理科数学 全国卷I 分类汇编 10.统计、概率分布列、计数原理2011—2017年
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率(精解精析)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻地概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．45【结果】C思路：将4个1和2个0随机排成一行,可利用插空法,4个1产生5个空,若2个0相邻,则有155C =种排法,若2个0不相邻,则有2510C =种排法,所以2个0不相邻地概率为1025103=+．故选：C ．2．(2021年高考全国乙卷理科)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74地概率为( )A ．79B ．2332C ．932D ．29【结果】B思路：如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出地数分别为,x y ,则实验地所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<,其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74,则构成地区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭,即图中地阴影部分,其面积为13323124432A S =-⨯⨯=,所以()2332A S P A S Ω==．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中地面积问题,解题关键是准确求出事件,A Ω对应地区域面积,即可顺利解出．3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在一组样本数据中,1,2,3,4出现地频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本地标准差最大地一组是( )A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【结果】B思路：对于A 选项,该组数据地平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=。
2011年高考数学试题分类汇编13——概率与统计(理科)
概率与统计（理）江苏 5 ．从 1， 2， 3，4 这四个数中一次随机取两个数，则此中一个数是另一个的两倍的概率为 ______1答案：3安徽理（ 20）（本小题满分13 分）工作人员需进入核电站达成某项拥有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超出10 分钟，假如有一个人10 分钟内不可以达成任务则撤出，再派下一个人。
此刻一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能达成任务的概率分别p , p , p ，假定 p , p , p 互不相等，且假定各人可否达成任务的事件互相独立.（Ⅰ）假如按甲最初，乙次之，丙最后的次序派人，求任务能被达成的概率。
若改变三个人被派出的先后次序，任务能被达成的概率能否发生变化？（Ⅱ）若按某指定次序派人，这三个人各自能达成任务的概率挨次为q , q , q ，此中q , q , q 是 p , p , p 的一个摆列，求所需派出人员数目X 的散布列和均值（数字希望） EX ；（Ⅲ）假定p p p ，试剖析以如何的先后次序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字希望）达到最小。
（20）（本小题满分13 分）此题考察互相独立事件的概率计算，考察失散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考察在复杂情境下办理问题的能力以及抽象归纳能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应意图识与创新意识.解：（ I）不论以如何的次序派出人员，任务不可以被达成的概率都是(1 p1 )(1 p2 )(1p3 ) ，所以任务能被达成的概率与三个被派出的先后次序没关，并等于1 (1 p1 )(1 p2 )(1 p3 ) p1p2p3p1 p2p2 p3p3 p1p1 p2 p3 .（ II）当挨次派出的三个人各自达成任务的概率分别为q1 , q2 , q3时，随机变量X的散布列为X123P q1(1 q1 )q2(1 q1 )(1q2 )所需派出的人员数目的均值（数学希望）EX 是EX q12(1 q1 ) q23(1 q1 )(1 q2 ) 3 2q1q2q1q2 .（ III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最初、乙次之、丙最后的次序派人时，EX 3 2 p1p2p1 p2 .依据常理， 先派出达成任 概率大的人，可减少所需派出的人 数目的均.下边 明： 于 p 1 , p 2 , p 3 的随意摆列 q 1 , q 2 , q 3 ，都有3 2q 1q 2 q 1q 2 3 2 p 1 p 2 p 1 p 2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（*）事 上，(3 2q 1 q 2 q 1 q 2 )(3 2 p 1p 2 p 1 p 2 )2( p 1 q 1 ) ( p 2 q 2 ) p 1 p 2q 1q 22( p 1 q 1 ) ( p 2 q 2 ) ( p 1 q 1 ) p 2 q 1 ( p 2q 2 )(2 p 2 )( p 1 q 1 ) (1 q 1 )(( p 2 q 2 )(1 q 1 )[( p 1 p 2 ) ( q 1q 2 )]0.即（ *）建立 .（方法二）（ i ）可将（ II ）中所求的EX 改写 3(q 1 q 2 ) q 1 q 2 q 1 , 若交 前两人的派出 序，3 (q 1 q 2 ) q 1 q 2 q 1, .由此可 ，当q 2q 1 ，交 前两人的派出 序可减小均.（ ii ）也可将（ II ）中所求的EX 改写 32q 1 q 2 q 1q 2 ，或交 后两人的派出 序，32q 1 q 3 q 1q 3 .由此可 ，若保持第一个派出的人 不 ，当q 3q 2 ，交后两人的派出 序也可减小均.合（ i ）（ ii ）可知，当 (q 1 ,q 2 ,q 3 )( p 1 , p 2 , p 3 ) ， EX 达到最小 . 即达成任 概率大的人 先派出，可减小所需派出人 数目的均 ， 一 是符合常理的 .北京理 17．本小 共13 分以下茎叶 了甲、 乙两 个四名同学的植 棵 。
专题11 计数原理【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题
18．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．。(用数字填写答案)
【答案】16
解析：方法一：直接法，1女2男，有 ，2女1男，有
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项式定理
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第8题
5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题) 的展开式中 的系数为()
A．12B．16C．20D．24
【答案】【答案】A
【解析】因为 ，所以 的系数为 ，故选A．
【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是常规考法。
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第4题
9．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题11计数原理
一、选择题
1．(2020年新高考I卷(山东卷)·第3题)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同 安排方法共有()
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
2011-2015全国卷计数原理汇编(理科)
开始结束第十二章计数原理1.分析结合循环结构的意义求解.解析由于，且时，将值赋给，因此最后输出的值是中最大的数；由于，且时，将值赋给，因此最后输出的值是中最小的数.故选C.2.分析根据程序框图所给的已知条件逐步求解，直到得出满足条件的结果.解析：当输入10N =时，由于1k =，01S T ==，，因此1==11T ，12S k ==，，此时不满足10k >；当2k =时，11113122!2!T S k ===+=⨯，，，此时不满足10k >； 当3k =时，1111141233!2!3!T S k ===+=⨯⨯，+，，此时不满足10k >； 当4k =时，111111512344!2!3!4!T S k ===+=⨯⨯⨯，++，，此时不满足10k >；…… 当10k =时，111112341T S k===+⨯⨯⨯⨯⨯ ，++，，此时满足10k >.因此输出111112!3!4!10!S =+ ++++，故选B.3.【答案】：D【解析】：输入；时：； 时：；时：； 时：输出.选D. 4.解析：输入的x ，t 均为2．12≤是，1221M =⋅=，235S =+=，112k =+=；22≤是，2222M =⋅=，257S =+=，213k =+=，32≤否，输出7S = 答案：D5. 解析根据程序框图可知，在执行程序过程中，，的值依次为，；；k x a =x A >x A A 12,,...,N a a a k x a =x B <x B B 12,,...,N a a a 1,2,3a b k ===1n =1331,2,222M a b =+===2n =28382,,3323M a b =+===3n =3315815,,28838M a b =+===4n =158M =a b 14a =18b =4b =；；；，到此有，程序运行结束，输出的值为，故选B ．评注算法中的程序框图是高考必考内容，也是新课标的新增内容.在命题中，多以框图与其它知识综合，本题就是将古代数学中的“更相减损术”用程序框图来展现. 6.【解析】当输入的是时，由于， 因此.此时，满足，故.当时，，此时满足，故. 当时，，此时满足，故. 当时，，此时满足，故. 当时，，此时满足，故. 当时，， 此时不再成立，因此输出.故选B.7.答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)． 若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]． 综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.第一节计数原理与简单排列组合问题题型150 分类计数原理与分布计数原理1.（2011全国理2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲，乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（）.A. 种B.种C.种D.种第二节排列与组合题型151 排列数与组合数的推导、化简和计算2.（2011全国理8）的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为（）.A. B. C. D.10a =6a =2a =2b =2a b ==a 2N 61,1k p ==1p p k =⋅=1k =6k <12k k =+=2k =12p =⨯6k <13k k =+=3k =123p =⨯⨯6k <14k k =+=4k =1234p =⨯⨯⨯6k <15k k =+=5k =12345p =⨯⨯⨯⨯6k <16k k =+=6k =123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=6k <720p =24212121098512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭240-20-2040题型152 与排列相关的常见问题 题型153 与组合相关的常见问题第三节二项式定理题型154 二项式定理展开式的通项及系数3.(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 4.（2013全国Ⅱ理5）已知()()511ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（）.A. 4-B. 3-C. 2-D. 1-5.（2014全国Ⅰ理13）的展开式中的系数为.(用数字填写答案)6.（2014全国Ⅱ理13）10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =．（用数字填写答案）7.（2015全国Ⅰ理10）的展开式中，的系数为（）.A ．10B ．20C ．30D ．608.（2015全国Ⅱ理15）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则__________．题型155 二项式定理的应用第十二章试题详解1.分析利用分步乘法计数原理和组合数公式求解.解析分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有（种）选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有（种）选派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有（种）.故选A.2.【解析】令得，所以.因此展开式中的常数项即为展开式中的系数与的系数和.展开式的通项为.令，得，即，因此展开式中的系数为.令，得，即， 8()()x y x y -+22x y ()52x x y ++52x y 4()(1)a x x ++x 32a =12C 2=24C 6=2612⨯=1x =()5(1)2112a a +-=+=1a =5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1x x 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()55521552121rr rrr r r r r T C x x C x ----+=⋅-⋅=⋅⋅-521r -=24r =2r =512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()225252180C -⋅-=521r -=-26r =3r =因此展开式中的系数为.所以展开式中的常数项为.故选D.3.答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C mm +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 4.分析先求出()51x +含有x 与2x 的项的系数，从而得到展开式中2x 的系数.解析：()51x +中含有x 与2x 的项为12222535C 5,C 10T x x T x x ====，所以2x 的系数为1055a +=，所以1a =-，故选D.5.【答案】：20【解析】：展开式的通项为，∴，∴的展开式中的项为，故系数为20。
近五年全国卷计数原理、概率统计考点与真题明细
内容 考纲要求
12年 13年 13年 14年 14年2 15年 15年 1卷 2卷 1卷 1卷 2卷 卷
