选修4-5不等式的证明测试题及答案
选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)
a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
上海上海大学附属学校高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(有答案解析)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +BCD2．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e +的最大值为（ ） A．3 B．3 C．D．3．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65B ．6 35C ．36 35D ．64．已知x,y,z ∈(0,+∞),且1231,x y z ++=则y zx 23++的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8D ．95．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,496．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( ) A．B ．4C ．12D ．67．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝3，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．3B ．1C ．12D ．138．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ） A ．2 B ．165C ．3D ．259．证明：2111111(1)22342n n n n+<++++++，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 10．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．1D ．3411．不等式2313x x a a ++-<-有解的实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．()1,4-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()4,1-12．用反证法证明：“”，应假设（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足||||1a e b e +=-=，a b ⋅的取值范围是____. 14．已知2211M x y y x =-+-，则M 的最大值为___． 15．函数()25f x x x =+-的最大值为___________. 16．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x yxy 2+≥②， ③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____17．已知,,a b c ∈R 且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为________． 18．已知x ，y ，z R ∈，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为_______． 19．若, 且，则的最小值为________．20．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．三、解答题21．已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．22．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 23．已知正数a ，b ，c 满足1a b c ++=. （1）求a bc 的最大值；（2）求证：14936a b c++≥ 24．已知实数a ，b ，c 均为正数.（1）若2a b >，求22(2)a b a b +-的最小值；（2）若2225a b c ++=，证明：5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 25．对a ∀∈R ，11a a ++-的最小值为M .（1）若三个正数x 、y 、z 满足x y z M ++=，证明：2222x y zy z x++≥； （2）若三个实数x 、y 、z 满足x y z M ++=，且2221(2)(1)()3x y z m -+-++≥恒成立，求m 的取值范围.26．已知a 、b 、c ∈R +，且6a b c ++=. （1）当5c =时，求221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值； （2）证明：222242a b b c c +-+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】 如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得2222212121313(11(11)([()(]e e ⨯+≤++, 即12132422e ≤⨯=当且仅当12113e =即12e =26e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.3．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.4．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解23y zx ++的最小值即可. 【详解】 x 1232323y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥2⎛ =9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立. 即23y zx ++的最小值为9. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100,则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0.∴2x+y=2,∴y=2-2x ,∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x≥ 6.=当且仅当32x =32-2x ,即x 1,12y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7．A解析：A 【解析】x 2＋y 2＋z 2＝(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)×13≥(1×x ＋1×y ＋1×z )2×13＝3.当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立．8．B解析：B 【解析】解：根据柯西不等式可知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2， ∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤165， 本题选择B 选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．9．D解析：D 【详解】试题分析：2n =时中间式子的最后一项为14，中间式子为1111234+++ 考点：数学归纳法10．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ． 考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．11．A解析：A 【解析】试题分析：因为31(3)(1)4x x x x ++-≥+--=，则要使不等式2313x x a a ++-<-有解，则有243a a <-，解得1a <-或4a >，故选A ．考点：1、绝对值不等式的性质；2、不等式的解法．12．B解析：B 【解析】试题分析：反证法反设时要假设所要证明的结论反面成立，因此需假设考点：反证法二、填空题13．【分析】建系不妨设则再利用柯西不等式将所求转化为利用换元法求出最大值最小值显然为共线方向时取得【详解】不妨设由已知得令则又显然当向量反向时最小即此时综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查向量数量解析：14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】建系，不妨设(1,0)e =，(,)a x y =，(,)b m n =，则a b ⋅mx ny =+，再利用柯西不等式将所求mx ny +x x =，利用换元法求出最大值，最小值显然为,a b 共线方向时取得.【详解】不妨设(1,0)e =，(,)a x y =，(,)b m n =，由已知，得22(1)1x y ++=，22(1)1m n -+=，a b ⋅(1)mx ny m x ny x x =+=-++≤=x ，令[0,2]t =∈221111(1)2222x t t t =-=--+≤，又显然当a ，b 向量反 向时，a b ⋅最小，即(2,0)a =-，(2,0)b =，此时4a b ⋅=-，综上，a b ⋅的取值范围是14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.14．【分析】利用柯西不等式求解【详解】由柯西不等式得：当且仅当即取等号故M 的最大值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题解析：【分析】 利用柯西不等式求解. 【详解】由柯西不等式得：22221x y ⎡⎤⎡⎤≤++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，=，即221x y +=取等号. 故M 的最大值为1 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．5【分析】利用柯西不等式变形为求解【详解】由柯西不等式得当且仅当即时等号成立故答案为：5【点睛】本题主要考查了根式函数求最值问题还考查了转化化归运算求解的能力属于中档题解析：5 【分析】利用柯西不等式，变形为(()222222125⎡⎤≤+⋅+=⎢⎥⎣⎦求解.【详解】 由柯西不等式得(()222222125⎡⎤≤+⋅+=⎢⎥⎣⎦.()5f x ∴=≤=，即4x =时，等号成立. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了根式函数求最值问题，还考查了转化化归，运算求解的能力，属于中档题.16．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确；()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦， 则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】分析：利用柯西不等式即可求解详解：由题意又由柯西不等式可得所以即的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键着重考查了分析问题和解答问 解析：【解析】分析：利用柯西不等式即可求解． 详解：由题意222234a b c ++=， 又由柯西不等式可得22222222(23)(11213)(1)(23)24a b c a b c a b c ++=⨯+⨯+⨯≤++++=，所以23a b c ++≤23a b c ++的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．18．3【分析】利用柯西不等式即可求解；【详解】由和柯西不等式可得：(所以即的最大值为3故答案为3【点睛】本题主要考查不等式在最值问题中的应用柯西不等式时解决此类问题的一种重要方法难度较小解析：3 【分析】利用柯西不等式，即可求解； 【详解】由x ，y ，z R ∈，2221x y z ++=，和柯西不等式可得： (()()2222222)12222x y z x y z ++++≥++，所以()2229x y z ++≤， 即22x y z ++的最大值为3. 故答案为3 【点睛】本题主要考查不等式在最值问题中的应用，柯西不等式时解决此类问题的一种重要方法，难度较小.19．【解析】试题分析：利用柯西不等式则；考点：柯西不等式 解析：4【解析】试题分析：利用柯西不等式2222222()(212)(22)36x y z x y z ++++≥++=，则222x y z ++4≥；考点：柯西不等式20．12【解析】试题分析：由题∵a+2b+3c=6∴根据柯西不等式得;（a+2b+3c ）2=（1×a+1×2b+1×3c ）2≤（12+12+12）a2+（2b ）2+（3c ）2化简得62≤3（a2+4b2解析：12【解析】试题分析：由题∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得;（a+2b+3c ）2=（1×a+1×2b+1×3c ）2≤（12+12+12）[a 2+（2b ）2+（3c ）2]化简得62≤3（a 2+4b 2+9c 2），即36≤3（a 2+4b 2+9c 2）∴a 2+4b 2+9c 2≥12，当且仅当a ：2b ：3c=1：1：1时， 即22,1,3a b c ===,时等号成立，a 2+4b 2+9c 2的最小值为12. 考点：柯西不等式的应用．三、解答题21．（1）2m =-；（2）证明见解析；【分析】（1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．【详解】（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．【点睛】本题考查分段函数最值的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用柯西不等式求最值，属于中档题．22．1【解析】 试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++ 试题因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=． 于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=， 当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 考点：柯西不等式23．（1）18；（2）证明见解析. 【分析】（1）变换得到22a a abc b c ++=+++，再利用均值不等式解得答案. （2）直接利用柯西不等式得到证明.【详解】（1）22a a a b c b c ++=+++≥42144a bc ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴，6212a bc ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，31128⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，当且仅当124a b c ===，即12a =，14b c ==时取得最大值18. （2）由柯西不等式得： ()()222222149a b c a b c ⎛⎫⎛⎫ ⎪++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2212336≥=++=， 当16a =，13b =，12c =时等号成立，1a b c ++=，14936a b c ++≥∴. 【点睛】本题考查了均值不等式求最值，柯西不等式证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.24．（1）8；（2）证明见解析.【分析】（1）构造基本不等式24(2)2(2)b a b b a b =--，a ≥24162(2)b a b a≥-，对原式再次运用基本不等式即可得结果； （2）由题意可得512b c a a a +-=≥，同理可得其余两式，相乘即得结果. 【详解】（1）解：2224(2)2(2)a ab a b b a b +=+--，又2(2)a b a b =+-≥ 故24162(2)b a b a ≥-，22241682(2)a a b a b a +≥+≥=-， 当且仅当2a =，12b =时等号成立，故22(2)a b a b +-的最小值为8. （2）证明：由2225a bc ++=，得512b c a a +-=≥b c =时取等号），①512a c b b +-=≥（当且仅当a c =时取等号），②512a b c c +-=≥（当且仅当a b =时取等号），③ 又因为实数a ，b ，c 均为正数，由①⨯②⨯③，得5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当56a b c ===时取等号）， 故5551118222a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得证. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，在证明不等式中的应用，构造基本不等式是解题的关键，属于中档题.25．（1）见解析（2）(][),02,-∞+∞ 【分析】（1）由绝对值不等式的性质可得2M =，再由基本不等式和累加法，即可得证；（2）运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得所求范围．【详解】（1）由a ∀∈R ，|1||1||11|2a a a a ++-+-+=，当且仅当11a -时取得等号，可得2x y z ++=，又,,0x y z >，2222x x y y x y y+⋅=， 同理可得22y z y z +，22z x z x+， 三式相加可得，2222x y z x y z y z x++++=， 当且仅当23x y z ===时，取得等号， 则2222x y z y z x++； （2）2221(2)(1)()3x y z m -+-++恒成立，等价为2221(2)(1)()3min x y z m ⎡⎤-+-++⎣⎦，由()22222222111(2)(1)()(21)(1)x y z m x y z m m ⎡⎤++-+-++-+-++=-⎣⎦， 当且仅当21x y z m -=-=+可取得等号．则211(1)33m -，即|1|1m -，解得2m 或0m ≤，即m 的取值范围是(][),02,-∞+∞．【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的性质，基本不等式、柯西不等式的运用，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，属于中档题．26．（1）最小值为9；（2）证明见解析.【分析】（1）依题意，1a b +=，将目标式化简可得21ab+，再利用基本不等式求最值即可； （2）将不等式左边化简可得()()22222224125a b b c c a b c +-+-=+-+--，运用柯西不等式即可得证.【详解】（1）当5c =时，1a b +=， ∴222222111111a b a b a b --⎛⎫⎛⎫--=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()221111a a b b a b -+-+=()()1121a b ab ab++==+，又1a b =+≥（当且仅当a ＝b 时取等号），则14ab ≤， ∴221121119a b ab ⎛⎫⎛⎫--=+≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为9； （2）证明：()()22222224125a b b c c a b c +-+-=+-+--，由柯西不等式有，()()()()22221211112a b c a b c ⎡⎤+-+-++≥+-+-⎣⎦（当且仅当12a b c =-=-时取等号）， ∴2222(3)(1)(2)3a b c a b c ++-+-+-≥， 又6a b c ++=， ∴()()222123a b c +-+-≥，即222242a b b c c +-+-≥-（当且仅当a ＝1，b ＝2，c ＝3时取等号）.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题.。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b ++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m++<<<++ 2．已知函数22()x x af x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．(1,)+∞3．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+4．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >5．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 6．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >， 则22ac bc > 7．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（）A ．ac ＞bcB ．ac ＜bcC ． 22ac bc >D ． 22ac bc8．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y->D ．ln x +ln y >09．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞ D ．[]4,6-10．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 11．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a b< B ．1133a b<C a b a b <-．2a ab <二、填空题13．已知实数a ，b ，c 满足a ＞c ﹣2且1333abc++<，则333a bc-的取值范围是_______．14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接) 17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 18．设5x >，45P x x --23Q x x --，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.20．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____. 三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（1）解不等式：1|1||2|2x x --->； （2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ； （3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值.23．（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a cb c--＜． （224．已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 25．比较log (1) n n +与()*(1)log (2),2n n n N n ++∈≥大小，并证明.26．（1）若0a >，0b >，求证：11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭； （2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a m b b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>，所以()()0-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。
(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测(含答案解析)
一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >2．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中正确的是（ ） A ．ab ac >B ．ac bc <C ．22ab cb >D ．22ca ac >3．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac bc <B ．11b ba a+<+ C ．11b ba a+>+ D ．ac bc ≥4．已知x y z >>，2x y z ++=，则（ ） A ．xy yz >B ．xz yz >C ．xy xz >D ．x y z y >5．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >6．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+ 7．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >， 则22ac bc >8．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>；②a b a b -<+；③2(0)b a ab a b+≠；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ）A ．|a |>b -B ．1a b< C <D ．11a b< 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝1，则“a 3＞5”是“S 3＋S 9＞93”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 12．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 2二、填空题13．若0x y >>，则()412x y x y +-的最小值是________.14．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．15．设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈，()2f x ≥，则a 的取值范围是__________．16．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 17．已知221:12:210(0)3x p q x x m m --≤-+-≤>，，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为_________．18．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是___________． 19．设x ∈R ，如果()lg 37a x x <++-恒成立，那么实数a 的取值范围是________. 20．全集U =R ，且2{}0|6A x x x =-++≥，}0{|34B x x =-->，则()UA B =________．三、解答题21．设不等式|1||1|2x x +--<∣∣的解集为A （1）求集合A ； （2）若,,a b c A ∈，证明：11abcab c->-． 22．设函数()22f x x x =+--. （1）解不等式()2f x ≥；（2）当x ∈R ，0<y <1时，证明：11221x x y y+--≤+-. 23．已知,,a b c 均为正实数. （I ）求证：32++≥+++a b c b c a c a b ； （II 1≥. 24．已知函数()|23||1|f x x x =+--. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 25．（1）设1≥x ，1y ≥，证明：111x y xy xy x y++≤++；（2）设1a b c ≤≤≤，证明：log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 26．已知函数()()2f x x m x m R =--+∈，不等式()20f x -≥的解集为(],4-∞． （1）求m 的值；（2）若存在正实数0a >，0b >，且126a b m +=，使不等式21123x x a b-+-≥+成立，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【分析】根据不等式的性质推理即可得出. 【详解】c b a <<，且0ac <， 0c ∴<，0a >，0b a -<，ab ac ∴>.故选：A. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，解题关键是熟练掌握不等式的性质，属于基础题.3．C解析：C 【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案. 【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.4．C解析：C 【分析】由放缩法可得出0x >，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误. 【详解】x y z >>，23x y z x ∴=++<，可得203x >>.取0y =，3x =，1z =-，则A 、D 选项中的不等式不成立； 取0z =，32x =，12y =，则B 选项中的不等式不成立； 0x且y z >，由不等式的基本性质得xy xz >，C 选项中的不等式成立.故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.5．B解析：B 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性证明不等式，即可得出正确答案. 【详解】当11,2x y ==时，1112x y =<=，则A 错误；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R上单调递减，x y >，则11()()22x y <，则B 正确；当4,1x y ==时，112221x y =>=，则C 错误；当3,22x y ππ==时，sin 1sin 1x y =-<=，则D 错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档题.6．D解析：D 【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1ab b>+不成立. 【详解】||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立；||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立； 令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立. 故选:D. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.7．D解析：D 【分析】根据不等式的性质、对数函数和指数函数的单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，根据不等式传递性可知，A 选项命题正确.对于B 选项，由于ln y x =在定义域上为增函数，故B 选项正确.对于C 选项，由于2x y =在定义域上为增函数，故C 选项正确.对于D 选项，当0c 时，命题错误.故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.8．C解析：C 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.9．A解析：A 【解析】 【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断． 【详解】∵a ＜0，∴|a |＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a |＞﹣b ，故结论A 成立； 取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确； 21a b -=-=，，∴a b --＞∴C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例．10．A解析：A 【分析】利用等差数列的通项公式、求和公式与性质，以及充分条件与必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论. 【详解】设公差为d ，若21a =，315a d =+>，则43d >>，所以()3925223939312271227393S S a a a a d d +=+=++=+>+⨯=，充分性成立； 反之， 39193S S +>成立，则()22393122793,3a a d d d ++=+>>3214a a d d =+=+>，35a >不一定成立，即必要性不成立，所以35a >是39193S S +>的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.11．C解析：C 【解析】 【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案 【详解】对于A ，令0,1a b ==-，200=，()211-=，满足a b >，但不满足22a b >，故排除 对于B ，令0,1a b ==-，()lg 10a b lg -==，故排除对于C ，1 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，当a b >时，1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 恒成立对于D ，令0,1a b ==-，011a b =<-，故排除 故选C 【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ）A ．14B ．114C ．29D ．1292．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞3．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1C D ．4．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（ ）． A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥ C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥ 5．已知,,a b c R +∈ ，则()()()222222a abc b b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（ ）A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零6．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．97．函数y ＝的最大值为（ ） A ．5 B ．8 C ．10 D ．12 8．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( )A ．B ．4C ．12D ．69．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．910．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ）． A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +11．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ） A ．2B ．165C ．3D ．2512．若a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，则下列各式中值最大的一个是（ ）A ．ax+cy+bzB ．bx+ay+czC ．bx+cy+azD ．ax+by+cz二、填空题13．设函数()221f x x x =--+的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若a b m +=. 14．已知22326x y +=，则2x y +的最大值为__________． 15．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为______．16．已知实数,x y 4=，则22x y +的取值范围为___________.17．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA 、PB 、BC 两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M 是底面ABC 内一点，则M 到三个侧面的距离的平方和的最小值是________. 18．y=log sin x (x 3+2x 2+x)的定义域是_____.19．设向量(,)a b α=，(,)c d β=，其中a ，b ，c ，d R ∈，由不等式||||||⋅≤αβαβ恒成立，可以证明柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ≥+++（当且仅当k αβ=，即ad bc =时等号成立）．已知x ，y R +∈<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围为________________． 20．已知,,a b c ∈R,2229a b c ++=，23M a b c =++，则M 的最大值是___．三、解答题21．若,,a b c 为正实数，且满足231a b c ++=. （1）求abc 的最大值；（2）证明1. 22．设x ，y ，z 均为正实数，且24x y z ++=. （1）证明：22224x y z ++≥.（2.23．（1）已知函数()34f x x x =-+-，若()f x m <的解集不是空集，求实数m 的取值范围；（23a b c++≥. 24．已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤. （1）求m 的值； （2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值.25．已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 26．已知0a >，0b >，0c >.()1若abc a b c =++，求证：9ab bc ac ++≥；()2若3a b c ++=，求证：2223b c a a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y zy z ++++≥++=，即222114xy z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.2．D解析：D 【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=， 所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D3．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．4．C解析：C 【分析】根据基本不等式，判断AB 选项正确；举特殊值13a b c ===，可判断C 选项错误；根据柯西不等式，可判断D 选项正确. 