统计学 参数统计估计(区间估计)
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
吴喜之-统计学基本概念和方法-总体参数的区间估计
x
s
n
15
2
53.87
样本标准差 误差边际
( x x)
n 1
s 6.82 x t 2 2.145* 3.78 n 15
651.73 6.82 14
95%的置信区间为
53.87 ±3.78
即（50.09，57.65）天。
确定样本容量
确定样本容量 误差边际 Z x 2 n
根据选择的在 x1 、x2 、x3
位置的样本均值建立的区间
x 的抽样分布
x 2
95%的所有x的值
3.92 3.92
x1
基于x2 3.92的 区间
基于x1 3.92的 区间
x3
x2
基于x3 3.92的区间(该区间不包含)
上图中，有95%的样本均值落在阴影部分，这个区域的样本 均值±3.92的区间能够包含总体均值。
因此，总体均值的区间的含义为，我们有95%的把握认为， 以样本均值为中心的±3.92的区间能够包含总体均值。 通常，称该区间为置信区间，其对应的置信水平为 1 置信区间的估计包含两个部分：点估计和描述估计精确度 的正负值。也将正负值称为误差边际或极限误差，反映样本估 计量与总体参数之间的最大误差范围。 总结： 已知时的大样本下的区间估计
•
•
q=1-p
n表示样本容量（试验重复次数）
总体比率的区间估计
• 以比率的抽样分布为理论依据，按一定的概
率要求估计总体比率的所在范围就叫做总体比率
的区间估计。
正态近似法
• 当样本容量n比较大，np和nq中较小的那个数
等于或大于5时，二项分布已经接近于正态分布，
此时可以按照正态分布来估计总体比率0.95和
统计学02-第三讲 两个总体参数的区间估计_24
2 p
(n1
1)s12
(n2
1)s
2 2
n1 n2 2
3. 估计量x1-x2的抽样标准差
s
2 p
s
2 p
n1 n2
sp
11 n1 n2
两个总体均值之差的估计
(小样本: 1222 )
1. 两个样本均值之差的标准化
t
( x1
x2 ) 1
s p n1
(1
1 n2
2 )
~
t (n1
n2
2)
2. 两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的
x1
32.5
s12
15.996 x2
27.875
s
2 2
23.014
自由度为
15.996
23.014
2
v 12
8
13.188 13
15.996 122 23.014 82
12 1
8 1
(32.5 27.875) 2.1604 15.996 23.014 4.625 4.433
女学生： x2 480
s
2 2
280
试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方 差比的置信区间
两个总体方差比的区间估计 (例题分析)
解 : 根 据 自 由 度 n1=25-1=24 ， n2=25-1=24 ， 查 得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505
12 /22置信度为90%的置信区间为
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置
信区间为
x1 x2 t 2 (v)
s12
s
2 2
n1 n2
自由度 v
总体参数的区间估计必须具备的三个要素
一、概述总体参数的区间估计是统计学中一个重要的概念，在实际应用中具有广泛的应用。
区间估计的目的是利用样本数据对总体参数进行估计，以确定参数的取值范围。
在进行区间估计时，需要考虑三个重要的要素，以确保估计结果的准确性和可靠性。
二、总体参数的定义在统计学中，总体参数指的是对整个总体的某一特征进行描述的指标。
例如总体均值、总体比例等。
总体参数通常是未知的，需要通过样本数据来进行估计。
区间估计就是利用样本数据对总体参数进行估计，给出一个区间，以确定参数的取值范围。
三、区间估计的三个要素1. 置信水平置信水平是区间估计中非常重要的一个要素。
它指的是对总体参数估计的准确程度的度量，通常用1-α来表示，其中α称为显著性水平，通常取0.05或0.01。
置信水平越高，说明对总体参数的估计越可信。
在实际应用中，常用的置信水平为95或99。
2. 样本容量样本容量是另一个影响区间估计结果的重要要素。
样本容量的大小直接影响了估计结果的精确度。
通常来说，样本容量越大，估计结果越精确。
在进行区间估计时，一般需要根据置信水平和总体参数的方差来确定合适的样本容量。
3. 统计分布在进行区间估计时，需要考虑所使用的统计分布。
常用的统计分布包括正态分布、t分布、F分布等。
选择合适的统计分布对区间估计的结果具有重要影响。
通常在实际应用中，根据样本容量和总体参数的分布情况来选择合适的统计分布。
四、区间估计的计算方法区间估计的计算方法通常包括以下几个步骤：1. 确定置信水平，通常取95或99。
2. 根据置信水平和总体参数的分布情况，选择合适的统计分布。
3. 根据样本数据计算得到统计量的值。
比如样本均值、样本比例等。
4. 根据统计量的值，计算得到区间估计的上限和下限。
通常使用公式：点估计值±临界值×标准误差。
五、实际应用区间估计在实际应用中具有广泛的应用，比如医学研究、市场调研、经济预测等领域。
在这些领域中，通常需要对总体参数进行估计，以确定参数的取值范围。