计数 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利 原理 用两个原理解决一些简单的实际问题 排列 选修 组合 理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题 理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题 2 2 9 5 5 13 13 13 10 10 15
理科）
16年1 16年2 16年3 17年1 17年 17年 2卷 3卷 卷 卷 卷 卷
5 5 14 6 6
6 6 4 4
4
10
2
19
18
4
18
3
18
19
19
19 19 18 19
13
18
18
5
随机 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 数与 几何 概型 了解几何概型的意义 随机 抽样 理解随机抽样的必要性和重要性 会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法 了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶 图，体会它们的特点 用样 必修 本估 统计式定 会利用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 理 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及概率与频率的 事件 区别 与概 率 了解两个互斥事件的概率加法公式 必修 古典 概率 概型 理解古典概型及其概率计算公式 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率
14
理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差 用样 必修 本估 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理解释 统计 计总 体 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，理 解用样本估计总体的思想 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 变量 会做两个有关联变量的数据散点图，并利用散点图认识变量间的相关关 的相 关性 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数建立线性回归方程（线性 回归方程系数公式不要求记忆） 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机变量现 象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列 了解超几何分布，并能进行简单应用 选修概率 了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型 及二项分布，并能解决一些简单问题 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量 的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些实际问题 借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 选修统计 了解回归分析的思想、方法及其简单应用 了解独立性检验的思想、方法及其初步应用 15 18 15 19 19 19 18 18 19 5 4 19 19 19
全国卷理科数学备考之——概率、分布列、统计案例(共25张PPT)
函数与导数之后的第三压轴题。
概率、分布列、统计案例的命题与复习
高中数学内容中的概率与统计，是大学统计学的基 础，起着承上启下的作用。高考对概率统计内容的考查, 主要突出考查几何概型、统计的基本知识与方法、统计 的基本思想。大题偏向统计知识、数据分析处理能力的 考查。由于计数原理只在理科中出现，故文科求概率只 能采用列举法， 因此用树状法、 列表法考虑基本事件数，
[2014· 安徽卷] 某高校共有学生 15 000 人， 其中男生 10 500 人， 女生 4500 人． 为调查该校 学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层 抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运 动时间的样本数据(单位：小时)． (1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这 300 个样本数据，得到学生每周 平均体育运动时间的频率分布直方图(如图 14 所示)， 其中样本数据的分组 区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学 生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率． (3)在样本数据中，有 60 位 女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时，请完成每周平均体育运动时间 与性别列联表， 并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育 运动时间与性别有关”．
2 3
5．(2017· 全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的 生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件， 并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这 条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(μ， σ2)． (1)假设生产状态正常， 记 X 表示一天内抽取的 16 个零 件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求 P(X≥1)及 X 的数学期望；
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(计数原理)汇编【2023年真题】1. （2023·新课标I 卷 第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_______种(用数字作答).2. （2023·新课标II 卷 第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种【2022年真题】3.（2022·新高考I 卷 第13题）8(1)y x y x-+的展开式中26x y 的系数为__________(用数字作答).4.（2022·新高考II 卷 第5题）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( ) A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【2020年真题】5.（2020·新高考I 卷 第3题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( ) A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种6.（2020·新高考II 卷 第6题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( ) A. 2种 B. 3种C. 6种D. 8种参考答案1. （2023·新课标I 卷 第13题）解：当从这8门课中选修2门课时，共有1144.16C C =； 当从这8门课中选修3门课时，共有12214444..48C C C C +=；综上，共有64种． 2. （2023·新课标II 卷 第3题）解：结合题意初中部和高中部所占的比例为2:1，抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽样结果为4020400200C C ⋅ 种，故选.D3.（2022·新高考I 卷 第13题）解：因为8()x y +展开式的通项818r r r r T C x y -+=，令5r =，则35x y 的系数为5856C =；令6r =，则26x y 的系数为6828C =，所以26x y 的系数为562828.-+=- 4.（2022·新高考II 卷 第5题）解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有23123224A A C =种. 5.（2020·新高考I 卷 第3题）解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安排到丙场馆，安排方法有123653C C C 60.=故选：.C6.（2020·新高考II 卷 第6题）解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：212312 6.C C A =故选：.C。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)11：计数原理与二项式定理
2012高考真题分类汇编：计数原理与二项式1.【2012高考真题重庆理4】821⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为A.1635 B.835 C.435D.105 【答案】B【解析】二项展开式的通项为k k k k kkk x C xx C T --+==48881)21()21()(，令04=-k ，解得4=k ，所以835)21(4845==C T ，选B 2.【2012高考真题浙江理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60种B.63种C.65种D.66种 【答案】D【解析】从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即545=C 种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即602425=C C 种方法；第三类是取四个奇数，即144=C 故有5+60+1=66种方法。
故选D 。
3.【2012高考真题新课标理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【答案】A【解析】先安排老师有222=A 种方法，在安排学生有624=C ，所以共有12种安排方案，选A. 4.【2012高考真题四川理1】7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、42B 、35C 、28D 、21【答案】D【解析】由二项式定理得252237121T C x x ==g g ，所以2x 的系数为21，选D.5.【2012高考真题四川理11】方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A 、60条B 、62条C 、71条D 、80条 【答案】B【解析】本题可用排除法，,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，6选3全排列为120，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则0a ≠且0b ≠,，要减去40225=A ，又22或-=b 和33或-=b 时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为18233=⨯⨯，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.6.【2012高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种 【答案】C.【解析】首先分类计算假如甲赢，比分3：0是1种情况；比分3：1共有3种情况，分别是前3局中（因为第四局肯定要赢），第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3：2共有6种情况，就是说前4局2：2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况，共有10+10=20种情况.故选C.7.【2012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （A ）232 (B)252 (C)472 (D)484 【答案】C【解析】若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种，若2色相同，则有14414241223=C C C C ；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种，如同色则有72242314=C C C ，所以共有4727219214464=+++，故选C 。
高中数学必修三 计数,概率,统计与分布列知识梳理 含答案
计数，概率，统计与分布列知识梳理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法．那么，完成这件事共有_____________种方法．(也称加法原理)2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法．那么，完成这件事共有__________________种方法．(也称乘法原理) 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[方法与技巧]1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．分类标准要明确，做到不重复不遗漏．3．混合问题一般是先分类再分步．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．[失误与防范]1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制．10.2排列与组合1．排列与组合的概念2.(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．2．排列、组合问题的求解方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．[失误与防范]求解排列与组合问题的三个注意点：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．10.3二项式定理1．二项式定理(1)0≤r≤n时，C r n与C n－r的关系是______n(2)二项式系数先增后减________最大当n为偶数时，第_____项的二项式系数最大，最大值为__；当n为奇数时，第____项和_______项的二项式系数最大，最大值为______和_____(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝____，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝____【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为______(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按_____排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按_____排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.，___(4)二项式的系数从____，C1n，一直到C n－1n[方法与技巧]1．通项T r＋1＝C r n a n－r b r是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，而不是第r项，这里r＝0,1，…，n.2．