【详解】 因为1a b c ++=，所以()21a b c ++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=， 由基本不等式可得：222222a b c ab ac bc +++++222222222333222a b a c c b ab ac bc ab ac bc +++≥=+++++++，所以13ab bc ca ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立；故A 正确；又()()()222222222222222a b c a b c a b a c b c ab ac bc ++++++++++≤+++即222222332223a b c a b c ab ac bc +++++++≤， 所以22213a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立；故B 正确； 因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，若13a b c ===，则3331111127272793a b c ++=++=<，所以33313a b c ++≥不正确；故C 错；由柯西不等式得：()21119a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭， 即1119a b c++≥==，即13a b c ===时，等号成立，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，灵活运用基本不等式以及柯西不等式即可，属于常考题型.5．B解析：B 【分析】设0a b c >，所以333a b c ，根据排序不等式即可得出答案. 【详解】设0a b c >，所以333a b c根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ⋅+⋅+⋅++又ab ac bc ，222a b c ，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++. 所以444222a b c a bc b ca c ab ++++ 即()()()2222220aabc b b ac c c ab-+-+-.故选：B 【点睛】本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.6．B解析：B 【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.7．C解析：C 【分析】利用向量的关系a b a b ⋅≤⋅，可设向量()4,3a =，(3,b x =-，然后进行求解即可 【详解】由已知得，函数的定义域为37x ≤≤，设向量()4,3a =，(3,b x =-，则5a =，2b =，10a b a b ⋅≤⋅=，当且仅当a b 时，即0=时，等号成立，解得13925x =，属于定义域范围， 所以，该函数y 可以取得最大值为10 答案选C 【点睛】本题考查向量中的最值问题，属于中档题8．D解析：D 【解析】 【分析】首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2,∴y=2-2x ,∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x ≥ 6.=当且仅当32x =32-2x ,即x 1,12y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．A解析：A 【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k kk ++- ，因此增加的项数是21012k k --+= ，选A.11．B解析：B 【解析】解：根据柯西不等式可知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2， ∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2， ∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤165， 本题选择B 选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．12．D解析：D 【解析】试题分析：根据条件：a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz 最大．解：∵a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和， 得：同序和ax+by+cz 最大． 故选D ．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．二、填空题13．（1）3；（2）【分析】（1）分段讨论去掉函数的绝对值号即可（2）把转化成然后利用柯西不等式即可【详解】解：（1）函数所以在区间内单调递增在区间内单调递减故的最大值；（2）由柯西不等式得由己知得故所解析：（1）3；（2） 【分析】（1）分段讨论去掉函数的绝对值号即可（21=【详解】解：（1）函数()4,12213,124,2x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪--≥⎩， 所以()f x 在区间(],1-∞-内单调递增，在区间[)1,-+∞内单调递减. 故()f x 的最大值()13m f =-=； （2）由柯西不等式，得1=.由己知3ab +=故所求最大值为1a =，2b =取得）. 【点睛】考查求含两个绝对值号的不等式的最值求法和用柯西不等式求最值，中档题.14．【分析】由柯西不等式中的代入即可得出【详解】令代入柯西不等式∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式求最值考查函数与方程思想转化与化归思想考查逻辑推理能力运算求解能力【分析】由柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++中的1a=，2a，1b =22b =代入即可得出. 【详解】令1a =，2a ，1b =22b = 代入柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++， ∴2224111(2)(32)()611326x y x y +++⨯=11211x y+2x y ∴+．． 【点睛】本题考查柯西不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．15．【分析】由二维柯西不等式即可得解【详解】解：∵(32＋42)(x2＋y2)≥(3x ＋4y)2当且仅当3y ＝4x 时等号成立∴25×10≥(3x ＋4y)2即∴(3x ＋4y)max ＝5故答案为：5【点睛】【分析】由二维柯西不等式即可得解. 【详解】解：∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2，即34x y -≤+≤ ∴(3x ＋4y )max ＝.故答案为： 【点睛】本题考查了柯西不等式，重点考查了柯西不等式的应用，属基础题.16．【分析】直接利用柯西不等式化简即可【详解】由柯西不等式可得所以即所以故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键属于基础题 解析：[3,5]【分析】直接利用柯西不等式，化简即可. 【详解】由柯西不等式可得，()222222(1)(1)142x y x y x y +++-+-+≤=≤， 所以222222(1)(1)412x y x y x y +++-+≤=++，即2235x y ≤+≤所以22[3,5]x y +∈. 故答案为：[]3,5 【点睛】本题考查了柯西不等式，将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键，属于基础题.17．【分析】利用等体积转化法求出M 到三个侧面的距离的关系式构造柯西不等式即可求解【详解】由PAPBBC 两两垂直可得平面设M 到三个侧面的距离分别为则化简得由柯西不等式知即当且仅当即时取等号故答案为【点睛】 解析：1641【分析】利用等体积转化法，求出M 到三个侧面的距离的关系式，构造柯西不等式，即可求解. 【详解】由PA 、PB 、BC 两两垂直，可得PA ⊥平面PBC ，设M 到三个侧面,,PAB PAC PBC 的距离分别为,,x y z ，则11113334343222113432M PAB M PAC M PBC A PBC V V V x y z V ----⎛⎫++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯ 化简得3444x y z ++=，由柯西不等式知，()()2222222344()344x y z x y z ++++≥++，即2221641x y z ++≥，当且仅当344x y z ==，即1216,4141x y z ===时取等号.故答案为1641【点睛】本体主要考查三棱锥的体积及利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件，考查推理论证与运算求解能力，属于基础题.18．【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组求解不等式组即可确定函数的定义域【详解】∴2kπ<x<(2k+1)π且x≠2kπ即函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出解析：πx|2k πx (2k 1)π,x 2k π,k 0,1,2,?2⎧⎫<<+≠+=⎨⎬⎩⎭且【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域.【详解】32020,0101,x x x x sinx sinx >⎧++>⎧∴⎨⎨<<<<⎩⎩. ∴2kπ<x<(2k+1)π,且x ≠2kπ,0,1,2,2k π+=⋯. 即函数的定义域为|2(21),2,0,1,2,?2x k x k x k k ππππ⎧⎫<<+≠+=⎨⎬⎩⎭且. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 19．【解析】因为所以所以因为恒成立所以故实数的取值范围为解析：(10,)+∞【解析】因为()()()22222a b c d ac bd ++≥+，所以()()()222313x y x y +≤++，所以310x y x y +≤+，因为x ，y R +∈，3x y k x y +<+恒成立，所以10k >．故实数k 的取值范围为()10,+∞．20．【解析】试题分析：由柯西不等式式易知所以即是故应填入考点：1复数的概念；2虚数的定义；3纯虚数的定义解析：． 【解析】试题分析：由柯西不等式式易知()()()222222212323a b c a b c ++++≥++，所以23914a b c ++⨯23314a b c ++≤314考点：1．复数的概念；2．虚数的定义；3．纯虚数的定义．三、解答题21．（1）1162；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据三元基本不等式得到323323a b c a b c ++≥⋅⋅abc 的最大值； （2）根据柯西不等式得到()211123a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝++++≥⎭，结合条件可完成证明.【详解】（1）因为,,a b c 为正实数，231a b c ++=所以123a b c =++≥=即1162abc ≤ 当且仅当1233a b c ===时等号成立， 所以abc 的最大值为1162； （2）由柯西不等式:()(22111231a b c a b c ++++≥=+⎪ ⎛⎫⎝⎭1≥当且仅当a ==，即a b c ===时取等号. 【点睛】结论点睛：基本不等式和柯西不等式的推广形式如下：（1）若12,,...,n a a a 为n个正数，则12...n a a a n+++≥12...n a a a ===时取等号；（2）设1212,,...,,,,...,n n a a a b b b 为实数，则()()112222222212121122.........n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++， 其中等号成立1212...n na a ab b b ⇔===（当某0j b =时，认为0j a =，1,2,3,...,j n =）. 22．（1）证明见解析；（2.【分析】（1）利用基本不等式得212x x +≥，212y y +≥，212z z +≥，由此可证明不等式成立；（2）利用柯西不等式求最大值．【详解】（1）证明：因为212x x +≥，()2214y y +≥，212z z +≥， 所以()22224228x y z x y z +++≥++=，即22224x y z ++≥， 当且仅当1x y z ===时，等号成立，所以不等式得证.（2）解：由柯西不等式，得()()(22424x y z ++++≥， 当且仅当2424x y z ==，即85x z ==，25y =时，等号成立.因为24x y z ++=，所以210≤，.【点睛】思路点睛：本题考查不等式的证明，证明方法是基本不等式和柯西不等式．基本基本不等式可以看作是柯西不等式的二维形式的特例．如果用基本不等式求最值，注意取得最值的条件：一正二定三相等，一个都不能少．第（1）小题也可以利用柯西不等式证明：2222(2)(121)(2)16x y z x y z ++++≥++=，当且仅当1x y z ===时等号成立． 23．（1）()1,+∞；（2）证明见解析．【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()341f x x x =-+-≥，由题意有()min m f x >，从而求出答案；（2）（法一）由重要不等式可得222a b c ab ac bc ++++≥，由此可证明()222239a b c a b c ++++≥，由此可证结论； （法二）直接利用柯西不等式证明即可．【详解】解：（1）由绝对值三角不等式可得， ()34f x x x =-+-()()341x x ≥---=，当且仅当()()340x x --≤即34x ≤≤时等号成立，∵()f x m <的解集不是空集，∴()min 1m f x >=，∴实数m 的取值范围是()1,+∞；（2）（法一）∵222a b ab +≥，222a c ac +≥，222b c bc +≥，当且仅当a b c ==时等号成立，∴()()()222222222a b a c b ab ac c c b ++++++≥+，即222a b c ab ac bc ++++≥，当且仅当a b c ==时等号成立， ∴()222222222392a b c a b c a b c +++++++=()22229ab c a a bc b c +++++≥， 当且仅当a b c ==时等号成立， 即()222239a b c a b c ++++≥，∴3a b c ++≥． （法二）由柯西不等式可得， ()()()2222222111a b c a b c ++≥++++，当且仅当a b c ==时等号成立， ∴()222239a b c a b c ++++≥，∴3a b c ++≥． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的应用，考查不等式的证明，本题第一问的关键在于利用绝对值的几何意义借助绝对值三角不等式进行求解，第二问方法一的关键在于利用重要不等式得到222a b c ab ac bc ++++≥，方法二的关键在于理解并掌握柯西不等式，考查转化与化归思想，考查推理能力，属于中档题．24．（1）2m =；（2）2.【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可.【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥， 得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-，得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤，得3113m m -+=⎧⎨+=⎩， 2m =，∴2m =.（2）由（1）得1122a b a+=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦.即()224a b a++=，得32a b+≥.当12a=，32b=时，等号成立.∴3a b+的最小值是2.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.25．（1）2m=；（2）45【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x≥+--=+≥，即可得解；（2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a ba b⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，结合222a b+=即可得解.【详解】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x=++-≥+--=+≥，当且仅当0x=时等号成立，故2m=；（2）由题意222a b+=，由柯西不等式得()222221112(11124)a ba b⎛⎫++++≥+⎪++⎭=⎝，当且仅当232a=，212b=时，等号成立，∴222211441235a b a b+≥=++++，故221112a b+++的最小值为45.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.26．()1证明见解析；()2证明见解析.【分析】()1根据已知可得1111ab bc ca++=，由柯西不等式求证即可；()2利用基本不等式求证即可.【详解】解：()1证明：由abc a b c=++得，1111ab bc ca++=，由柯西不等式，()()21111119ab bc ca ab bc ca ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭. ∴9ab bc ac ++≥，等号成立的条件为a b c ===()2证明：0a >，0b >，0c >. ∴()222b c a a b c a b c+++++ ()2222b c a a b c a b c a b c=+++++≥++ 即222b c a a b c a b c++≥++， 当且仅当1a b c ===时等号成立.又3a b c ++=，∴2223b c a a b c++≥. 【点睛】本题考查柯西不等式与基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.。
数学选修4-5不等式反证法与放缩法练习题含答案
7.
【答案】
D
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“ ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数”，
由此得出结论．
【解答】
解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：“自然数 ， ， 中恰有一个偶数”的否定为：“ ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数”，
【解答】
解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，
“至少有一个”的否定：“一个也没有”；
即“ ， ， 都不是正数”．
故答案为： ， ， 都不是正数．
19.
【答案】
， 都不能被 整除
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．再由命题：“ ， 中至少有一个能被 整除”的否定是： ， 都不能被 整除，从而得到答案．
【解答】
解：
即 ， ， ，
，
得 ，
即 ，
得 ，所以 ．
故选 ．
6.
【答案】
A
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．
【解答】
解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“自然数 ， ， 都是偶数”的否定为：“ ， ， 中至少有一个是奇数”，
A. ， ， 都是奇数
B. ， ， 都是偶数
C. ， ， 中至少有两个偶数
D. ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数
3.用反证法证明命题“设 ， 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设是（）
上海省吾中学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试(答案解析)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．已知333222,,,,a b c R A a b c B a b b c c a +∈=++=++，则A 与B 的大小关系为（ ） A ．A B ≥ B ．A B ≤ C ．A B = D ．A 与B 的大小不确定3．已知,,a b c R +∈ ，则()()()222222a abc b b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（ ）A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零4．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1 BC 1D 5．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ） A ．9B ．3C ．1D ．276．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9-B ．9C ．10D ．07．在平面内，已知向量(1,0)a =，(0,1)b =，(1,1)c =，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且23p xa yb zc =++，则（ ）A ．p 的最小值为B ．p 的最大值为C ．p 的最小值为D ．p 的最大值为8．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36D ．4710．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．911．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47 12．用反证法证明：“”，应假设（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知x ，y ∈R ，且3x y +=22124x y ++______. 14．函数()25f x x x =-___________.15．已知函数f （a ，x ）4a x 41a -x 随着a ，x 在定义域内变化时，该函数的最大值为______16．实数x ，y ，z 满足2224270x y z x z ++++-=，则x y z ++的最大值为__________．17．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．18．设实数x ，y ，m ，n 满足221x y +=，223m n +=，那么mx ny +的最大值是__________．19．已知正实数,,a b c ，且1a b c ++=，则()222149a b c +++的最小值为______． 20．设向量(,)a b α=，(,)m n β=，其中,,,a b m n R ∈，由不等式αβαβ⋅≤⋅恒成立，可以证明（柯西）不等式()()22222()am bn a bmn +≤++（当且仅当α∥β，即an bm =时等号成立），已知,x y R +∈3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是____三、解答题21．已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤. （1）求m 的值； （2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值. 22．若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++23．已知关于x 的不等式121x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求实数m 的取值范围；（2）正数a 、b 、c 满足22a b c M ++=，求证：1349a b b c c a++≥+++.24．已知函数()|24|f x x =-的最大值为t .（1）求t 的值；（2）是否存在正实数a ，b ，c 满足a b c t ++=且2224a b c ++=，若存在，求出满足条件的一组解；若不存在，请说明理由.25．已知x ，y ，z 均是正实数，且2229436x y z ++=，求证7x y z ++≤．26．已知函数()12f x x x =++-，若2a b c ++=(),,a b c R ∈，且不等式()222a b c f x ≥++恒成立，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．A解析：A 【解析】试题分析：取两组数：,,a b c 与222,,a b c ，显然333a b c ++是顺序和，222a b b c c a ++是乱序和，所以333222a b c a b b c c a ++≥++，即A B ≥，故选A ． 考点：排序不等式．3．B解析：B 【分析】设0a b c >，所以333a b c ，根据排序不等式即可得出答案. 【详解】设0a b c >，所以333a b c根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ⋅+⋅+⋅++又ab ac bc ，222a b c ，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++. 所以444222a b c a bc b ca c ab ++++ 即()()()2222220aabc b b ac c c ab-+-+-.故选：B 【点睛】本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.4．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.5．B解析：B 【分析】由已知2221x y z ++=，可利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．【详解】由已知，可知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，利用柯西不等式2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++， 可构造得2222222(122)()(22)x y x x y z ++++≥++， 即2(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ． 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9． 当且仅当xy 2xy=即xy=时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．7．A解析：A 【分析】求出p 的坐标，表示p ，即：p=柯西不等式即可求得其最小值，问题得解． 【详解】因为()1,0a =，()0,1b =，()1,1c =， 所以23p xa yb zc =++=()3,23x z y z ++， 又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤， 所以p==≥=≥=， 当且仅当()()31232,0x z y z z +⨯=+⨯=时，等号成立． 即：当且仅当41,,055x y z ===时，等号成立．所以p 的最小值为 ， 故选A. 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．解析：B 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7． 故选B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．C解析：C 【解析】 由于()()()()()()()()()222222251312252123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+++-+≥++--++=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦324，所以()()()22251336x y z ++-++≥，当且仅当513122x y z +-+==-，即331x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩时取等号．故选C ．解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．C解析：C 【解析】 试题分析：由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点：柯西不等式.12．B解析：B 【解析】试题分析：反证法反设时要假设所要证明的结论反面成立，因此需假设考点：反证法二、填空题13．【分析】凑配进而根据柯西不等式结合已知求解即可【详解】解：根据柯西不等式得：当且仅当时上述两不等式取等号所以因为所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值问题解题的关键在于 解析：35【分析】 凑配==，进而根据柯西不等式结合已知求解即可.【详解】解：根据柯西不等式得：()()()222221121xx ++≥+，()()()2222222428y y ++≥+，当且仅当2,1x y ==时，上述两不等式取等号，21x +28y +因为3x y +=，29x y ++=≥==当且仅当2,1x y ==时，等号成立.故答案为： 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值问题，解题的关键在于根据已知条件凑配使得=，再根据柯西不等式求解，考查运算求解能力，是中档题.14．5【分析】利用柯西不等式变形为求解【详解】由柯西不等式得当且仅当即时等号成立故答案为：5【点睛】本题主要考查了根式函数求最值问题还考查了转化化归运算求解的能力属于中档题解析：5 【分析】利用柯西不等式，变形为(()222222125⎡⎤≤+⋅+=⎢⎥⎣⎦求解.【详解】 由柯西不等式得(()222222125⎡⎤≤+⋅+=⎢⎥⎣⎦.()5f x ∴=≤，当且仅当21=，即4x =时，等号成立. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了根式函数求最值问题，还考查了转化化归，运算求解的能力，属于中档题.15．【解析】【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f （ax ）≤再由柯西不等式计算可得所求最大值【详解】解：函数f （ax ）=sinx+cosx=sin （x+θ）（θ为辅助角）即有f （ax ）≤（sin （ 解析：142【解析】 【分析】运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f （a ，x ）≤1a a +-，再由柯西不等式，计算可得所求最大值． 【详解】解：函数f （a ，x ）=4a sin x +41a -cos x =1a a +-sin （x +θ）（θ为辅助角），即有f （a ，x ）≤1a a +-（sin （x +θ）=1取得等号），由柯西不等式可得（1a a +-）2≤（1+1）（a +1-a ）=2， 当且仅当a =时，取得等号， 1a a -2 即f （a ，x ）的最大值为142．故答案为142．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．16．3【解析】分析：由可得换元后利用柯西不等式求解即可详解：可得设可得当且仅当时的最大值为此时由此可得的最大值为故答案为点睛：本题主要考查了一般形式的柯西不等式属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求解析：3 【解析】分析：由2224270x y z x z ++++-=，可得()()2222112x y z ++++=，换元后利用柯西不等式求解即可.详解：2224270x y z x z ++++-=，可得()()2222112x y z ++++=，设2,,1x w y v z u +==+=，可得()()2222222112x y z w v u ++++=++=，3x y z w v u ∴++=++-，()()()222222211136w v u wv u ++≤++++=，66w v u ∴-≤++≤，当且仅当，2w v u ===时，w v u ++的最大值为6， 此时21x y z +==+，由此可得x y z ++的最大值为633-=，故答案为3.点睛：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.17．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时 解析：5【解析】分析：根据线性规划先求出22x y +的范围，再根据柯西不等式求解． 详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．22x y +A 到原点的距离最大，由224x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ，∴225x y +≤由柯西不等式得2222225ax by a b x y x y +≤+++≤x ya b=时等号成立．∴ax by +5点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．18．【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可详解：的最大值是故答案为点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条解析：3. 【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可. 详解：()()()222223mx xy x y m n +≤++=,3mx ny ∴+≤，mx ny ∴+的最大值是3，故答案为3.点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答19．【解析】试题分析：因为所以得当且仅当即时有最小值考点：柯西不等式 解析：14449【解析】试题分析：因为1a b c R a b c +∈++=，，，，所以()()22221111114912344923a b c a b c ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+++++≥++⋅+⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，得()22214414949a b c +++≥．当且仅当，即23187,,494949a b c ===时，()222149a b c +++有最小值14449． 考点：柯西不等式．20．【详解】试题分析：首先不等式变形为其次利用柯西不等式有即即的最大值为而不等式恒成立则有考点：柯西不等式与不等式恒成立问题 解析：10k >【详解】3x y x y <+变形为3x y k x y+>+式有2(3)x y2222(13)(()())10()x y x y ≤++=+310x y x y+≤+3x y x y++103x y k x y+>+10k >考点：柯西不等式与不等式恒成立问题．三、解答题21．（1）2m =；（2）2. 【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可. 【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥， 得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-， 得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤， 得3113m m -+=⎧⎨+=⎩，2m =，∴2m =. （2）由（1）得1122a b a+=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 即()224a b a ++=，得32a b +≥.当12a =，32b =时，等号成立. ∴3a b +的最小值是2. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题. 22．证明见解析 【分析】运用柯西不等式可得222222211[1()()](49)()23a b c a b c ++++++，结合条件即可得证．【详解】由柯西不等式可得222222221111[1()()](49)(23)()2323a b c a b c a b c ++++++=++，所以2222()4911149a b c a b c++++++， 由7a b c ++=，可得2224936a b c ++（当且仅当36497a b c ===时，取得等号）．【点睛】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．23．（1）[]4,2-；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用三角不等式求得12x x --+的最大值，进而可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围；（2）由已知条件得出222a b c ++=，然后利用柯西不等式可证得所证不等式成立. 【详解】（1）由三角不等式可得()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时，等号成立.若不等式121x x m --+≥+有解，则满足13m +≤，解得42m -≤≤， 因此，实数m 的取值范围是[]4,2-；（2）由（1）知2M =，故正数a 、b 、c 满足222a b c ++=，()()()33134194433a b b c c a a b b c c a a b b c c a +++++⎛⎫∴++=++ ⎪++++++⎝⎭294≥=.当且仅当2222c a a b b c a b c +⎧+=+=⎪⎨⎪++=⎩时，即当23023a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩时，等号成立，因此，1349a b b c c a++≥+++. 【点睛】本题考查利用含绝对值不等式有解求参数，同时也考查了利用柯西不等式证明不等式成立，解题的关键在于对代数式进行合理地配凑，考查计算能力是，属于中等题. 24．（1）3；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）化简函数()|1||2||2|f x x x x =+----，结合绝对值三角不等式，即可求解. （2）若存在正实数a ，b ，c 满足3a b c ++=且2224a b c ++=成立，结合柯西不等式22222222224144(2)11()929a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++=++⋅++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【详解】（1）由()|24||1||2||2|f x x x x x -=+----|(1)(2)||2|3x x x ≤+----≤，当且仅当2x =时取“=”，又由函数()f x 的最大值为t ，故max ()3t f x ==.（2）若存在正实数a ，b ，c 满足3a b c ++=且2224a b c ++=成立，则22222222224144(2)11()4929a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++=++⋅++≥++=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故2224a b c ++=不可能成立，因此不存在正实数a ，b ，c 满足a b c t ++=且2224a b c ++=. 【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式和柯西不等式的应用，其中解答中熟记绝对值的三角不等式和柯西不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 25．详见解析 【分析】根据柯西不等式可得()()()22222221132132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即可得证. 【详解】证明：由柯西不等式得()()()22222221132132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当94x y x ==时等号成立. 因为2229436x y x ++=， 所以()249364936x y z ++≤⨯=， 所以7x y z ++≤， 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式证明不等式，考查了推理能力，属于中档题. 26．[]1,2-. 【分析】由柯西不等式得()2222236a b c a b c ++++≥=，转化条件得()3f x ≤，结合绝对值三角不等式()12123f x x x x x =++-≥+-+=，即可得解.【详解】由柯西不等式可得()()()22222222121a b c a b c++≤++++，所以()2222236a b c a b c ++++≥=，当且仅当121a b c ==即b =a c ==时，等号成立， 所以()222a b c f x ≥++恒成立()3f x ⇔≤，因为()12123f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立， 所以()3f x ≤的解集为12x -≤≤， 所以实数x 的取值范围[]1,2-. 【点睛】本题考查了柯西不等式与绝对值三角不等式的综合应用，考查了计算能力与转化化归思想，属于中档题.。
