(完整)中南大学2013年高等代数

中南大学

2013年硕士研究生入学考试试题

（883高等代数）

一、（16分）设12,,,n αααL 是n 个(2)n ≥互不相同的整数.证明： 1()()()1n f x x a x a =---L 不能表示成两个次数大于零的整系数多 项数之积.

二、（16分）计算n 阶2n ≥行列式

1221233

3122111

112210

001001011

n n n n n n n n

n

n

n

k C k C C k D C C C k C C C k ------=

L L L L L

L

L L

L L L

其中k 为正整数。

三、（14分）设12(,,,)n A a a a =L 是数域F 上的一个m n ⨯矩阵，对A 施 行若干初等行变换后得到矩阵12(,,,)n B b b b =L 。证明： 1.向量组12,,,n a a a L 中的向量12,,,j j jk a a a L 线性无关的充要条件是 向量组12,,,n b b b L 中的向量12,,,j j jk b b b L 线性无关； 2.向量组12,,,n a a a L 中的向量1

2

,,,r

i i i i a a a a L 满足

1

2

1212(,,,)r

i i i r i r a k a k a k a k k k F =+++∈L L 的充要条件是向量组

12,,,n b b b L 中的向量1

2

,,,r

i i i i b b b b L 满足1

2

12r

i i i r i b k b k b k b =+++L 。

四、（16分）设m n ⨯矩阵A 的秩为r 。

1.证明：存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶矩阵Q ，使得00

0r

E PAQ ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

， 其中r E 为r 阶单位矩阵；

2.证明：存在m r ⨯矩阵B 和r n ⨯矩阵C ，使得秩B=秩C=r 且A=BC ；

3.设计一个用矩阵的初等变换求1.中P 与Q 的方法。

五、（14分）设A,B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，满足ABA=A ，b 是一个 m 维列向量。证明：方程Ax=b 有解的充要条件是ABb=b ，且在 有解时，通解为()n x Bb E BA y =+-，其中n E 为n 阶单位矩阵，y 为任意n 维列向量。

六、（22分）设A 为n 阶实对称矩阵，B 为n 阶实对称正定矩阵。 记0B A λ-=的n 个根为12,,,n λλλL 。证明： 1.12,,,n λλλL 都是实数；

2.存在n R 的一组基12,,,n x x x L ，使得对一切i ，j 有

i i i Ax Bx λ=及1,0,T

i

j i j

x Bx i j =⎧=⎨≠⎩

；

3. 0

1max max n x T i T i n x R x Ax x Bx λ≠≤≤∈=且01min min n x T i T i n x R x Ax

x Bx λ≠≤≤∈=。 七、（20分）设V 是数域F 上2阶方阵全体所构成的线性空间，

1203A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭。定义V 的线性变换σ如下：(),X AX XA X V σ=-∈。 1.求σ的值域与核的基与维数；

2.σ是否可对角化？若可对角化，求V 的一组基，使σ在该组基 下的矩阵为对角形。

八、（16分）设M 是n 维欧式空间V 的一个子空间，(,)⋅⋅是V 的内 积，V α∀∈

，记||αV β∀∈，存在唯一0M γ∈，

使得0min

||M

γβγβγ∈-=-。 九、（16分）设V 是实数域R 上n 阶方阵全体所构成的线性空间，f 是V 上的实值非零线性函数，满足,A B V ∀∈，f(AB)=f(BA).证明

g（A，B）=f（AB）是V上的非退化双线性函数。