二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．3．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．4．运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．[失误与防范]1．项的系数与a、b有关，二项式系数只与n有关，大于0.2．求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”．3．关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法．4．展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．11.1随机抽样1．抽样调查(1)抽样调查通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行_________，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出_______，这就是抽样调查．(2)总体和样本调查对象的______称为总体，被抽取的_______称为样本．(3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点：①______________；②节约人力、物力和财力．2．简单随机抽样(1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率______(2)通常采用的简单随机抽样的方法：__________________3．分层抽样(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．4．系统抽样系统抽样是将总体中的个体进行编号，_______分组，在第一组中按照___________抽取第一个样本，然后按____________ (称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样．[方法与技巧]1．简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距．2．系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．3．分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．[失误与防范]进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.\11.2统计图表，用样本估计总体1．统计图表统计图表是_____和_____数据的重要工具，常用的统计图表有____________,______________,______________,______________等．2．数据的数字特征(1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数_____的数据叫作这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在_______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．平均数：样本数据的算术平均数，即x＝________________在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．(2)样本方差、标准差标准差s＝______________________________其中x n是样本数据的第n项，n是___________，x是________标准差是刻画数据的离散程度的特征数，样本方差是标准差的____.通常用样本方差估计总体方差，当____________________时，样本方差很接近总体方差．3．用样本估计总体(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用_____________________________，另一种是用____________________________(2)在频率分布直方图中，纵轴表示______，数据落在各小组内的频率用______________表示，各小长方形的面积总和等于____.(3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的_____开始，用线段依次连接各个矩形的__________，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图．(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且___________，方便表示与比较．[方法与技巧]1．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．3．若取值x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n；若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a x ＋b，方差为a2s2.[失误与防范]频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．11.3变量间的相关关系，统计案例1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的_______(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为_______(3)在两个变量x和y的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是__________的，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是___________的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是__________ 2．线性回归方程(1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．(2)线性回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝∑n i ＝1 (x i －x )(y i －y )∑n i ＝1 (x i －x )2＝∑n i ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x .3．回归分析(1)定义：对具有________的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，________称为样本点的中心．(3)相关系数①r ＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑n i ＝1 (x i －x )2∑n i ＝1(y i －y )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y(∑n i ＝1x 2i －n x 2)(∑n i ＝1y 2i －n y 2)；②当r >0时，表明两个变量_______；当r <0时，表明两个变量_________当r ＝0时，表明两个变量_________．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度_______.r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低．4．独立性检验设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，B 2＝B 1；2×2列联表：构造一个随机变量χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B没有关联的；当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．[方法与技巧]1．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．2．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度．[失误与防范]1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．2．独立性检验中统计量χ2的值的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错．12.1随机事件的概率1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的_____________(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S_____________(3)___________________________统称为相对于条件S的确定事件．(4)______________________________的事件，叫作相对于条件S的随机事件．(5)___________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有_______．这时，我们把_______叫作随机事件A的概率，记作P(A)．3．事件的关系与运算互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下发生的两个事件A与B称作互斥事件．事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B______________________对立事件：不会______发生，并且___________发生的事件是相互对立事件．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：________________(2)必然事件的概率P(E)＝____(3)不可能事件的概率P(F)＝____(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝________________②若事件A与事件A互为对立事件，则P(A)＝______________．[知识拓展]互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[方法与技巧]1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于_________, 因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为______，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的_______．[失误与防范]1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的__________条件．2．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．12.2古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是_______的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_____________的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型．(1)试验的所有可能结果_____________，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性__________3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝ ________ .4．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. [方法与技巧]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个．2．确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．[失误与防范]1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．2．概率的一般加法公式：P (A ＋B )＝___________________．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A ＋B 的概率，当AB ＝∅时，A 、B 互斥，此时P (AB )＝0，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；(2)要计算P (A ＋B )，需要求P (A )、P (B )，更重要的是把握事件AB，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．12.3几何概型1．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝___________，则称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是_______之比或_________之比．3．借助_________可以估计随机事件发生的概率．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看__________的个数是有限个还是无限个．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与_____有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与______有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与_______有关的几何概型．[失误与防范]1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内_________所求结果.12.4离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于________，这种_______称为一个随机变量．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够______________，这样的随机变量称为离散型随机变量．(3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：_____________ (i＝1,2，…)，或把上式列表：称为离散型随机变量X(4)性质：①p i___0，i＝1,2，…；②p1＋p2＋…＝___.2．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝______________ (其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．[方法与技巧]1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的______以及取这些值的______．2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．[失误与防范]掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．