最新人教版高中数学选修45测试题全套及答案
最新人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案第一讲 不等式和绝对值不等式一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |y ＝log 2(4－2x －x 2)}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 3x ＋1≥1，那么A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <5－1}B ．{x |－3<x ≤2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |－1－5<x <－3或5－1<x ≤2}解析： 不等式4－2x －x 2>0可转化为x 2＋2x －4<0，解得－1－5<x <－1＋5，∵A ＝{x |－1－5<x <－1＋5}；不等式3x ＋1≥1可转化为x －2x ＋1≤0，解得－1<x ≤2，∴B ＝{x |－1<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <5－1}．答案： A2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1<1的解集为( )A．{x|0<x<1}∪{x|x>1} B．{x|0<x<1} C．{x|－1<x<0} D．{x|x<0}解析： 方式一：特值法：显然x ＝－1是不等式的解，应选D.方式二：不等式等价于|x ＋1|<|x －1|，即(x ＋1)2<(x －1)2，解得x <0，应选D.答案： D3．设a ，b 是正实数，以下不等式 ①ab >2ab a ＋b ，②a >|a －b |－b ，③a 2＋b 2>4ab －3b 2，④ab ＋2ab >2恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解析：2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，即ab ≥2ab a ＋b ，故①不正确，排除A 、B ；∵ab ＋2ab ≥22>2，即④正确． 答案： D4．已知a >0，b >0，那么1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．5 解析： ∵a >b ，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab，当且仅当a ＝b 时取等号，∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22ab ·2ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1且2ab ＝2ab 时成立，能取等号，故1a ＋1b＋2ab 的最小值为4，应选C. 答案： C5．设|a |＜1，|b |＜1，那么|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |＞2B ．|a ＋b |＋|a －b |＜2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不可能比较大小解析： 当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |＜2，当(a ＋b )(a －b )＜0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＜2.答案： B6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.假设a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，那么1x ＋1y 的最大值为() A ．2 B.32C ．1 D.12解析： ∵a x ＝b y ＝3，∴x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3(a ＋b )24＝log 33＝1，应选C. 答案： C7．0<a <1，以下不等式必然成立的是( )A ．|log 1＋a (1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|>2B ．|log 1＋a (1－a )|<|log (1－a )(1＋a )|C ．|log (1＋a )(1－a )＋log (1－a )(1＋a )|<|log (1＋a )(1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|D ．|log (1＋a )(1－a )－log (1－a )(1＋a )|>|log (1＋a )(1－a )|－|log (1－a )(1＋a )|解析： 令a ＝12，代入可排除B 、C 、D. 答案： A8．假设实数a ，b 知足a ＋b ＝2，那么3a ＋3b 的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3 D.43解析： 3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝232＝6. 答案： B9．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，那么m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n解析： ∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b |＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1，∴m ≤1≤n . 答案： D10．某工厂年产值第二年比第一年增加的百分率为p 1，第三年比第二年增加的百分率为p 2，第四年比第三年增加的百分率为p 3，那么年平均增加率p 的最大值为( )A.3p 1p 2p 3B.p 1＋p 2＋p 33C.p 1p 2p 33 D ．2(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)3 解析： ∵(1＋p )3＝(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)，∴1＋p ＝3(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)≤1＋p 1＋1＋p 2＋1＋p 33，∴p ≤p 1＋p 2＋p 33.答案： B11．假设a ，b ，c >0，且a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc ＝12，那么a ＋b ＋c 的最小值是() A ．2 3 B ．3C ．2 D.3 解析： a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc＝a (a ＋2c )＋2b (a ＋2c )＝(a ＋2c )(a ＋2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋2c )＋(a ＋2b )22，∴(a ＋b ＋c )2≥12，又a ，b ，c >0，∴a ＋b ＋c ≥2 3.答案： A12．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2 xsin 2x 的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．43 解析： 方式一：f (x )＝2cos 2 x ＋8 sin 2 x 2sin x cos x ＝1＋4tan 2 xtan x＝4tan x＋1tan x≥4.时取等号．那个地址tan x>0，且tan x＝12方式二：f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2 x sin 2x ＝5－3cos 2x sin 2x(0<2x <π)． 令μ＝5－3cos 2x sin 2x，有μsin 2x ＋3cos 2x ＝5. μ2＋9sin(2x ＋φ)＝5,∴sin(2x ＋φ)＝5μ2＋9.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5μ2＋9≤1，得μ2≥16. ∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知－π2≤α＜β≤π2，那么α－β2的取值范围是________． 解析： 利用不等式的性质进行求解．由－π2≤α＜β≤π2可得． 答案： －π2≤α－β2＜0. 14．设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，那么a 的取值范围是____________． 解析: ∵|x －2|>3，∴x －2>3或x －2<－3，∴x >5或x <－1，即S ＝{x |x >5或x <－1}．又∵T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，∴画数轴可知a 需知足⎩⎪⎨⎪⎧a <－1a ＋8>5， ∴－3<a <－1.答案： －3<a <－115．设x >－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为________． 解析： ∵x >－1，∴x ＋1>0，y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝[(x ＋1)＋4][(x ＋1)＋1]x ＋1＝(x ＋1)＋5＋4x ＋1≥2·(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴y 的最小值是9.答案： 916．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价钱(每件x 元)在50<x ≤80时，天天售出的件数P ＝105(x －40)2，假假想天天取得的利润最多，销售价钱每件应定为____________元． 解析： 设销售价钱定为每件x 元(50<x ≤80)，天天取得利润y 元，那么：y ＝(x －50)·P ＝105(x －50)(x －40)2， 设x －50＝t ，那么0<t ≤30，∴y ＝105t (t ＋10)2＝105t t 2＋20t ＋100 ＝105t ＋100t ＋20≤10520＋20＝2 500. 当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500.答案： 60三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)17．(12分)已知30＜x＜42,16＜y＜24，求x＋y，x－2y，xy的取值范围．解析：∵30＜x＜42,16＜y＜24，∴46＜x ＋y ＜66.∵16＜y ＜24，∴－48＜－2y ＜－32，∴－18＜x －2y ＜10.∵30＜x ＜42，∴124＜1y ＜116. ∴54＜x y ＜218. 18．(12分)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解析： ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ay x时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18① 又a ＋b ＝10 ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2. 19．(12分)解不等式|x ＋1|＋|x |<2.解析： 方式一：利用分类讨论的思想方式．当x≤－1时，－x－1－x<2，解得－32<x≤－1；当－1<x<0时，x＋1－x<2，解得－1<x<0；当x ≥0时，x ＋1＋x <2，解得0≤x <12. 因此，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. 方式二：利用方程和函数的思想方式．令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1(x ≥0)，－1(－1≤x <0)，－2x －3(x <－1).作函数f (x )的图象(如图)，知当f (x )<0时，－32<x <12. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. 方式三：利用数形结合的思想方式．由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12.方式四：利用等价转化的思想方式．原不等式⇔0≤|x＋1|＜2－|x|，∴(x ＋1)2＜(2－|x |)2，且|x |＜2，即0≤4|x |＜3－2x ，且|x |＜2.∴16x 2＜(3－2x )2，且－2＜x ＜2.解得－32＜x ＜12.故原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32＜x ＜12. 20．(12分)求函数y ＝3x ＋4x 2(x >0)的最值． 解析： 由已知x >0，∴y ＝3x ＋4x 2＝3x 2＋3x 2＋4x 2 ≥333x 2·3x 2·4x2＝339， 当且仅当3x 2＝3x 2＝4x 2，即x ＝2393时，取等号． ∴当x ＝2393时，函数y ＝3x ＋4x2的最小值为339. 21．(12分)在某交通拥堵地段，交通部门规定，在此地段内的车距d (m)正比于车速v (km/h)的平方与车身长s (m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为s (m)，且车速为50 km/h 时车距恰为车身长s ，问交通忙碌时，应规定如何的车速，才能使此地段的车流量Q 最大？解析： 由题意，知车身长s 为常量，车距d 为变量．且d ＝k v 2s ，把v ＝50，d ＝s 代入，得k ＝12 500，把d ＝12s 代入 d ＝12 500v 2s ，得v ＝25 2.因此d ＝⎩⎨⎧12s (0<v ≤252)，12 500v 2s (v >252).那么车流量 Q ＝1 000v d ＋s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 000v 32s (0<v ≤252)，1 000v s (1＋v 22 500)(v >252).当0<v ≤252时，Q 为v 的增函数，因此当v ＝252时，Q 1＝1 000v 32s ＝50 00023s . 当v >252时，Q 2＝1 000v s ⎝⎛⎭⎫1＋v 22 500＝ 1 000s ⎝⎛⎭⎫1v ＋v 2 500 ≤ 1 000s ·21v ·v 2 500＝25 000s . 当且仅当1v ＝v 2 500，即v ＝50时，等号成立．即当v ＝50时，Q 取得最大值Q 2＝25 000s .因为Q 2>Q 1，因此车速规定为50km/h 时，该地段的车流量Q 最大．22．(14分)已知函数f (x )＝ax 2－4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x >0)－f (x ) (x <0). (1)假设f (－2)＝0，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，解不等式1≤|F (x )|≤2；(3)设mn <0，m ＋n >0，试判定F (m )＋F (n )可否大于0?解析： (1)∵f (－2)＝0，∴4a ＋4＝0，得a ＝－1，∴f (x )＝－x 2＋4，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4 (x >0)x 2－4 (x <0). (2)∵|F (－x )|＝|F (x )|，∴|F (x )|是偶函数，故能够先求x >0的情形．当x >0时，由|F (2)|＝0，故当0<x≤2时，解不等式1≤－x2＋4≤2，得2≤x≤3；x>2时，解不等式1≤x2－4≤2，得5≤x≤6；综合上述可知原不等式的解集为{x |2≤x ≤3或5≤x ≤6或－3≤x ≤－2或－6≤x ≤－5}．(3)∵f (x )＝ax 2＋4，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋4 (x >0)－ax 2－4 (x <0)， ∵mn <0，不妨设m >0，那么n <0.又m ＋n >0，∴m >－n >0，∴m 2>n 2，∴F (m )＋F (n )＝am 2＋4－an 2－4＝a (m 2－n 2)，因此：当a >0时，F (m )＋F (n )能大于0，当a <0时，F (m )＋F (n )不能大于0.第二讲 证明不等式的大体方式一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．已知a c 2>b c 2，那么以下不等式必然成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．lg a >lg b C.1b >1c D.⎝⎛⎭⎫13b >⎝⎛⎭⎫13a解析： 从已知不等式入手：a c 2>b c 2⇔a >b (c ≠0)，其中a ，b 可异号或其中一个为0，由此否定A 、B 、C ，应选D.答案： D2．假设1a <1b <0，那么以下结论不正确的选项是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C.b a ＋a b >2 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析： 因为1a <1b <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1a －1b <0a <0且b <0⇔⎩⎨⎧ b －a ab <0a <0，b <0⇔b <a <0.由此判定A、B、C正确，应选D.答案：D3．用反证法证明命题“设a，b为实数，那么方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0最多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0最多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，那么方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2＋ax＋b＝0没有实根．故应选A.答案：A4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的选项是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角最多有一个大于60°D．假设三内角最多有两个大于60°解析：至少有一个不大于60度是指三个内角有一个或两个或三个小于或等于60°.因此，反设应该是它的对立情形，即假设三内角都大于60度．答案：B5．设x>0，y>0，x＋y＝1，x＋y的最大值是()A．1 B.2C.22 D.32解析：∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2xy，∴12≥xy，∴x ＋y ≤2(x ＋y )＝2(当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”)． 答案： B 6．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，那个地址①是②的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件解析： 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，因此①是②的必要条件． 答案： B7．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，那么以下不等式中，正确的选项是( )A ．log 2a >0B ．2a －b <12C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．2a b ＋b a <12 解析： 方式一：特值法令a ＝13，b ＝23代入可得． 方式二：因为0<a <b 且a ＋b ＝1，因此0<a <1，因此log 2a <0.－1<a －b <0因此12<2a －b <1， 又因为b a ＋a b>2因此2b a ＋a b >4， 而ab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 因此log 2a ＋log 2b <－2成立．答案： C8．a >0，b >0，那么“a >b ”是“a －1a >b －1b ”成立的( )A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也没必要要条件解析： a －1a －b ＋1b ＝a －b ＋a －b ab＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab . ∵a >0，b >0，∴a >b ⇔(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0⇔a －1a >b －1b. 可得“a >b ”是“a －1a >b －1b”成立的充要条件． 答案： C9．设a >0，b >0，那么以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b 解析： 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab ＝4，因此A 正确．a 3＋b 3≥2ab 2⇔(a －b )(a 2＋ab －b 2)≥0，但a ，b 大小不确信，因此B 错误． (a 2＋b 2＋2)－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，因此C 正确． |a －b |≥a －b ⇔|a －b |＋b ≥a ⇔b (a －b )≥0，因此D 正确．答案： B 10．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a，Q ＝a ＋b ，那么( ) A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析： P －Q ＝a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab ＝(a ＋b )(a 2＋b 2－2ab )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab.∵a，b都是正实数，且a≠b，∴(a ＋b )(a －b )2ab>0，∴P >Q . 答案： A11．假设函数f (x )，g (x )别离是R 上的奇函数、偶函数，且知足f (x )－g (x )＝e x ，那么有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)解析： 因为函数f (x )，g (x )别离是R 上的奇函数、偶函数．因此f (－x )－g (－x )＝－f (x )－g (x )＝e －x ，f (x )－g (x )＝e x ，②①②联立，解之得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2代入数值比较可得． 答案： D12．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x ≥1”的( ) A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 解析： 因为2x ＋a x ≥22x ·a x ＝22a ， 当a ＝18时22a ＝1. 但当a ＝2时，22a ＝4，固然有2x ＋a x≥1因此是充分没必要要条件． 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，那么a ，b ，c 的大小顺序是__________．解析：用分析法比较，a>b⇔3＋5>2＋6⇔8＋215>8＋212，同理可比较得b>c.答案： a >b >c14．已知三个不等式：(1)ab >0；(2)－c a <－d b；(3)bc >ad . 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为________．解析： 运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式(2)切入，去寻觅它与(1)的联系． －c a <－d b ⇔c a >d b ⇔c a －d b>0 ⇔bc －ad ab>0⇔ab ·(bc －ad )>0. 答案： (1)、(3)⇒(2)；(1)、(2)⇒(3)；(2)、(3)⇒(1)15．假设f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n ，那么f (n )，g (n )，φ(n )的大小顺序为________． 解析： 因为f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n 2－1＋n .又因为n 2－1＋n <2n <n 2＋1＋n ，因此f (n )<φ(n )<g (n )．答案： g (n )>φ(n )>f (n )16．完成反证法整体的全进程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2,3，……，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：反设p 为奇数，那么________均为奇数．①因奇数个奇数的和仍是奇数，因此有奇数＝________. ②＝________.③＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．解析：反设p为奇数，那么(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数．因为数个奇数的和仍是奇数，因此有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．答案：(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋3＋ (7)三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤) 17．(12分)假设a<b<c，求证：a2b＋b2c＋c2a<a2c＋b2a＋c2b.证明：∵a<b<c，∴a－b<0，b－c<0，a－c<0，于是：a2b＋b2c＋c2a－(a2c＋b2a＋c2b)＝(a2b－a2c)＋(b2c－b2a)＋(c2a－c2b)＝a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)＝a2(b－c)－b2(b－c)＋c2(a－b)－b2(a－b)＝(b－c)(a2－b2)＋(a－b)(c2－b2)＝(b－c)(a－b)(a＋b)＋(a－b)(c－b)(c＋b)＝(b－c)(a－b)[a＋b－(c＋b)]＝(b－c)(a－b)(a－c)<0，∴a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2.18．(12分)已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明： ∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c .由于上述三个不等式两边均为正，别离相乘，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 19．(12分)求证：3＋8>1＋10.证明： 用分析法证明8＋3>1＋10⇐8＋3＋224>1＋10＋210 ⇐224>210⇐24>10.最后一个不等式是成立的，故原不等式成立．20．(12分)假设x ，y >0，且x ＋y >2，那么1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2. 证明： 反设1＋y x ≥2且1＋x y≥2， ∵x ，y >0，∴1＋y ≥2x,1＋x ≥2y 两边相加，那么2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )，可得x ＋y ≤2，与x ＋y >2矛盾， ∴1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2.21．(12分)已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，求证|ac ＋bd |≤1. 证明： 证法一(综合法) 因为a ，b ，c ，d 都是实数，因此|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22. 又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.因此|ac ＋bd |≤1.证法二(比较法) 显然有|ac ＋bd |≤1⇔－1≤ac ＋bd ≤1.先证明ac ＋bd ≥－1.∵ac ＋bd －(－1)＝ac ＋bd ＋12＋12＝ac ＋bd ＋a 2＋b 22＋c 2＋d 22＝(a ＋c )2＋(b ＋d )22≥0. ∴ac ＋bd ≥－1.再证明ac ＋bd ≤1.∵1－(ac ＋bd )＝12＋12－(ac ＋bd ) ＝a 2＋b 22＋c 2＋d 22－ac －bd＝(a－c)2＋(b－d)22≥0，∴ac＋bd≤1.综上得|ac＋bd|≤1.证法三(分析法)要证|ac＋bd|≤1.只需证明(ac ＋bd )2≤1.即只需证明a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤1. ①由于a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，因此①式等价于a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)② 将②式展开、化简，得(ad －bc )2≥0. ③因为a ，b ，c ，d 都是实数，因此③式成立，即①式成立，原命题得证．22．(14分)数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1＝3，b 1＝1，数列{ba n }是公比为64的等比数列，b 2S 2＝64.(1)求a n ，b n ；(2)求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34. 解析： (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，那么d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ ba n ＋1ba n ＝q 3＋nd q 3＋(n －1)d ＝q d ＝64＝26，S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，①由(6＋d )q ＝64知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一，解①得d ＝2，q ＝8.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：∵S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)．∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<34.第三讲 柯西不等式与排序不等式一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．假设a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，那么a ＋b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．[－5，5]解析： 由(a 2＋b 2)(1＋1)≥(a ＋b )2，因此a ＋b ∈[－25，25]，应选A.答案： A2．假设x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，y 21＋y 22＋…＋y 2n ＝1，那么x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n 的最大值是( ) A ．2 B ．1C ．3 D.333解析： 由(x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n )2≤(x 21＋x 22＋…＋x 2n )(y 21＋y 22＋…＋y 2n )＝1，应选B.答案： B3．学校要开运动会，需要买价钱不同的奖品40件、50件、20件，此刻选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，那么至少要花( )A ．300元B ．360元C ．320元D ．340元解析： 由排序原理知，反序和最小为320，应选C.答案： C4．已知a ，b ，c 为非零实数，那么(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2的最小值为( )A ．7B ．9C．12 D．18≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2＝(1＋1＋1)2＝9，∴所求最小值为9，应选B.答案： B5．设a ，b ，c ≥0，a 2＋b 2＋c 2＝3，那么ab ＋bc ＋ca 的最大值为( )A ．0B ．1C ．3 D.333解析： 由排序不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，因此ab ＋bc ＋ca ≤3.故应选C.答案： C 6．表达式x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值是( )A ．2B ．1C. 2D.32解析： 因为x 1－y 2＋y 1－x 2≤(x 2＋1－x 2)(1－y 2＋y 2)＝1，应选B.答案： B7．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，那么实数a 的最大值为() A ．2 B ．4C. 2 D ．16因此不等式(x ＋y )(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4，故应选B.答案： B8．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，那么a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B.3 C ．2 3 D.32解析： 1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2 ＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13， ∴(a ＋b ＋2c )2≤3，即所求为 3.答案： B9．假设a >b >c >d ，x ＝(a ＋b )(c ＋d )，y ＝(a ＋c )(b ＋d )，z ＝(a ＋d )(b ＋c )，那么x ，y ，z 的大小顺序为( )A ．x <z <yB ．y <z <xC ．x <y <zD ．z <y <x解析： 因a >d 且b >c ，则(a ＋b )(c ＋d )<(a ＋c )(b ＋d )，得x <y ，因a >b 且c >d ，则(a ＋c )(b ＋d )<(a ＋d )(b ＋c )，得y <z ，应选C.答案：C10．若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2且a1＋a2＝b1＋b2＝1，那么以下代数式中值最大的是()A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析： 利用特值法，令a 1＝0.4，a 2＝0.6，b 1＝0.3，b 2＝0.7计算后作答；或依照排序原理，顺序和最大．答案： A11．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝4，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝163，那么a 的最大值为() A ．16 B ．10C ．4D ．2解析： 构造平面π：x ＋y ＋z ＋(a －4)＝0，球O ：x 2＋y 2＋z 2＝163－a 2，那么点(b ，c ，d )必为平面π与球O 的公共点， 从而|a －4|3≤ 163－a 2，即a 2－2a ≤0，解得0≤a ≤2，故实数a 的最大值是2.答案： D12．x ，y ，z 是非负实数，9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，那么函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( )A ．9B ．10C ．14D ．15 解析： u 2＝(3x ＋6y ＋5z )2 ≤[(3x )2＋(23y )2＋(5z )2]·[12＋(3)2＋(5)2]＝9×9＝81，∴u ≤9.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)。
高二选修4-5_证明不等式的基本方法4
把 以 上 四 个 不 等 式 相 加得 abcd a b c d abcd abd bca cbd dac
abcd. 即 ab cd
1 a b c d 2 abd bca cba dac
分式型放缩可改变分子或分母， 或分子、分母同时改变，达到放缩的目的．
例2
已知a,b是实数,求证 a b 1 a b
【解析】当
n＞1
1 1 11 时，n2＞nn＋1＝n－n＋1.
所以212＋312＋412＋…＋n12＞2×1 3＋3×1 4＋4×1 5＋…＋nn1＋1＝ 12－13＋13－14＋14－15＋…＋1n－n＋1 1＝12－n＋1 1.