统计学中的区间估计方法及其应用
统计学中的区间估计方法及其应用统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，区间估计是一种常用的方法，用于估计总体参数的范围。
本文将介绍区间估计的基本概念和常见方法，并探讨其在实际应用中的意义。
一、区间估计的基本概念区间估计是通过样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，使得该范围内有一定的置信水平包含真实的总体参数值。
常见的区间估计方法有点估计法、区间估计法和极大似然估计法等。
点估计法是通过样本数据计算得到一个点估计值，作为总体参数的估计值。
例如，通过样本均值估计总体均值，通过样本方差估计总体方差等。
区间估计法是在点估计的基础上，给出一个置信区间，该区间包含了总体参数的真实值。
置信区间的计算依赖于样本数据的分布和样本容量等因素。
极大似然估计法是通过最大化似然函数，寻找最有可能生成观测数据的参数值。
该方法常用于对总体分布的参数进行估计。
二、常见的区间估计方法1. 正态分布的区间估计在正态分布的区间估计中，常用的方法有Z检验和T检验。
Z检验适用于大样本，T检验适用于小样本。
这两种方法都是基于正态分布的性质，通过计算样本均值与总体均值之间的差异，得出置信区间。
2. 二项分布的区间估计对于二项分布的区间估计，常用的方法是Wald区间估计和Wilson区间估计。
Wald区间估计是基于正态近似的方法，适用于大样本。
Wilson区间估计是一种修正的方法，适用于小样本。
3. 指数分布的区间估计对于指数分布的区间估计，常用的方法是对数似然比法和置信上限法。
对数似然比法是通过最大化似然函数，得到参数的估计值，并计算置信区间。
置信上限法是寻找参数的最大值，使得观测值在该上限下的概率达到一定的置信水平。
三、区间估计的应用意义区间估计在实际应用中具有重要的意义。
首先，区间估计提供了对总体参数范围的估计，使得我们能够更准确地了解总体的特征。
其次，区间估计能够帮助我们进行决策和预测。
例如，在市场调研中，我们可以通过区间估计来估计产品的需求量，从而制定合理的生产计划。
参数的区间估计
参数的区间估计1. 参数的概念参数是指一种描述总体特性的量，通常用符号表示。
以样本均值为例，我们通常用$\bar{x}$表示样本均值，用$\mu$表示总体均值，$\bar{x}$就是关于$\mu$的一个参数。
2. 区间估计的基本思想区间估计是通过样本的统计量来估计总体的参数，因为样本数据毕竟是有限的，所以估计值与真实值之间必然存在误差。
为了消除这种误差，我们采用确定一个区间的方法，即“置信区间”。
置信区间是指用样本数据计算出来的一个范围，其含义是真实的总体参数值有一定的置信水平（置信度）落在这个区间内。
①确定信赖水平（置信度）$1-\alpha$，$\alpha$称为显著性水平。
②根据样本均值选择合适的经验公式或理论公式来计算样本估计量的标准误差。
③根据置信度$1-\alpha$，查找$t$分布表或正态分布表，得到置信水平为$1-\alpha$的$t$值或$z$值。
④根据样本容量和总体方差是否已知，确定区间估计公式。
⑤根据置信度和样本数据计算出置信区间。
下面具体介绍区间估计的步骤：A. 确定总体所服从的概率分布总体可以服从正态分布、泊松分布、二项分布等概率分布，其中正态分布是最为常用的一种分布。
B. 确定样本容量$n$样本容量$n$的大小直接影响到置信区间的精度，当样本容量越大，置信区间的长度就越短。
一般观测数据越多，则样本容量越大。
C. 确定置信度$1-\alpha$置信度是指总体参数落在某一特定区间内的概率，一般取$95\%$或$99\%$。
D. 求出样本均值$\bar{x}$样本均值$\bar{x}$是样本中所有元素值的总和除以样本容量$n$，即$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}$E. 求出样本方差$s^2$若总体标准差未知，用样本标准差$s$代替，$S(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}$G. 选择合适的分布当总体服从正态分布，$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$服从标准正态分布；当总体未知且样本容量$n$较小（$n<30$），$\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$服从$t$分布。
区间估计的习题和答案
区间估计的习题和答案区间估计的习题和答案区间估计是统计学中一种常用的方法，用于估计总体参数的范围。
通过样本数据，我们可以根据一定的置信水平构建一个区间，该区间包含了总体参数的真实值的概率。
本文将介绍一些区间估计的习题，并提供相应的答案。
1. 问题：某电商平台声称其平均每日订单数超过10000，现从该平台随机抽取了100个订单进行统计，得到平均每日订单数为9800，标准差为2000。
请构建一个95%的置信区间。
解答：根据中心极限定理，样本均值服从正态分布，当样本容量大于30时，可以使用正态分布进行区间估计。
根据题目信息，样本容量为100，标准差为2000，所以我们可以使用正态分布进行估计。
置信水平为95%，对应的α为0.05。
查找标准正态分布表得到α/2对应的临界值为1.96。