12.5二项分布及其应用1．条件概率在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的___________，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝__________ (P(B)>0)．2．相互独立事件(1)一般地，对两个事件A，B，如果有________________，则称A、B相互独立．(2)如果A、B相互独立，则_________________________________也相互独立．(3)如果A1，A2，…，A n相互独立，则有：P(A1A2…A n)＝_________________________．3．二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；(3)各次试验是___________．用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝_____________ (k＝0,1,2，…，n)若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．[方法与技巧]1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝____＝_____，其中，在实际应用中P(B|A)＝n(AB)n(A)是一种重要的求条件概率的方法．2．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为____________．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为_______________．3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是____个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是__个A事件与____个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是_________.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k. [失误与防范]1．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．2．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件．12.6离散型随机变量的均值与方差，正态分布1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…r)．(1)均值EX＝________________________，EX刻画的是_____________________(2)方差DX＝_______________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的____________________2．二项分布的均值、方差若X～B(n，p)，则EX＝_____________，DX＝______________3．正态分布(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为__________的正态分布．(2)正态分布密度函数的性质：①函数图像关于___________对称；②_________________决定函数图像的“胖”“瘦”；③P(μ－σ<X<μ＋σ)＝__________；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝__________；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝__________[方法与技巧]1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝__________，D(aX＋b)＝_______(a，b为常数)．(2)若X服从两点分布，则EX＝___，DX＝_______．(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝_____，DX＝________．2．求离散型随机变量的均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．3．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为____.[失误与防范]1．在没有准确判断分布列模型之前不能随便套用公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．计数，概率，统计与分布列知识梳理答案10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1. N＝m1＋m2＋…＋m n 2 .N＝m1×m2×…×m n10.2排列与组合1. 一定的顺序2.(1) 所有排列(2) 所有组合3. (1) n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ,n！(n－m)！(2) A m nA m m,n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！,n！m！(n－m)！(3) 1 , n！(4) C n－mn , C m n＋C m－1n10.3二项式定理1．C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n, r＋12. (1) C r n＝C n－rn .(2)中间项,n2＋1 ,2Cnn，n＋12, n＋32,12Cnn-,12Cnn+.(3)2n 2n－1.【知识拓展】(1) n＋1. (3) 降幂, 升幂(4) C0n, C n n.11.1随机抽样1．(1) 调查或观测, 推断(2) 全体, 一部分(3)①迅速、及时；2．(1) 相同．(2) 抽签法和随机数法．4. 等距,简单随机抽样, 分组的间隔11.2统计图表，用样本估计总体1．表达, 分析, 条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图2．(1) 最多, 最中间, 1n(x1＋x2＋…＋x n)．(2)1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]，, 样本容量, 平均数, 平方, 样本容量接近总体容量3．(1) 样本的频率分布估计总体的频率分布, 样本的数字特征估计总体的数字特征．(2) 频率组距, 各小长方形的面积, 1 (3)中点, 顶端中点(4) 可以随时记录11.3变量间的相关关系，统计案例1．(1)散点图．(2)曲线拟合．(3)线性相关, 非线性相关, 不相关的．3．(1) 相关关系(2) (x，y) (3)②正相关, 负相关, 线性不相关, 越高12.1随机事件的概率1．(1)必然事件(2)不可能事件(3)必然事件与不可能事件(4)在条件S下可能发生也可能不发生(5)确定事件和随机事件2．稳定性, 这个常数3．不能同时, 至少有一个发生，同时, 一定有一个4．(1)0≤P(A)≤1. (2)1. (3)0. (4)①P(A)＋P(B)．②1－P(A).[方法与技巧]1. 概率P(A)2. 空集, 补集[失误与防范]1.必要不充分12.2古典概型1．(1)互斥(2)基本事件2．(1)只有有限个，(2)相同3．m n.[失误与防范]2.P(A)＋P(B)－P(AB) 12.3几何概型1．G1的面积G的面积2．体积，长度3．模拟方法[方法与技巧]。
数学历年高考全国卷(理科)各知识点分布 统计
12,21 6
9 19 线面 7 20 11 8
15
7 8 21 21 6
11 18 二面角
20 5 10 9
14 4
12
16,21 6 14
未考 19 二面角 4 20 11
8 5
6
15,21 9
10 19 线面 16 11
20 7 15
15 5
11
16，21 7
16 18 二面角
11,21 4
第一章 集合
定义
分段函数
第二章 导数与函
数
性质 图象 指对幂 零点
导数与函
数
三视图
命题
第三章 位置与几
立体几何 何体
空间向量
直线与圆
第四章 椭圆
圆锥曲线 双曲线
抛物线
第五章 算法
计数原理
第六章 二项式定
理
几何概型
古典概型
条件概率
独立事件的 概率
频率分布表
频率分布直
框图、柱型
第七章 图、折线图
概率与统 抽样方法
10 19 二面角
11 11,21
16 8 19 二面角
20
20
10
15
9
5
10
16
20
8
8
7
6
6
4
2
18
18
3
4
19
3
18 19
10 19 13
18 19
19
19
18
未考
12
7，9 5，14
9
14
6
17
17
13
8
17
新课标全国卷高考数学考点汇总(理科)
先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.
解三角形
18
立几（锥体、垂直、二面角）
分段函数、概率及分布列(分段函数解析式的求法；有限个值得离散型随机变量的概率分布和数学期望)
考察建立函数解析式及函数的图像，意在考察学生的识图、用图的能力
圆锥的体积公式及生活常识
由三视图求面积、体积
7
双曲线（离心率、与直线位置关系）
三视图、空间几何体体积
数列：等差数列
考察程序框图（循环结构），意在考察运算求解能力
平面向量的线性运算及共线的表示
函数的图象
8
二项式定理（两个乘积、特殊项）
双曲线、抛物线的性质(抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系)
立体几何：线线垂直证明线面角
考察频率分布直方图、平均数及方差的运算考察用样本估计总体、正态分布等知识，意在考察学生的应用能力
空间面面垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
与二面角有关的立体几何综合题
19
统计概率（分布列）
立体几何线线垂直、二面角(空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；二面角的概念和计算)
统计与概率：独立重复试验概率、分布列
考察空间中的线面关系及其二面角的求解，意在考查空间想象能力及运算求解能力
由散点图所给的函数图像进行非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测
离散型随机变量及其分布列
20
解析几何与函数（轨迹、导数）
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---计数原理
2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---计数原理 （2017全国1.理数.6）621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20C.30D.35 【考点】：二项式定理。
【思路】：将()61x +的通项求解出来即可。
【解析】：16r r r T C x +=可得整体的通项6r r C x 、26r r C x -，26215r r r C x x =⇒=，226415r r r C x x -=⇒=，故而可得2x 的系数为为30，故选C 。
（2016全国1.理数.14）5(2x 的展开式中，x 3的系数是 ．（用数字填写答案）【答案】10考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.（2015全国1.理数.4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.3124．【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6=0.648C ⨯+，故选A ．考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（2015全国1.理数.10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60【解析】试题分析：在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.考点：排列组合；二项式定理（2014全国1.理数.5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ） A. 18 B.38 C. 58 D. 78解析：由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有42种情况，而4位同学都选周六有1种情况，而4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为442111472168p --===，故选D （2014全国1.理数.13）()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 .（用数字填写答案）【解析】：8()x y +展开式的通项为818(0,1,,8)r r r r T C x y r -+== ，∴777888T C xy xy ==，626267828T C x y x y == ∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7262782820x xy y x y x y ∙∙-=-，故系数为-20 （2013全国1.理数. 9）设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =A .5 B.6 C.7 D.8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.【解析】由题知a =2m m C ，b =121m m C ++，∴132m m C =7121m m C ++，即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++， 解得m =6，故选B.。
人教版高考数学理-专题10第10讲概率与统计
3．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnn－1abn－1 ＋Cnnbn (n∈N*)． 通项(展开式的第 r＋1 项)：Tr＋1＝Crnan－rbr.其中 Crn(r＝0,1，…， n)叫做二项式系数． (2)二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式
5．互斥事件有一个发生的概率 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) (1)公式适合范围：事件 A 与 B 互斥． (2)P( A )＝1－P(A)． 推广：若事件 A1，A2，…，An 两两互斥，则 P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
6．相互独立事件同时发生的概率 P(A·B)＝P(A)·P(B) (1)公式适合范围：事件 A 与 B 独立． (2)若事件 A1，A2，…，An 相互独立，则 P(A1·A2·····An)＝P(A1) ·P(A2) ·····P(An)．
10．利用样本频率估计总体分布 (1)当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布 表由所取的样本不同数值及相应的频率表示，其几 何表示就是相应的条形图． (2)当总体中的个体取不同数值较多时，用频率分布 直方图来表示相应样本的频率分布．
11．标准差和方差的关系计算 标准差的平方就是方差，方差的计算
5．(_2_－0_11_06x_0·_四__川．)2－31x6 的展开式中的第四项是 解析 展开式第四项为 T4＝T3＋1＝C3623－31x3＝－16x0.