【例 1】
证
明
：12
－
1 n＋1
＜
1 22
＋
1 32
＋
1 42
＋
…
x 1x
y 1 y
B
A B
方法2：特值法: 因为x>0,y.>0, 所以取x=1,y=1代入可比较。
含根式不等式的放缩
【例 3】 已知实数 x，y，z 不全为零，求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2＞32(x＋y＋z)．
【解题探究】 欲证不等式左端是三个根式的和，而右端 是有理式，若两边平方则十分复杂，可考虑对根号内的式子进 行配方后再用放缩法．
1．放缩法：在证明不等式的过程中，有时 利用不等式的_传__递_性____，通过对不等式的某些 部分作适当的__放_大_或_缩_小______，达到证明的目 的．
2．放缩法的实质是__非_等_价_转__化________，放 缩没有__一_定_的_准_则__和_程_序__________，需按题意适当 放缩，否则达不到目的．
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(含答案解析)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +BCD．22．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n ana b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A ．n n T M ≥B ．n n T M >C ．n n T M <D ．n n T M ≤3．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2 B ．1CD ．4．函数y =的最大值是( )ABC ．3D ．55．函数y＝的最大值为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．126．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为 A ．9 B ．8 C ．3D ．137．已知空间向量(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),OA OB OC === 向量,OP xOA yOB zOC =++且424x y z ++=,则OP 不可能是 A ．12B ．1C ．32D ．48．下列不等式成立的有①a b a b -≤-，②a b c ++≥，③22222()()()a b c d ac bd ++≤+ A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9．证明：2111111(1)22342n n n n+<++++++，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 10．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ）A ．（2，3）B ．（1，3）C ．（0，2）D ．（1，2）11．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47 12．设是正数，且，，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知平面向量,,a b c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则a b -的最大值为__________．14．已知,,x y z 是正数，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是__________. 15．若x y z R ∈、、，且226x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______. 16．函数4337y x x =-+-的最大值为________．17．已知,,a b c ∈R 且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为________． 18．已知正实数,,a b c ，且1a b c ++=，则()222149a b c +++的最小值为______． 19．已知,,a b c ∈R,2229a b c ++=，23M a b c =++，则M 的最大值是___． 20．设向量(,)a b α=，(,)m n β=，其中,,,a b m n R ∈，由不等式αβαβ⋅≤⋅恒成立，可以证明（柯西）不等式()()22222()am bn a bmn +≤++（当且仅当α∥β，即an bm =时等号成立），已知,x y R +∈3x y x y +恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是____三、解答题21．已知函数()31f x x x =+++. （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为n ，若正实数,,a b c ，满足a b c n ++=，证明4118a b c++≥. 22．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 23．已知a ，b ，c 为正实数，求2a b c b c c a a b+++++的最小值. 24．已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1.（Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）证明：32++≥+++a b c b c a c a b . 25．已知a b c ∈R 、、，且22224a b c ++=，求实数a b c ++的最大值. 26．已知0a >，0b >，0c >.()1若abc a b c =++，求证：9ab bc ac ++≥；()2若3a b c ++=，求证：2223b c a a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．C解析：C 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈即得解. 【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n anb n =-，所以24622462log log log log log ()1352113521n aa a a a n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴<，∴< 假设当n k =时，原式成立，即1121232k k -⨯⨯⋯⨯<，那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯<=<++，即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．4．B解析：B 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】因为y =≤=2=，即265x =时，取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】利用向量的关系a b a b ⋅≤⋅，可设向量()4,3a =，(3,b x =-，然后进行求解即可 【详解】由已知得，函数的定义域为37x ≤≤，设向量()4,3a =，(3,b x =-，则5a =，2b =，10a b a b ⋅≤⋅=，当且仅当a b 时，即0=时，等号成立，解得13925x =，属于定义域范围， 所以，该函数y 可以取得最大值为10 答案选C 【点睛】本题考查向量中的最值问题，属于中档题6．A解析：A 【分析】利用柯西不等式可得最小值． 【详解】 因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭()()()222222111abc a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 21119a b c a b c ⎛⎫≥⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝ 当且仅当13a b c ===时等号成立，故所求最小值为9，故选A ． 【点睛】 一般地，如果12,,,n a a a ，12,,,n b b b 是实数，那么()()()222222212121111n n n n aa ab b b a b a b a b ++++++≥+++，进一步地，（1）如果1111n n a b a b a b M +++=，那么()()2222221212n n a a a b b b ++++++有最小值2M ，当且仅当1111nna a ab b b ===时取最小值； （1）如果()()2222221212n n a a a b b b M ++++++=，那么1111n n a b a b a b +++有最大值M ，当且仅当1111nna a ab b b ===时取最大值． 7．A解析：A 【分析】由题求得OP 的坐标，求得OP ，结合424x y z ++=可得答案. 【详解】(),,x y y z =+ ，()222OP x y y z =+++利用柯西不等式可得()()()22222224214216x y y z x y z ⎡⎤⎡⎤+-++++≥++=⎣⎦⎣⎦21621OP ∴≥. 故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.8．B解析：B 【分析】对不等式逐一分析即可. 【详解】对①，两边同时平方可得222222a a b b a ab b -+≤-+，化简可得a b ab ≥，显然成立，所以①正确；对②，三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，那么a b c ++≥且仅当a b c ==时，等号成立，前提必须是三个正数，故②错误； 对③，由柯西不等式的最简形式可知：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，故③错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的相关知识，考查了绝对值三角不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式，属于基础题.9．D解析：D 【详解】试题分析：2n =时中间式子的最后一项为14，中间式子为1111234+++ 考点：数学归纳法10．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x x xxf x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2xy =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．11．C解析：C 【解析】试题分析：由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点：柯西不等式.12．C解析：C 【解析】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 由于等号成立当且仅当则a="t" x b="t" y c="t" z ，所以由题知又，答案选C 。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞3．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．4．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1 BC 1D 5．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．已知x,y,z ∈(0,+∞),且1231,x y z ++=则y zx 23++的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．97．y=x 的最大值是 （ ）A ．1B ．2C D ．48．下列不等式成立的有①a b a b -≤-，②a b c ++≥③22222()()()a b c d ac bd ++≤+ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．334D ．73410．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则222a b b c a c+++++ 的最小值为( )A ．1B ．3C ．6D ．911．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C D 12．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47二、填空题13．设α，()0,πβ∈，则()()sin sin sin ααββ++的最大值为______. 14．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++________．15．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA 、PB 、BC 两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M 是底面ABC 内一点，则M 到三个侧面的距离的平方和的最小值是________.16．函数()f x =______________.17．设实数x ，y ，m ，n 满足221x y +=，223m n +=，那么mx ny +的最大值是__________．18．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足815a =、415b =，若对任意的{}(,)(,)|1,0x y x y xa yb xy ∈+=，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为_______.19．已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是__________．20．若23411x y z ++=，则222x y z ++的最小值为_________．三、解答题21．已知222x y +=，且x y ≠，求()()2211x y x y ++-的最小值．22．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 23．已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M .（1）求集合M ；（2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c++=，求2993a b c ++的最小值. 24．已知,,a b c +∈R ，且满足1abc =， （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．25．已知x ，y ，z 均为正数，且11131112x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 26．已知函数()212f x x x =-+-． （1）解不等式()4f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．D解析：D 【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥， 左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=， 所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D3．C解析：C 【分析】. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.4．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.5．B解析：B 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7． 故选B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解23y zx ++的最小值即可. 【详解】 x 1232323y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥2⎛ =9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.即23y zx ++的最小值为9. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤，且2112y =+≤+=，则y =x当且仅当221x x =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【分析】对不等式逐一分析即可. 【详解】对①，两边同时平方可得222222a a b b a ab b -+≤-+，化简可得a b ab ≥，显然成立，所以①正确；对②，三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，那么a b c ++≥且仅当a b c ==时，等号成立，前提必须是三个正数，故②错误； 对③，由柯西不等式的最简形式可知：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，故③错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的相关知识，考查了绝对值三角不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式，属于基础题.9．C解析：C 【解析】由柯西不等式，可得))][()22222223321x x y z ⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以22232334x y z ++≥，当且仅当3x ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立，所以22223x y z ++的最小值为334．故选C ． 10．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3ab c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 12．C解析：C 【解析】 试题分析：由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点：柯西不等式.二、填空题13．【分析】利用柯西不等式及和差角公式即可得答案；【详解】由以上两式中等号成立分别当且仅当此时所以所求式子的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用考查逻辑推理能力运算求解能力综合【分析】利用柯西不等式及和差角公式，即可得答案； 【详解】2[sin sin()]ααβ++2(sin sin cos cos sin )ααβαβ=+⋅+⋅=2[sin (1cos )cos sin ]αβαβ⋅++⋅22222(sin cos )[(1cos )sin ]22cos 4cos 2βααβββ≤+++=+=，由(0.)(0,)22ββππ∈⇒∈， ∴[sin sin()]sin ααββ++⋅≤22sin cos4sincos 222ββββ⋅⋅=⋅8=≤=，以上两式中，等号成立分别当且仅当sin cos1cos sin ααββ=+，221sin cos 222ββ=，此时2arctan 2αβ==，所以所求式子的最大值为9，. 【点睛】本题考查柯西不等式及和差角公式的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，综合性较强.14．【分析】根据积和结构条件利用柯西不等式求解注意柯西不等式中等号成立的条件即可【详解】因为所以又由柯西不等式得：当且仅当取等号设则所以故答案为：【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用还考查了运算求解的能 解析：12【分析】根据“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可. 【详解】因为22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，所以()()()2222222400a b cx y z ax by cz ++++=++=，又由柯西不等式得：()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++，当且仅当a b cx y z==取等号，设a b ck x y z ===， 则,,a kx b ky c kz === 所以12a b c x y z ++=++.故答案为：12【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】利用等体积转化法求出M 到三个侧面的距离的关系式构造柯西不等式即可求解【详解】由PAPBBC 两两垂直可得平面设M 到三个侧面的距离分别为则化简得由柯西不等式知即当且仅当即时取等号故答案为【点睛】解析：1641【分析】利用等体积转化法，求出M 到三个侧面的距离的关系式，构造柯西不等式，即可求解. 【详解】由PA 、PB 、BC 两两垂直，可得PA ⊥平面PBC ，设M 到三个侧面,,PAB PAC PBC 的距离分别为,,x y z ，则11113334343222113432M PAB M PAC M PBC A PBC V V V x y z V ----⎛⎫++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭==⨯⨯⨯ 化简得3444x y z ++=，由柯西不等式知，()()2222222344()344x y z x y z ++++≥++，即2221641x y z ++≥，当且仅当344x y z ==，即1216,4141x y z ===时取等号.故答案为1641【点睛】本体主要考查三棱锥的体积及利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件，考查推理论证与运算求解能力，属于基础题.16．【分析】利用函数表达式即可求得函数的定义域为构造柯西不等式模型即可得解【详解】因为所以解得：所以函数的定义域为：又所以所以当且仅当时等号成立所以函数的最大值为【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西【分析】利用函数表达式即可求得函数()f x 的定义域为[]1,2，构造柯西不等式模型即可得解． 【详解】 因为()f x =所以1020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x ≤≤，所以函数()f x 的定义域为：[]1,2.又()()()2221212x x -+-+≥⎤⎦⎡⎣所以25+≤.，当且仅当65x =时，等号成立． 所以函数()f x =【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西不等式求最值，考查观察能力，属于中档题． 17．【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可详解：的最大值是故答案为点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条【解析】分析：直接利用柯西不等式求解即可.详解：()()()222223mx xy x y m n +≤++=,mx ny ∴+mx ny ∴+点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 18．【解析】分析：设单位向量的夹角为锐角由得由得出令得出求不等式的解集可得结果详解：设向量的夹角为锐角由得∴即；又由柯西不等式得；令则化简得解得所以即的最小值为故答案为点睛：本题考查了平面向量数量积与不 解析：815【解析】分析：设单位向量,b a 的夹角为锐角θ，由|1,0xa yb xy +=，得()()22152cos sin 16x y y θθ++=，由1x y +≤得出()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭，令t cos θ=，得出()()222116+41541t t -≥-，求不等式的解集可得结果. 详解：设向量,a b 的夹角为锐角θ，由1xa yb +=，0xy >，得22641664cos 1151515x y xy θ++=，∴()222221644cos cos sin 115x xy y y θθθ+++=， 即()()22152cos sin 16x y y θθ++=；又1x y +≤，由柯西不等式得()()()222212cos [2cos sin ][]142sin x y y x y θθθθ-⎛⎫+++≥+= ⎪⎝⎭ ；令cos t θ=，则()()222116+41541t t -≥-，化简得26460110t t -+≤， 解得111 416t ≤≤，所以328 cos 1515a b θ⋅=≥，即a b ⋅的最小值为815，故答案为815． 点睛：本题考查了平面向量数量积与不等式的解法与应用问题，此题最大的难点在于构造柯西不等式，具有一定难度.19．【解析】令则∵∴∴由柯西不等式得：当且仅当u=v=即或时的最小值是1故填1解析：1【解析】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， ∵222x y +=，∴22()()8u v u v ++-=，∴224u v ，由柯西不等式得：222211()()4u v u v++≥,当且仅当x =0y =或0x =，y =2211()()x y x y ++-的最小值是1,故填1. 20．【解析】所以当且仅当即时取等号所以所求最小值为解析：12129【解析】 2222222211(234)(234)()x y z x y z =++≤++++，所以22212129x y z ++≥，当且仅当234x y z ==，即223344,,292929x y z ===时取等号，所以所求最小值为12129． 三、解答题21．1【分析】令,u x y v x y =+=-，得224u v ，利用柯西不等式可以求出. 【详解】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， 222x y +=，22()()8u v u v ∴++-=，得224u v ，由柯西不等式可得2222211114u v u v ，即22111u v ， 当且仅当222u v ==，即2,0x y 或0,2x y 时，等号成立， 故()()2211x y x y ++-的最小值为1.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.22．（1）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）14. 【分析】 （1）利用绝对值不等式和已知条件得出15|2|22x x -++=，解出x 的范围即可； （2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果. 【详解】 （1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当12x <-时，1351(2)2,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去， 当122x -≤≤时，15(2)22x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立， 当2x >时，135(2)2,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去， 则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣ （2）设集合M 中元素的最大值为2t =，即111423a b c++=. 又因为 22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝所以即2993a b c ++的最小值14，当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号. 【点睛】 本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题.23．（1）1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）14. 【分析】（1）利用绝对值不等式和已知条件得出15|2|22x x -++=，解出x 的范围即可； （2）利用三个数的柯西不等式配凑整理即可得出结果.【详解】（1）115|2|(2)222x x x x ⎛⎫-++≥--+≥ ⎪⎝⎭， 又因为15|2|22x x -++≤， 所以15|2|22x x -++=， 当21x <-时，()135122,2222x x x x ⎛⎫---+=-+==- ⎪⎝⎭舍去， 当122x -≤≤时，()15222x x ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭成立， 当2x >时，()13522,2222x x x x ⎛⎫-++=-== ⎪⎝⎭舍去， 则122M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）设集合M 中元素的最大值为2t =， 即111423a b c++=. 又因为22121111199349932344a b c a b c a b c ⎫⎛⎫⎛⎫++=++++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝所以即2993a b c ++的最小值14， 当且仅当34a =，38b =，14c =时取等号. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和柯西不等式.属于中档题.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先将1abc =代入不等式左边可得()2223a b c ++，再由柯西不等式证明即可. （2）设1a x =，1b y =，1c z =，则1xyz =，将式子中的,,a b c 用1x ，1y ，1z 替换左边等于3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++，化为()1113x y z y z x z x y ⎛⎫++++- ⎪+++⎝⎭，再利用柯西不等式即可证明. 【详解】（1）左边()2223a b c =++， 由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==）， 即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证． （2）由于,,a b c +∈R ，1abc =，设1a x=，1b y =，1c z =，则1xyz =， 所以()()()222111x y z a b c b a c c a b y z x z x y++=++++++++， 则3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++ ()1113x y z y z x z x y ⎛⎫=++++- ⎪+++⎝⎭ ()()()111132y z x z x y y z x z x y ⎛⎫=+++++⋅++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭． 由柯西不等式可得：()()()()21111119y z x z x y y z x z x y ⎛⎫+++++⋅++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭， （当且仅当x y z ==时等号成立） 所以93322x y z y z x z x y ++≥-=+++， 故()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++（当且仅当a b c ==时等号）， 则原不等式得证．【点睛】本题主要考查利用柯西不等式证明不等式成立的问题，考查考生的运算求解能力和推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.25．详见解析【分析】由x ，y ，z 均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；【详解】因为x ，y ，z 均为正数，所以1x +，1y +，1z +均为正数，由柯西不等式得()()()214191111(123)36111x y z x y z ⎛⎫++≥++= ⎪+++++++⎡⎭⎤⎣⎦+⎝， 当且仅当222(1)4(1)9(1)x y z +=+=+时，等式成立． 因为11131112x y z ++≤+++， 所以2(1)4(1)9(1)36243x y z +++++≥⨯=， 所以4910x y z ++≥．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．26．（1）1|3x x ⎧≤-⎨⎩或73x ⎫≥⎬⎭； （2）914【分析】（1）对()212f x x x =-+-分三种情况讨论去绝对值号，然后解不等式.（2）根据（1）先求出的m 值，用柯西不等式即可.【详解】解：（1） ()133,21212=1,2233,2x x f x x x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩当2x ≥时，334x -≥，解得73x ≥． 当122x <<时，14x +≥，解得x ∈∅． 当12x ≤时，334x -+≥，解得13x ≤-． 综上，原不等式的解集为1|3x x ⎧≤-⎨⎩或73x ⎫≥⎬⎭．（2）由（1）知，()min 1322f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴32m =．∴233a b c ++=． 由柯西不等式，有()()()222222212323a b ca b c ++++≥++， ∴222914a b c ++≥． 当且仅当23b c a ==，即314a =，37b =，914c =时，等号成立． ∴222a b c ++的最小值为914． 【点睛】考查有两个绝对值号的不等式的解法以及用柯西不等式证明不等式，中档题.。
上海上海第中学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(包含答案解析)
