，∴∠BDC 为锐角，∴cos ∠BDC ＝63.在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD ，即ACcos ∠BDC ＝3sin ∠CAD .① 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，即ACsin ∠ABC ＝23sin ∠BAC .② ∵AC 平分∠BAD ，∴∠CAD ＝∠BAC .由①②得sin ∠ABC cos ∠BDC ＝323，解得sin ∠ABC ＝22. ∴∠ABC 为锐角，∴∠ABC ＝45°.。

2020届高考数学：解三角形常见题型及技巧学案(含习题)

高考解三角形常见题型及技巧【基础知识】1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。

变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。

变式2：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。

2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

（边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。

变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab。

变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边）(1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理(2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin Aa 。

(3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。

4．三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h 。

(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R 。

(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)。

5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。

2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C 2。

2020全国高考数学考点题型分类与解析09 解三角形

2
6.（2020•天津卷）在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ．已知
． a = 2 2,b = 5,c = 13
（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；
（Ⅲ）求
sin
2A+
π 4
的值．
【解析】（Ⅰ）在 ABC 中，由a = 2 2,b = 5,c = 13 及余弦定理得
2AC ⋅ AB
2
3
（）由余弦定理得：， 2
BC 2 = AC 2 + AB2 − 2 AC ⋅ AB cos A = AC 2 + AB2 + AC ⋅ AB = 9
即(
AC
+
AB )2
−
AC
⋅
AB
=
9
.Q
AC
⋅
AB
≤
AC
+ 2
AB
2
（当且仅当 AC = AB 时取等号），
， ∴9
=
(
AC
=
sin
∠ADC
⋅ cosC
+
cos
∠ADC
⋅ sin
C
=
3 5
×
25 5
+
−
4 5
×
5 25 =.
5 25
由于，所以 π ∠DAC ∈ 0, 2
cos ∠DAC = 1− sin2 ∠DAC = 11 5 . 25
所以 tan ∠DAC = sin ∠DAC = 2 . cos ∠DAC 11
2020 全国高考数学考点题型分类与解析
09 解三角形
1.（2020•北京卷）在 ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和 ABC 的面积．

专题04 解三角形解三角形问题中的2020高考套路之理数

专题04 解三角形知识必备一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形（1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、三角形的面积 1．三角形的面积公式设ABC △的三边为a ，b ，c ，对应的三个角分别为A ，B ，C ，其面积为S .（1）12S ah = (h 为BC 边上的高)；（2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c =++(r 为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ．核心考点考点一直接利用正、余弦定理解三角形【例1】（正弦定理）设ABC △的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若60,75,8,A B c =︒=︒=则a =A ．47B ．46C ．45D ．42【答案】B【解析】60,75,45,Q A B C =︒=︒∴=︒由正弦定理sin sin a c A C =得8,46sin 45sin 60aa =∴=︒︒. 故选B ．【例2】（余弦定理）已知,,a b c 分别是ABC △的三个内角,,A B C 所对的边，且1,3,a b ==1,2A CB +=则c = A ．2B ．1C ．3D ．12【答案】B【例3】（正、余弦定理的综合）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若3sin 2sin A B =，43b c =，则cos B =A ．154B ．34C ．31516D ．1116【答案】D【解析】因为3sin 2sin A B =，所以由正弦定理得32a b =，又因为43b c =，所以643a b c ==，令2,3,4a m b m c m ===，所以由余弦定理得222416911cos 22416m m m B m m +-==⨯⨯，选D ．备考指南1．利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用． 2．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等．（2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+；()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=.考点二三角形解的个数或形状的判断【例4】（三角形个数的判断）在ABC △中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，若a =2，b =6，A =45°，则满足条件的三角形有A ．1个B ．2个C ．0个D ．无法确定【答案】B 【解析】∵2sin 632b A =⨯=，∴sin b A a b <<，∴满足条件的三角形有2个，故选B ．备考指南判断三角形解的个数的两种方法1．代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． 2．几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.【例5】（三角形形状的判断）在ABC △中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】B备考指南利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：1．“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.2．“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.考点三三角形的面积与周长问题【例6】（直接求面积）在ABC △中，60,2,3,A AB AC =︒==则ABC △的面积等于A ．233 B ．433C ．332D ．3【答案】C【解析】在ABC △中，60,2,3,A AB AC =︒==所以ABC △的面积等于11sin 222AB AC A ⋅⋅=⨯⨯ 333sin 602︒=，故选C ．【例7】（三角形周长问题）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知5b =，tan 1B =，22c =．（1）求cos C 的值；（2）求ABC △的周长．【解析】（1）因为在ABC △中，tan 1B =，所以4B π=，又5b =，22c =，所以由正弦定理可得得sin 2sin 5c B C b ==，所以2221cos 1()55C =±-=±，因为c b <，所以21cos 5C =．（2）由余弦定理知B ac c a b cos 2222-+=，所以225a =+2(22)2422a -⨯，即24170a a --=，解得221a =+或221a =-（舍去），所以ABC △的周长为22152272122+++=++．备考指南1．求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考点四三角形中的范围或最值问题【例8】（范围问题）已知c b a ,,是ABC △的内角C B A ,,所对的边，A C c C a A a cos sin 22sin sin 2+=，则角A 的取值范围是 .【答案】（0，π3]【例9】（最值问题）ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(cos )sin (cos )a C b B c b a B -=--⋅sin C ．（1）求A 的大小；（2）若ABC △的面积为23，求a 的最小值．【解析】（1）∵(cos )sin (cos )sin a C b B c b a B C -=--，∴C b C c B b C B C B a sin sin sin )sin cos cos (sin -+=+，即C b C c B b C B a sin sin sin )sin(-+=+， ∴C b C c B b A a sin sin sin sin -+=，由正弦定理得，bc c b a -+=222，由余弦定理得，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∵0πA <<， ∴π3A =. （2）由（1）知，ABC S △=3πsin 21bc =23， ∴bc =2，∴3πcos 2222bc c b a -+==bc c b -+22≥bc bc -2=bc =2，当且仅当c b =时取等号， ∴2-≤a （舍）或2≥a ，∴m in a =2.备考指南求最值或范围时,注意公式的选择.1．求取值范围时,用正弦定理转化为解三角函数值域.2．求最大或最小值时,用余弦定理和均值不等式.注意均值不等式只能求一端的最值,有时由两边之和大于第三边求另一个.能力突破1．已知ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若sin sin 3sin B A a cC a b-+=+，则角B 的大小为 A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】D【解析】由正弦定理得3b a a c c a b -+=+，化简得2223cos 22a cb B ac +-=-=，故5π6B =. 【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查利用正弦定理进行边角互化的方法.由于题目所给已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式，考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值，由此求得B 的大小. 2．已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22223a b c ab +=+，则sin C = A ．73B ．23C ．23D ．223【答案】D【解析】由已知可得，22223a b c ab +-=，由余弦定理可得2221cos 23a b c C ab +-==.所以222sin 1cos 3C C =-=.3．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60C =︒，4a b =，13c =，则ABC △的面积为 A ．3B ．132C ．23D ．13【答案】A4．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若1cos cos sin sin 2B C B C -=-. （1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积为23S =，且23a =，求b c +的值. 【解析】（1）由题意知1cos cos sin sin cos()2B C B C B C -=+=-，因为πA B C ++=，所以πB C A +=-，所以1cos()cos(π)cos 2B C A A +=-=-=-，则1cos 2A =. 因为0πA <<，所以π3A =. （2）因为13sin 2324S bc A bc ===，所以8bc =. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，则2212b c bc =+-，所以222()3122436b c b c bc bc +=+-+=+=，解得6b c +=. 5．如图所示，在四边形ABCD 中，2D B =，且2AD =，6CD =，3cos 3B =．（1）求ACD △的面积；（2）若43BC =，求AB 的长．【解析】（1）因为3cos 3B =，0B <<π，所以6sin 3B =，又2D B =，所以22sin sin 22sin cos 3D B B B ===，所以1sin 422ACD S AD CD D =⋅⋅⋅=△．（2）由余弦定理可得222cos 43AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=，因为43BC =，所以222222(43)(43)3cos 23243AB BC AC AB B AB BC AB +-+-===⋅⨯，解得8AB =．高考通关1．（2017山东理）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.2．（2018新课标Ⅱ理）在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．42 B ．30 C ．29D ．25【答案】A 【解析】因为所以，选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.3．（2018新课标Ⅲ理）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c+-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.4．（2017新课标Ⅰ理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得33b c +=. 故△ABC 的周长为333+.【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.5．（2017新课标Ⅱ理）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=．（1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin2BB =，故()sin 41cos B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．你都掌握了吗？有哪些问题？整理一下！。