6．(2009·辽宁理，13)某企业 3 个分厂生产同一种电子产 品，第一、二、三分厂的产量之比为 1∶2∶1，用分 层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产 的电子产品中共抽取 100 件作使用寿命的测试，由所 得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的 使用寿命的平均值分别为 980 h，1 020 h,1 032 h，则 抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为_1__0_1__3__h.
2011年高考数学试题分类汇编13——概率与统计(理科)[1]
![2011年高考数学试题分类汇编13——概率与统计(理科)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/c23e4ed950e2524de5187e21.png)
2011年高考数学试题分类汇编13——概率与统计（理科）概率与统计（理）江苏5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______ 答案：31安徽理（20）（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。
现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,p p p 123，假设,,p p p 123互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。
若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ （Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,q q q 123，其中,,q q q 123是,,p p p 123的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）E X ；（Ⅲ）假定p p p 1231>>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.解：（I ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是)1)(1)(1(321p p p ---，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于.)1)(1)(1(1321133221321321p p p p p p p p p p p p p p p +---++=----（II ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,q q q 时，随机变量X 的分布 列为X 1 2 3P1q21)1(q q -)1)(1(21q q --所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是.23)1)(1(3)1(2212121211q q q q q q q q q EX +--=--+-+=（III ）（方法一）由（II ）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， .232121p p p p EX +--=根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明：对于321,,p p p 的任意排列321,,q q q ，都有 ≥+--212123q q q q ,232121p p p p +--……………………（*）事实上，)23()23(21212121p p p p q q q q +---+--=∆.0)]())[(1())((1())(2()()()()(2)()(221211221112221211221121212211≥+-+-≥--+--=-----+-=+--+-=q q p p q q p q q p p q p q p q p q p q p q q p p q p q p即（*）成立.（方法二）（i ）可将（II ）中所求的EX 改写为,)(312121q q q q q -++-若交换前两人的派出顺序，则变为,)(312121q q q q q -++-.由此可见，当12q q >时，交换前两人的派出顺序可减小均值.（ii ）也可将（II ）中所求的EX 改写为212123q q q q +--，或交换后两人的派出顺序，则变为313123q q q q +--.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当23q q >时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.综合（i ）（ii ）可知，当),,(),,(321321p p p q q q =时，EX 达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.北京理17．本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。
2018版高考数学人教A版理科一轮复习课件：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11-2 精品
3．组合数公式及性质 公 式
m nn－1…n－m＋1 A n m Cn ＝ m ＝ Am m！
n！ ＝ m！n－m！
性 质 备 注
1 (1)C0 ； n＝________
n－m m C n (2)Cn ＝________；
按照一定的顺序排成一列 ________________________________ ， 叫做从 n 个不同元素中取
出 m 个元素的一个排列．
2．排列数 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 的
所有不同排列的个数 _______________________ 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素
的排列数，记作 Am n.
3．排列数公式及性质 公 式 性 质 备 注
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝ Am ＝ __________________________ n
n n! 1 (1)An ＝________ ；(2)0！＝________
n！ n－m！
n，m∈N*，且 m≤n
含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有 A6 6种．因此共有
7 6 A8 － 2A ＋ A 8 7 6＝30 960(种)．
[点石成金]
1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有
位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素 优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对 于分类过多的问题可以采用间接法． 2．对相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法，定序 问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
体，这样同五个男生合在一起有 6 个元素，排成一排有 A6 6种排 法，而其中每一种排法中，三个女生间又有 A3 3种排法，因此共
2025版高考数学一轮总复习学案 第10章 高考大题规范解答——概率统计
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
②砸蛋的人先砸1个金蛋，若砸出的是一等奖，则再砸2个金蛋；若 砸出的不是一等奖，则再砸3个金蛋，砸蛋人的得分为两次砸出金蛋的 记分之和．
(1)若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等奖，求该局甲获胜的概率； (2)若由乙砸蛋，如果乙先砸出的是二等奖，求该局乙得分ξ的分布 列和数学期望E(ξ)．
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
(2)①当 x＝10 时，^y＝35.25， 所以预计能带动的消费达 35.25 百万元．(9 分) ②因为|30－35.3255.25|>10%，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是 理想的．(11 分) 发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比 如：A 城市经济发展水平不同，居民的收入水平直接影响了居民的消费 水平，A 城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄 构成等因素一定程度上影响了消费总量(只要写出一个原因即可)．(12 分)
i＝1
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
8
(yi－－y )2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，(3 分)
i＝1
代入公式可得相关系数 r＝
69 20×
252＝4 2335≈0.97.(4
分)
8
xi－－x yi－－y
i＝1
＝
8
xi－－x 2
8
yi－－y 2
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
高考一轮总复习 • 数学
[解析] (1)记“甲先砸出的是一等奖，甲获胜”为事件 A， 则 P(A)＝C11CC16＋27 C23＝291＝37.(2 分) (2)如果乙先砸出的是二等奖，则可以再砸 3 个金蛋，则得分情况有 6 分，7 分，8 分，9 分，10 分，11 分．(4 分) P(ξ＝6)＝CC3733＝315，P(ξ＝7)＝CC23C37 13＝395， P(ξ＝8)＝CC13C37 23＝395，P(ξ＝9)＝C13CC11＋37 C33＝345，
2011年—2019年 新课标全国卷1文科数学分类汇编—10.统计、概率(2019.04修改)
新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编10．统计、概率（含解析）一、选择题【2019，4】．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51 2 -（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm【2019，6】．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生【2018,3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【2017，2】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为12,,,n x x x L ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A. 12,,,n x x x L 的平均数B. 12,,,n x x x L 的标准差C. 12,,,n x x x L 的最大值D. 12,,,n x x x L 的中位数【2017，4】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A.14 B.π8 C.12 D.π4【2016，3】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）．A ．13 B ． 12 C ． 23 D ． 56【2015，4】如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．310 B ．15 C ．110 D ．120 【2013，3】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12 B ．13 C ．14 D ．16【2012，3】在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．－1 B ．0C ．12D ．1【2011，6】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）.A.13B.12 C.23 D.34二、填空题【2014，13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. 三、解答题【2019，17】．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【2018,19】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)00.1，[)0.10.2， [)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)0.60.7，频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m 3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈， 18.439≈，()161()8.5 2.78i i x x i =--=-∑，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2,…,16． （1）求(),i x i (i =1,2,…,16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r |<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(x i ,y i )(i =1,2,…,n )的相关系数()()niix x y y r --=∑0.09≈．【2016，19】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.频数记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （1）若19n ，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量（单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i ，和年销售量y i (i =1,2,3,…,8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，表中811,8i i ii x ωωω===∑(Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx 与y c x =+，哪一个宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z=0.2y-x ，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： (1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ (2)当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？x ry u ru r ω21()nii x x =-∑21()nii ωω=-∑1()()niii x x y y =--∑ 1()()nii i y y ωω=--∑46.65636.8289.8 1.6 1469 108.8【2013，18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【2012，18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
2025版高考数学全程一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第二节排列与组合课件
)
A．60种
B．120种
C．240种
D．480种
答案：C
解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1
名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其
余每组1人，共有 25 种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有44 种安
端插入不相邻元素．
巩固训练3
(1)[2024·河南郑州模拟]黄金分割最不等的a，b两段，使
得长线段a与原线段a＋b的比等于短线段b与长线段a的比，即a∶(a＋
b)＝b∶a，其比值约为0.618 339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，
答案：C
解析：甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C61 ＝6(种)情况，再从剩下的5种
课外读物中各自选1本不同的读物，有 15 41 ＝20(种)情况，由分步乘法计数原理
可得共有6×20＝120(种)选法，故选C.