一、选择题1．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（ ）A ．9B ．3C ．1D ．62．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1C D ．3．设,,,,,a b c A B C R ∈，且满足,a b c A B C ≤≤≤≤，若1S Aa Bb Cc =++，2S Ac Bb Ca =++，3S Ab Bc Ca =++，则 （ ）A ．123S S S ≤≤B ．321S S S ≤≤C ．132S S S ≤≤D ．231S S S ≤≤4．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（ ）． A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥ C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥5．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．96．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65B ．6 35C ．36 35D ．67．已知x,y,z ∈(0,+∞),且1231,x y z ++=则y zx 23++的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．98．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( )A ．B ．4C ．12D ．69．若a ，b R +∈，且1a b +=A ．2+B ．C ．3D10．用数学归纳法证明：11112321nn ++++<-，(*,1)n n ∈>N 时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ）． A ．2kB ．21k -C ．12k -D ．21k +11．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ） A ．（2，3） B ．（1，3） C ．（0，2） D ．（1，2）12．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是A ．20B ．25C ．36D ．47二、填空题13．设,,a b c 为正数，241a b c ++=的最大值是___________14．已知实数,x y 4=，则22x y +的取值范围为___________.15．设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的任一排列，则123452345x x x x x ++++的最小值是_____．16．函数()f x =______________.17．函数y 11π110αsin αcos α2⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是_______ 18．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________． 19．若23411x y z ++=，则222x y z ++的最小值为_________．20．若正数,,a b c 满足41a b c ++=,_________三、解答题21．已知无穷数列{}n a 满足：00a =，()*101n n a a n N -≤<-∈．（Ⅰ）证明：0n a n <≤；（Ⅱ）证明：()3312212a a a a ≤++；（Ⅲ）证明：()33312122n n a a a a a a ++++++≤……．22．（1）已知,,1a b R a b +∈+=，求证：114a b+≥.（2）已知23x y z ++=222x y z ++的最小值.23．设x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求222111x y z x y z+++++的最小值.24．若实数a ，b ，c 满足7a b c ++=，求证：2224936a b c ++25．已知函数()2||f x x =．（1）求不等式()1f x >的解集； （2）若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值．26．已知函数()12f x x x =++-，若2a b c ++=(),,a b c R ∈，且不等式()222a b c f x ≥++恒成立，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可 【详解】解：由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3 故选：B. 【点睛】考查柯西不等式求最值，基础题.2．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．3．D解析：D 【分析】由排序不等式可直接得解. 【详解】,a b c A B C ≤≤≤≤，1S Aa Bb Cc =++为顺序和，2S Ac Bb Ca =++为倒序和，3S Ab Bc Ca =++为乱序和，由排序不等式可知：倒序和≤乱序和≤顺序和， 所以231S S S ≤≤.【点睛】本题主要考查了利用排序不等式比较大小，属于基础题.4．C解析：C 【分析】根据基本不等式，判断AB 选项正确；举特殊值13a b c ===，可判断C 选项错误；根据柯西不等式，可判断D 选项正确. 【详解】 因为1a b c ++=，所以()21a b c ++=，即2222221a b c ab ac bc +++++=， 由基本不等式可得：222222a b c ab ac bc +++++222222222333222a b a c c b ab ac bc ab ac bc +++≥=+++++++，所以13ab bc ca ++≤，当且仅当a b c ==时，等号成立；故A 正确；又()()()222222222222222a b c a b c a b a c b c ab ac bc ++++++++++≤+++即222222332223a b c a b c ab ac bc +++++++≤， 所以22213a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立；故B 正确； 因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，若13a b c ===，则3331111127272793a b c ++=++=<，所以33313a b c ++≥不正确；故C 错；由柯西不等式得：()21119a b c a b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭， 即1119a b c++≥==，即13a b c ===时，等号成立，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，灵活运用基本不等式以及柯西不等式即可，属于常考题型.5．B解析：B先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.7．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解23y zx ++的最小值即可.x 1232323y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥2⎛ =9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.即23y zx ++的最小值为9. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．D解析：D 【解析】 【分析】首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2,∴y=2-2x ,∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x ≥ 6.=当且仅当32x =32-2x ,即x 1,12y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．D解析：D 【解析】因为a ，b R +∈，且1a b +=，所以2212a b ab +=-， 又()2225626222a b ab ab ab =+++-+-++10=≥12a b =时，等号成立，故．故选D ． 10．A解析：A 【解析】从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项为1111,,,22121k k k ++- ，因此增加的项数是21012k k --+= ，选A.11．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxx f x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2x y =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．12．C解析：C 【解析】 试题分析：由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点：柯西不等式.二、填空题13．【分析】根据柯西不等式直接求最值【详解】当且仅当时取等号即的最大值是故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值考查基本分析求解能力属基础题【分析】根据柯西不等式直接求最值. 【详解】22222225()(11((2)]22a b c +≤++++=当且仅当2,510a b c ===2≤的最大值是2故答案为：2【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【分析】直接利用柯西不等式化简即可【详解】由柯西不等式可得所以即所以故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键属于基础题 解析：[3,5]【分析】直接利用柯西不等式，化简即可. 【详解】由柯西不等式可得，()222222(1)(1)142x y x y x y +++-+-+≤=≤， 所以222222(1)(1)412x y x y x y +++-+≤=++，即2235x y ≤+≤所以22[3,5]x y +∈. 故答案为：[]3,5 【点睛】本题考查了柯西不等式，将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键，属于基础题.15．35【解析】【分析】利用反序排列推出结果即可【详解】由题意可知：是12345的反序排列时取得最小值即故答案为：35【点睛】本题考查反序排列的性质考查计算能力解析：35 【解析】 【分析】利用反序排列，推出结果即可． 【详解】由题意可知：1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的反序排列时，123452345x x x x x ++++取得最小值，即152433425135⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故答案为：35． 【点睛】本题考查反序排列的性质，考查计算能力16．【分析】利用函数表达式即可求得函数的定义域为构造柯西不等式模型即可得解【详解】因为所以解得：所以函数的定义域为：又所以所以当且仅当时等号成立所以函数的最大值为【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西【分析】利用函数表达式即可求得函数()f x 的定义域为[]1,2，构造柯西不等式模型即可得解． 【详解】因为()f x =所以1020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x ≤≤，所以函数()f x 的定义域为：[]1,2.又()()()2221212x x -+-+≥⎤⎦⎡⎣所以25+≤.，当且仅当65x =时，等号成立．所以函数()f x =【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西不等式求最值，考查观察能力，属于中档题．17．【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果【详解】由柯西不等式得：y≥≥当且仅当即α即y 的最小值是【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法二倍角公式及其应用解析：3+【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果. 【详解】 由柯西不等式得：y 222211⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥211⎛⨯+ ⎝21⎛= ⎝≥(213=+当且仅当sin 21α=,即α4π=时等号成立.即y 111102sin cos πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++<< ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是3+. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】由柯西不等式得（2x2+y2+3z2）（+1+）≥（x+y+z ）2=1∴2x2+y2+3z2≥即的最小值为故答案为： 解析：611【解析】由柯西不等式得，（2x 2+y 2+3z 2）（12+1+13）≥（x+y+z ）2=1 ∴2x 2+y 2+3z 2≥611，即22223x y z ++的最小值为611故答案为：611． 19．【解析】所以当且仅当即时取等号所以所求最小值为解析：12129【解析】2222222211(234)(234)()x y z x y z =++≤++++，所以22212129x y z ++≥，当且仅当234x y z ==，即223344,,292929x y z ===时取等号，所以所求最小值为12129． 20．【分析】直接利用柯西不等式列式化简后可求得最大值【详解】由柯西不等式得即即【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】直接利用柯西不等式列式，化简后可求得最大值.【详解】 由柯西不等式得2222221111122⎡⎤⎛⎫⎫⎡⎤⎢⎥++++≥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎭⎝⎭⎣⎦，即()2542a b c ++≥≤. 【点睛】 本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题21．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【分析】（Ⅰ）根据所给不等式，结合递推公式，利用叠加法可证得结论；（Ⅱ）利用题中条件，结合不等式的放缩法即可证明；（Ⅲ）运用（Ⅰ）（Ⅱ）的结论及数学归纳法即可证明．【详解】（Ⅰ）证明：由00a =，()*101n n a a n N -≤<-∈， 1201n n a a --<-≤，……1001a a <-≤，叠加可得00n a a n <-≤，因为00a =，即0n a n <≤．（Ⅱ）证法一：因为101a <≤，所以3211a a ≤，3222a a ≤，所以33231212a a a a ≤++．因为2221210a a a a ≤<-+，所以122112222a a a a a a ≤+++≤． 3221222a a a a +≤，所以()2312212a a a a ≤++． 所以()33231212221a a a a a a +++≤≤． 证法二：由（Ⅰ）知11a ≤，22a ≤，3211a a ≤，且211222a a a a ≤⋅⋅．因为211a a -≤，所以211a a ≤+，所以322222212122a a a a a a a ≤⋅+⋅+≤．所以()21332212121222a a a a a a a a ++=+≤+． （Ⅲ）证明：当1,2n =时，由（Ⅱ）知结论成立；假设n k =时，不等式成立，即()33312122k k a a a a a a ++++++≤……． 当1n k =+时，()2121k a a a ++++…()()212121212k k k k a a a a a a a a ++=++++++++…… ()33221213112k k k k a a a a a a a a ++≥++++++++……．要证()3331221211k k a a a a a a +++++≥+++……成立， 只需证()21131212k k k k a a a a a a +++++++≥…成立， 即证()122112k k k a a a a a ++++++≥…成立，因为222211a a a a -≤+， 223232a a a a ≤-+，……，2211k k k k a a a a ++≤-+，叠加可得()112122112k k k k a a a a a a a -++≤++++++…． 所以()122112k k k a a a a a ++++++≥…成立． 综上所述，()33312122n n a a a a a a ++++++≤……． 【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用、证明的方法，数学归纳法证明不等式中的应用，属于难题．22．（1）证明见解析（2）1【分析】（1）利用“1”的变形，由均值不等式求证即可；（2）根据柯西不等式，直接求最值即可.【详解】（1）,,1a b R a b +∈+=1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即12a b ==时，等号成立. （2）由柯西不等式知，()()2222222(23)123x y z x y z ++++++ 2221x y z ∴++， 当且仅当112314x y z ===时取等号， 即222x y z ++的最小值为1【点睛】本题主要考查了均值不等式，柯西不等式的应用，属于中档题.23．14【分析】利用1x y z ++=，构造符合柯西不等式条件的标准形式，根据柯西不等式即得所求最值.【详解】由柯西不等式可得，()()2222111111x y z x y z x y z x y z ⎛⎫+++++++≥++ ⎪+++⎝⎭因为1x y z ++=， 即22241111x y z x y z ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭ 22211114x y z x y z ∴++≥+++， 当13x y z ===时，等号成立， 故222111x y z x y z+++++的最小值为14. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，解题的关键是构造符合柯西不等式条件的标准形式，属于中档题.24．证明见解析【分析】 运用柯西不等式可得222222211[1()()](49)()23a b c a b c ++++++，结合条件即可得证． 【详解】 由柯西不等式可得222222221111[1()()](49)(23)()2323a b c a b c a b c ++++++=++， 所以2222()4911149a b c a b c ++++++， 由7a b c ++=，可得2224936a b c ++（当且仅当36497a b c ===时，取得等号）． 【点睛】 本题考查不等式的证明，考查柯西不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 25．（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963． 【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可.(2)代入可得1491149(49)3a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【详解】(1)化简得|3|2||1x x -->①当0x ≤时，()3(2)3f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤；②当03x <<时，()33f x x =-，由()1f x >，即331x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<； ③当3x ≥时，()3f x x =--，不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)249233a b c f ⎛⎫++=+=⎪⎝⎭， 所以1491149(49)3a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦2211196(149)333⎡≥⨯⨯=++=⎢⎣.当且仅当314a b c===时，等号成立.所以149a b c++的最小值为1963.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题型. 26．[]1,2-.【分析】由柯西不等式得()2222236a b ca b c++++≥=，转化条件得()3f x≤，结合绝对值三角不等式()12123f x x x x x=++-≥+-+=，即可得解.【详解】由柯西不等式可得()()()22222222121a b c a b c++≤++++，所以()2222236a b ca b c++++≥=，当且仅当121a b c==即b=a c==时，等号成立，所以()222a b c f x≥++恒成立()3f x⇔≤，因为()12123f x x x x x=++-≥+-+=，当且仅当12x-≤≤时，等号成立，所以()3f x≤的解集为12x-≤≤，所以实数x的取值范围[]1,2-.【点睛】本题考查了柯西不等式与绝对值三角不等式的综合应用，考查了计算能力与转化化归思想，属于中档题.。
数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案
数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知a，b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为（）A.18B.9C.3√2D.2√32. 已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[−1, 1]的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知正实数a，b，c，若a2+b2+4c2=1，则ab+2ac+3√2bc的最大值为（）A.1B.√22C.√2D.2√24. 设变量x，y满足|x−2|+|y−2|≤1，则y−xx+1的最大值为（）A.1 3B.12C.−14D.−135. 若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab−3bc+2c2的最大值为（）A.1B.2C.3D.46. 已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则√x+√+√3z的最大值是（）A.2B.2√2C.2√3D.37. 已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，a+b+c=k(x+y+z)，则k=()A.19B.13C.3D.98. 设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A.209B.115C.65D.1169. 实数a i(i=1, 2, 3, 4, 5, 6)满足(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2=1则(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为（）A.3B.2√2C.√6D.110. 若2x+3y+5z=29，则函数μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6的最大值为（）A.√5B.2√15C.2√30D.√3011. 若x、y为非零实数，代数式x2y2+y2x2−8(xy+yx)+15的取值范围是________．12. 请用柯西不等式求解．已知a、b、x、y都是正实数，且ax +by=1，则x+y的最小值为________．13. 已知a，b，c都是正数，且2a+b+c=6，则a2+ab+ac+bc的最大值为________．14. 已知a，b，c，d都是正数，a2+b2+c2=d2，a+b+c=dx，则x的取值范围是________．15. 若p，q，r为正实数，且1p +1q+1r=1，则p+q+r的最小值是________．16. 函数f(x)=√x−5+√24−3x的最大值为________．17. 已知a+b+c=0，则ab+bc+ca的值________0．（选填“>，<，≥，≤”）．18. （不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，则a的取值范围为________．19. 已知θ∈(5π4, 3π2)，若存在实数x，y同时满足cosθx=sinθy，sin2θx2+cos2θy2=52(x2+y2)，则tanθ的值为________．20. 已知实数x，y，z满足x+y+z=0，x2+y2+z2=1，则x的最大值不小于________．21. 已知关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立（1）求m的取值范围；（2）在（1）的条件下求函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值．22. 已知x2+y2+z2=1，求xy+yz最大值．23. 己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．（1）求证：ab+bc+ac≤43；（2）若a，b，c都小于1，求a2+b2+c2的取值范围．24. 已知函数f(x)=√t+2|x+1|−|x−3|的定义域为R．(1)求实数t的取值范围；(2)设实数m为t的最小值，若实数a，b，c满足a2+b2+c2=m2，求1a2+1+1b2+2+1c2+3的最小值．25. 在空间直角坐标系O−xyz中，坐标原点为O，P点坐标为(x, y, z)．（1）若点P在x轴上，且坐标满足|2x−5|≤3，求点P到原点O的距离的最小值；（2）若点P到坐标原点O的距离为2√3，求x+y+z的最大值．26. 设a，b，c，d∈R，a2+b2=c2+d2=1，求abcd的最大值．27. 已知(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2=1，求(a6+ a5)−(a1+a4)的最大值．28. 已知3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值．29. 已知|x−2y|=5，求证：x2+y2≥5．30. 已知x，y，z满足x−1=y+12=z−23，试求当x，y，z分别为何值时，x2+y2+z2有最小值，最小值为多少．31. 若M≥|ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)|a2+b2+c2对一切实数a、b、c都成立，求最小的实数M．32. 已知a+b=1，求证：a3+b3+3ab=1．33. 已知a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2．求y max=？34. 设x，y，z∈R，且(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24=1，求x+y+z最大值与最小值．35. 若存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立，求常数a的取值范围．36. 已知a+b+c=1．a2+b2+c2=1，求a+b的取值范围．37. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值．38. 正数a，b，c，A，B，C满足条件a+A=b+B=c+C=k，证明：aB+bC+ cA<k2．39. 已知a12+a22+...+a n2=1，x12+x22+...+x n2=1，求证：a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．40. 已知a，b，c∈N+，满足abc(a+b+c)=1．（1）求S=(a+c)(b+c)的最小值；（2）当S取最小值时，求c的最大值．参考答案与试题解析数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】利用柯西不等式，即可求出√a +1+√b +3的最大值． 【解答】解：由题意，(√a +1+√b +3)2≤(1+1)(a +1+b +3)=18， ∴ √a +1+√b +3的最大值为3√2， 故选：C ． 2.【答案】 A【考点】柯西不等式的几何意义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用柯西不等式2a 2+3b 2+6c 2=1，推出−1≤a +b +c ≤1，通过−1≤a +b +c ≤1利用特例否定2a 2+3b 2+6c 2=1，利用充要条件的判断方法推出结果． 【解答】解：由柯西不等式得：|a +b +c|≤|a|+|b|+|c| =√2⋅√2|a|+√3√3|b|√6⋅√6|c|≤√(√2)2+(√3)2+(√6)2⋅√(√2|a|)2+(√3|b|)2+(√6|c|)2=1，(2a 2+3b 2+6c 2=1)所以−1≤a +b +c ≤1，反之，当−1≤a +b +c ≤1时，不妨令a =0.9，b =0，c =0.1；2a 2+3b 2+6c 2=1.68>1，所以2a 2+3b 2+6c 2=1是a +b +c ∈[−1, 1]的充分不必要条件． 故选A ． 3.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】a 2+b 2+4c 2=(12a 2+12a 2)+(14b 2+34b 2)+(c 2+3c 2)，调整，利用基本不等式，即可得出结论．解：设a 2+b 2+4c 2=(12a 2+12a 2)+(14b 2+34b 2)+(c 2+3c 2)=(12a 2+14b 2)+(12a 2+c 2)+(34b 2+3c 2) ≥2+√2ac +3bc .∴ ab +2ac +3√2bc ≤√2， 当且仅当a =√55，b =2c =√105时，等号成立． ∴ ab +2ac +3√2bc 的最大值为√2． 故选C ． 4.【答案】 B【考点】柯西不等式的几何意义 【解析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案． 【解答】解：如图即为满足不等|x −2|+|y −2|≤1的可行域，是一个正方形， 得A(1, 2)，B(2, 1)，C(3, 2)，D(2, 3)． 当x =1，y =2时，则y−x x+1=12，当x =2，y =1时，则y−xx+1=−13， 当x =3，y =2时，则y−xx+1=−14， 当x =2，y =3时，则y−xx+1=13， 则y−xx+1有最大值12．故选B ．5.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式不妨考虑c，当c=0时，运用重要不等式a2+b2≥2ab，求得最大值；再由当c≠0时，3ab−3bc+2c2=3ab−3bc+2c2a2+b2+c2，分子分母同除以c2，设x=ac，y=bc，再整理成二次方程，由于x为实数，运用判别式大于等于0，再由y为实数，判别式小于等于0，即可解得所求的范围，进而得到最大值．【解答】解：不妨考虑c，当c=0时，有3ab−3bc+2c2=3ab≤3(a2+b2)2=32，当c≠0时，3ab−3bc+2c2=3ab−3bc+2c2a2+b2+c2=(ac)2+(bc)2+1˙，设x=ac ，y=bc，则可令M=3ab−3bc+2c2=3xy−3y+2x2+y2+1，即有Mx2−3xy+My2+M+3y−2=0，由于x为实数，则有判别式△1=9y2−4M(My2+M+3y−2)≥0，即有(9−4M2)y2−12My−4M(M−2)≥0，由于y为实数，则△2=144M2+16M(9−4M2)(M−2)≤0，即有M(M−3)(2M2+2M−3)≤0，由于求M的最大值，则M>0，则M≤3．故选：C．6.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，可得(1+2+3)(x+y+z)≥(√x+√2y+√3z)2，结合x+y+z= 2，即可求出√x+√2y+√3z的最大值．【解答】解：∵x、y、z是正数，∴(1+2+3)(x+y+z)≥(√x+√2y+√3z)2，∵x+y+z=2，∴√x+√2y+√3z≤√6⋅2=2√3，∴√x+√2y+√3z的最大值是2√3．故选：C．7.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：因为x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2，又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2等号成立，当且仅当ax =by=cz=k，则a=kx，b=ky，c=kz，代入a2+b2+c2=90，得k2(x2+y2+z2)=90，于是k=3，故选：C．8.【答案】A【考点】二维形式的柯西不等式【解析】运用柯西不等式：(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2，当且仅当ad =be=cf等号成立．【解答】解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴(22+22+12)(x2+4y2+9z2)=9×4≥(2x+4y+3z)2=36，∴可设2x =22y=13z=k，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=32，∴x+y+z=2k +1k+13k=209．故选A．9.【答案】B【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2，故选B．10.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤(2x+1+3y+4+ 5z+6)(12+12+12)，利用条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤(2x+1+3y+ 4+5z+6)(12+12+12)∵2x+3y+5z=29，∴(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤120，∴μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6≤2√30，∴μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6的最大值为2√30．故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】[−3, +∞)【考点】二维形式的柯西不等式【解析】令xy +yx=t，运用基本不等式，求出t的范围，将原式化为二次函数，配方，分别求出范围，再求并集．【解答】解：令xy +yx=t，则若xy>0，则t≥2，若xy<0，则t≤−2，∴原式=t2−2−8t+15=t2−8t+13=(t−4)2−3，当t≥2时，t=4时，原式取最小值为−3，无最大值，当t≤−2时，原式取最小值，且为33，∴原式的取值范围是[−3, +∞)．故答案为：[−3, +∞)．12.【答案】a+b+2√ab【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据二维形式的柯西不等式的代数形式，即可求解．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，可得(ax +by)(x+y)≥(√ax⋅√x+√by⋅√y)2，∵ax +by=1，∴x+y≥(√a+√b)2=a+b+2√ab，∴x+y的最小值为a+b+2√ab，故答案为：a+b+2√ab．13.【答案】9【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用基本不等式，a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤√a+b+a+c2，即可得出结论．【解答】解：∵a，b，c都是正数，∴a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤(a+b+a+c2)2，∴2a+b+c=6，∴a2+ab+ac+bc≤9，∴a2+ab+ac+bc的最大值为9，故答案为：9．14.【答案】(1, √3]【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据题意，得(ad )2+(bd)2+(cd)2=1，x=ad+bd+cd；利用换元法，设ad=m，bd=n，cd=p，(m>0, n>0, p>0)，则m2+n2+p2=1，求x=m+n+p的取值范围即可；再利用柯西不等式以及放缩法即可求出m+n+p的取值范围．【解答】解：∵a，b，c，d都是正数，a2+b2+c2=d2，∴(ad )2+(bd)2+(cd)2=1；又∵a+b+c=dx，∴x=ad +bd+cd；设ad =m，bd=n，cd=p，且m>0，n>0，p>0，则m2+n2+p2=1，x=m+n+p；由柯西不等式得：3=(12+12+12)•(m2+n2+p2)≥(1⋅m+1⋅n+1⋅p)2，∴−√3≤m+n+p≤√3，当且仅当{m=n=pm2+n2+p2=1，即m=n=p=√33时，取得最大值√3；又∵m>0，n>0，p>0，∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np>m2+n2+p2=1，∴m+n+p>1；综上，1<m+n+p≤√3，即x的取值范围是(1, √3]．故答案为：(1,√3]．15.【答案】9【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由题意可得p+q+r=(p+q+r)(1p +1q+1r)=3+pq+pr+qp+qr+rp+rq，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：若p，q，r为正实数，且1p +1q+1r=1，则p+q+r=(p+q+r)(1p +1q+1r)=3+pq+pr+qp+qr+rp+rq≥3+6=9，当且仅当q=q=r=3时，等号成立，故p+q+r的最小值是9，故答案为：9．16.【答案】2√3【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当bc=ad取得等号，即可得到最大值．【解答】解：函数f(x)=√x−5+√24−3x=√x−5+√3⋅√8−x≤√(1+3)(x−5+8−x)=2√3，当√8−x=√3⋅√x−5，即为x=234，则有f(x)的最大值为2√3．故答案为：2√3．17.【答案】≤【考点】二维形式的柯西不等式【解析】先把a+b+c=0两边分别平方，得：(a+b+c)2=0，然后展开移项即可得到答案．【解答】解：因为a+b+c=0，所以(a+b+c)2=0．展开得ab+bc+ca=−a 2+b2+c22，所以ab +bc +ca ≤0． 故答案为：≤． 18. 【答案】[211, 2] 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 由4−a 2=(2b 2+3c 2)×1=65(2b 2+3c 2)(12+13)≥(b +c)2⋅65=(a −2)2⋅65．得到关于a 的不等关系：20−5a 2≥6(a 2−4a +4)解之即得a 的取值范围． 【解答】解：由4−a 2=(2b 2+3c 2)×1=65(2b 2+3c 2)(12+13)≥(b +c)2⋅65=(a −2)2⋅65． ∴ 20−5a 2≥6(a 2−4a +4) ∴ 11a 2−24a +4≤0， ∴ 211≤a ≤2．则a 的取值范围为[211, 2]． 故答案为：[211, 2]． 19. 【答案】√2【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 设cos θx =sin θy=t ，求出sin θ、cos θ的值，代人另一式化简，再由sin 2θ+cos 2θ=1，求出y 2x 2+x 2y 2=52；利用tan θ=sin θcos θ=yx 得出方程tan 2θ+1tan 2θ=52，求出方程的解，再考虑θ∈(5π4, 3π2)，从而确定tan θ的值．【解答】 解：设cos θx=sin θy=t ，则sin θ=ty ，cos θ=tx ， 所以sin 2θx +cos 2θy =52(x +y )可化为：(ty)2x 2+(tx)2y 2=52(x 2+y 2)①；又sin 2θ+cos 2θ=t 2x 2+t 2y 2=1，得t2=1x2+y2②；把②代入①，化简得y 2x2+x2y2=52③；又tanθ=sinθcosθ=yx，所以③式化为tan2θ+1tan2θ=52，解得tan2θ=2或tan2θ=12；所以tanθ=±√2或tanθ=±√22；又θ∈(5π4, 3π2)，所以tanθ>1，所以取tanθ=√2．故答案为：√2．20.【答案】√22【考点】二维形式的柯西不等式【解析】设x2最大，然后根据条件可得2x2=1+2yz，可确定x与y异号，x与z异号则yz≥0，所以2x2≥1，从而求出所求．【解答】解：设x2最大因为x+y+z=0且x2+y2+z2=1所以2x2=1+2yz因为x+y+z=0，x2≥y2，x2≥z2所以x与y异号，x与z异号∴yz≥0∴2x2≥1，x2≥12．x≥√22，或x≤−√22．∴x的最大值不小于√22．故答案为：√22．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：（1）∵关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立，可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值．根据柯西不等式，有(√2−x+√x+1)2=(1⋅√2−x+1⋅√x+1)2≤[12+12]⋅[(√2−x)2+(√x+1)2]=6，所以√2−x+√x+1≤√6，当且仅当x=12时等号成立，故m>√6．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，∴f(m)≥3√12(m−2)⋅12(m−2)⋅1(m−2)23+2=32√23+2，当且仅当12(m−2)=1(m−2)2，即m=√23+2>√6时取等号，所以函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值为32√23+2．【考点】二维形式的柯西不等式函数恒成立问题【解析】（1）由题意可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值，再利用柯西不等式求得式子√2−x+√x+1的最大值，可得m的范围．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，再利用基本不等式，求得它的最小值．【解答】解：（1）∵关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立，可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值．根据柯西不等式，有(√2−x+√x+1)2=(1⋅√2−x+1⋅√x+1)2≤[12+12]⋅[(√2−x)2+(√x+1)2]=6，所以√2−x+√x+1≤√6，当且仅当x=12时等号成立，故m>√6．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，∴f(m)≥3√12(m−2)⋅12(m−2)⋅1(m−2)23+2=32√23+2，当且仅当12(m−2)=1(m−2)2，即m=√23+2>√6时取等号，所以函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值为32√23+2．22.【答案】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=√2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．【考点】柯西不等式的几何意义【解析】先将题中条件转化为1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)，再利用基本不等式即可求出xy+yz的最大值．【解答】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．23.【答案】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8∴8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca≥6ab+6abc+6ac，当且仅当a=b=c 时取等号，∴ab+bc+ac≤43；（2）解：由（1）知，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴4≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3(a2+b2+c2)，当且仅当a= b=c时取等号，∴a2+b2+c2≥43，∵a−a2=a(1−a)，0<a<1，∴a>a2，同理b>b2，c>c2，∴a2+b2+c2<a+b+c=2，∴43≤a2+b2+c2<2，∴a2+b2+c2的取值范围为[43, 2)．【考点】基本不等式二维形式的柯西不等式【解析】（1）由a+b+c=2，得到8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca，利用基本不等式得以证明，（2）由（1）和基本不等式得到a2+b2+c2≥43，再根据a−a2=a(1−a)，0<a<1，得到a>a2，继而求出范围．【解答】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴ 2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4bc +4ca =8∴ 8=2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4bc +4ca ≥6ab +6abc +6ac ，当且仅当a =b =c 时取等号，∴ ab +bc +ac ≤43；（2）解：由（1）知，a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4，∴ 4≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+b 2+c 2+a 2+c 2=3(a 2+b 2+c 2)，当且仅当a =b =c 时取等号， ∴ a 2+b 2+c 2≥43，∵ a −a 2=a(1−a)，0<a <1，∴ a >a 2， 同理b >b 2，c >c 2，∴ a 2+b 2+c 2<a +b +c =2， ∴ 43≤a 2+b 2+c 2<2，∴ a 2+b 2+c 2的取值范围为[43, 2)． 