概率论及数理统计教程习题(第三章多维随机变量及其分布)
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习题6（多维随机变量及联合分布）
一．填空题
1. 设随机变量X 在1，2，3，4中随机取值，随机变量Y 在1到X 中随机取整数值，则二维随机变量),(Y X 的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为
； ； .
概率==)(Y X P .
2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为
18
.012.012.008.01
11
01b a X Y
--，且X 与Y 相互独立，
则=a ；=b .
3. 设区域1,1≤≤y x D ：，二维随机变量),(Y X 在D 上服从均匀分布，则它的联合密度函数
=),(y x f ；=≤+)1(Y X P .
4. 设),(Y X 是二维相互独立的随机变量，且)4,0(~U X ，)5(~e Y ，则概率
=≤≥)1,2(Y X P .
二．解答题
1. 若随机变量X 服从6.0=p 的10-分布，)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及概率).(Y X P <
2. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，)1,0(~U X ，)2(~e Y .写出二维随机变量),(Y X 的联合密度函数),(y x f ，并求t 的二次方程022
2
=++Y Xt t 有实根的概率。
3. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩
⎨
⎧=,0,),(kx y x f .,
,10其它x y x ≤≤≤（1）求k 值；（2）求两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；（3）讨论随机变量X 与Y 的相互独立性；（4）求概率)5.0(≤X P 及).1(≥+Y X P
习题7（多维随机变量函数的分布）
一．填空题
1. 若随机变量X 的概率分布为
1
.04.03.02.02
101p
X
-，记12+=X Y ，12-=X Z ，则随
机变量Y 与Z 的概率分布列分别为：
； .
2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为
2.02.031.001.021.02.01.011
01-X
Y ，则随机变量Y
X +的概率分布列为.
3. 若随机变量X 的概率函数为
6
.04.01
1P X -，随机变量)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，
则随机变量X Y -与XY 的概率函数分别为：
； .
二．解答题
1. 若随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧
+=,0,)1(2)(2x x f X π .0,0≤>x x 求随机变量X Y ln = 概率密
度函数).(y f Y
2. 若随机变量)1,0(~U X ，记X
e Y =，求Y 的概率密度函数).(y
f Y
3. 若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=,
0,2)(x x f X .,10其它< X Z =的概率密度函数)(y f Y 及)(z f Z . 4. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为 ⎩⎨⎧=, 0(),(21y x f ,)y x e y x --+ .,0,0其它>>y x 求随机变量Y X Z +=的概率密度函数).(z f Z 习题8（随机变量的数字特征） 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率分布为 1 .03.03.01.02.04 2101P X -，则=)(X E ； =-)13(X E ；=)(X D . 2. 若X 的概率密度为)(,2 1)(+∞<= -x e x f x ，则=)(X D . 3. 若随机变量X 的分布函数为⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=,1,4/, 0)(x x F ,440,0>≤<≤x x x 则数学期望 =)(X E ；方差=)(X D . 4. 若随机变量X 与Y 相互独立，且)1,1(~-U X ，)4(~e Y ，则 =+)(Y X E ；=)(XY E ；=+)(Y X D . 5. 若相互独立的随机变量X 与Y 满足1)()(==Y E X E ，2)(=X D ，4)(=Y D ，则 =+])[(2Y X E . 二．选择题 1. 若随机变量X 服从二项分布),(p n B 则下列式子中正确的是（ ）. ① np X E 2)12(=-； ② 14)12(+=+np X E ； ③ 1)1(4)12(--=-p np X D ； ④ )1(4)12(p np X D -=-. 2. 若随机变量X 与Y 相互独立，且1)()(==Y D X D ，则=-)24(Y X D （ ）. ① 20； ② 12； ③ 6； ④ 2. ① 2e ； ② 4e ； ③ )1(44 -e ； ④ )1(441-e 三．解答题 1. 若随机变量X 的概率密度为⎩ ⎨⎧+=,0)(a x f ,2cx bx + .,10其它≤≤x 且21)(=X E ，20 1)(=X D ，求常数.,,c b a 2. 若二维随机变量),(Y X .在圆域122≤+y x D ：上服从均匀分布，求 ).(),(),(XY D XY E X E 3. 在国际市场上，每年对我国某种产品出口的需求量X （单位：t ）是一个随机变量，且 )4000,2000(~U X .若每出口1（t ）可得外汇3万元，如果销售不出去，每吨需要保养费1 万元。问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？