2．[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文
艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有
(
)
A．12种
B．24种
C．36种
D．48种
答案：B
解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有
2233 21 ＝24(种)不同的排列方式．故选B.
3．[2021·全国乙卷]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道
速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，
4．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共
选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为
高考数学全国课标卷Ⅰ卷—统计、统计案例、概率专题
2０10-2017高考数学全国课标卷Ⅰ卷统计、统计案例、概率专题注：同一格表示题目一样，如２０1０年文理大题一样且都放在１9题的位置，2011年同一题理科放在第4题,文科放在第6题。
一.选择题（共12小题）1．(201０全国卷Ⅰ理６）某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了100０粒，对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．１0０B．20０ﻩC．３0０ﻩD．400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.９,现播种了1０00粒,即不发芽率为０.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布,即ξ～B（10０0，０.1）.又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为Ｘ＝2ξ,根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ~Ｂ（100０,0．1).而每粒需再补种２粒,补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1０00×０.1＝20０.故选Ｂ.【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力.属于基础性题目．２.（2011全国卷Ⅰ理4、文6)有３个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）Ａ.ﻩB．ﻩC.D．【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是3×3种结果,满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有３种结果，根据古典概型概率公式得到结果.【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是3×3＝９种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组,由于共有三个小组，则有３种结果,根据古典概型概率公式得到P=,故选Ａ．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题,题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,出现这种问题一定是一个必得分题目．３.（２012全国卷Ⅰ文３）在一组样本数据（x1,ｙ1),（x2，ｙ2)，…,(x n，y n）(n≥２,x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中,若所有样本点(x i，y i)（i=１，2,…，n)都在直线ｙ=ｘ+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（)A．﹣１B．0ﻩＣ．ﻩD.1【分析】所有样本点（ｘ，y i)（i＝1,２,…,n）都在直线y＝ｘ+1上,故这组样本数据完全正ｉ相关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（ｘi,yｉ）(i＝1，２,…,n)都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关,故其相关系数为1,故选D.【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题.4．（２01３全国卷Ⅰ理３)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ）A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样ﻩＤ．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.故选:C.【点评】本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法，属基本题．5．(2０13全国卷Ⅰ文３）从1，2，3，4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(）Ａ．ﻩB．ﻩC.ﻩＤ．【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽２个，共有C42种结果,满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种,得到概率．【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率，2=6种结果，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C４满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2,有2种结果,分别是（1,３),(2,４），∴要求的概率是=．故选Ｂ．【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数,若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果.6．(2０14全国卷Ⅰ理5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（)A.ﻩB.Ｃ.ﻩＤ．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可.【解答】解:４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况,∴所求概率为=.故选：D．【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件Ａ包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.7.（2015全国卷Ⅰ理４）投篮测试中,每人投3次，至少投中2次才能通过测试.己知某同学每次投篮投中的概率为０．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．０.64８ﻩB.0.４32 C.０.36ﻩD.0.312【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可.【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽Ｂ（３，0．6),该同学通过测试的概率为=０.648.故选:A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查.8．（2０1５全国卷Ⅰ文4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这３个数为一组勾股数.从1，2，3，4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为（) A． B.ﻩC.D．【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可.【解答】解:从１，2,3,４，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），(１，2,4)，(1,２，５）,(１,3，4),（１，3，5)，(1,4，5）(2，3，4)，(2,3，５)，（2,4,5)，(3，4，5）共1０种，其中只有（3,4，5)为勾股数，故这３个数构成一组勾股数的概率为.故选：C【点评】本题考查了古典概型概率的问题,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件,属于基础题．9．(２016全国卷Ⅰ理4）某公司的班车在７:00，８：00，8：３0发车，小明在７：5０至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.ﻩB． C. D．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解:设小明到达时间为y,当y在７:50至8:00，或8：2０至8：３0时，小明等车时间不超过10分钟，故Ｐ==，故选:Ｂ【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．1０.(2016全国卷Ⅰ文3）为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选２种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是() A． B.ﻩＣ．ﻩD.【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论.【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中,有＝6种方法，红色和紫色的花在同一花坛,有2种方法,红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．故选:C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用,考查学生的计算能力，比较基础．11.(２017全国卷Ⅰ理2文４)如图，正方形AＢCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．Ｂ．ﻩC.D．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可.【解答】解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率Ｐ==，故选:B【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.1２.(２0１7全国卷Ⅰ文2)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg）分别是x1，x2,…,xｎ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ）A．ｘ1,x2，…,x n的平均数ﻩＢ.x１，x2，…,ｘｎ的标准差C．x1,x2,…,x n的最大值Ｄ．ｘ1，ｘ2，…，x n的中位数【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解.【解答】解:在Ａ中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数,它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B 中,标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故Ｃ不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中,中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选：Ｂ．【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题,解题时要认真审题,注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．二.填空题(共1小题）13.（2０14全国卷Ⅰ文13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则２本数学书相邻的概率为．【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数,最后根据概率公式计算即可.