计算得到置信区间为：9800 ± 1.96 * (2000 / √100) = 9800 ± 392因此，95%的置信区间为[9408, 10192]。
2. 问题：某服装品牌声称其销售额的年增长率不低于10%。
现从该品牌的10个门店中随机抽取了销售额的年增长率数据，得到样本均值为8%，样本标准差为2%。
请构建一个90%的置信区间。
解答：根据题目信息，样本容量为10，样本标准差为2%，样本均值为8%。
由于样本容量较小，无法使用正态分布进行区间估计，需要使用t分布。
置信水平为90%，对应的α为0.1。
查找t分布表得到自由度为9时，α/2对应的临界值为1.83。
计算得到置信区间为：8% ± 1.83 * (2% / √10) = 8% ± 1.16因此，90%的置信区间为[6.84%, 9.16%]。
3. 问题：某医院声称其糖尿病患者的平均住院天数不超过7天。
现从该医院随机选取了50名糖尿病患者，得到平均住院天数为8天，样本标准差为2天。
请构建一个99%的置信区间。
解答：根据题目信息，样本容量为50，样本标准差为2天，样本均值为8天。
统计学第七章参数估计
单击添加文本具体内容
参数估计
假设检验
描述统计
推断统计
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
统计推断的过程
总体
总体均值、比例、方差等
样本统计量 如：样本均值、比例、方差
样本
§7.1 参数估计的一般问题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
一、估计量和估计值
参数估计（Parameter Estimation） ，用样本估计量估计总体估计值。
一个总体参数的区间估计
总体参数
符号表示
样本统计量
均值
比例
方差
第一章节
总体均值的区间估计 (正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)
总体均值的区间估计 (大样本)
假定条件 总体服从正态分布,且方差(２) 未知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30) 使用正态分布统计量 z 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
(1)估计量：用来估计总体参数的样本统计量。如：样本算术平均数、样本中位数、样本标准差、样本方差等。 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量 (2)参数用 表示，估计量用 表示 (3)估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
矩估计法
最小二乘法
换句话说，做出校全体女大学生身高均数为163.0 -- 164.5cm的结论，说对的概率是95%，说错的概率是5%；做出校全体女大学生身高均数为162.7 – 164.7cm的结论，说对的概率是99%，说错的概率是1%。
3、置信区间与置信水平
(1 - ) 区间包含了 的区间未包含
a /2
A
B
的抽样分布
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。
然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。
设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。
置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。
参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。
常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。
3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。
以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。
在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。
区间估计的名词解释
区间估计的名词解释区间估计是统计学中一种常用的推断方法，用于根据样本数据对总体参数进行估计，给出一个包含真实参数值可能范围的区间。
区间估计的目的是在不完全了解总体参数的情况下，通过样本数据来推断总体参数的值范围。
在进行区间估计时，首先需要选择一个适当的置信水平（confidence level），通常选择的置信水平为95%或99%。
置信水平代表了对总体参数估计的可信程度，例如95%的置信水平意味着有95%的可能性真实参数位于构建的区间内。
区间估计的步骤如下：1. 收集样本数据。
从总体中随机抽取样本，获取样本数据。
2. 选择合适的估计方法。
根据问题的具体情况，选择适合的估计方法，如均值估计、比例估计、标准差估计等。
3. 计算样本统计量。
使用选择的估计方法，计算得到样本的统计量，如样本均值、样本比例、样本标准差等。
4. 确定置信水平。
选择适当的置信水平，通常选择95%或99%。
5. 确定临界值。
根据置信水平和样本量，查找临界值。
临界值以正态分布或t分布的分位数形式给出。
6. 计算估计区间。