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==．又2ABC S ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=．所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=.【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练专题06《解三角形》

8
【解析】如图，连结 A1B2 ，
∵ A2 B2
10 2 ， A1A2
20 30 2
60
10 2 ，
B2 A2 A1
60
∴ A1A2B2 是等边三角形， B1A1B2 105 60 45 ，
在 A1B2B1 中，由余弦定理得 :
2
2
2
B1B2 A1B1 A1 B2 2 A1B1 A1B2 cos 45
（Ⅱ）由Ⅰ知 c
ab 2，
cos C
a2 b2 c2 2ab
(a b)2 ( a b )2 2
2ab
3a b 1 1
(
)
8 b a 4 2,
所以
5
当且仅当 a=b 时，等号成立 . 1
所以 cosC 的最小值为． 2
【总结升华】有关三角形中的三角函数问题，灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化，从而达到解题的目的 .
（ 1）∵
10 sin 45o
52 sin B
1 sin B ，
2
法一： ∵ 00 B 1800 ， ∴ B 30 或 B 150 ，
①当 B 30 时， C 105 ， c 5( 3 1) ； ②当 B 150 时， A B 180 （舍去） . 法二： ∵ b a ，∴ B A ，即 00 B 450 ， ∴ B 30 ， C 105 ， c 5( 3 1) . （ 2）∵ b2 a2 c2 2accosB (2 3) 2 ( 6 2) 2 2 2 3 ( 6 2)cos45 12 ( 6 2) 2 4 3( 3 1) 8
b sin B
sin B
∴ sin A = sin A ， sin B cos A

专题17 解三角形-2020年高考数学(理)(全国Ⅱ专版)(原卷版)

专题17解三角形【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴△周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==113sin 222ABC S ac B ==⨯=△【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．BC ．D ．【答案】A【解析】因为2253cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.【命题意图】三角函数主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以选择、填空、解答题的形式出现，属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，可能与三角函数的图象和性质等交汇命题，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.【应试技巧】在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则1．正弦定理：sin sin sin a b c==A B C.2．常见变形sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======（）2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++（）3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（）3．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，4．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===5．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ．（2）三角形的面积公式：S =21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =21ca sin B.6．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4==.sin sin sin a b cR R ABC A B C（）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径7．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例）（1）从代数角度来看：①若sin sin 1b AB=a>，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b A B=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2.注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论.（2）从几何角度来看：①当A 为锐角时，一解一解两解无解②当A 为钝角或直角时，一解一解无解无解8．利用余弦定理解三角形的步骤【解题经验分享】1．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．2．在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．3．利用正弦定理与余弦定理解题时，经常用到转化思想一个是把边转化为角，另一个是把角转化为边，，具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标，对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便，根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论，利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角，但计算麻烦．1．（2020·河北新乐市第一中学高三）已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC 的面积A ．12B ．1C ．D ．22．（2020·安徽省高三三模）在ABC 中，若3,120AB BC C ==∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．43．（2020·横峰中学高三）在ABC 中，已知45A ∠=︒，AB =，且AB 边上的高为则sin C =A ．1010BC ．5D ．54．（2020·广西壮族自治区高三）已知ABC 中，BC 边上的中线3AD =，4BC =，60BAC ∠=︒，则ABC ∆的周长为A 4+B ．4+C ．4+D ．45．（2020·山东省高三）在ABC 中，cos cos A B +=，AB =当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．26．（2020·陕西省洛南中学高三）在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π7．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：+c2a b S p +==；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的△ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为A ．B ．C ．D ．128．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b a cosC sinC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，c 3=，则角C =A ．π3B ．π6C ．3π4D ．π49．（2020·麻城市实验高级中学高三）锐角ABC ∆中，角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，若()sin 04A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，1b c ==，则角C 的大小为A ．12πB ．6πC ．3πD ．512π10．（2020·麻城市实验高级中学高三）《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为A ．2114mB ．257mC ．254m D ．248m 11．（2020·福建省高三）设ABC 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知()4cos cos a c B b C -=，则cos B =______．12．（2020·青海省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b =，120A =︒，则ABC 的面积为______．13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A π=，6a =，b =，则C =_______．14．（2020·四川省阆中中学高三二模）在ABC 中，若()22235a c b+=，则cos B 的最小值为______．15．（2020·全国高三月考）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2cos cos 0a c B b C ++=，且4ac =，则ABC 的面积为______．16．（2020·内蒙古自治区高三二模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2B Cb a B +⋅=⋅，且2c =，则锐角ABC 面积的取值范围是______．17．（2020·赣榆智贤中学高三）在ABC 中角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且352115cos cos cos bc A ac B ab C==，则cos C 的值为______．18．（2020·河南省高三月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222cos cos b a a B b A -=+，ABC ∆的周长为)51，则ABC ∆面积的最大值为______．19．（2020·福建省厦门外国语学校高三）如图所示，三个全等的三角形ABF 、BCD 、CAE V 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=______．20．（2020·江苏省高三）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其接圆半径为R .已知1c =，且△ABC 的面积()()22sin sin S R B A B A =-+，则a 的最小值为______．21．（2020·山东省高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =______，ABC ∆面积的最大值为______．22．（2020·西藏自治区高三二模）在ABC 中，4a =，5b =，6c =，则cos A =________，ABC 的面积为________．23．（2020·浙江省杭州高级中学高三）在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，135o B ∠=，AB =，AC =，5CD =，则sin ACB ∠=________，AD =________.24．（2020·广东省高三月考）已知锐角ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos b A A C =2cos A，则tan A =______；若2a =，则b c +的取值范围为______．25．（2020·浙江省高三）已知在ABC 中，1cos3B =，AB =，8AC =，延长BC 至D ，使2CD =，则AD =______，sin CAD ∠=______．26．（2020·山东省高三三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos sin a b C c B -=．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，sin 3sin A C =，求BC 边上的高．27．（2020·天津高三二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a 2+c 2＝b 2105+ac .（1）求cosB 及tan 2B 的值；（2）若b ＝3，A 4π=，求c 的值.28．（2020·定远县育才学校高三）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos c a B -=.（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC 面积的取值范围.29．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小；（2）若a =，2b =，求ABC ∆的面积.30．（2020·全国高三月考）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且57b c =，4cos 5A =，ABC 的面积21S =.（1）求边b 和c ；（2）求角B .31．（2020·广东省高三）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22sin 1cos22A B C +=-.（1）求出角C 的大小；（2）若ABC ，求ABC 的周长的最小值.32．（2020·湖北省高三）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积S 2224b c a +-=．（1）若a =b =cos B ．（2）求sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ）的最大值．33．（2020·四川省泸县五中高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.34．（2020·六盘山高级中学高三）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c +的最大值.35．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模）在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin b A B=.（1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.36．（2020·定西市第一中学高三）在锐角ABC 中，a =，________，（1）求角A ；（2）求ABC 的周长l 的范围.注：在①(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A A m n =-= ，且12m n ⋅=- ，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(,()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.37．（2020·天津耀华中学高三一模）在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b ¹.（Ⅰ）求cos B 及a 的值；（Ⅱ）求cos 23B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.38．（2020·山东省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B C A B C+=+（1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC 的面积S =（2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围．39．（2020·广东省金山中学高三三模）已知ABC 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C()2求ABC 面积的最大值．40．（2020·梅河口市第五中学高三）已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，()sin sin sin sin a A C b B c C -=-，点D 在边AB 上，1BD =，且DA =.（1）求角B 的大小；（2）若BCD 的面积为2，求b 的值.41．（2020·江苏省高三三模）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若5(sin C sin B)5sin A 8sin B a b c--=+．（1）求cosC 的值；（2）若A ＝C ，求sinB 的值．42．（2020·湖南省高三三模）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，()cos (cos cos )b a C c A B -=-，22b ac =．（1）求cos C ；（2）若ABC c ．43．（2020·云南省云南师大附中高三）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且三个内角A 、B 、C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC 为钝角三角形，且a c >，求21cos cos 2222A A C -+的取值范围.44．（2020·巩义市教育科研培训中心高三）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒.（1）若2a b =，求tan A 的值；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且1CD =，求ABC 的面积的最小值.45．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=.（1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.46．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin c b A b -=．（1）证明：2A B =．（2）若3cos 4B =，求sinC 的值．47．（2020·甘肃省高三）如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s 3c in os 3b C C a-=.（1）求A ；（2）若点P 是线段CA 延长线上一点，且3PA =，2AC =，6C π=，求PB .48．（2020·黑龙江省哈师大附中高三）在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且直线x C =为函数()22cos sin cos f x x x x x =--图象的一条对称轴．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若kc a b ≥+恒成立，求实数k 的最小值．49．（2020·甘肃省西北师大附中高三）在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且)()2cos cos b A C π--=.(Ⅰ)求A 的值；(Ⅱ)若角,6B BC π=边上的中线AM =，求ABC ∆的面积.50．（2020·福建省厦门一中高三）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，33CD AB ==．（1）若CA CD =，且tan ABC ∠=ABC 的面积S ；（2）若2cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，求BD 的长．51．（2020·全国高三三模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别等于a ，b ，c ，列举如下五个条件:①sin sin 2B C a B b +=；sin A A +=；③cos A +cos2A =0；④a =4；⑤△ABC 的面积等于.（1）请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角A 大小的条件来求角A ；（2）在（1）的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求△ABC 周长的取值范围52．（2020·山东省高三二模）在①222b ac a c +=+，②cos sin B b A =cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_________，4A π=，b =（1）求角B ；（2）求ABC 的面积.。

