2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用

例1ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2

sin()8sin

2

B

A C +=． (1)求cos B

(2)若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】（1）15

cos 17

B =

（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2

sin 8sin

2

B

B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得2

17cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15

cos 17B =.

[

（2）由15cos 17B =

得8sin 17B =，故14

sin 217

ABC S ac B ac ∆==

． 又2ABC S ∆=，则17

2

ac =

． 由余弦定理及6a c +=得2

2

2

2

2cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+

1715

362(1)4217

=-⨯

⨯+=． 所以2b =．

【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出

例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】

π3

【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23

B B A

C C A A C B B B =+=+=⇒=

⇒=. —

【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。

【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。

例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝2

3π，则S △ABC ＝________. 【答案】3

4

【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1

sin B ＝3sin 2π3

＝2，即sin B ＝1

2，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围

【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。 题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列

(1)若2b c ==，求ABC ∆的面积

|

(2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ∆的形状

【答案】(1)32 (2)等边三角形

【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝

3π

，

b 2＝a 2＋

c 2－2accosB (3) 所以3

cos

44)32(2

2

π

a a -+= 解得4=a 或2-=a (舍去)

所以323

sin 2421sin 21=⨯⨯==

∆π

B ac s AB

C (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4)

由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac

再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5)

。

由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝C ＝

3

π

所以△ABC 为等边三角形．

【易错点】等差数列，等比数列容易混淆

【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了. 例2在△ABC 中，已知2a b c =+，2

sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 【答案】等边三角形

【解析】2

sin sin sin A B C =⇒2

a bc =，又2a

b

c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即

2()0b c -=，因而b c =；由2a b c =+得a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。

【易错点】条件的转化运用

【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形： （1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；

：

（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理 题型三与三角形中有关的不等式问题

例1△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为

2

3sin a A

. （1）求C B sin sin ;

（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】（1）3

2

sin sin =C B ；（2）333+=∆ABC C 【解析】

.

3

2

sin sin .

sin 3sin sin sin 21.

sin 3sin 21,sin 3sin 21)1(2=∴===B C A A

B C A a

B c A a B ac 由正弦定理得即由题设得