使用样本统计量和临界值，计算得到估计区间。
估计区间的计算公式根据不同的估计方法而定。
7. 解释估计结果。
根据计算得到的估计区间，给出估计结果的解释。
例如，可以说在95%置信水平下，总体参数的真实值有95%的可能性位于估计区间内。
区间估计的优点是可以提供对总体参数的估计范围，以及估计结果的可信程度。
通过给出一个区间，可以更全面地理解总体参数的不确定性。
但区间估计也存在一定的局限性，例如需要大样本量才能得到较窄的估计区间，对总体分布的假设要求较高等。
因此，区间估计只能提供对总体参数的近似估计，而无法给出准确的参数值。
区间估计在统计学中的重要性解析
区间估计在统计学中的重要性解析统计学是一门应用广泛的学科，它研究如何收集、整理、分析和解释数据。
在统计学中，区间估计是一种重要的方法，用于估计总体参数的范围。
本文将对区间估计的概念、应用和重要性进行解析。
一、区间估计的概念区间估计是统计学中一种用于估计总体参数的方法。
总体参数是指用于描述总体特征的数值，例如总体均值、总体比例等。
由于总体参数很难直接获得，因此需要通过样本来进行估计。
区间估计通过样本统计量和抽样分布的性质，给出一个参数范围，称为置信区间，该区间内有一定的概率包含真实的总体参数值。
二、区间估计的应用区间估计在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在医学研究中，研究人员可以利用区间估计来估计某种药物的治疗效果。
他们可以通过随机选择一部分患者，给予药物治疗，并通过对比实验组和对照组的数据，利用区间估计来估计药物的疗效范围。
在市场调研中，区间估计也被广泛应用。
研究人员可以通过抽取一部分消费者的意见和反馈，利用区间估计来估计市场上某种产品的受欢迎程度。
这样可以帮助企业制定更加准确的市场策略。
三、区间估计的重要性区间估计在统计学中具有重要的地位和作用。
首先，区间估计提供了一个参数范围，而不是一个点估计。
这样可以更加客观地反映估计的不确定性。
如果只提供一个点估计，可能会忽略了估计的误差范围，导致结果的不准确。
其次，区间估计可以通过置信水平来控制估计的准确性。
置信水平是指在重复抽样下，置信区间包含真实参数的概率。
常见的置信水平有95%和99%。
通过选择不同的置信水平，可以控制估计的准确性和可靠性。
此外，区间估计还可以用于假设检验。
假设检验是统计学中常用的方法，用于判断样本数据是否支持某个假设。
在假设检验中，可以利用区间估计来判断总体参数是否在某个范围内。
如果置信区间与假设的范围重叠，说明数据支持该假设；反之，说明数据不支持该假设。
最后，区间估计还可以帮助决策者进行决策。
在实际应用中，决策者往往需要面对不确定性和风险。
名词解释区间估计
区间估计的名词解释
一、什么是区间估计？
区间估计是统计学中一种常用的参数估计方法，用于根据样本数据来估计总体参数的范围。
在区间估计中，我们通过样本数据计算出一个区间，该区间通常包含总体参数的真实值。
区间估计的方法包括单侧区间估计和双侧区间估计。
二、区间估计的原理
区间估计的原理基于抽样分布理论。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
因此，我们可以利用样本均值和标准误差来估计总体均值的分布。
具体来说，我们首先根据样本数据计算出样本均值和标准误差。
然后，利用样本均值加减标准误差的倍数来计算出置信区间的上下限。
置信区间的置信度通常设置为 95% 或更高，这表示我们有 95% 的把握认为总体参数的真实值落在这个区间内。
三、区间估计的应用场景
区间估计在实际应用中具有广泛的应用价值，下面列举了一些常见的应用场景：
1. 估计总体均值：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计
算出样本均值和标准误差，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体均值。
2. 估计总体比例：例如，通过对某人群进行抽样调查，计算出
样本比例和标准误差，然后用区间估计方法估计该人群的总体比例。
3. 估计总体标准差：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计算出样本标准差和样本容量，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体标准差。
总之，区间估计是一种常用的参数估计方法，能够帮助我们在实际问题中对总体参数进行估计。
掌握区间估计的方法和原理，对于统计分析和决策具有重要意义。
统计学 参数估计
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量 z
x
z
~ N (0,1)
n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
s
x z 2
或 x z 2
( 未知)
n
n
总体均值的区间估计
的比例为0.323~0.517
【练习】某保险 解：已知 n=100，p＝25% , 1- =
95%，z/2=1.96
公司欲了解本地
区汽车保险的出
p(1 p)
p z 2
险情况。随机抽
n
查 了 100 辆 机 动
25%(1 25%)
车过去一年的保
25% 1.96
100
单，其中有25份
2. 使用正态分布统计量 z
p
z
~ N (0,1)
(1 )
3.