2020年高考理科数学解三角形题型专题训练(1)

2020年高考数学《解三角形》题型归纳与训练1．【2018年全国Ⅱ】在ABC △中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．B ．CD ．2．【2018年全国Ⅲ】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π63．【2017年山东卷】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =4．【2019年全国Ⅱ卷】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．5．【2019年浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．6．【2018年浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sinB =___________，c =___________．7．【2017年浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．8．【2018年全国Ⅰ】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .9．【2017年全国Ⅰ】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.10．【2017年全国Ⅱ】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．11．【2017年全国Ⅲ】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 0A A +=，a ，b =2.（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积.12.【2019年北京卷】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（1）求b ，c 的值；（2）求sin （B –C ）的值．3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．14．【2019年江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin(2B π+的值．15．【2018年天津卷】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.16．【2018年北京卷】在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（1）求∠A ；（2）求AC 边上的高5,6a c ==，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值．18．【2017年北京卷】在△ABC 中，A ∠=60°，c =37a .（1）求sin C 的值；（2）若a =7，求△ABC 的面积.19.【2019年江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．20．【2017年江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．21.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2B AC +=．(1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．22.在△ABC 中,角A、B、C 所对的边分别为a,b,c，已知a=2，2sinA=sinC=4时，求b 及c 的长23.在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a cos B.（I）证明：A =2B ；（II）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.24．在Rt△ABC 中∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，CD ＝5，CE ＝3，且△EDC 的面积为3 6.(1)求边DE 的长；(2)若AD ＝3，求sin A 的值．25．(2017·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值；(2)求sin(2B －A )的值.26．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,a b c ≠=,22cos cos cos cos .A B A A B B -=-（1）求角C 的大小；（2）若4sin 5A =,求ABC ∆的面积27.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I）求C ；（II）若c ABC △=的面积为332，求ABC △的周长．28.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知21sinsin sin 24B C B C -+=.(1).求角A 的大小；(2).若a =，ABC ∆的面积为2，求b c +的值．29．(2019·长沙统考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C 2.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a .30.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x 2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值.31.已知△ABC 中，AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.32.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.33.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,cos sin 0a C C b c --=.(1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．34.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2c-a=2b cos A.(1)求角B 的大小;(2)若b=23,求a+c 的最大值.35.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cosC .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．36.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且C a A c b cos cos )2(=-,（1）求角A 的大小；（2）若4=a ，求ABC ∆周长的最大值。

2020年高考数学(理科)考点与题型全归纳(第四章三角函数与解三角形)

第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12>0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A. 3 B ．－ 5 C. 5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案： 39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ，令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4<α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式一、基础知识1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π2(k ∈Z)．2．诱导公式诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π2＋α(k ∈Z )”中的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2＋α(k ∈Z )”中，将α看成锐角时，“k ·π2＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .考点一三角函数的诱导公式[典例] (1)已知f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为________． (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)＝－sin α(－cos α)(－cos α)⎝⎛⎭⎫－sin αcos α＝cos α，所以f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos π3＝12. (2)sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. [答案] (1)12 (2)－23[题组训练]1.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，解得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.法二：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55. 答案：－552. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2. 答案：23.已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－33考点二同角三角函数的基本关系及应用[典例] (1)若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165C.85D ．－85(2)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12[解析] (1)sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan α＋1tan α－1＋1tan 2α＋1，将tan α＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.[答案] (1)A (2)D[题组训练]1．(2018·甘肃诊断)已知tan φ＝43，且角φ的终边落在第三象限，则cos φ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选D 因为角φ的终边落在第三象限，所以cos φ<0，因为tan φ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2φ＋cos 2φ＝1，sin φcos φ＝43，cos φ<0，解得cos φ＝－35.2．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋sin θcos θ＝________.解析：sin 2θ＋sin θcos θ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θtan 2θ＋1＝32＋332＋1＝65.答案：653．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.解析：由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，即sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2，从而sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25.答案：254．已知－π<α<0，sin(π＋α)－cos α＝－15，则cos α－sin α的值为________．解析：由已知，得sin α＋cos α＝15，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，整理得2sin αcos α＝－2425.因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝4925，且－π<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以cos α－sin α>0，故cos α－sin α＝75.答案：75[课时跟踪检测]A 级1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34. 2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值为( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13. 3．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0D.12－32解析：选A 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋π3 ＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.4．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.5．(2018·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.6．在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 将3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )化为3cos A ＝3sin A ，则tan A ＝33，则A ＝π6，将cos A ＝－3cos(π－B )化为 cos π6＝3cos B ，则cos B ＝12，则B ＝π3，故△ABC 为直角三角形．7．化简：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________.解析：1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝sin 22θcos 2θ·sin 2θcos 2θ＝sin 2θ.答案：sin 2θ8．化简：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝________. 解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·(－sin α)·cos α ＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．(2019·武昌调研)若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝________.解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sin α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：211．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.12．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：因为sin α＝255>0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α ＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.①当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.②当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.B 级1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3D ．－ 3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74，所以cos α－sin α＝－72，所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：∵sin θ－2cos θ＝－25，∴sin θ＝2cos θ－25，∴⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1， ∴5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，即⎝⎛⎭⎫cos θ－35⎝⎛⎭⎫5cos θ＋75＝0. 又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝35，∴sin θ＝45，∴sin θ＋cos θ＝75.答案：753．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求： (1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋2×m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.故当sin θ＝32，cos θ＝12时，θ＝π3；当sin θ＝12，cos θ＝32时，θ＝π6.第三节三角函数的图象与性质一、基础知识1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1).函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π (k∈Z )．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2 (k∈Z )．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．第一课时三角函数的单调性考点一求三角函数的单调区间[典例] (2017·浙江高考)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由题意，f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 则f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z)，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．[题组训练]1．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为________．解析：作出y ＝|tan x |的示意图如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π. 答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎦⎤π2，π 2．函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的单调递增区间为________．解析：g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，欲求函数g (x )的单调递增区间，只需求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间．由2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z)，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f (x )＝3cos 2x －2sin 2(x －α)，其中0<α<π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－1.(1)求α的值；(2)求f (x )的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3－2sin 2⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3－2cos 2α＝－3－1，整理得cos 2α＝12. 因为0<α<π2，所以cos α＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f (x )＝3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝3cos 2x －1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝3cos 2x ＋sin 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1. 易知函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令t ＝2x ＋π3，则函数f (x )可转化为y ＝2sin t －1.显然函数y ＝2sin t －1与y ＝sin t 的单调性相同，当函数y ＝sin t 单调递减时， 2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)．考点二求三角函数的值域(最值)[典例] (1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. [答案] (1)B (2)1[变透练清]1.(变条件)若本例(1)中函数f (x )的解析式变为：f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，故f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－332，3.答案：⎣⎡⎦⎤－332，32.(变条件)若本例(2)中函数f (x )的解析式变为：函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x ，则f (x )的最大值为________．解析：设t ＝sin x ＋cos x (－2≤t ≤2)，则sin x cos x ＝t 2－12，y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y ＝t ＋12t 2－12取最大值为2＋12.故f (x )的最大值为22＋12.答案：22＋123．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π考点三根据三角函数单调性确定参数[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，则ω的取值范围是________．[解析] (1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，则f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0<a ≤π4， ∴a 的最大值是π4.(2)法一：因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，2π3(ω>0)，所以ωx ∈⎣⎡⎦⎤－πω2，2πω3，因为f (x )＝2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－πω2≥－π2，2πω3≤π2，ω>0，故0<ω≤34.法二：画出函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)的图象如图所示．要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，需⎩⎨⎧－π2ω≤－π2，2π3≤π2ω，ω>0，即0<ω≤34.[答案] (1)A (2)⎝⎛⎦⎤0，34[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．[题组训练]1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，故T ＝π，所以ω＝2πT＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 答案：322．（2019·贵阳检测）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，ω＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，54[课时跟踪检测]A 级1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)． 2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2D ．2－ 3解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.4．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，πB.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 C.⎣⎡⎦⎤0，2π3 D.⎣⎡⎦⎤2π3，π解析：选A 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又因为f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，π. 5．(2018·北京东城质检)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最小值为( ) A ．1 B.1－32C.32D ．1－ 3解析：选A 函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6. 当2x －π6＝5π6时，函数f (x )取得最小值为1.6．(2019·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 7．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：要使函数有意义，需sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，由函数的图象得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，故原函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)．答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 8．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．解析：因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.答案：59．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤3π2，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，故f (x )的最大值为2，最小值为－3，它们之和为2－ 3. 答案：2－ 310．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：法一：由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二：由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案：3211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.12．已知函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．解：(1)因为函数f (x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，所以函数f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．B 级1．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21， b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2， c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，所以sin π3<sin 10π21<sin π2，即c <a <b . 答案：c <a <b2．(2018·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x ) 的图象关于直线x ＝π4对称， ∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， ∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π， ∴2πω≥π，∴ω≤2，又∵ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1. 答案：13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，有{ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，所以a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，有{ b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.第二课时三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点一三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ，所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. [答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________．解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ，因为函数f (x )为奇函数，所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－ 3。