24.【答案】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立， 所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16， 由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9， 所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．【考点】绝对值不等式柯西不等式的几何意义【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立， 所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16， 由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9， 所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．25.【答案】解：（1）由点P 在x 轴上，所以P(x, 0, 0)，又坐标满足|2x −5|≤3，所以−3≤2x −5≤3，… 解得1≤x ≤4，…所以点P 到原点O 的距离的最小值为1..…（2）由点P 到坐标原点O 的距离为2√3， 故x 2+y 2+z 2=12，…由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，… 即(x +y +z)2≤36，所以x +y +z 的最大值为6，当且仅当x =y =z =2时取最大．… 【考点】二维形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）利用绝对值不等式，求出x 的范围，即可求点P 到原点O 的距离的最小值； （2）点P 到坐标原点O 的距离为2√3，故x 2+y 2+z 2=12，由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，即可求x +y +z 的最大值． 【解答】 解：（1）由点P 在x 轴上，所以P(x, 0, 0)，又坐标满足|2x −5|≤3，所以−3≤2x −5≤3，… 解得1≤x ≤4，…所以点P 到原点O 的距离的最小值为1..…（2）由点P 到坐标原点O 的距离为2√3， 故x 2+y 2+z 2=12，…由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，… 即(x +y +z)2≤36，所以x +y +z 的最大值为6，当且仅当x =y =z =2时取最大．… 26. 【答案】解：根据基本不等式，1=a2+b2≥2|ab|，---------①1=c2+d2≥2|cd|，---------②将以上两式同向相乘得，1≥4|abcd|，所以，abcd∈[−14, 14 ]，故abcd的最大值为14．【考点】二维形式的柯西不等式基本不等式【解析】运用基本不等式，a2+b2≥2|ab|，c2+d2≥2|cd，再同向相乘即可求得最值．【解答】解：根据基本不等式，1=a2+b2≥2|ab|，---------①1=c2+d2≥2|cd|，---------②将以上两式同向相乘得，1≥4|abcd|，所以，abcd∈[−14, 14 ]，故abcd的最大值为14．27.【答案】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2．28. 【答案】解：令a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3，b 2=√22代入柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)得(2x +y)2≤(3x 2+2y 2)(43+12)≤6×116=11∴ −√11≤2x +y ≤√11∴ 2x +y 的最大值为√11． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】令柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)中的a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3b 2=√22代入即可得出 【解答】解：令a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3，b 2=√22代入柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)得(2x +y)2≤(3x 2+2y 2)(43+12)≤6×116=11∴ −√11≤2x +y ≤√11∴ 2x +y 的最大值为√11． 29.【答案】证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2)[12+(−2)2]≥(x −2y)2 即5(x 2+y 2)≥(x −2y)2=|x −2y|2 ∵ |x −2y|=5，∴ 5(x 2+y 2)≥25，化简得x 2+y 2≥5．当且仅当2x =−y 时，即x =−1，y =2时，x 2+y 2的最小值为5 ∴ 不等式x 2+y 2≥5成立． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】根据柯西不等式，得5(x 2+y 2)≥|x −2y|2，结合已知等式|x −2y|=5，得x 2+y 2≥5，再利用不等式取等号的条件加以检验即可． 【解答】证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2)[12+(−2)2]≥(x −2y)2 即5(x 2+y 2)≥(x −2y)2=|x −2y|2 ∵ |x −2y|=5，∴ 5(x 2+y 2)≥25，化简得x 2+y 2≥5．当且仅当2x =−y 时，即x =−1，y =2时，x 2+y 2的最小值为5 ∴ 不等式x 2+y 2≥5成立． 30. 【答案】解：∵ x ，y ，z 满足x −1=y+12=z−23，设x −1=y+12=z−23=k ，则有x =k +1、y =2k −1、z =3k +2，∴ x 2+y 2+z 2=(k +1)2+(2k −1)2+(3k +2)2=2(2k 2+5k +3)， 故当k =−54，即x =−14、y =−72、z =−74时，x 2+y 2+z 2取得最小值为−14．【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】 设x −1=y+12=z−23=k ，则有x 2+y 2+z 2=2(2k 2+5k +3)，再利用二次函数的性质求得x 2+y 2+z 2最小值，以及此时x ，y ，z 的值． 【解答】解：∵ x ，y ，z 满足x −1=y+12=z−23，设x −1=y+12=z−23=k ，则有x =k +1、y =2k −1、z =3k +2，∴ x 2+y 2+z 2=(k +1)2+(2k −1)2+(3k +2)2=2(2k 2+5k +3)， 故当k =−54，即x =−14、y =−72、z =−74时，x 2+y 2+z 2取得最小值为−14． 31.【答案】解：由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得 当且仅当a =b =c 时，取得最值， ∴ M ≥0，∴ 最小的实数M 是0． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得结论． 【解答】解：由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得 当且仅当a =b =c 时，取得最值， ∴ M ≥0，∴ 最小的实数M 是0． 32.【答案】证明：∵ a +b =1，∴ b =1−a ．∴ a 3+b 3+3ab =a 3+(1−a)3+3a(1−a)=a 3+1−3a +3a 2−a 3+3a −3a 2=1即a 3+b 3+3ab =1． 【考点】二维形式的柯西不等式 【解析】由a +b =1，可得b =1−a ，代入a 3+b 3+3ab ，化简即可得出结论． 【解答】证明：∵ a +b =1，∴ b =1−a ．∴ a 3+b 3+3ab =a 3+(1−a)3+3a(1−a)=a 3+1−3a +3a 2−a 3+3a −3a2=1即a3+b3+3ab=1．33.【答案】解：根据a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值y max=3⋅131+19=910【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据条件，可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值．【解答】解：根据a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值y max=3⋅131+19=91034.【答案】解：∵x+y+z=4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32+2，根据柯西不等式，(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得，(4⋅x−14+√5⋅√5+2⋅z−32)2≤(16+5+4)•[(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24]=25，所以，|4⋅x−14+√5⋅√52⋅z−32|≤5，即−5≤4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32≤5，因此，x+y+z∈[−3, 7]，故，x+y+z的最大值为7，最小值为−3．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】将式子x+y+z写成4⋅x−14+√5⋅√52⋅z−32+2的形式是解决本题的关键，再运用柯西不等式求该式的最大值和最小值．【解答】解：∵x+y+z=4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32+2，根据柯西不等式，(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得，(4⋅x−14+√5⋅√5+2⋅z−32)2≤(16+5+4)•[(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24]=25，所以，|4⋅x−14+√5⋅52⋅z−32|≤5，即−5≤4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32≤5，因此，x+y+z∈[−3, 7]，故，x+y+z的最大值为7，最小值为−3．35.【答案】解：由题意，由柯西不等式得(√3x+6+√14−x)2=(√3×√x+2+1×√14−x)2≤(3+1)(x+2+14−x)=64所以√3x+6+√14−x≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立∴a<8∴常数a的取值范围是(−∞, 8)．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a的取值范围．【解答】解：由题意，由柯西不等式得(√3x+6+√14−x)2=(√3×√x+2+1×√14−x)2≤(3+1)(x+2+14−x)=64所以√3x+6+√14−x≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立∴a<8∴常数a的取值范围是(−∞, 8)．36.【答案】解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴a+b=1−c，ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=c2−c，∵ab≤(a+b2)2，∴c2−c≤(1−c)24，∴−13≤c≤1，∴0≤1−c≤43，∴0≤a+b≤43，∴a+b的取值范围是[0, 43]．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用a+b+c=1，a2+b2+c2=1，可得a+b=1−c，ab=[(a+b)2−(a2+ b2)]=c2−c，结合基本不等式，求出c的范围，即可求出a+b的取值范围．【解答】解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴a+b=1−c，ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=c2−c，∵ab≤(a+b2)2，∴c2−c≤(1−c)24，∴−13≤c≤1，∴0≤1−c≤43，∴0≤a+b≤43，∴a+b的取值范围是[0, 43]．37.【答案】解：法1：∵2x+3y+4z=10，∴x=5−32y−2x．∴x2+y2+z2=(5−32y−2z)2+y2+z2=134y2+5z2+6zy−15y−20x+25=134y2+(6z−15)y+5z2−20z+25=134[y+2(6z−15)13]2+2913z2−8013z+10013=134(y+12z−3013)2+2913(z−4029)2+10029≥10029．法2：由柯西不等式可得，(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)，由条件可得，x2+y2+z2≥10029．故最小值为10029．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】法1：本题可先利用三个变量x，y，z的关系消去一个变量，如消去x，得到两个变量y，z，再通过配方，利用完全平方非负，得到所求代数式的最小值．法2：利用柯西不等式进行求解．【解答】解：法1：∵2x+3y+4z=10，∴x=5−32y−2x．∴x2+y2+z2=(5−32y−2z)2+y2+z2=134y2+5z2+6zy−15y−20x+25=134y2+(6z−15)y+5z2−20z+25=134[y+2(6z−15)13]2+2913z2−8013z+10013=134(y+12z−3013)2+2913(z−4029)2+10029≥10029．法2：由柯西不等式可得，(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)，由条件可得，x2+y2+z2≥10029．故最小值为10029．38.【答案】证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即12aB sin60∘+12bC sin60∘+12cA sin60∘<12k2sin60∘，∴aB+bC+cA<k2．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即可证明结论．【解答】证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即12aB sin60∘+12bC sin60∘+12cA sin60∘<12k2sin60∘，∴aB+bC+cA<k2．39.【答案】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+...+a n2+x12+x22+...+x n2=(a12+ x12)+...+(a n2+x n2)≥2a1x1+...+2a n x n=2(a1x1+...+a n x n)，即a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用不等式的性质a2+b2≥2ab，即可证明．【解答】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+...+a n2+x12+x22+...+x n2=(a12+ x12)+...+(a n2+x n2)≥2a1x1+...+2a n x n=2(a1x1+...+a n x n)，即a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．40.【答案】解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc(a+b+c)=1，∴c2+c(a+b)=1ab∴S=(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=ab+1ab ≥2√ab⋅1ab=2当且仅当ab=1ab，即ab=1时取等号∴S min=2；（2）由（1）知1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c∴c2+2c−1≤0∵c>0∴0<c≤√2−1∴c的最大值为√2−1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】（1）由已知整理可得，c2+c(a+b)=1ab，然后利用基本不等式可求S的最小值及满足的条件：ab=1，（2）由1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c，从而可得关于c的不等式，解不等式可求c的范围，即可求出c的最大值．【解答】解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc(a+b+c)=1，∴c2+c(a+b)=1ab∴S=(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=ab+1ab ≥2√ab⋅1ab=2当且仅当ab=1ab，即ab=1时取等号∴S min=2；（2）由（1）知1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c∴c2+2c−1≤0∵c>0∴0<c≤√2−1∴c的最大值为√2−1．。
数学不等式选讲试题答案及解析
数学不等式选讲试题答案及解析1.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）3（2）见解析【解析】（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以． 10分2.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围。
【答案】（1）或（2）或【解析】（1）当时，不等式为，所以或或，解得或． 4分故不等式的解集为或． 5分．（2）因为（当时等号成立）， 8分所以．由题意得，解得或． 10分【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查基本运算求解能力.3.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a、b、c为何值时，等号成立．【答案】a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．【解析】因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，(2分)所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理＋＋≥＋＋，②(4分)故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③所以原不等式成立．(8分)当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．(10分)4.已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．【答案】【解析】由柯西不等式知：[x2＋(2y)2＋(3z)2][12＋()2＋()2]≥(x＋×2y＋×3z)2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)．因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，所以a的值为.点评：用柯西不等式证明或求值时要注意两点，一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二要注意等号成立的条件．5.在实数范围内，不等式的解集为___________.【答案】【解析】因此解集为.【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.6.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．【答案】－2≤a≤4【解析】本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义．|x－a|＋|x－1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x到1的距离与到a的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a的取值范围，不难发现－2≤a≤4.7.不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________．【答案】【解析】考查解含绝对值不等式，此题的关键是转化为|2x＋1|>2|x－1|，再两边平方，轻松求解．不等式转化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方得(2x＋1)2>4(x－1)2，化简得4x>1，解得x> ，故解集为.8.设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。
《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
选修4－5不等式选讲最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．ab≤0且|a ab≥0且|a定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若a i，b i(i∈N*)为实数，则()()≥(i b i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1(1)(2)(3)|(4)(5)[2AC[[答案] A3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是() A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.[答案] B4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为()A．1 B．C. D．2[∴([5[为－2≤a[解|(1)(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.[解题指导]切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析](1)当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等当当(2)当当当[对点训练已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．[解](1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2<x<3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当?4右|x 1.是(2)[[解析](1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.即实数a的取值范围是.(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于P A－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案](1)(2)(－∞，－3)解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立?a>f(x)max，f(x)>a恒成立?a<f(x)min.(1)(2)[解－a?a－3≤x≤3.故(2)f不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．[解题指导]切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明](1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.由a＋(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.———————方法规律总结————————[12条件．3．[121[解析]|2x－1|<3?－3<2x－1<3?－1<x<2.[答案](－1,2)2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.[解析]∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.[答案] 23．不等式|2x＋1|＋|x－1|<2的解集为________．[解析]当x≤－时，原不等式等价为－(2x＋1)－(x－1)<2，即－3x<2，x>－，此时－<x≤－.当－<x<1时，原不等式等价为(2x＋1)－(x－1)<2，即x<0，此时－<x<0.当x≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x－1)<2，即3x<2，x<，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x<0，即原不等式的解集为.[答案]4[[5．[故[6．[3a－1＋2a＝[7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是__________．[解析]∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.[答案](－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．[解析]若x－1<0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)2>(x－1)2对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以(舍去)或对任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.综上，a<1.[答案](－∞，1)9．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为__________．[＝≥2[10．[即∴[11[解析]∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x)·x≥0，(1－y)·(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]只要函数f(x)＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋即可．当a>0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≤0，无解；当a<0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[13(1)(2)[解若若若(2)f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示．由图象可知，f(x)≥1，∴2a>1，a>，即a的取值范围为.14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.(2)a＋1,0)，C(a，a15(1)(2)[解f(x).(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；若a<1，f(x)＝f(x)的最小值为1－a；若a>1，f(x)＝f(x)的最小值为a－1.∴对于?x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)(2)[解又(2)(42＝即a当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立．故a2＋b2＋c2的最小值为.。
(必考题)高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +B C D 2．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ） A ．14B ．114C ．29D ．1293．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．20214．若正数,,m n p 满足4m n p ++=，且()()()222222mn mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(],6-∞B ．(],4-∞C ．(],12-∞D ．(],8-∞5．实数x 、y 满足223412x y +=，则2z x =的最小值是（ ） A ．5-B ．6-C ．3D ．46．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1C D ．7．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数： ①1()(0)f x x x x=+>；②()ln (0)f x x x e =<<；③()cos f x x =；④2()1f x x =-．其中是“柯西函数”的为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④8．用数学归纳法证明不等式11111312324n n n n n +++⋯+++++＞的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（ ） A ．()()12121k k -+ B ．()()12122k k ++C ．()()12223k k ++ D ．()()12324k k ++9．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B ．C ．18D ．910．已知A ，B ，C 是ABC 的三个内角的弧度数，则111A B C ++与9π的大小关系为( ) A ．1119πA B C ++≥ B ．1119πA B C ++≤ C ．1119πA B C ++> D ．1119πA B C ++< 11．已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36D ．4712．过定点P （1，2）的直线在轴与轴正半轴上的截距分别为，则的最小值为 （ ） A ．8B ．32C ．45D ．72二、填空题13．已知平面向量,,a b c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则a b -的最大值为__________．14．已知22326x y +=，则2x y +的最大值为__________． 15．设x ，y ，z 2222x y z ++________．16．已知 O 为坐标原点，圆M ：()2211x y ++=， 圆N ：()2224x y -+=．,A B 分别为圆M 和圆N 上的动点，则OAB S 的最大值为_______． 17．已知,,a b c ∈R 且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为________．18．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．19．函数3141y x x =+-______________；20．已知x 、y 、z ∈R,且2331x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______.三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系； （2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知函数()|2||21|f x x x =-++． （1）求不等式()3f x 的解集；（2）已知222(1)(1)6a b c +-++=，证明：824a b c --+．23．设x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=. （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-成立，证明：3a -或1a -.24．已知关于x 的函数()|1|||f x x x a =++-．（1）若存在x 使得不等式()31f x a -成立，求实数a 的取值范围； （2）若()|3|f x x +的解集包含1[,2]2-，求a 的取值范围． （3）若（2）中a 的最大值为m ，2352,x y z m ++=求y .25．已知函数()|23||23|.f x x x =-++ （1）解不等式()8f x ≤；（2）设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若实数,,a b c 满足2a b c M ++=，求222a b c ++的最小值.26．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．B解析：B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y zy z ++++≥++=，即222114xy z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.3．B解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()122224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ． 【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．4．D解析：D 【分析】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥，左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭，利用柯西不等式求出最小值即可求解.【详解】不等式化为222222m n p n m p p m nλ+++++≥， 左边()222222444m n p n m p m n p pm n ⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭()()()()222888m n p n m p m n p p m n ⎛⎫+++≥++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()218m n p n m p ≥+++++ 16488=⨯=， 所以8λ≤，实数λ的取值范围为(],8-∞. 故选：D5．A解析：A 【分析】由223412x y +=得22143x y +=，运用柯西不等式有()()222169243x y x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，进而得解. 【详解】 解：实数x 、y 满足223412x y +=，22143x y ∴+=， ()()222169243x y x ⎛⎫∴++≥ ⎪⎝⎭，525x -≤≤，当且仅当8y =时取等号，2z x ∴=的最小值是5-.故选：A. 【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题.6．D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）≥2()()a b a c ++=22， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．7．B解析：B 【分析】由柯西不等式，得到函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，进行逐项判定，即可求解． 【详解】由柯西不等式得，对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立，当且仅当1221x y x y =时取等号，若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ， 其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0， 则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线， 即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点． 对于①，方程1(0)kx x x x=+>，即2(1)1k x -=，最多有1个正根，所以不是柯西函数；对于②，由图①可知不存在；因为在点(),1e 处，1y x e=与ln y x =相切，所以ln kx x =最多有1个正解；对于③，由图②可知存在；对于④，由图③可知存在．所以①②不是柯西函数，③④是柯西函数．本题主要考查了函数新定义的应用，其中把函数的定义，转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8．B解析：B 【分析】准确写出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化． 【详解】解：当n k =时，左边的代数式为111122k k k++⋯+++， 当1n k =+时，左边的代数式为1112322k k k ++⋯++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果，即()()21121122122k k k k -=++++为不等式的左边增加的项， 故选：B ． 【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设()P n 是关于自然数n 的命题，若①（奠基）()P n 在1n =时成立；②（归纳） 在()(P k k 为任意自然数）成立的假设下可以推出(1)P k +成立，则()P n 对一切自然数n 都成立，属于基础题．9．B解析：B 【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.10．A【分析】直接利用柯西不等式即可得结果. 【详解】 由柯西不等式,()111A B C A B C ⎛⎫++++⎪⎝⎭得≥29,=A B C π++=,1119.πA B C ∴++≥当且仅当 πA B C 3=== ，时等号成立，故选A.【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.11．C解析：C 【解析】 由于()()()()()()()()()222222251312252123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++-+++-+≥++--++=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦324，所以()()()22251336x y z ++-++≥，当且仅当513122x y z +-+==-，即331x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩时取等号．故选C ． 12．B解析：B 【详解】分析：由过定点P （1，2）的直线在x 轴与y 轴的正半轴上的截距分别为a 、b ，可得a ，b 的一个方程，再应用基本不等式求得4a 2+b 2的最小值． 解答：解：∵a ＞0，b ＞0，12ba +=1 ∴2a +b=（2a +b ）(12ba +)=2+2+b 4ba a +≥8 当且仅当b a =4ba ，即2a =b=4时成立 ∴2（4a 2+b 2）≥（2a +b ）2≥64，∴4a 2+b 2≥32当且仅当2b11a ==4时成立 ∴（4a 2+b 2）min=32 故选B二、填空题13．【分析】由建立坐标系设得到然后将条件和所求的目标都转化为坐标形式利用柯西不等式建立关于的不等式从而求出的最大值得到答案【详解】因为所以以为轴以为轴建立坐标系设可得因为所以两式相加得即由柯西不等式得即 解析：8【分析】由0a b ⋅=，建立坐标系，设(),c x y =，得到221x y +=，然后将条件和所求的目标都转a b -的最大值，得到答案. 