n
总体比例 在 1- 置信水平下的置信区间为
p (1 - p )
p z 2
n
【例】某所大学想要了解应届毕业生在大
四找到工作的学生中女生所占的比例，随
机抽取了100名找到工作的应届毕业生，其
中42人为女生。试以95%的置信水平估计该
保单பைடு நூலகம்出险记录
16.51%,33.49%
。 试 以 95% 的 置
该城市下岗职工中女性比例的置
信度估计该地区
信区间为16.51%~33.49%
汽车保险出险率
的置信区间。
三、总体方差的区间估计
总体方差的区间估计
1. 估计一个总体的方差或标准差
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式摘要：1.总体参数的区间估计概述2.区间估计公式的推导3.区间估计在统计学中的应用正文：一、总体参数的区间估计概述总体参数的区间估计是统计学中一种重要的参数估计方法。
在实际问题中，我们通常需要对总体的某个未知参数进行估计，例如均值、方差等。
由于样本数据的随机性，我们需要通过一定的方法来估计总体参数的真实值，区间估计就是其中一种常用的方法。
区间估计的核心思想是利用样本数据计算出一个区间，该区间内包含总体参数真实值的概率在一定范围内。
这个概率范围通常用置信水平来表示，置信水平越高，所估计的区间范围就越宽，包含总体参数真实值的可能性就越大。
二、区间估计公式的推导设总体X 的概率密度函数为f(x)，样本容量为n，样本均值为x，样本标准差为s，我们要估计总体均值μ。
根据中心极限定理，当n 充分大时，样本均值的分布近似于正态分布，即：x ~ N(μ, σ/n)其中，σ为总体方差。
为了估计总体均值μ，我们可以构造一个置信区间。
设α为置信水平，对应的Z 值为Zα，那么：μ的置信区间为：x ± Zα * s / √n其中，s / √n 为样本标准差除以√n，它实际上是总体标准差σ的估计。
三、区间估计在统计学中的应用区间估计在统计学中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1.对总体参数的单个估计：通过构造置信区间，我们可以估计总体参数的单个值，如均值、方差等。
2.对总体参数的统计推断：通过比较不同置信水平下的置信区间，我们可以对总体参数进行统计推断，如判断总体参数是否等于某个值等。
3.对样本容量的估计：在实际问题中，我们通常需要根据样本数据来估计总体参数，而样本容量的大小直接影响到估计的准确性。
通过构造置信区间，我们可以估计合适的样本容量。
总体参数的区间估计公式
总体参数的区间估计公式总体参数的区间估计是统计学中一种重要的方法，它可以用来对总体的未知参数进行估计并给出其估计的不确定性范围。
本文将介绍总体参数的区间估计公式，并解释其含义及应用。
首先，我们需要了解什么是总体参数。
在统计学中，总体是要研究的对象的全体，而总体参数则是总体的某个特征的度量。
例如，我们想要研究一座城市的平均年龄，那么平均年龄就是总体参数。
那么如何利用样本数据来估计总体参数呢？这就需要用到区间估计公式。
区间估计公式是一种基于样本数据的统计方法，它可以给出一个区间，该区间有一定的概率包含真实的总体参数值。
一般来说，我们希望该区间的概率值足够高，通常取95%或99%。
这就是我们常说的置信水平。
下面介绍总体均值的区间估计公式。
假设我们有一个样本，样本的大小为n，样本的均值为x̄，总体的标准差为σ。
当总体的分布近似服从正态分布时，总体均值的区间估计公式为：x̄± Z * (σ / √n)其中，x̄表示样本均值，Z是正态分布的一个分位数，可以从标准正态分布表中查找对应的值。
σ是总体的标准差，√n表示样本大小的平方根。
这个公式的意义是，以95%的置信水平，样本均值x̄加减一个与样本大小、总体标准差和置信水平相关的倍数，得到的区间就是总体均值的估计区间。
换句话说，这个区间内的值有95%的概率包含总体均值。
除了总体均值的区间估计，我们还可以估计其他总体参数，比如总体比例、总体方差等。
不同的总体参数有不同的区间估计公式，但原理类似。
区间估计的应用非常广泛。
例如，市场调研公司想要估计某个产品在全国范围内的市场份额，可以采集一部分样本进行调查，通过区间估计公式估计产品市场份额的范围。
又如，政府部门想要估计某个城市的平均收入水平，可以抽取一部分居民进行调查，应用区间估计公式计算平均收入的估计区间。