解三角形(总结+题+解析)

解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。

2020年高考江苏版高考数学专题五解三角形

∴AD=
2bc cos b
c
2
,
∵AD=3 3 ,∴bc=3(b+c).② 由①②解得bc=48.
那么S△ABC= 12 cbsin∠BAC=12 3.
答案 12 3
方法技巧
方法一三角形中的几何计算问题的解法
求解三角形中几何计算问题,要首先确定与未知量相关联的量,再利用正、余弦定理及三角形面积公式等知识来解决.同时还要注意以下两点: 1.对于几何问题中的解三角形要注意运用几何图形的数量关系,比如角的互补关系,线段之间的长度关系等. 2.有时可能还要适当添加辅助线,达到图形变换的目的,以便能利用正、余弦定理列方程求解.
a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C
余弦定理
a2=② b2+c2-2bccos A ;
b2=③ a2+c2-2accos B ;
c2=④ a2+b2-2abcos C
b2 c2 a2
cos A= 2bc
;
a2 c2 b2
cos B= 2ac ;
a2 b2 c2
sin PEM sin PME
所在以△PPNME=中 PE,s由ins正inP弦MP定EEM理=得si n 23P42N
θ

= 4
sin θ
= PE
cos θ
,
米,
sin PEN sin PNE
所以PN= PE sin PEN sinBC=
.
解析 ∵∠BAC= ,a=4 7 ,
3
∴bc=b2+c2-112.①
∵∠BAC的平分线交边BC于点D,
∴S△ABD= c ·AD·sin BAC ,S△ADC= b ·AD·sin BAC ,