【解答】解:２本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,所有的基本事件有共有＝6种结果,其中2本数学书相邻的有（数学１，数学2,语文）,(数学2,数学１，语文),（语文，数学1，数学2),（语文,数学2,数学1）共4个，故本数学书相邻的概率Ｐ=.故答案为：.【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件.三．解答题(共12小题)13．（2０１０全国卷Ⅰ理19文1９)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：男女性别是否需要志愿者需要4030不需要160２70（1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有9９％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（３)根据(2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由.P(K２≥k)0.0５０0.010０.0０1 3．8416.6３510.828附:Ｋ２=．【分析】(1)由样本的频率率估计总体的概率,（2)求K２的观测值查表，下结论;（3）由９９%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关,则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有7０位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中,需要帮助的老年人的比例的估计值为(2）K２的观测值因为9.９6７＞6.６３5,且P(K2≥6.6３5)＝0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．(3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关,并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取,属于基础题．15.（２0１1全国卷Ⅰ理19文19)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90,94）[9４,98）[98,102）[10２,1０6)［1０6,１10］频数82０4222８B配方的频数分布表指标值分组[90,９４)[9４,9８)[９８，１02)[102,106)[106，１１0］频数4124232１0（Ⅰ)分别估计用Ａ配方，Ｂ配方生产的产品的优质品率;(Ⅱ)已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位:元）与其质量指标值t的关系式为ｙ＝从用Ｂ配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位:元）,求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II)根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率,写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：(Ⅰ）由试验结果知,用A 配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为０.４2；（Ⅱ)用B配方生产的１00件产品中，其质量指标值落入区间［９0，94），[94,102)，［10２,110］的频率分别为0.04，0.54,0.４2，∴P(X=﹣2）＝0.04,P（X=2）=0．５４,P(X=4）=0．42，即X的分布列为X﹣224P0.040.540.42∴X的数学期望值ＥX＝﹣2×0.０4+２×０．54＋４×０.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数,频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题１6.（２01２全国卷Ⅰ理18)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝１0元的价格出售,如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（１)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位：元）关于当天需求量n(单位：枝，n∈N）的函数解析式．(２）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位:枝）,整理得如表：14151６17１81９２0日需求量ｎ频数１0201616１5１310以１00天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，Ｘ表示当天的利润(单位：元),求X的分布列，数学期望及方差；(ii)若花店计划一天购进１６枝或１7枝玫瑰花,你认为应购进１６枝还是１7枝?请说明理由.【分析】（1）根据卖出一枝可得利润５元，卖不出一枝可得赔本5元,即可建立分段函数;（2）（i)X可取６０,70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列,数学期望及方差；（iｉ）求出进1７枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论.【解答】解:（1)当ｎ≥1６时，y＝1６×(１０﹣5）=8０；当ｎ≤15时,y＝5ｎ﹣5(1６﹣n)=１0ｎ﹣８0，得：（2）(i）X可取60，70，80，当日需求量ｎ=1４时,X＝6０,n=15时，X=７0,其他情况X=８0, P(X＝6０)===０．1，Ｐ（Ｘ=70）=0．２,Ｐ(X=８０）=1﹣０.1﹣0.２＝0．7，X的分布列为Ｘ607080P0.10.2０.７ＥＸ=6０×0.1+7０×0．２＋80×0.7＝76ＤX=1６２×0.1＋62×０．2＋４２×０.7=４4（ii)购进1７枝时,当天的利润的期望为y=(14×5﹣3×5）×0.１+（15×5﹣2×５）×0.2＋（１6×5﹣1×５)×0．16+17×5×0．54=7６．4∵７6.4>7６,∴应购进１7枝【点评】本题考查分段函数模型的建立,考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力.1７．（2０12全国卷Ⅰ文18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝１0元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位:元）关于当天需求量ｎ(单位:枝，n ∈N）的函数解析式．(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝）,整理得如表：14151６17１81920日需求量n频数10２０161６151３10(i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位:元）的平均数;（ｉi)若花店一天购进17枝玫瑰花，以1０0天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【分析】(Ⅰ)根据卖出一枝可得利润５元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；(Ⅱ）（ｉ）这１00天的日利润的平均数,利用１00天的销售量除以100即可得到结论；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于１6枝，故可求当天的利润不少于75元的概率.【解答】解：（Ⅰ)当日需求量n≥１7时,利润y=８５;当日需求量ｎ<17时，利润ｙ=１0n﹣8５；（4分）∴利润y关于当天需求量ｎ的函数解析式（ｎ∈N*）（6分)(Ⅱ)（ｉ)这１０0天的日利润的平均数为元；(9分)(ｉi）当天的利润不少于７5元，当且仅当日需求量不少于1６枝，故当天的利润不少于7５元的概率为P=０.16＋0.16+0．15+0．1３+0.1＝0.7.(12分)【点评】本题考查函数解析式的确定,考查概率知识,考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题.18．（2013全国卷Ⅰ理１９)一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取４件作检验，这４件产品中优质品的件数记为ｎ．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为5０％，即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ)求这批产品通过检验的概率；(Ⅱ）已知每件产品检验费用为１０0元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位:元)，求Ｘ的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的４件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的４件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=(Ａ1B1）∪(Ａ２Ｂ2）,且A1B1与优质品为事件Ｂ２A２B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为40０，５00，80０,分别求其概率,可得分布列，进而可得期望值.【解答】解:(Ⅰ)设第一次取出的４件产品中恰有3件优质品为事件Ａ1,第一次取出的４件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A，依题意有A=(A1Ｂ1)∪（A2B2)，且Ａ1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P（Ａ1B1）＋P(Ａ2B2)=P（Ａ１)Ｐ(B1|A1)＋Ｐ(A2)Ｐ（B2｜A2)==(Ⅱ）X可能的取值为400，50０,80０，并且P（X=80０）＝，Ｐ(X=50０）=,Ｐ（X=40０)=１﹣﹣=,故X的分布列如下:X 400 5０0 800P故EX＝４0０×+５0０×+８00×=50６.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解,属中档题.１9.(201３全国卷Ⅰ文18)为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药,B药）的疗效,随机地选取2０位患者服用Ａ药，20位患者服用B药，这４0位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.５2．8 １.８2．2２.３ 3.2 3.5２.5 2.6 1.２ 2.７ 1.5 2.9 3.０３.1 ２.３2．4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.２1．71．９0.8０．９ 2.4 1.2 2.6 1．3 １.４１.6 0.５ 1.8 0．6 2.1 1.１2．5 1．22．７0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数,从计算结果看，哪种药的疗效更好?(Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好?【分析】（Ⅰ)利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（Ⅱ)利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．【解答】解：（Ⅰ)设A药观测数据的平均数据的平均数为,设B药观测数据的平均数据的平均数为，则＝×（０.6＋1.2+2.7＋１.5+2.8+1.8+２.2+2.3+3.２＋3.5+2.5+2.6+1.2+2.7＋１．5+2.９+３.0+3.1＋2.３+2.４)=2.3．×(3.2+1．7+1．9+0．8+0.9+２.４+１．２＋2.6＋1.3＋1.４+1.6+０.５+1.8+０.6+2.1＋１.1+2.5+1.2＋2.７+0.5)=1.６．由以上计算结果可知：.由此可看出Ａ药的效果更好．(Ⅱ)根据两组数据得到下面茎叶图:从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而Ｂ药疗效的试验结果由的叶集中在0，１上.由此可看出A药的疗效更好.【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键．20.(2014全国卷Ⅰ理18)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2），其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i）利用该正态分布,求P（１87．8<Z<２12.2）；（iｉ)某用户从该企业购买了１００件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.