总的来说，总体参数的区间估计公式可以帮助我们通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计的不确定性范围。
统计学参数估计
统计学参数估计统计学参数估计是统计学中一种重要的方法，它通过观察样本数据来估计总体参数的值。
参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体比例等。
参数估计的目的是根据样本信息对总体参数进行推断，从而得到总体特征的近似值。
参数估计的过程通常分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是指根据样本数据求出总体参数的一个数值估计量，例如样本均值、样本比例等。
点估计的基本思想是用样本统计量作为总体参数的估计值，它是参数的无偏估计量时，表示点估计是一个良好的估计。
区间估计是指根据样本数据求出一个区间，这个区间包含总体参数的真值的概率较高，通常用置信区间表示。
区间估计的基本思想是总体参数位于一个区间中的可能性，而不是一个确定的值。
置信区间的构造依赖于样本统计量的分布以及总体参数的估计量的抽样分布。
点估计和区间估计的方法有很多，其中最常用的是最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指根据已知样本观测值，选择使样本观测值出现的概率最大的总体参数作为估计值。
最大似然估计的基本思想是找到一个参数值，使得已观测到的样本结果出现的概率尽可能大。
矩估计是指根据样本矩的观测值，选择使样本矩的偏差与总体矩的偏差最小的总体参数作为估计值。
矩估计的基本思想是利用样本矩估计总体矩，从而近似估计总体参数。
参数估计在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在医学研究中，需要对患者的疾病概率进行估计，以帮助医生做出正确的诊断和治疗决策。
在经济学研究中，需要对经济指标（如GDP、通胀率等）进行估计，以帮助政府制定宏观经济政策。
在市场调研中，需要对消费者行为进行估计，以帮助企业确定产品定价和市场策略。
然而，参数估计也存在一些局限性。
首先，参数估计的结果仅仅是对总体参数的估计，并不是总体参数的确切值。
其次，参数估计的结果受到样本容量的影响，样本容量越大，估计结果越可靠。
另外，参数估计还需要满足一些假设条件，如总体分布的形式、样本的独立性等，如果这些假设条件不满足，估计结果可能会失效。
区间估计的名词解释
区间估计的名词解释在统计学中，区间估计是一种通过样本数据确定未知参数真值范围的方法。
其目的是通过一定的置信水平，给出一个包含真实参数的区间。
这个方法常用于不确定性问题的解决，例如预测总体均值、比率或方差等。
一、区间估计的基本原理区间估计的基本原理是建立在样本与总体之间的关系基础上的。
当我们从总体中取出一个样本并计算它们的统计量时，我们可以通过这些统计量来推断总体参数的范围。
具体来说，以估计总体均值为例，假设我们要估计总体均值μ，并且我们有一个样本数据集。
我们首先计算样本的平均值x，然后计算标准误差（standard error）或标准差（standard deviation）。
标准误差是样本平均值的标准差，而标准差是总体的标准差。
接下来，我们可以选择一个置信水平，通常为95%或99%。
置信水平表示我们对于真实参数落在估计的区间内的置信程度。
置信水平越高，估计的区间范围就会越大。
然后，我们可以使用统计分布的性质，例如正态分布或t分布，来计算区间估计的下限和上限。
这些分布的性质可以帮助我们确定参数的范围。
最后，我们得到了一个置信区间，这个区间代表了我们对于总体参数真值的估计范围。
例如，我们可以得出一个96%的置信区间为[10.2, 20.7]，这意味着我们有96%的置信度认为总体均值落在这个区间内。
二、区间估计的应用区间估计在实际应用中起着至关重要的作用。
它为我们提供了对于未知参数的范围估计，以便我们能够更好地理解和解释数据。
在市场调研中，区间估计常用于估计产品销量、顾客满意度等指标。
通过对样本数据进行统计分析和区间估计，我们可以预测产品的市场接受度和潜在销量范围。
在医学研究中，区间估计可用于确定药物疗效和副作用的范围。
通过对临床试验中的样本数据进行统计分析和区间估计，我们可以更好地评估药物对公众健康的影响。
在质量控制中，区间估计可以帮助我们确定生产过程的质量指标范围。
通过对产品样本数据进行统计分析和区间估计，我们可以判断产品是否符合标准要求或有潜在问题。