2020年高考数学(理数)解答题强化专练——解三角形含答案

（理数）解答题强化专练——解三角形一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A=sin B且b=c．（1）求角A的大小；（2）若a=2，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．2.已知函数的最大值为1．（1）求t的值；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，△ABC的面积为，且f（A）=，求b+c的值．3.如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB=14，BD=6，．（1）若C＞B，且cos（C-B）=，求角C；（2）若△ACD的面积为S，且，求AC的长度．4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a+b=2c cos B，．（1）求角C；（2）延长线段AC到点D，使CD=CB，求△ABD周长的取值范围．5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（sin A+sin B）（a-b）+b sin C=c sin C．（1）求A；（2）若b=2c，点D为边BC的中点，且，求△ABC的面积．6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．7.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=，且=．（1）求△ABC外接圆的半径；（2）若c=3，求△ABC的面积．8.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求角；（2）若,的面积为，求的周长.9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且sin B=3sin C，求△ABC的周长.10.△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若，当△ABC的面积最大值．答案和解析1.【答案】解：（1）由sin A=sin B及正弦定理知a=b，又b=c，由余弦定理得cos A==，A∈（0，π），A=；（2）由（1）知B=C=，又a=2，在△ABC中，由正弦定理知：AB=2，在△ABD中，由正弦定理及∠ABD=，∠BDC=解得AD=-1，故S△ABD===．【解析】（1）由正弦定理及其余弦定理，求出角A即可；（2）由（1）求出B，C，再由及∠ABD=，∠BDC=，求出AD，再求出面积．考查正余弦定理的应用，中档题．2.【答案】解：（1）=，∵f（x）的最大值为1，∴，解得，（2）∵，∴，又△ABC是锐角三角形，得，．∴，解得，由三角形面积公式得，，可得bc=4，由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A，可得8=（b+c）2-3bc，（b+c）2=20，而b+c＞0，∴．【解析】（1）对f（x）化简，利用f（x）最大值为1，求出t；（2）由，求出A，利用面积公式，结合余弦定理求出b+c．考查两角和与差公式的应用，正弦函数的性质，三角形面积公式，正余弦定理等，中档题．3.【答案】解：（1）∵AB=14，BD=6，，∴•=AB•BD•cos B=14×6×cos B=66，∴解得cos B=，∵△ABC中，C＞B，且B+C+∠ABC=π，∴B，∴sin B==，∵C-B∈（0，π），cos（C-B）=，∴cos C=cos[（C-B）+B]=cos（C-B）cos B-sin（C-B）sin B=-=，在△ABC中，∵C∈（0，π），∴C=．（2）∵△ACD的面积，∴CD•CA•sin C=AC•CD•cos C，∴sin C=cos C，∵△ACD中，C∈（0，π），∴sin C≠0，则cos C≠0，可得tan C=1，可得C=，在△ABC中，由正弦定理可得，又∵sin B=，AB=14，sin C=sin=，∴=，解得AC=5．【解析】（1）利用平面向量数量积的运算可求cos B的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，由已知利用两角和的余弦函数公式可求cos C的值，结合C的范围可求C的值．（2）由已知利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求tan C=1，可得C=，在△ABC中，由正弦定理可得AC的值．本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．4.【答案】解：（1）根据余弦定理得，整理得：a2+b2-c2=-ab，由余弦定理可得cos C===-，由于C∈（0，π），可得C=．（2）由于C=，即∠BCD=，又CD=CB，可得△BCD为等边三角形，可得BD=CD=a，所以△ABD的周长L=2a+b+，由正弦定理，所以：a=2sin A，b=2sin B，因为：A=-B，又B∈（0，），可得cos B∈（，1），所以2a+b=4sin A+2sin B=4sin（-B）+2sin B=4（cos B-sin B）+2sin B=2cos B，所以，所以周长L=2a+b+的取值范围是（2，3）．【解析】（1）由已知利用余弦定理可得cos C=-，结合范围C∈（0，π），可求C=．（2）由已知可得△BCD为等边三角形，可得BD=CD=a，可求△ABD的周长L=2a+b+，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求2a+b=2cos B，根据B的范围，根据余弦函数的性质可求，即可求得周长的范围．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角函数恒等变换的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．5.【答案】解：（1）由（sin A+sin B）（a-b）+b sin C=c sin C，可得a2-b2+bc=c2，由余弦定理可得，故．（2）因为AD为△ABC的中线，所以，两边同时平方可得，故28=c2+b2+bc．因为b=2c，所以c=2，b=4．所以△ABC的面积．【解析】（1）直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．（2）利用余弦定理和向量的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】解：（1）由及正弦定理可得，整理可得，sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos A，即sin（A+B）=sin C=2sin C cos A，因为sin C≠0，所以cos A=，所以A=，（2）由余弦定理可得，=，所以b2+c2=1+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号，所以bc≤1，即bc的最大值为1，此时三角形的面积取得最大值S==．【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解cos A，进而可求A；（2）由余弦定理结合基本不等式可求bc的最大值，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理及和差角公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中等试题．7.【答案】解：（1）∵=，∴=，由正弦定理可得，，所以（a-b）b=（c+a）（c+b-a），整理可得，c2+b2-a2=-bc，由余弦定理可得，cos A==-所以A=，由正弦定理可得2R==，即外接圆半径R=；（2）由c2+b2-a2=-bc，a=，c=3可得，9+b2-13=-3b，解可得，b=1，所以S△ABC===．【解析】（1）由已知结合正弦定理余弦定理及和差角公式进行化简即可求解A，然后再由正弦定理即可求解；（2）结合（1）中的三边关系时即可求解b，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．8.【答案】解：（1）由正弦定理有，化简得，∵，∴,又，∴,（2），即，，又由余弦定理有，，则的周长为.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. （1）根据已知及正弦定理的计算，求出角A的值，（2）根据已知及余弦定理，三角形面积公式的计算，求出△ABC的周长.9.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴由余弦定理可得2bc cos A=bc，∴cos A=，∴在△ABC中，sin A==．（Ⅱ）∵△ABC的面积为，∴bc sin A=bc=，即bc=6，又∵sin B=3sin C，∴由正弦定理可得b=3c，∴b=3，c=2，∴由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=6，∴a=，∴△ABC的周长为2+3+．【解析】本题考查了余弦定理，同角三角函数的基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cos A的值，进而根据同角三角函数的基本关系式可求sin A的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b=3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．10.【答案】解：（1）根据题意，△ABC中，，即=，即a=b cos C+c sin B，由正弦定理可得：sin A=sin B cos C+sin C sin B，则有sin（B+C）=sin B cos C+sin C sin B，变形可得：sin B cos C+cos B sin C=sin B cos C+sin C sin B，化简可得：sin B=cos B，所以；（2）由（1）的结论，B=，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2ac cos B，则有2=a2+c2-ac，即有2+ac=a2+c2，又由a2+c2≥2ac，则有2+ac≥2ac，变形可得：ac≤=2+，则S=ac sin B=ac≤．即△ABC的面积最大值为．【解析】（1）根据题意，将变形可得=，结合正弦定理变形可得sin A=sin B cos C+sin C sin B，进而可得sin B cos C+cos B sin C=sin B cos C+sin C sin B，即sin B=cos B，分析可得tan B=1，分析可得B 的值，（2）根据题意，由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B，即2=a2+c2-ac，变形可得2+ac=a2+c2，结合基本不等式的性质可得ac≤=2+，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦定理、余弦定理的形式．。

2020年高考数学(理)之三角函数与解三角形专题10 高考常考题型综合解析(解析版)

三角函数与平面向量10 高考常考题型综合解析一、具体目标：高考对本内容的考查主要有：(1)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.(2)三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量结合考查，构成基础题. 二、知识概述：1.正、余弦定理、三角形面积公式 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 2.常见三种函数的图象与性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x【考点讲解】图象单调性在⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π (k ∈Z )上单调递增；在⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝ ⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π (k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0 (k ∈Z )；对称轴：x＝k π(k ∈Z )对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )【温馨提示】1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到. 2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. 3.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.4.对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向.5.已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【真题分析】1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考查函数的性质与图象，由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ．【答案】D2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是（） A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．2sin cos ++x xx x综上所述，①④正确，故选C ．本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．【答案】C3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x | 【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图3【答案】A4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（）A ．15B ．55C ．33D ．255【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ．【答案】B5.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是（）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④ 【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=，因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<，故④正确.③函数()f x =sin （5x ωπ+）的增区间为：πππ2π2π252k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<.取k =0，当125ω=时，单调递增区间为71ππ248x -<<，当2910ω=时，单调递增区间为73ππ2929x -<<，综上可得，()f x 在π0,10⎛⎫⎪⎝⎭单调递增.故③正确. 所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D. 【答案】D6.【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2-B ．2-C ．2D ．2【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=；又12π()sin ,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()24g =，∴2A =，∴()2sin 2f x x =，3π() 2.8f =故选C.【答案】C7.【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是（） A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π 【解析】因为()πcos sin 2cos 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ，因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.【答案】A 8.【2018年高考天津】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（） A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选A. 【答案】A9.【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（） A ． B ． C ．2A B = D ．2B A = 【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A.【答案】A10.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . a b c 2a b =2b a =【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭；当1tan 3α=-时，上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+.综上，π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21011.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得23,23c c ==-（舍去），所以243a c ==，113sin 43236 3.222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 【答案】6312．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【答案】1225，721013.【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【答案】π6-14.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ，因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-15.【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==， ∴1115cos ,sin 14164DBC DBC ∠=-∠=-=， ∴115sin 22BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得10cos 4BDC ∠=或10cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD 面积为152，10cos 4BDC ∠=．【答案】1510,2416.【2019年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-=，即631cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()2cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()2sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=．【答案】（1）60A ︒=；（2）62sin 4C +=.17.【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 18.【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得215sin 1cos 4B B =-=，从而15sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故15371357sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ+⎛⎫+=+=-⨯-⨯=-⎪⎝⎭．【答案】（1）14-；（2）35716+-.19．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=.因此道路PB 的长为15（百米）. （2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】本题考点是三角形内角和公式，两角和的正弦公式，辅助角公式及正弦定理的应用. 由题意可知,π=++C B A 所以有()C A B +=sin sin ，所以原等式可整理成:【模拟考场】()sin sin (sin cos )0++-=A C A C C ,也就是：sin cos cos sin sin sin sin cos 0++-=A C A C A C A C ，即()sin sin cos 2sin sin 04π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭C A A C A ，因为是三角形△ABC ，.0π或≠C 所以有43π=A .由正弦定理得：C c A a sin sin =，得.6,21sin π==C C 得【答案】B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1D ．3【解析】解法1：(余弦定理)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得3＝1＋c 2－2c ×1×cos π3＝1＋c 2－c ，所以c 2－c －2＝0.所以c ＝2或－1(舍去)．法2：(正弦定理)由a sin A ＝b sin B ，得3sin π3＝1sin B ，所以sin B ＝12，因为b <a ，所以B ＝π6，从而C ＝π2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，所以c ＝2.【答案】B3.函数y =2xsin2x 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，故选D.【答案】D4.设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2，π)单调递减【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确；函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【答案】D5.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（） A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．【答案】A6.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【答案】D7.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【解析】因为0A π<<，所以215sin 1cos 4A A =-=，又115sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【答案】88.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求cos C 的最小值. 【解析】()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭，化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 9.在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=o ，45A ∠=o ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC . 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以223cos 1255ADB ∠=-=. （2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠225825225=+-⨯⨯⨯25=.所以5BC =. 【答案】（1）235；（2）5. 10. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-.所以2π3B C +=，故π3A =.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得33b c +=.故△ABC 的周长为333+.【答案】（1）23；（2）333+. 11. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin2BB =，故()sin 41cos B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =．又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+=所以2b =．【答案】（1）15cos 17B =；（2）2b =．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A B a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 【答案】（1）33c =；（2）255. 13.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为107,40AC AM ==，所以2240(107)30MC =-=，从而3sin 4MAC =∠，记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=．设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=．于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【答案】（1）16 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20 cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．。