８，212．2）的产品件数，利用(i)的结果，求EＸ．附：≈１2.2．若Ｚ~N（μ,σ2)则Ｐ(μ﹣σ<Z<μ＋σ）=0.６8２6，Ｐ(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=０.９544．【分析】(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出；（Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Ｚ～N（200，１５0)，从而求出Ｐ（1８７.8<Z<212．2)，注意运用所给数据；（ii）由(i）知X～B（１00，０．6８２6),运用EX=np即可求得．【解答】解：(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：＝１７０×0．02+18０×0．０9+19０×0.２2+２０0×0.3３+２１0×0.2４＋２２0×0.０8+2３０×０.02=200,s2=（﹣3０)2×0.02＋（﹣20）2×0.0９+(﹣10）2×０.2２+0×０．33＋10２×０．２4+202×0.0８+302×０．０２=１50．(Ⅱ)(i）由（Ⅰ)知Z~Ｎ（200,150）,从而Ｐ（187.８<Z＜21２.２）＝P（20０﹣1２.2<Ｚ＜20０+12.２)=０．６8２6;(ii）由(i）知一件产品的质量指标值位于区间（187．8，212．2）的概率为0.6８２6,依题意知Ｘ~B(100,0.68２6），所以ＥＸ=１0０×0.68２６=6８.２6.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力．21．(20１４全国卷Ⅰ文１8）从某企业生产的产品中抽取10０件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[７5，８5)[85,9５)[95，105)[105，１15）[115,1２5)频数626382２8(1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图;(2）估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;（３)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于９5的产品至少要占全部产品８0％”的规定?【分析】(1）根据频率分布直方图做法画出即可;（2)用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可.(3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0．8比较即可．【解答】解：（１)频率分布直方图如图所示:(2)质量指标的样本平均数为=８0×0.０6+90×0.２6＋1０0×0．3８+1１０×0.２2+12０×０.08=１00，质量指标的样本的方差为S2=(﹣20)2×0．06＋(﹣10)2×0.2６＋０×0.38+１02×0.2２+２02×０.08=104,这种产品质量指标的平均数的估计值为100,方差的估计值为１04．（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．３8+０．２2+0.08＝０.68,由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．【点评】本题主要考查了频率分布直方图,样本平均数和方差,考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力．22．(2０15全国卷Ⅰ理19文19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位:千元）对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响，对近８年的年宣传费xｉ和年销售量y i(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(x i ﹣)2(wｉ﹣)2（x i ﹣)（y i﹣)（w i ﹣）（y i ﹣)563６.8２８9．８1．61469108.８４６.6＝i ，=表中wｉ（Ⅰ）根据散点图判断，y=ａ＋ｂx与ｙ=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型?（给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据（Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、ｙ的关系为z=０.2y﹣x．根据（Ⅱ)的结果回答下列问题：(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少？(ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大?附:对于一组数据（u1 v1），（ｕ２v２)….．（ｕn vｎ),其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:＝，＝﹣.【分析】（Ⅰ）根据散点图,即可判断出，（Ⅱ)先建立中间量w ＝，建立ｙ关于ｗ的线性回归方程，根据公式求出w,问题得以解决；(Ⅲ)(ｉ）年宣传费x=４9时,代入到回归方程,计算即可,(ii)求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解:（Ⅰ)由散点图可以判断,ｙ=c ＋ｄ适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;（Ⅱ)令w ＝，先建立ｙ关于w 的线性回归方程，由于＝＝68,=﹣=５63﹣68×６．８=100.6，所以y关于w 的线性回归方程为=10０.６+68w，因此ｙ关于x 的回归方程为=10０．6+6８，（Ⅲ)（i)由（Ⅱ）知,当x＝49时，年销售量y 的预报值=100.6+68=5７６.6，年利润z 的预报值=5７6．6×0.２﹣4９＝66.32，（ii)根据（Ⅱ)的结果可知，年利润z 的预报值＝０.2（10０.6＋68)﹣x=﹣x+13.6＋2０.１2,当=＝6．8时，即当ｘ＝46．2４时，年利润的预报值最大．【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键,属于中档题.２3.(2016全国卷Ⅰ理19）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个５00元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了１0０台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买２台机器的同时购买的易损零件数．(Ⅰ）求X的分布列;(Ⅱ）若要求Ｐ(Ｘ≤n）≥0.5，确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与ｎ=2０之中选其一,应选用哪个？【分析】(Ⅰ)由已知得X的可能取值为１6,１7,１8，19,20，21，22,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列.（Ⅱ）由X的分布列求出Ｐ(X≤18）=,Ｐ（X≤19）=.由此能确定满足P（X≤ｎ)≥0．５中n的最小值．（Ⅲ)法一：由X的分布列得Ｐ（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买2０个所需费用期望ＥX2，由此能求出买19个更合适.法二：解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出ｎ=1９时,费用的期望和当n=２0时，费用的期望,从而得到买19个更合适.【解答】解:（Ⅰ)由已知得X的可能取值为１6,17，18，19,２0，21，２2，P（Ｘ=１6)=（）2＝，P（X＝17）＝，P（X＝18)=（）2+2（）2＝,P（X＝１9）＝=，。
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1
10．统计、概率分布列、计数原理（含解析）
一、选择题
【2017，2】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分
的概率是（ ）
A ．
14 B ．π8 C ．12 D ．π4
【2017，6】6
21(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．35
【2016，4】某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘
坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A ．
3
1 B ．
2
1 C ．
3
2 D ．
4
3 【2015，10】25
()x x y ++的展开式中，5
2
x y 的系数为（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．60
【2015，4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A ．0．648
B ．0．432
C ．0．36
D ．0．312
2
【2014，5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）
A ．18
B ．38
C ．58
D ．78
【2013，3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A ．简单随机抽样
B ．按性别分层抽样
C ．按学段分层抽样
D ．系统抽样
【2013，9】设m 为正整数，2()
m
x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21
()
m x y ++展开式的二项式
系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【2012，2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A ．12种
B ．10种
C ．9种
D ．8种
【2011，8】5
12a x x x x ⎛
⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A ．40-
B ．20-
C ．20
D ．40
【2011，4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
3
A ．
13 B ．12 C ．23 D ．34
二、填空题
【2016，14】5)2(x x +的展开式中，3x 的系数是 ．（用数字填写答案）
【2014，13】8
()()x y x y -+的展开式中2
2
x y 的系数为 ．(用数字填写答案)
【2012，15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接
而成，元件1或元件2正常工作，且元
件3正常工作，则部件正常工作．设三个
电子元件的使用寿命（单位：小时）均服
从正态分布N （1000，502），且各个元件
能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________．
三、解答题
【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2)．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求
P (X ≥1)及X 的数学期望；
元件2
元件3
元件1
4
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162
22211
11()(16)1616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2, (16)
用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ
，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0．01）．
附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ–3σ<Z <μ+3σ)=0．9974，
0．997416≈0．95920.0080.09≈．
【2016，19】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用
5
期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2
台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X 的分布列；
（Ⅱ）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？
089101120
40
频数
更换的易损零件数
6。