【详解】因为0a b ⋅=，所以以a 为x 轴，以b 为y 轴建立坐标系， 设(),0a a =，()0,b b =，(),c x y =，1c =可得221x y +=，(),a c a x y -=--，(),b c x b y -=--因为5a c b c -=-=所以()()22222525x a y x y b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 两式相加得()222212502ax by a b x y ⎡⎤+=+++-⎣⎦即()221482ax by a b +=+- 由柯西不等式得()()()2222222ax by a bxy a b ≤+++=+，即ax by ≤+所以()221482a b ≤+-整理得2048≤-所以得280a ≤，(),a b a b -=-所以28a b a ≤-=+.故答案为：8. 【点睛】本题考查通过建立坐标系处理向量问题，利用柯西不等式求最值，属于中档题.14．【分析】由柯西不等式中的代入即可得出【详解】令代入柯西不等式∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查柯西不等式求最值考查函数与方程思想转化与化归思想考查逻辑推理能力运算求解能力【分析】由柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++中的1a =，2a ，1b =22b =代入即可得出. 【详解】令1a =，2a ，1b =22b = 代入柯西不等式2222211221212()()()a b a b a a b b +++， ∴2224111(2)(32)()611326x y x y +++⨯=11211x y+2x y ∴+．． 【点睛】本题考查柯西不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．15．【分析】首先利用柯西不等式可以得到从而求得两边开放得到从而求得其最大值【详解】由柯西不等式知所以所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题涉及到的知识点有柯西不等式在解题解析：2【分析】首先利用柯西不等式可以得到2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-，从而求得2222(2)1122x y z x y z +-≤++2≤，从而求得其最大值. 【详解】由柯西不等式知2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-， 所以2222(2)1122x y z x y z +-≤++，2≤，当且仅当202xy z ==->时等号成立，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题，涉及到的知识点有柯西不等式，在解题的过程中，注意对柯西不等式形式的配凑，属于较难题目.16．【分析】如图所示以为直径作圆延长交新圆于点交新圆于点首先证得将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果【详解】如图所示以为直径作圆延长交新圆于点交新圆于点连接则与解析：2【分析】如图所示，以ON 为直径作圆，延长AO 交新圆于E 点，BO 交新圆于F 点，首先证得2OABOEBOEFSSS==，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果. 【详解】如图所示，以ON 为直径作圆，延长AO 交新圆于E 点，BO 交新圆于F 点， 连接FE ，NF ，则NF 与OB 垂直， 又=NB NO ，所以F 为OB 中点， 由对称性可知OA OE =， ∵1=sin 2OABSOA OB AOB ⋅⋅∠，()11=sin sin 22OEBSOB OE AOB OB OE AOB π⋅⋅-∠=⋅⋅∠ 所以2OABOEBOEFS SS==，因此当OEFS最大值时，OAB S最大，故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形A B C '''的面积最大值， 圆内接三角形的面积1sin 2S a b C '''=，由正弦定理得2sin a A ''=，2sin b B ''=， ∴3sin sin sin 2sin sin sin 23A B C S A B C '''++⎛⎫'''=≤ ⎪⎝⎭由于()sin f x x =，[]0,x π∈时为上凸函数，可得33sin sin sin 33sin 338A B C A B C ''''''++++⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即334A B C S'''≤，当且仅当3A B C π'''===时等号成立，进而可得OAB S的最大值为3333242⨯=，故答案为332【点睛】本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题.17．【解析】分析：利用柯西不等式即可求解详解：由题意又由柯西不等式可得所以即的最大值为点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键着重考查了分析问题和解答问 解析：26【解析】分析：利用柯西不等式即可求解． 详解：由题意222234a b c ++=， 又由柯西不等式可得22222222(23)(11213)(1(2)(3))(23)24a b c a b c a b c ++=⨯+⨯+⨯≤++++=，所以2326a b c ++≤23a b c ++的最大值为26点睛：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．18．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时 解析：5【解析】分析：根据线性规划先求出22x y +的范围，再根据柯西不等式求解． 详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．22x y +A 到原点的距离最大，由224x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ，∴225x y +≤由柯西不等式得2222225ax by a b x y x y +≤+++≤x ya b=时等号成立．∴ax by +5点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．19．【解析】因为所以故函数的最大值为 解析：52【解析】因为(()()2223141341150x xx x +-≤+++-=，所以52y ≤3141y x x =+-5220．【解析】试题分析：由柯西不等式因为所以当且仅当即时取等号所以的最小值为考点：柯西不等式解析：122【解析】试题分析：由柯西不等式，2222222(233)()(233)x y z x y z ++++≥++，因为2331x y z ++=.所以222222122()122x y z x y z ++≥⇒++≥，当且仅当233x y z ==，即13,1122x y z ===时取等号.所以222x y z ++的最小值为122. 考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析. 【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案. 【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)． （2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明． ①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ， 则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++，因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0，所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立. 【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键. 22．（1）(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）分三种情况讨论解不等式得解；（2）由柯西不等式得2(22)36a b c -++，化简即得证. 【详解】（1）()3f x 即为2213x x -++，等价为2{2213x x x -++或12{22213x x x -<<-++或1{22213x x x ----， 解得2x 或02x <或23x -， 综上可得，原不等式的解集为(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明：由柯西不等式可得2222222[(1)(1)][2(1)1][2(1)1]a b c a b c +-++⨯+-+--++，当112ab c =-=+时，上式取得等号． 又222(1)(1)6a b c +-++=，则2(22)36a b c -++，即6226a b c --++， 即824a b c --+． 即得证. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）43；（2）证明见解析. 【分析】（1）运用柯西不等式可得2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4x y z x y z ++-++++-++++=，可得所求最小值； （2）运用柯西不等式求得222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值，由题意可得13不大于最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】解：（1）x ，y ，z R ∈，且1x y z ++=，由柯西不等式可得2222222(111)[(1)(1)(1)](111)4x y z x y z ++-++++-++++=，可得2224(1)(1)(1)3x y z -++++， 即有222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43；（2）证明：由1x y z ++=，柯西不等式可得22222222(111)[(2)(1)()](21)(2)x y z a x y z a a ++-+-+--+-+-=+， 可得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，即有222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +， 由题意可得2(2)133a +，解得1a -或3a -.【点睛】本题考查柯西不等式的运用：求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题.24．（1）[1，)+∞；（2）3[0,]2；（3 【分析】（1）根据绝对值三角不等式求()f x 最小值，再解含绝对值不等式得结果；（2）先根据范围化简不等式，再根据变量分离法解决不等式恒成立问题，即得结果； （3）根据柯西不等式直接可得最大值. 【详解】（1）对x ∈R ，()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =++-+--=+，当且仅当(1)()0x x a +-时，等号成立，故原条件等价于|1|31a a +-，即3113 1.310a a a a -++--，解得1a ， 故实数a 的取值范围为[1，)+∞；（2）当1[,2]2x ∈-时，()|1|||1|||3|3f x x x a x x a x x =++-=++-+=+，||2x a ∴-，即22x a --，则22x a x -+，又()|3|f x x +的解集包含1[,2]2-，()|3|f x x ∴+在1[,2]2-恒成立， ∴当1[,2]2x ∈-时，(2)(2)max min x a x -+，又3(2)0,(2)2max min x x -=+=， ∴302a，即实数a 的取值范围为3[0,]2．（3）由（2）知3,2m =则2353,x y z ++=由柯西不等式得， ()()()()2213456111x y z +++++++≥⎡⎤⎣⎦,()23113≤+⨯==1124,,6915x y z ===-即时，等号成立.【点睛】本题考查绝对值三角不等式、不等式恒成立、利用柯西不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.25．（1）{|22}x x -≤；（2）6 【分析】（1）利用零点分段讨论求解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求得6M =，利用柯西不等式求解最值. 【详解】（1）322x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩或332268x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或322x x ⎧⎪⎨⎪≤⎩∴{|22}x x -≤，（2）∵()()()|2323|66x x x f M --+=∴=()()()2222222112236,ab c a b c ++++++=当且仅当22a b c ==时“=”成立，所以2226,a b c ++所以最小值为6. 【点睛】此题考查解绝对值不等式，利用零点分段讨论求解，利用绝对值三角不等式求解最值，结合柯西不等式求最值，需要注意考虑等号成立的条件. 26．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()222222221226221()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭ 所以25120a a -，解得1205a ． 综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
上海莘城学校高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试(包含答案解析)
一、选择题1．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1C D ．2．函数()f x cosx = ，则()f x 的最大值是（ ）A B C ．1D ．23．用数学归纳法证明不等式11111312324n n n n n +++⋯+++++＞的过程中，由n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是（ ） A ．()()12121k k -+ B ．()()12122k k ++C ．()()12223k k ++ D ．()()12324k k ++4．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1 BC 1D 5．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212|]x x y y +-0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知向量a =(x -1,2),b =(4,y ),若a ⊥b ,则9x +3y 的最小值为( )A ．B ．4C ．12D ．67．下列不等式成立的有①a b a b -≤-，②a b c ++≥③22222()()()a b c d ac bd ++≤+ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知实数x ，y ，z 满足321x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为 A ．114 B ．1 C ．334D ．7349．1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为（ ）A ．1B ．34 C ．611 D ．5810．若实数x ＋y ＋z ＝1，则2x 2+y 2+3z 2 的最小值为( ) A ．1 B ．23C ．611D ．1111．函数 的最大值是( )A ．B ．C ．D ．12．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ） A ．（2，3） B ．（1，3） C ．（0，2） D ．（1，2）二、填空题13．设,,a b c 为正实数，则a b c b c c a a b+++++的最小值为________. 14．已知,,x y z 是正数，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是__________. 15．已知实数,a b 满足：2224b a -=，则2a b -的最小值为______. 16．若x+y+z+t=4,则x 2+y 2+z 2+t 2的最小值为____.17．函数3141y x x =+-______________； 18．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________． 19．函数2910,122y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的最小值为________ 20．若正数,,a b c 满足41a b c ++=,2a b c _________三、解答题21．设*,,a b c R ∈，且3a b c ++=. （1）证明：2223a b c ++≥； （2）若111m a b c++≥恒成立，求m 的最大值. 22．已知函数222()23n n f x x x +=-+，(其中*n N ∈).（1）求()f x 的最小值()g n ；（2）当4n ≥，*n N ∈时，试比较()g n 与2(2)22n n n -⋅+的大小，并证明你的结论. 23．已知函数()3f x x x a =-+-，当3x ≤时()f x 的最小值是2. (1)求a ；(2)若2m n a +=，求证：()2251m n +≥.24．已知关于x 的不等式121x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M .（1）求实数m 的取值范围；（2）正数a 、b 、c 满足22a b c M ++=，求证：1349a b b c c a++≥+++. 25．已知,,a b c +∈R ，且满足1abc =， （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．26．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝3，a 2＋b 2＋2c 2＝6，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．2．A解析：A 【分析】将()f x 化为()f x cosx =，利用柯西不等式即可得出答案.【详解】因为()f x cosx =所以()()(21f x cosx=+=当且仅当3cosx =时取等号. 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的最值，涉及了柯西不等式的应用，属于中档题.3．B解析：B 【分析】准确写出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．注意分母及项数的变化． 【详解】解：当n k =时，左边的代数式为111122k k k++⋯+++， 当1n k =+时，左边的代数式为1112322k k k ++⋯++++， 故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果，即()()21121122122k k k k -=++++为不等式的左边增加的项， 故选：B ． 【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设()P n 是关于自然数n 的命题，若①（奠基）()P n 在1n =时成立；②（归纳） 在()(P k k 为任意自然数）成立的假设下可以推出(1)P k +成立，则()P n 对一切自然数n 都成立，属于基础题．4．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.5．B解析：B 【分析】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +， 当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解. 【详解】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +， 当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点. ①()()10f x x x x=+>,画出f(x)在x ＞0时，图像若f(x)与直线y=kx 有两个交点，则必有k≥2，此时，1x kx x +=，所以21)1,k x x -=∴=（x ＞0），此时仅有一个交点，所以()()10f x x x x=+>不是柯西函数； ②()()0f x lnx x e =<<，曲线()()0f x lnx x e =<<过原点的切线为xy e=，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数()()0f x lnx x e =<<不是；③()f x cosx =；④()24f x x =-．显然都是柯西函数.故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】首先由向量垂直的充分必要条件得到x ,y 的等式关系，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】∵a ⊥b ,∴4(x-1)+2y=0. ∴2x+y=2,∴y=2-2x ,∴9x +3y =9x +32-2x =32x +32-2x≥ 6.=当且仅当32x =32-2x ,即x 1,12y ==时等号成立. 本题选择D 选项. 【点睛】本题的核心在考查基本不等式求最值的方法.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7．B解析：B 【分析】对不等式逐一分析即可. 【详解】对①，两边同时平方可得222222a a b b a ab b -+≤-+，化简可得a b ab ≥，显然成立，所以①正确；对②，三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，那么a b c ++≥且仅当a b c ==时，等号成立，前提必须是三个正数，故②错误； 对③，由柯西不等式的最简形式可知：()()()22222a b cd ac bd ++≥+，故③错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的相关知识，考查了绝对值三角不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式，属于基础题.8．C解析：C 【解析】由柯西不等式，可得))][()22222223321x x y z ⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 所以22232334x y z ++≥，当且仅当3x ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立，所以22223x y z ++的最小值为334．故选C ． 9．C解析：C 【详解】由柯西不等式，()()22221123123x y z x y z⎛⎫++≤++++ ⎪⎝⎭，得22262311x y z ++≥，当且仅当2312323x y z==等号成立，即236,,111111x y z === 故选C ． 10．C解析：C 【解析】由柯西不等式可知：（x+y+z ）2≤（2x 2+y 2+3z 2）（21()2+12+21()3）， 故2x 2+y 2+3z 2≥611，即：x 2+2y 2+3z 2的最小值为611. 故答案为C.11．D解析：D 【解析】 由柯西不等式可得故选D.12．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxxf x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2xy =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．二、填空题13．【分析】设则得到根据顺序和大于等于乱序和得出不等关系式即可求解【详解】设则因为由排序不等式：顺序和大于等于乱序和可得：将上面的两个不等式相加整理得即的最小值为 解析：32【分析】设0a b c ≥≥>，则a b c a c b +≥+≥+，得到111b c c a a b≥≥+++，根据顺序和大于等于乱序和，得出不等关系式，即可求解. 【详解】设0a b c ≥≥>，则a b c a c b +≥+≥+， 因为a b c ≥≥，111b c c a a b≥≥+++， 由排序不等式：顺序和大于等于乱序和可得：a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++， a b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++， 将上面的两个不等式相加，整理得32a b c b c c a a b ++≥+++， 即a b c b c c a a b +++++的最小值为32. 14．9【分析】首先根据题意利用代1法可得再借助柯西不等式即可得出结论【详解】是正数且当且仅当时取等号的最小值是9故答案为：9【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题属于基础题解析：9 【分析】首先根据题意，利用代“1”法，可得1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再借助柯西不等式，即可得出结论. 【详解】,,x y z 是正数，且1231x y z++=， 1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫∴++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2≥ 2(111)=++ 9=，当且仅当3x =，6y =，9z =时取等号，23y zx ∴++的最小值是9. 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.15．2【分析】本题解法较多具体可考虑采用距离问题柯西不等式法判别式法整体换元法三角换元法进行求解具体求解过程见解析【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性我们研究双曲线上的点到直线的距离的倍问题若相解析：2 【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析 【详解】 方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点(),a b 到直线20a b -=”问题若相切，则()22224b b z -+=有唯一解222440b zb z +++=，()2221684042z z z z =-+=⇒=⇒=两平行线20a b -=与20a b z --=的距离d ==所以22a b -== 方法二：柯西不等式法 补充知识：二元柯西不等式 已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bx y ax by ++≥+()()()222222222222222222ab x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy ++≥+⇔+++≥++()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by --≤-()()()222222222222222222a b x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy --≤-⇔--+≤+-()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥所以()()()22242212b aa b =--≤-，所以22a b -≥.方法三：判别式法设22a b t a b t -=⇒=+，将其代入2224b a -=，下面仿照方法一即可. 方法四：整体换元0a ->0a +>设x a y a ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，则()40,0xy x y =>>，且22222y x a y x a b b -⎧=⎪-⎪⇒-==≥=⎨⎪=⎪⎩方法五：三角换元由对称性，不妨设2tan b a θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为锐角）所以cos 22tan 22cos a b θθθθ-=-==≥=所以2a b -的最小值为2 【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面16．4【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x2+y2+z2+t2的最小值即可【详解】(x2+y2+z2+t2)(12+12+12+12)≥(x+y+z+t)2=16当且仅当x=y=z=t=1时解析：4 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2+t 2的最小值即可. 【详解】(x 2+y 2+z 2+t 2)(12+12+12+12)≥(x+y+z+t )2=16, 当且仅当x=y=z=t=1时等号成立,故x 2+y 2+z 2+t 2的最小值为4.【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17．【解析】因为所以故函数的最大值为解析：【解析】因为(()()222341150x x ≤+++-=，所以y ≤y =18．【解析】由柯西不等式得（2x2+y2+3z2）（+1+）≥（x+y+z ）2=1∴2x2+y2+3z2≥即的最小值为故答案为： 解析：611【解析】 由柯西不等式得，（2x 2+y 2+3z 2）（12+1+13）≥（x+y+z ）2=1 ∴2x 2+y 2+3z 2≥611，即22223x y z ++的最小值为611 故答案为：611． 19．25【解析】故答案为【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条件配凑过程采取如下 解析：25【解析】()222229232321212212212y x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+=+=++- ⎪⎣⎦---⎝⎭225≥=，故答案为25. 【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答 20．【分析】直接利用柯西不等式列式化简后可求得最大值【详解】由柯西不等式得即即【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】直接利用柯西不等式列式，化简后可求得最大值.【详解】由柯西不等式得222222111112⎡⎤⎫⎡⎤⎢⎥++++≥⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎭⎝⎭⎣⎦，即()2542a b c++≥≤.【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）用柯西不等式，直接证明不等式成立．（2）用柯西不等式，求出111a b c++的最小值，即可求出参数m的取值范围．【详解】解：（1）因为*,,a b c R∈，且3a b c++=.所以2222222()(111)(111)9a b c a b c++++⨯+⨯+⨯=，所以2223a b c++，当且仅当1a b c===时，等号成立．（2）()21111119a b c a b ca b c a b c⎛⎫⎛⎫++++++=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1113a b c++，当且仅当1a b c===时，等号成立．所以3m≤故m的最大值为3【点睛】利用柯西不等式求最值①先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．22．（1）()32n n g n =-；（2）2()(2)22n g n n n >-⋅+，证明见解析．【分析】（1）由二次函数的性质求得最小值()g n ；（2）用数学归纳法证明2()(2)22n g n n n >-⋅+．【详解】（1）由题意22n x =时，min ()32n nf x =-，即()32n ng n =-；（2）4n ≥时，2()(2)22n g n n n >-⋅+，下面用数学归纳法证明：（i ）4n =时，44()3265g n =-=，2(2)2264n n n -⋅+=，2()(2)22n g n n n >-⋅+成立，（ii ）假设n k =时，命题成立，即232(2)22k k k k k ->-⋅+，则1n k =+时，11312(1)323(32)3223[(2)22]2k k k k k k k g k k k ++++=-=-+⨯->⨯-⋅++2123(2)262(2)2(1)26k k k k k k k k k +=-⋅++=-⋅+-⋅+,因为4k ≥，所以1211212(2)2(1)26(2)222(1)[(1)2]22(1)k k k k k k k k k k k k ++++-⋅+-⋅+>-⋅+++=+-⋅++所以1n k =+时命题为真，综上当4n ≥时，2()(2)22n g n n n >-⋅+．【点睛】比较与正整数有关的两数的大小方法：（1）作差法，作差后与0比较大小；（2）函数法，作差后引入函数，利用函数的单调性得出大小关系；（3）放缩法，利用不等式的性质证明大小关系；（4）数学归纳法法，取特殊值，归纳出大小后肜数学归纳法证明． 23．(1)1a =或5a =；(2)证明见解析.【分析】(1)因为3x ≤，所以()3f x x x a =-+-，再分别求出3a ≤和3a >两种情况下()f x 的最小值，据此列式求解即可；(2)由(1)知1a =或5a =，故在1a =和5a =两种情况下，分别利用柯西不等式进行证明.【详解】(1)因为3x ≤，所以30x -≤，所以()33f x x x a x x a =-+-=-+-，①当3a ≤时，()23,3,3x a x a f x a a x -++≤⎧=⎨-<≤⎩， 所以()()min 3f x f a a ==-，由32a -=，得1a =；②当3a >时，()23f x x a =-++，所以()()min 33f x f a ==-+，由32a -+=，得5a =；综上所述，1a =或5a =.(2)当1a =时，则21m n +=，所以()()()()222222251221m n m n m n +=++≥+=，当且仅当2n m =即15m =，25n =时上式取等号； 当5a =时，则25m n +=，所以()()()()22222225122251m n m n m n +=++≥+=>， 当且仅当2n m =即1m =，2n =时上式取等号；综上所述，()2251m n +≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式及柯西不等式的应用，考查学生的计算分析能力，难度不大. 24．（1）[]4,2-；（2）证明见解析.【分析】（1）利用三角不等式求得12x x --+的最大值，进而可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围；（2）由已知条件得出222a b c ++=，然后利用柯西不等式可证得所证不等式成立.【详解】（1）由三角不等式可得()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时，等号成立. 若不等式121x x m --+≥+有解，则满足13m +≤，解得42m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]4,2-；（2）由（1）知2M =，故正数a 、b 、c 满足222a b c ++=，()()()33134194433a b b c c a a b b c c a a b b c c a +++++⎛⎫∴++=++ ⎪++++++⎝⎭294≥=. 当且仅当2222c a a b b c a b c +⎧+=+=⎪⎨⎪++=⎩时，即当23023a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩时，等号成立，因此，1349a b b c c a++≥+++. 【点睛】本题考查利用含绝对值不等式有解求参数，同时也考查了利用柯西不等式证明不等式成立，解题的关键在于对代数式进行合理地配凑，考查计算能力是，属于中等题. 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先将1abc =代入不等式左边可得()2223a b c ++，再由柯西不等式证明即可. （2）设1a x =，1b y =，1c z =，则1xyz =，将式子中的,,a b c 用1x ，1y ，1z 替换左边等于3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++，化为()1113x y z y z x z x y ⎛⎫++++-⎪+++⎝⎭，再利用柯西不等式即可证明. 【详解】 （1）左边()2223a b c =++， 由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==）， 即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证． （2）由于,,a b c +∈R ，1abc =，设1a x=，1b y =，1c z =，则1xyz =， 所以()()()222111x y z a b c b a c c a b y z x z x y++=++++++++， 则3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++ ()1113x y z y z x z x y ⎛⎫=++++- ⎪+++⎝⎭ ()()()111132y z x z x y y z x z x y ⎛⎫=+++++⋅++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭． 由柯西不等式可得：()()()()21111119y z x z x y y z x z x y ⎛⎫+++++⋅++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭， （当且仅当x y z ==时等号成立） 所以93322x y z y z x z x y ++≥-=+++，故()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++（当且仅当a b c ==时等号）， 则原不等式得证．【点睛】本题主要考查利用柯西不等式证明不等式成立的问题，考查考生的运算求解能力和推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.26．1205a ≤≤【分析】 由题意可得222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++，结合柯西不等式即可得到2226(3)3a a -≥-，解一元二次不等式即可． 【详解】解：∵222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++2222()(3)33b c a +=-≥， 即25120a a -≤， ∴1205a ≤≤． 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，属于中档题．。
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法练习(含解析)新人教A版选修4-5-新