2020年高考数学(理)必刷题《16 解三角形》(解析版)

专题四三角函数16解三角形1．在ABC △中，若2sin b a B =，则A 等于 A ．30︒或60︒ B ．45︒或60︒ C ．120︒或60︒D ．30︒或150︒【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=，即b =2a sin B ，得sin B =2sin A sin B ， ∵sin B ≠0，∴在等式两边同时除以sin B 得1sin 2A =，又A 为三角形的内角，则A =30°或150°．故选D ．【名师点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时在求值时注意三角形内角的范围．利用正弦定理化简已知的等式，根据B 为三角形的内角，得到sin B 不为0，在等式两边同时除以sin B ，得到sin A 的值，然后再由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到A 的度数．2．在锐角三角形ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ．若2sin 3a B b =，则A =A ．π3 B ．π4 C ．π6D ．π12【答案】A【解析】由2sin 3a B b =及正弦定理可得2sin sin 3sin A B B =，因为sin 0B ≠，所以3sin 2A =，又A 为锐角，所以π3A =．故选A ．3．ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(sin sin )()(sin sin )A B a b C B c +-=-，则角A =A ．π6B ．π3 C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】已知(sin sin )()(sin sin )A B a b C B c +-=-，由正弦定理可得222a b c bc -=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==，所以A =π3．故选B ．【名师点睛】利用正弦定理将角转化为边，化简后利用余弦定理求角A 即可．解三角形问题多为边角互化，主要用到的知识点是正、余弦定理以及三角形面积公式，在化解过程中要根据已知条件的提示进行合理转化，从而达到解决问题的目的．4．如图，有一建筑物OP ，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40米的基线AB ，在点A 处测得点P 的仰角为30︒，在点B 处测得点P 的仰角为45︒，若30AOB ∠=︒，则建筑物OP 的高度h =A ．20米B ．202米C ．203米D ．40米【答案】D【解析】由题可得3tan30h OA h ==︒米，tan45hOB h ==︒米，在AOB △中，由余弦定理可得240=22(3)23cos30h h h h +-⨯⨯⨯︒，解得40h =米．故选D ．5．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π3C =，7c =，3b a =，则ABC △的面积为 A ．334B ．234-C ．2D ．234+ 【答案】A【解析】由余弦定理得：2222π71cos 7322a b a b ab ab +-==∴+-=，，又3b a =，所以221133310731,3,sin 132,224ABC a a a b S ab C -=∴==∴==⨯⨯⨯=△．故选A ．6．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A aB b=，则ABC △是 A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C 【解析】根据cos cos A aB b=及正弦定理可得sin cos cos sin A B A B =，所以sin cos cos sin A B A B -=sin()0A B -=，因为A ，B 为三角形内角，所以0A B -=，即A B =，所以ABC △为等腰三角形．故选C ．7．已知ABC △的一个内角为120︒，且三边长构成公差为2的等差数列，则ABC △的面积为 A ．1534B ．1532C ．303D ．153【答案】A【解析】由题意可设ABC △的三边长分别为a ，2a +，4a +，由余弦定理可得22(4)a a +=+222()(2cos120)a a a +-+︒，解得3a =，所以ABC △的面积S =11532sin120(24)a a +︒=．故选A ．8．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222s in s i n s i n 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =A ．3B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以2220a b c +-=，即C 为直角，因为2220a c b ac +--=，所以2221πcos ,223a cb B B ac +-===，因此πcos 13a c ==．故选B ．【名师点睛】正弦定理、余弦定理在解三角形中，求基本量起关键作用，但是它在三角形中相等关系的转化中也有十分重要的作用，主要有两个转化方向，一是把条件中的边化为角，二是把条件中的角的关系化为边．根据条件222sin sin sin 0A B C +-=，角化边，可得C 为直角；由条件2220a c b ac +--=，并结合余弦定理，可得π3B =，运用直角三角形边角关系可求结果． 9．已知ABC △的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为 A ．24-B ．24 C ．23D ．23-【答案】A【解析】根据题意设三角形的三边长分别为a ，2a ，2a ， ∵22a a a >>，∴长度为2a 的边所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得222(2)(2)2cos 422a a a a aθ+-==-⋅⋅．故选A ．10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，32c =，tan 2tan B A =，则ABC△的面积为 A ．2B ．3C ．32D ．42【答案】B【解析】由tan 2tan B A =可得sin 2sin cos cos B AB A=，即2sin cos cos sin A B A B =，所以sin sin cos C A B =cos sin 3sin cos A B A B +=，由正弦定理可得3cos c a B =，因为2a =，32c =，所以2cos 2B =，所以2sin 2B =，所以ABC △的面积为112sin 2323222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△．故选B ．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，1b =，若ABC △的面积为3，则c =______________．【答案】4【解析】∵A =60°,b =1,面积为3，则12bc sin A =12×1×c ×32=3，∴解得：c =4．【名师点睛】由已知利用三角形面积公式可求c ．在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上已知角A ，所以我们需抓取S =12bc sin A ． 12．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 3tan A c bB b-=，则c o s A =______________．【答案】13【解析】因为tan 3tan A c b B b -=，所以sin cos 3sin sin cos A BC B A=-，所以sin()3sin cos A B C A +=，所以1cos 3A =．13．在ABC △中，已知sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是______________．【答案】π(0,]3【解析】因为sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，所以222a b c bc ≤+-，即222bc b c a ≤+-．所以2221cos 22b c a A bc +-=≥，因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．【名师点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论sin ,sin 22a b A B R R==，将角化为边．由正弦定理将sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 变为222b c b c a≤+-，然后用余弦定理推论可求得2221cos 22b c a A bc +-=≥，进而根据余弦函数的图象性质可求得角A 的取值范围．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积3S =，60A =︒，1b =，则a =______________．【答案】13 【解析】因为3S =，60A =︒，1b =，所以11sin 1sin60322bc A c =⨯⨯⨯︒=，解得4c =．在ABC △中，由余弦定理可得22214214cos6013a =+-⨯⨯⨯︒=，所以13a =．15．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos (3)cos b C a c B =-，则B cos 的值为______________．【答案】31【解析】因为cos (3)cos b C a c B =-，所以由正弦定理可得sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-，即sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-，即sin 3sin cos A A B =，又sin 0A ≠，所以． 16．在ABC △中，已知3AB =，2BC =，若1cos()2C A -=，则sin B =______________．【答案】5314【解析】在线段AB 上取点D ，使得CD AD =，设AD x =，则3BD x =-，因为cos()C A -=12，即1cos 2BCD ∠=，所以在BCD △中，由余弦定理可得221(3)442x x x -=+-⨯，解得54x =，在BCD △中，由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠，因为54CD =，734BD x =-=，3sin 2BCD ∠=，所以53sin 14B =． 17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3s i n ()c o s42A B π+==，2b =，则ABC △的面积为______________．31cos =B【答案】31-或23+【解析】因为3sin()cos 42A B π+==，所以43A ππ+=或32π，6B π=，所以12A π=或125π．当12A π=时，4C 3π=，由正弦定理可得sin 22222sin 2b Cc B ==⨯⨯=，此时1162sin 22231224ABC S bc A -==⨯⨯⨯=-△；当12A 5π=时，12C 5π=，由正弦定理可得sin 622262sin 4b Cc B +==⨯⨯=+，此时1162sin 2(62)23224ABC S bc A +==⨯⨯+⨯=+△．综上，ABC △的面积为31-或23+．18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 21tan A cB b+=-，若ABC △的面积为3，则a 的最小值为______________．【答案】23【解析】由tan 21tan A c B b +=-可得sin()2sin cos A B cB A b+=-，又A B C ++=π，所以sin 2sin cos C c B A b =-，由正弦定理可得2cos c cb A b=-，所以1cos 2A =-，所以3sin 2A =．因为ABC △的面积为3，所以113sin 3222bc A bc =⨯=，即4bc =，所以222312a b c bc bc =++≥=，当且仅当2b c ==时取等号，所以23a ≥，故a 的最小值为23．19．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为S ，且1a =，2241S b c =+-，则ABC △外接圆的面积为A ．4πB ．2πC ．πD ．π2【答案】D【解析】由余弦定理得，2222cos b c a bc A +-=，1a =，所以2212cos b c bc A +-=，又1sin 2S bc A =，2241S b c =+-，所以有14sin 2cos 2bc A bc A ⨯=，即s in c o s A A =，所以π4A =，由正弦定理得12πsin 4R =，得22R =，所以ABC △外接圆的面积为π2．故选D ．【名师点睛】解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活选择，它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依据，把正、余弦定理，三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路．由余弦定理及三角形面积公式可得2222cos b c a bc A +-=和1sin 2S bc A =，结合条件2241S b c =+-，可得sin cos A A =，进而得π4A =，由正弦定理可得结果． 20．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，a c= A ．2B ．3C ．33D ．22【答案】C【解析】由题可得222+202a b c b a ab -+⋅=，即22220a b c +-=，即2222c a b -=，所以cos B =22222333322444442a cb ac a c a c ac ac c a c a +-+==+≥⋅=，当且仅当344a c c a =，即33a c =时取等号，所以当cos B 取最小值时，33a c =，故选C ．21．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，且75C =︒，2a =，则ABC △的面积等于 A ．332- B ．332+ C ．334- D ．334+ 【答案】D【解析】因为A ，B ，C 成等差数列，所以2A C B +=，又180A B C ++=︒，所以60B =︒，因为75C =︒，所以45A =︒，由正弦定理sin sin a b A B =，可得2sin 45sin 60b=︒︒，解得3b =，所以ABC △的面积11633sin 23sin 75sin(3045)2224ABC S ab C +==⨯⨯︒=︒+︒=△，故选D ．22．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量),(a b =m 与cos () ,sin A B =n 平行．若5a =，2b =，则c =A ．1B ．2C ．22D ．3【答案】D【解析】因为m n ，所以sin cos 0a B b A -=，由正弦定理可得sin sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=，即tan 1A =，因为0A <<π，所以4A π=，因为5a =，2b =，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得222(5)(2)22cos 4c c π=+-⨯，即2230c c --=，解得3c =（负值舍去），故选D ．23．