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理在统计学中，参数估计是通过从样本数据中获得的统计量推断总体参数值的方法。
通过参数估计，我们可以利用样本数据来了解总体的特征。
参数估计有两种主要方法，即点估计与区间估计。
本文将对参数估计的公式进行整理，包括点估计和区间估计的常用方法。
一、点估计公式点估计是用样本数据来估计总体参数的方法，其中最常用的是样本均值和样本方差。
下面是一些常见的点估计公式：1. 样本均值的点估计公式总体均值的点估计通常由样本均值给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体均值μ的点估计公式为：μ̂= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n2. 样本方差的点估计公式总体方差的点估计通常由样本方差给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体方差σ²的点估计公式为：σ̂² = ((x₁ - μ̂)² + (x₂ - μ̂)² + ... + (xn - μ̂)²) / (n - 1)3. 样本比例的点估计公式总体比例的点估计通常由样本比例给出。
假设我们有一个二分类样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，p是正例的比例。
总体比例p的点估计公式为：p = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n二、区间估计公式区间估计是用来估计参数的可信区间的方法，即给出参数值的一个范围。
下面是一些常见的区间估计公式：1. 总体均值的区间估计公式总体均值的区间估计可以使用置信区间进行。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，s是样本标准差，Z是对应于所需置信度的Z分位数。
总体均值μ的置信区间估计公式为：μ̂± Z * (s / √n)2. 总体比例的区间估计公式总体比例的区间估计可以使用置信区间进行。
区间估计与假设检验
区间估计与假设检验在统计学中，区间估计和假设检验是两个常用的推断方法，用于对总体参数进行估计和推断。
本文将对区间估计和假设检验进行介绍，并讨论它们的应用和差异。
一、区间估计区间估计是用样本数据来推断总体参数的取值范围。
它通过计算估计值以及与之相关的置信水平，给出一个参数的范围估计。
这个范围被称为置信区间。
置信区间常用于描述一个参数的不确定性。
例如，我们要估计某种药物的平均效果。
通过对随机抽取的样本进行实验，我们可以得到样本均值和标准差。
然后，结合样本容量和置信水平，可以计算出药物平均效果的置信区间。
例如，我们可以得出一个95%置信区间为(0.2, 0.6)，表示我们有95%的置信水平相信真实的平均效果在这个区间内。
二、假设检验假设检验是用于判断总体参数是否符合某种假设的统计方法。
假设检验通常分为两类：单样本假设检验和双样本假设检验。
1. 单样本假设检验单样本假设检验用于推断一个总体参数与某个特定值之间是否存在显著差异。
它包括以下步骤：（1）建立原假设（H0）和备择假设（H1），其中原假设是要进行检验的假设，备择假设是对原假设的补充或对立的假设。
（2）选择合适的显著性水平（α），表示我们接受原假设的程度。
（3）计算样本数据的检验统计量，例如t值或z值。
（4）根据显著性水平和检验统计量，判断是否拒绝原假设。
2. 双样本假设检验双样本假设检验用于比较两个总体参数之间是否存在显著差异。
常见的双样本假设检验包括独立样本t检验和配对样本t检验。
独立样本t检验用于比较两个独立样本的均值是否有差异，而配对样本t检验用于比较同一样本的两个相关变量的均值是否有差异。
三、区间估计与假设检验的差异区间估计和假设检验都是推断总体参数的方法，但它们的应用和目的略有不同。
区间估计主要关注参数的范围估计，给出了参数估计值的不确定性范围。
它强调了估计的稳定性和精确度，但不直接涉及参数的显著性判断。
因此，区间估计对于参数的精确度提供了一个相对准确的度量。
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△ 概率(可靠性)大; x 随之增大, 精确度就差.