2.2 综合法与分析法[A 级 基础巩固]一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy ＞1，x ＋y ≥0，则()A ．x ＞0，y ＞0B ．x ＜0，y ＜0C ．x ＞0，y ＜0D ．x ＜0，y ＞0解析：因为xy ＞1＞0，所以x ，y 同号．又x ＋y ≥0，故x ＞0，y ＞0.答案：A2．设x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤2(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1)解析：因为x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，所以(x ＋y )＋1＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. 所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，解得x ＋y ≥2(2＋1)．答案：A3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是()A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)． 答案：D4．设13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1，则( ) A ．a a ＜a b ＜b aB ．a a ＜b a ＜a bC ．a b ＜a a ＜b aD ．a b ＜b a ＜a a解析：因为13＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＜1， 所以0＜a ＜b ＜1，所以a aa b ＝a a －b ＞1，所以a b ＜a a ， a a b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a .因为0＜a b＜1，a ＞0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a ＜1，所以a a ＜b a ，所以a b ＜a a ＜b a . 答案：C5．已知a ，b ∈R，则“a ＋b ＞2，ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＞1，b ＞1时，两式相加得a ＋b ＞2，两式相乘得ab ＞1.反之，当a ＋b ＞2，ab ＞1时，a ＞1，b ＞1不一定成立．如：a ＝12，b ＝4也满足a ＋b ＞2，ab ＝2＞1，但不满足a ＞1，b ＞1. 答案：B二、填空题6．若1a ＜1b ＜0，已知下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b＞2. 其中正确的不等式的序号为________．解析：因为1a ＜1b＜0， 所以b ＜a ＜0，故②③错．答案：①④7．若a ＞0，b ＞0，则下列两式的大小关系为：lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]． 解析：12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]＝12lg[(1＋a )(1＋b )]＝lg[(1＋a )(1＋b )]12， 又lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋22， 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋1＞0，b ＋1＞0，所以[(a ＋1)(1＋b )]12≤a ＋1＋b ＋12＝a ＋b ＋22， 所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2≥lg[(1＋a )(1＋b )]12. 即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b 2≥12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≥8．已知a ＞0，b ＞0，若P 是a ，b 的等差中项，Q 是a ，b 的等比中项，1R 是1a ，1b的等差中项，则P ，Q ，R 按从大到小的排列顺序为________．解析：P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，2R ＝1a ＋1b ， 所以R ＝2ab a ＋b ≤Q ＝ab ≤P ＝a ＋b 2， 当且仅当a ＝b 时取等号．答案：P ≥Q ≥R三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a .证明：要证c －c 2－ab ＜a ，只需证明c ＜a ＋c 2－ab ，即证b －a ＜2c 2－ab ，当b －a ＜0时，显然成立；当b －a ≥0时，只需证明b 2＋a 2－2ab ＜4c 2－4ab ，即证(a ＋b )2＜4c 2，由2c ＞a ＋b 知上式成立．所以原不等式成立．10．已知△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且m 为正数．求证：aa ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m. 证明：要证a a ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m ，只需证a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )·(b ＋m )>0，即证abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －acm －bcm －cm 2>0， 即证abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0.由于a ，b ，c 是△ABC 的边长，m >0，故有a ＋b >c ，即(a ＋b －c )m 2>0.所以abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0是成立的．因此aa ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m 成立．B 级 能力提升1．已知a ，b ，c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( )A ．S ≥2PB ．P ＜S ＜2PC ．S ＞PD ．P ≤S ＜2P 解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，即S ≥P .又三角形中|a －b |＜c ，所以a 2＋b 2－2ab ＜c 2，同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2，所以a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca )，即S ＜2P .答案：D2．若n 为正整数，则2n ＋1与2n ＋1n 的大小关系是________．解析：要比较2n ＋1与2n ＋1n 的大小，只需比较(2n ＋1)2与⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2的大小，即4n ＋4与4n ＋4＋1n 的大小． 因为n 为正整数，所以4n ＋4＋1n＞4n ＋4. 所以2n ＋1＜2n ＋1n .答案：2n ＋1＜2n ＋1n3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，由(1)得a＋b>c＋d.②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd，因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2，因此|a－b|<|c－d|，综上所述a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测题(答案解析)
一、选择题1．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+，（3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b aa b+>.其中恒成立的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c c a b> C ．若a b >，则a c b c +>+D ．若a b >，则a c b c ->-3．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >4．若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b >C ．ln()0b a ->D ．22ac bc <5．已知函数22()x x af x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．(1,)+∞6．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（ ） A ．22b a b a ab ->+> B ．22b a ab b a ->>+ C ．22b a b a ab +>-> D ．22ab b a b a >->+7．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>-> D ．mn m n m n >->+ 8．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd9．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A ．11a b > B ．11a b a>- C ．2233a b >D ．22a b >10．已知0n m <<，则下列不等式正确的是( ) A ．11n m< B ．11()()22m n>C ．44log ()log ()m n -<-D ．22n m <11．若22ππαβ-≤<≤，则2αβ+，2αβ-的取值范围分别是（ ） A ．[,)22ππ-，(,0)2π- B ．[,]22ππ- ，[,0]2π-C ．(,)22ππ-，(,0)2π- D ．(,)22ππ-，[,0)2π-12．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 2二、填空题13．若不等式|2|||2x x a a -+->对(2,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是________． 14．若0x y >>，则()412x y x y +-的最小值是________.15．若对任意[]02b ∈，，当11x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)a 时，不等式214ax bx x +-≤恒成立，则实数a 的取值范围是____.16．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．17．对任意实数x ，不等式|1|||1x x a a ++-≥-+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.18．设5x >，P Q ，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19．已知|a ＋b|＜－c(a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a|＜|b|－c ； ⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)．20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____．三、解答题21．（1）解不等式：1|1||2|2x x --->； （2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ； （3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值.22．先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p ，第二次购物时该物品单价为2p （12p p ≠）.甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q .（1）求1Q ，2Q 的表达式（用12p p ，表示）；（2）通过比较1Q ，2Q 的大小，说明哪种购物方式比较划算. 23．已知函数()|1|2|3|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式23()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围. 24．已知函数()3f x x x a =-++． （1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围． 25．已知函数()21f x x ax a =++-(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若函数()f x 的最小值为32，设正实数,m n 满足m n a +=，求1212m n +++的最小值.26．已知函数()1122f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a ≤有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()4f x x b ≤--对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可. 详解：(1) 22a 32b ab +-=22322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立；(2)553223 a b b a a b +>+=()()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立；(3)()22522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) b a a b+,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.2．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若2,1,1a b c ===，则c ca b<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.3．B解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．B解析：B 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由幂函数的单调性判断B 选项. 【详解】当2,1a b =-=-时，11112a b-=>=-；ln()ln10b a -==；则AC 错误；当0c时，22ac bc =，则D 错误；因为函数2y x 在(,0)-∞上单调递减，0a b <<，所以22a b >故选：B 【点睛】本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立，属于中档题.5．B解析：B 【分析】结合已知不等式可转化为即22a x x >-+,结合二次函数的性质求22x x -+ 在[2,)+∞ 上的最大值,即可求解． 【详解】解: [2,)x ∈+∞,22()0x x af x x-+=> [2,)x ∴∈+∞,220x x a -+>即22a x x >-+在[2,)x ∈+∞上恒成立.结合二次函数的性质可知当2x =时,22x x -+取得最大值为0.即0a >. 故选:B ． 【点睛】本题考查了由不等式恒成立问题求参数的范围.对于关于()f x 的不等式在x 的某段区间上恒成立问题,一般情况下进行参变分离,若()a h x > 在区间上恒成立,只需求出()h x 的最大值,令max ()a h x > 即可; 若()a h x < 在区间上恒成立,只需求出()h x 的最小值,令min ()a h x < 即可. 6．A解析：A 【分析】容易判断出0a <，0b >，从而得出0ab <，并可得出 1221b a b aba ++=<，从而得出2b a ab +>，并容易得出22b a b a ->+，从而得出结论.【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为666612log 0.32log 2log 1.2log 61a b+=+⨯=<=，即21b aab +<， 又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>， 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等式的性质，属于中档题.7．A解析：A 【分析】根据对数函数的单调性可得0m >,0n <,根据不等式的性质可知m n m n ->+ ;通过比较11m n+ 与1 的大小关系,即可判断m n m n +>,从而可选出正确答案. 【详解】解:0.30.3log 0.6log 10m =>=,2211log 0.6log 1022n =<=,则0mn < ()()20m n m n n --+=->,m n m n ∴->+0.60.60.60.611log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n +=+=<= m n mn ∴+> 故选:A. 【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性.在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于()log a f x x =,若01a << ,则(1)当01x << 时,()0f x >; (2)当1x = 时,()0f x =; (3)当1x > 时,()0f x <; 若1a > ,则(1)当01x << 时,()0f x <; (2)当1x = 时,()0f x =; (3)当1x > 时,()0f x >.8．B解析：B 【分析】对于A ，C ，D 举反例即可判断，对于B ，根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：对于A ，例如1a =，0b =，2c =，则不满足，故A 错误， 对于B ，若a b >-，则a b -<，则c a c b -<+，成立，故B 正确， 对于C ，若0c ，则不成立，故C 错误，对于D ，例如1a =，0b =，2c =-，3D =-，则不满足，故D 错误，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断，属于基础题.9．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，0a b <<，则0,0,0a b b a ab -<->> 对于A 中，因为110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以A 是正确的；对于B 中，因为110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a>-，所以B 不正确； 对于C 中，因为幂函数()23f x x =在(,0)-∞单调递减函数，所以2233a b >，所以C 正确；对于D中，因为22()()0a b a b a b -=-+>，所以22a b >，所以D 正确； 故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，以及指数函数与对数函数的单调性，逐项判定，即可得到答案. 【详解】由题意，因为0n m <<，则 对于A 中，则110m nn m mn --=> ，所以11n m>，所以不正确； 对于B 中，因为函数1()2xy =为单调递减函数，所以11()()22m n <，所以不正确；对于C 中，因为函数4log y x =为单调递增函数，又因为0n m <<，则n m ->-， 所以44log ()log ()m n -<-是正确的；对于D 中，由22()()0n m n m n m -=+->，所以22n m >，所以不正确，故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，以及比较大小问题，其中解答中熟练应用作差法比较，以及熟记指数函数与对数函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11．D解析：D 【分析】由已知条件结合不等式的基本性质求出结果 【详解】22ππαβ-≤<≤，424παπ∴-≤<，424πβπ-<≤两式相加可得222παβπ+-<<424πβπ-<≤，则424πβπ-≤-<则222παβπ--≤<又αβ< 则02αβ-<故022παβ--≤<故选D 【点睛】本题考查了两角和与差的范围问题，结合已知条件和不等式性质即可求出答案，注意取等时的条件．12．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
大庆市高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．当[1,1]x ∈-时，不等式2||||1ax b x c ++≤恒成立，则||||||a b c ++的最大值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．152．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+， （3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b a a b +>.其中恒成立的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．若对于任意的x ＞0，不等式231x a x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥15 B ．a ＞15 C ．a ＜15 D ．a ≤154．下列命题中，正确的是（ ）A ．若a b >，c d >，则a c >B ．若ac bc >，则a b >C ．若22a b c c<，则a b < D ．若a b >，c d >，则ac bd > 5．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b <B ．ac bc ≥C ．20c a b >- D ．()20a b c -≥ 6．不等式ax b ＞，()0b ≠的解集不可能是（ ）A ．∅B ．RC ．,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．,b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．设0x >，则()2142f x x x =--的最大值为（ ） A ．242- B ．42- C ．不存在 D ．528．若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11a b <D ．a b 22> 9．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b > 10．若，则下列结论不正确的是 A ． B ． C ． D ． 11．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 212．2x ≤是11x +≤成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件二、填空题13．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________14．已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，||1b =，()c a b a b -+≤-，则||c 的最大值为___________．15．设函数()1f x x x a =-+-，如果x R ∀∈，()2f x ≥，则a 的取值范围是__________．16．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 17．已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_______． 18．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______19．已知实数a b c >>，且满足：2221,3a b c a b c ++=++=，则s b c =+的取值范围是______.20．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________三、解答题21．已知0a >，0b >，23a b +=.（1）求 22a b +的取值范围；（2）求证：3381416a b ab +≤. 22．分析法或综合法证明： （1）求证：2365>（2）已知,,a b c abc a b c ++.23．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R .（1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数,a b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 24．已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围．25．已知1a ≠且a R ∈，试比较11a-与1a +的大小． 26．已知()2121x x x f =++-．（1）若()()1f x f >，求实数x 的取值范围；（2）已知113m n +≤（其中0m >，0n >），求证：43m n +≥．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】 分别令0x =、12、1，则可求得1,1,142a b c c a b c ≤++≤++≤，利用这三个不等式，可构造出a 、b ，即可求出a 、b 的范围，即可得答案.【详解】因为[1,1]x ∈-， 所以[0,1]x ∈， 当0x =时，可得1c ≤①， 当12x =时，可得142a b c ++≤②， 当1x =时，可得1a b c ++≤③，由①②③可得114()()84222ab ac a b c c =++-++-≤， 134()()84244a b b c a b c c =++-++-≤， 所以88117a b c ++≤++=，故选：B【点睛】本题考查利用不等式性质求范围，解题的关键是分别求出c 、42a b c ++、a b c ++的范围，再整体代入求出a 、b 的范围，考查整体代入，转化求解的能力，属中档题. 2．A解析：A【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可.详解：(1) 22a 32b ab +-=22322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立； (2)553223 a b b a a b +>+=()()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立； (3)()22522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) ba a b+,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.3．A解析：A【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解.【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231x a x x ≤++恒成立， 即对于任意的x ＞0，不等式113a x x ≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x++的最大值为15， 所以15a ≥. 故选：A此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.4．C解析：C【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例.【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22a b c c<,整理化简可得20a b c -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误;【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 5．D解析：D【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解.【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b >A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确；C . 若0c ,则20c a b=-，故本选项不成立； D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥故选：D【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.6．D解析：D【解析】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a +∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【详解】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a+∞）； 当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a -∞）. ∴不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集不可能是（,b a-∞-）. 故选：D【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式的解法，属于中档题．解题时要认真审题，仔细解答． 7．D解析：D【分析】化简得到()214222x x f x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭ 当21222x x x==即1x =时等号成立 故选：D【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用. 8．D解析：D【分析】利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】对于选项A, 22a b >不一定成立，如a=1＞b=-2,但是22a b ＜，所以该选项是错误的； 对于选项B, 1111,,,lg 0,2366a b a b ==-=<所以该选项是错误的；对于选项C,11,0,b a b a a b ab --=-<ab 符号不确定，所以11a b <不一定成立，所以该选项是错误的； 对于选项D, 因为a>b,所以a b 22>，所以该选项是正确的.故选D【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．C解析：C【分析】主要利用排除法求出结果．【详解】对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立；对于选项D ：当0a b >>时，不成立；故选C ．【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10．D解析：D【分析】不妨令，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．【详解】由题，不妨令，可得a 2＜b 2，故A 正确； ，故B 正确；，故C 正确．故D 不正确．故选D ．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题 11．C解析：C【解析】【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
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不等式的证明班级 ＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）１．若a>0, b >0,则)11)((ba b a ++ 的最小值是（ ）A ．2B ．22C ．24D ．42．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件D ．必要或充分条件3．设a 、b 为正数，且a+ b ≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ）A ．111<+b aB ．111≥+b aC ．211<+b aD ．211≥+b a4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是（ ） A ．ac ≥bB ．ab ≥cC ．bc ≥aD ．ab ≤c5．设a=2，b=37-，26-=c ，则a 、b 、c 间的大小关系是 （） A ．a>b>cB ．b>a>cC ．b>c>aD ．a>c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式bam b m a >++（ ）A ．当a< b 时成立B ．当a> b 时成立C ．是否成立与m 无关D ．一定成立7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sinx+cosx)2，则P 、Q 之间的大小关系是 （） A ．P ≥QB ．P ≤QC ．P>QD ． P<Q8．已知a> b 且a+ b <0，则下列不等式成立的是（ ）A ．1>b aB ． 1≥b aC ． 1<b aD ．1≤ba9．设a 、b 为正实数，P=a a b b ，Ｑ=a b b a ，则P 、Q 的大小关系是 （） A ．P ≥QB ．P ≤QC ．P=QD ．不能确定10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（ ） A ．甲先到B ．乙先到C ．甲乙同时到D ．不能确定二、填空题11．若实数,,x y z 满足23()x y z a a ++=为常数，则222x y z ++的最小值为12．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________。
13．使不等式a 2>b 2，1>b a，lg(a －b)>0， 2a >2b-1同时成立的a 、b 、1的大小关系是 ．14．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为 元． 三、解答题15．（1）若a 、b 、c 都是正数，且a+b+c=1，求证： (1–a)(1–b)(1–c)≥8abc ．（2）已知实数,,a b c 满足a b c >>，且有2221,1a b c a b c ++=++= 求证：413a b <+<16．设21log log 21,0,1,0+>≠>t t t a a a a 与试比较的大小．（12分）17．(1)3a b c++≥(2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2222)(c b a c b a +->++18．(1)已知x 2 = a 2 + b 2，y 2 = c 2 + d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd ． (2) 已知,,x y z R ∈，且2228,24x y z x y z ++=++= 求证：4443,3,3333x y z ≤≤≤≤≤≤19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？20．数列{xn }由下列条件确定：Nnxaxxaxnnn∈+=>=+),(21,011．（Ⅰ）证明：对n≥2，总有xn≥a；（Ⅱ）证明：对n≥2，总有xn ≥1+nx．参考答案11．214a 12．9 13．a>b>1 14．1760三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[证明]：因为a 、b 、c 都是正数，且a+b+c=1，所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)( a+c)( a+b)≥2bc ·2ac ·2ab =8abc ． 16．（12分）[解析 ]： tt t t a a a 21log log 21log +=-+t t t 21,0≥+> （当且仅当t=1时时等号成立） 121≥+∴tt（1） 当t=1时，t t a alog 21log =+ （2） 当1≠t 时，121>+tt ， 若t t tt a a a a log 2121log ,021log ,1>+>+>则若t t tt a a a a log 2121log ,021log ,10<+<+<<则17．（12分）[证明]：左－右=2（ab+bc －ac ） ∵a ，b ，c 成等比数列， ac b =2又∵a ，b ，c 都是正数，所以ac b =<0≤c a c a +<+2∴b c a >+∴0)(2)(2)(22>-+=-+=-+b c a b b bc ab ac bc ab ∴2222)(c b a c b a +->++18．（12分）[证法一]：（分析法）∵a, b, c, d, x, y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd 只需证：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd 展开得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd 即：a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy ≥ac + bd[证法二]：（综合法）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++=++ ≥bd ac bd ac d b abcd c a +=+=++22222)(2[证法三]：（三角代换法）∵x 2 = a 2 + b 2，∴不妨设a = xsin α, b = xcos αy 2 = c 2 + d 2 c = ysin β, d = ycos β∴ac + bd = xysin αsin β + xycos αcos β = xycos(α - β)≤xy 19．（14分）[解析]：设画面高为x cm ，宽为λx cm 则λx 2=4840．设纸张面积为S ，有 S=（x +16）(λx +10) =λ x 2+(16λ+10) x +160,S=5000+44).5(10λλ+当8.)185(85,5取得最小值时即S <==λλλ此时，高：,884840cm x ==λ宽：,558885cm x =⨯=λ答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． 20．（14分） （I ）证明：由,01>=a x 及),(211nn n x a x x +=+可归纳证明0>n x （没有证明过程不扣分）从而有).()(211N a a x ax x a x xnn n n n ∈=⋅≥+=+ 所以，当a x n ≥≥,2时成立.（II ）证法一：当)(21,0,21nn n n x a x x a x n +=>≥≥+因为时所以,021)(2121≤-⋅=-+=-+nn n nn n n x x a x x a x x x 故当.,21成立时+≥≥n n x x n证法二：当)(21,0,21nn n x a x x a x n +=>≥≥+因为时 所以122)(21222221=+≤+=+=+nn n n n n n n nn x x x a x x x ax x x 故当成立时1,2+≥≥n n x x n . 2．证明：2222222(111)()()a b c a b c ++++≥++2222()39a b c a b c ++++∴≥3a b c++≥4．证明：2222()()1,2a b a b a b c ab c c +-++=-==- ,a b ∴是方程22(1)0x c x c c --+-=的两个不等实根，则22(1)4()0c c c =--->，得113c -<<而2()()()0c a c b c a b c ab --=-++> 即22(1)0c c c c c --+->，得20,3c c <>或 所以103c -<<，即413a b <+<5．证明：显然2222()()8,8202x y x y x y z xy z z +-++=-==-+ ,x y ∴是方程22(8)8200t z x z z --+-+=的两个实根， 由0≥得443z ≤≤，同理可得443y ≤≤，443x ≤≤。