已知ABC △为钝角三角形，其中角C 为钝角，若2π3A C +=，则AB BC的取值范围是 A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞【答案】B【解析】根据题意，ABC △为钝角三角形，2π3A C +=，由正弦定理得，2π2π2πsin()sin cos cos sin sin 311333sin sin sin 2tan 2A A AAB C BC AA A A --====⨯+，又由C 为钝角，且2π3A C +=，所以π06A <<，则30tan 3A <<，则31122tan 2AB BC A =⨯+>，则AB BC 的取值范围是(2,)+∞．故选B ．【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，涉及三角函数的恒等变形，关键是对ABBC的变形．根据题意，结合正弦定理分析可得2π2π2πsin()sin cos cos sin sin 333sin sin sin A A A AB C BC AA A--====32⨯11tan 2A +，分析A 的范围，可得tan A 的范围，进而代入上式中计算可得答案． 24．已知锐角ABC △的内角,,ABC 的对边分别为,,a b c ，若3c =，36sin a A =，ABC △的面积3S =，则a b +=A ．21B ．17C ．29D ．5【答案】A 【解析】因为36sin a A =，所以sin 36A a =，由正弦定理可得sin 33sin 362c A C a ==⨯=，因为ABC △是锐角三角形，所以π3C =．因为ABC △的面积13sin 324S ab C ab ===，所以4ab =．由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即2213a b +=，又4ab =，所以222()2132421a b a b ab +=++=+⨯=，所以21a b +=．故选A ．25．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222s i n s i ns i n A B Cc+-s i n s i n c o s c o s A Ba Bb A=+，若4a b +=，则c 的取值范围为 A ．(0,4) B ．[2,4) C ．[1,4)D ．(2,4]【答案】B【解析】∵222sin sin sin A B Cc+-sin sin cos cos A B a B b A =+， ∴根据正弦定理可得222sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin A B C A B A BC A B B A C+-==+， ∴222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，即222a b c ab +-=，∵4a b +=，∴22222(4)(4)312163(2)4c a a a a a a a =+---=-+=-+， ∵04a <<，∴2416c ≤<，即24c ≤<．故选B ．26．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π3A =，2b =，33ABC S =△，则2sin sin 2sin a b cA B C+-=+-A ．273B ．4213 C ．4D ．624+ 【答案】B【解析】由三角形面积公式可得：1sin 332bc A =，即1π2sin 3323c ⨯⨯⨯=，解得：6c =，结合余弦定理可得22222π2cos 26226cos 283a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，则27a =，由正弦定理有4212sin sin sin 3a b c R A B C ====，所以22(sin sin 2sin )4212sin sin 2sin sin sin 2sin 3a b c R A B C R A B C A B C +-+-===+-+-．故选B ．【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．首先求得外接圆半径，然后求解2sin sin 2sin a b cA B C+-+-的值即可．27．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为 A ．33(,)22B ．3(,3)2C ．3(,3]2D ．3(,3)2【答案】A【解析】由()()(23)a b c a c b ac +++-=+可得22()(23)a c b ac +-=+，即2223a cb ac +-=，所以2223cos 22a cb B ac +-==，所以6B π=，56C A π=-，所以5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-5533cos sin cos cos sin cos sin 3sin()66223A A A A A A πππ=+-=+=+，又02A π<<，506A π<-2π<，所以32A ππ<<，所以25336A πππ<+<，所以333sin()262A π<+<，故cos sin A C +的取值范围为33(,)22．故选A ． 28．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若π3s i n ()32A C ++=，且2a c +=，则ABC △周长的取值范围是 A ．(2,3] B ．[23,4)+ C ．(4,5]D ．[5,6)【答案】B【解析】因为在三角形ABC 中，πA C B +=-，所以ππ4π3sin()sin(π)sin()3332A CB B ++=-+=-=，由诱导公式及三角形中B 的取值范围可求得2π3B =，由余弦定理可得2222π2cos3b ac ac =+-，化简得2222()b a c ac a c ac =++=+-，即22()ac a c b =+-，根据不等式可知2()4a c ac +≤，结合2a c +=，代入上述等式可得23b ≥，因为b 为边长，所以为正数，即3b ≥，又根据三角形构成原则，两边之和大于第三边，所以2b a c <+=，所以b 的范围为32b ≤<，所以周长的取值范围为234a b c +≤++<，故选B ．【名师点睛】本题考查了解三角形的综合应用，余弦定理、不等式及三角形的边角关系，属于中档题．由三角形的内角和定义，结合条件求得角B 的值；利用余弦定理求得ac 与b 的等量关系，再根据不等式即可求得b 的取值范围，且满足三角形三条边的大小关系即可．29．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2cos b A a B =，且cos 3cos c A a C =，则cos A =______________．【答案】22【解析】因为cos 2cos b A a B =，cos 3cos c A a C =，所以由正弦定理可得sin cos 2sin cos B A A B =，sin cos 3sin cos C A A C =，整理得tan 2tan B A =，tan 3tan C A =，所以2tan tan 5tan tan tan()1tan tan 16tan B C AA B C B C A +=-+=-=---，又tan 0A ≠，所以25116tan A=--，解得tan 1A =（负值舍去），所以4A π=，所以2cos 2A =． 30．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC △的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c+的最大值为______________．【答案】1424【解析】由22232a b c =+可得22223b c a +=，所以222222223cos 22b c b c b c a A bc bc++-+-===22222222663b c b c bc bc +≥=，所以21914tan 11cos 22A A =-≤-=，当且仅当2b c =时取等号，所以2222sin sin tan 1422(2)12cos 1224S bc A bc A A b c b c bc A ===≤++．故222S b c +的最大值为1424． 31．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3(cos cos )2sin a B b A c C +=，1b =，则c 的取值范围为______________．【答案】3(,3)2【解析】由已知条件及余弦定理可得2222223()22a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=2sin c C ，即32sin c c C =，所以3sin 2C =．又ABC △为锐角三角形，所以3C π=．由正弦定理可得sin 3sin 2sin b C c B B==．由02B π<<且2032B ππ<-<可得62B ππ<<，所以1sin 12B <<，所以33322sin B <<，即332c <<．故c 的取值范围为3(,3)2． 32．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 3cos 6cos a b cA B C==，则c o s c o s c o s A B C =______________．【答案】110【解析】由2cos 3cos 6cos a b c A B C ==及正弦定理可得sin sin sin 2cos 3cos 6cos A B CA B C==，即tan tan 23A B =tan 6C=，设tan 2A m =，则tan 3B m =，tan 6C m =，可知tan A ，tan B ，tan C 同号，则角A ，B ，C 均为锐角，在ABC △中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+=-+=--，即tan tan tan A B C ++=tan tan tan A B C ，所以31136m m =，解得116m =，所以11tan 3A =，11tan 2B =，tan 11C =，所以35cos 10A =，215cos 15B =，3cos 6C =，所以3521531cos cos cos 1015610A B C =⨯⨯=． 33．如图，设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos sin a C c A b B +=，且π6CA B ∠=．若点D 是ABC △外一点，2,3DC DA ==，则当四边形ABCD 面积最大值时，sin D =______________．【答案】277【解析】因为cos cos sin a C c A b B +=，所以由正弦定理可得2sin cos cos sin sin()sin sin A C A C A C B B +=+==，所以sin 1B =，所以90B ∠=︒，又π6CAB ∠=，所以13,22BC AC AB AC ==，由余弦定理可得22223cos 233AC D +-=⨯⨯，可得21312cos AC D =-，四边形面积111323sin 2222S D AC AC =⨯⨯⨯+⨯⨯33sin +(1312cos )8D D =- 1333271333sin cos =9sin()38248D D D ϕ=+-+++，其中3tan 2ϕ=-， π2D ϕ+=时四边形面积最大，此时π123tan tan()2tan 3D ϕϕ=-==-，可得27sin 7D =．34．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C ．35．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在ABC △中，5cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．42B ．30C ．29D ．25【答案】A【解析】因为，所以，则，故选A ．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．36．【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ． B ． C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A ．【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形．首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到．解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视． 37．【2016年高考全国Ⅲ卷理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A ．31010B ．1010 C ．1010-D ．31010-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，a b c 2a b =2b a =2a b =所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD+-+-===-⋅⨯⨯，故选C ．38．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为______________．【答案】63【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得23,23c c ==-（舍去），所以243a c ==，113sin 43236 3.222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．39．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =______________，cos ABD ∠=______________．【答案】12257210【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=, 225AC =AB +BC =，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =．ππ72cos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=．【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想．在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解．解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征． 40．【2018年高考浙江卷】在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若7a =，2b =，60A =︒，则sin B =______________，c =______________．【答案】2173【解析】由正弦定理得sin sin a A b B =，所以2π21sin sin ,377B =⨯= 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以2742c c =+-，解得3c =（负值舍去）．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c ．41．【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______________，cos ∠BDC =______________．【答案】151024【解析】取BC 中点E ，由题意可知AE BC ⊥，在△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1115cos ,sin 14164DBC DBC ∠=-∠=-=， ∴115sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得10cos 4BDC ∠=或10cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD 的面积为152，10cos 4BDC ∠=．。