王 静
第三节 总体均值
μ 的区间估计(单个总体)
x ± Zα
2
σ 2 已知 1,
σ 已知时的大样本下μ的区间估计
2
σ
n
式中,( α)为置信系数; 1 Z α 2为在标准正态分布的右侧尾部中所提供的面积为α 的Z值. 2
王 静
σ 2 未知,小样本 2,
2009-2010(二)
(教 学 课 件)
王
静
2009.2 – 2009.6
第八章(区间估计)
第八章 参数统计估计
第二节 区间估计的基本问题
( 设总体X的分布函数为 F ( X ;θ ), θ 为未知参数, x1 , x2 ,...xn )为X的 样本,给定 α ∈ (0,1) ,若统计量 θ = θ ( x1 ...., xn ) 和 θ = θ ( x1 ...., xn )
P (θ < θ < θ ) = 1 α
精确度 随机区间
(θ , θ )
总体参数 估计值 误差范围 △:一定倍数的抽样误差 σ △ x = Zα 例如: n 2 Z 抽样误差 σ / n 一定时, α 越大,
2
包含 θ 的概率 的平均长度 E (θ , θ ) (即可靠程度 )越大越好. (误差范围 )越小越好
总体分布未知时的大样本下的区间估计:
S x ± Zα 2 n
式中,( α)为置信水平; 1 Zα 2 为在标准正态分布的右侧尾部中所提供的面积为 α 的Z值. 2
王 静
第三节 正态总体方差 σ 2 的区间估计(单个总体) 1, μ 已知
正态总体的假设下,利用 χ 分布来构造 σ 2 的置信区间:
满足:P(θ < θ < θ ) = 1 α ,则称区间 (θ , θ ) 为 θ 的置信区间, 且这个置信区间的置信水平为 1 α , θ 和 限,置信下限.
θ
分别为置信上
出错概率
置信区间不含总 体参数的概率
α
P(θ < θ ,θ > θ ) = α
王 静
区间估计
或
估计未知参数所在的可能区间 评价准则 一般形式 置信度 (θ △)< <θ +△) θ ( 随机区间 θ = θ ±△ (θ , θ )
δ x = Zα
2
σ
n
n = Zα 2
σ σ2 n = (Zα )2 2 δx δx
2
王 静
~End~
王 静
�
在小样本的情况下,样本均值的抽样分布依赖于总体的抽样 分布.我们讨论总体服从正态分布的情况.
总体标准差σ已知 → x服从正态分布 小样本n < 30 总体标准差σ未知 → x服从t分布( s σ )
t分布的图形和标准正态分布的图形类似,如下图示:
王 静
标准正态分布 t分布(自由度为20) t分布(自由度为10)
假定总体服从正态分布;
式中,( α)为置信水平;s为修正样本的标准差;tα 2 为在 1 自由度为(n-1)的t分布的右侧尾部中所提供的面积为 α 的t值. 2
王 静
σ 2 未知,大样本 3,
在大多数的情况下,总体的标准差都是未知的.根据抽样 分布定理,在大样本的情况下,可用样本的标准差s作为总体标 准差的点估计值,仍然采用上述区间估计的方法进行总体参数 的估计.
王 静
找出在限定费用范围 内的最大样本容量
误差边际
E = Zα 2
2
σ
n
即最大允许误差
δx
其计算需要已知 Zα , σ和样本容量n. 若我们选择了置信度 1 α , 就可以确定Z α 2
在已知σ 和Zα 后,我们可以求出误差边际为任何数值时的
2
样本容量n 由此,得到计算必要样本容量的计算公式:
σ 未知时的大样本下的区间估计
式中,(1 α)为置信系数;
S x ± Zα 2 n
பைடு நூலகம்
Z α 2为在标准正态分布的右侧尾部中所提供的面积为α 的Z值. 2
王 静
4,总体分布未知,大样本
大样本的情况下,由中心极限定理,可用样本的标准差s作为总 体标准差的点估计值,仍然采用上述区间估计的方法进行总体 参数的估计.
0 图2标准正态分布与t分布的比较
王 静
在t分布中,对于给定的置信度,同样可以通过查表找到其对 应的临界值 tα ,利用临界值也可计算区间估计的半径
2
s E = tα (n 1) 2 n
因此,总体均值的区间估计在总体标准差未知的小样本情况 下可采用下式进行: s
x ± tα (n 1)
2
n
2
2 2 nS nS χ 2 ( n) , χ 2 ( n) α α 1 2 2
2 2 (n 1) S (n 1) S χ 2 (n 1) , χ 2 (n 1) α α 1 2 2
王 静
2, μ 未知
第四节 样本容量的确定
找出在规定误差范围内的 最小样本容量 小样本容量节省费 用但调查误差大 调查误差 样本容量 调查费用 大样本容量调查 精度高但费用较 大