专题05 解三角形-2020年高考数学多题一解篇(文理通用)(原卷版)

2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之解三角形篇【知识储备】1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C . (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．4、在△ABC 中，常有以下结论： (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.（2）在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A ，B ，C ≠π2)．（3）∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。

（4）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

（5）sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cos A ＋B 2＝sin C2。

（6）tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C 。

（7）∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B 。

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2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）15cos 17B =（2）2b =．【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin2BB =，故sin 4(1cos )B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =（舍去），15cos 17B =.[（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14sin 217ABC S ac B ac ∆==．又2ABC S ∆=，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+1715362(1)4217=-⨯⨯+=．所以2b =．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】π3【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. —【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________. 【答案】34【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。

题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列(1)若2b c ==，求ABC ∆的面积|(2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ∆的形状【答案】(1)32 (2)等边三角形【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π，b 2＝a 2＋c 2－2accosB (3) 所以3cos44)32(22πa a -+= 解得4=a 或2-=a (舍去)所以323sin 2421sin 21=⨯⨯==∆πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4)由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。

因此a ＝c 从而A ＝C (5)。

由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝C ＝3π所以△ABC 为等边三角形．【易错点】等差数列，等比数列容易混淆【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了. 例2在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。

【答案】等边三角形【解析】2sin sin sin A B C =⇒2a bc =，又2abc =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=，因而b c =；由2a b c =+得a b =。

所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。

【易错点】条件的转化运用【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；：（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理题型三与三角形中有关的不等式问题例1△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A. （1）求C B sin sin ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】（1）32sin sin =C B ；（2）333+=∆ABC C 【解析】.32sin sin .sin 3sin sin sin 21.sin 3sin 21,sin 3sin 21)1(2=∴===B C A AB C A aB c A a B ac 由正弦定理得即由题设得.333.33,93)(,9.8,sin 3sin 21.3,32.21)cos(,21sin sin cos cos )1()2(2222+=∴=+∴=-+=-+===∴=+∴-=+-=-∆ABC C c b bc c b bc c b bc Aa A bc A C B C B C B C B 即由余弦定理得即又即得由题设及 ππ 【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系~【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.例2已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,cos sin 0a C C b c +--=.(1)求A 的大小；(2)若a ＝7,求△ABC 的周长的取值范围．【答案】(1)3π(2)(14,21] 【解析】(1)由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin A C A C A C C ⇔+=++1cos 1sin()62A A A π⇔-=⇔-=663A A πππ⇔-=⇔=；(2)由已知：0b >,0c >,7b c a +>=,）由余弦定理22222231492cos()3()()()344b c bc b c bc b c b c b c π=+-=+-≥+-+=+当且仅当b ＝c ＝7时等号成立,∴2()449b c +≤⨯,又∵b ＋c ＞7,∴7＜b ＋c ≤14, 从而△ABC 的周长的取值范围是(14,21]．【易错点】求周长范围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题.【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 例3△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2c-a=2b cos A. (1)求角B 的大小; (2)若b=2,求a+c 的最大值.【答案】(1)B=3π（2）4【解析】:(1)∵2c-a=2b cos A ,…∴根据正弦定理,得2sin C-sin A=2sin B cos A.①∵A+B=π-C ,∴sin C=sin(A+B )=sin B cos A+cos B sin A ,代入①式,得2sin B cos A=2sin B cos A+2cos B sin A-sin A ,化简得(2cos B-1)sin A=0.∵A 是三角形的内角,∴sin A>0,∴2cos B-1=0,解得cos B=,∵B ∈(0,π),∴B=3π. (2)由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得12=a 2+c 2-ac.∴(a+c )2-3ac=12,∴12≥(a+c )2-(a+c )2,当且仅当a=c=2时取等号,∴a+c ≤4【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解. (1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos B-1)sin A=0,结合sin A>0得到cos B ,从而解出B ;(2)由余弦定理,可得出12=a 2+c 2-ac.再利用基本不等式求最大值.【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2) !(3)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(4) 涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解. 题型四解三角形的实际应用例1在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( ) 【答案】 D【解析】因∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19.【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型 —【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题例2设甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是（）.A.B. ,C. 10m D. 【答案】D【解析】设甲楼为DA ，乙楼为BC ，如图，在20R ,60,20,tan60203,40cos60t ABD ABD BD m AD BD m AB m ∆∠==∴====，30,,120CAB ABC AC BC ACB ∠=∠=∴=∠=，在ABC ∆中，设AC BC x ==，由余弦定理得：2222?·cos AB AC BC AC BC ACB =+-∠，即2221600x x x =++，解得x =分别是，【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题【巩固训练】。