复变函数与拉氏变换模拟题1、2、3

复变函数与积分变换模拟题 1

一、判断题（正确打√，错误打⨯， ）

1． )7Im()5Re(63i

i e e ππ

<. （ ）

2．设iv u z f +=)(，若x v x u ∂∂∂∂,存在，则()u v i f z x x ∂∂'+=∂∂. ( ) 3．设C 为)(z f 的解析域D 内的一条简单正向闭曲线，则⎰=c

dz z f 0)(.（ ） 4．若iv u z f +=)(是解析函数，则,u v 都是调和函数. ( )

5．幂级数01()n n n a z z ∞

=-∑必在其收敛圆上收敛. （ ）

6．01z =为函数2cot ()(1)

z f z z π=-的三级极点. （ ）

二、填空题

1．复数=1+cos sin ()z i θθ

πθπ+-<≤的三角表示式为_________________. 2．若实数y x b a ,,,满足等式()i a y x iy e a ib x iy

++=+-，则=+22b a ______. 3．函数iz W =将z 平面上的曲线21=-z 映射到W 平面的曲线方程为________.

4．方程的i i e iz +-=

112全部解为______________________. 5．函数)

4)(1(1)(++-=z z z z z f 在10-=z 处可展罗朗级数的所有圆环域是_________ 6．_______0,cos 1Re 2=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-z z s .

三、计算题

1．问k 取何值时, x

y i y x k z f arctan )ln()(22++=在域0>x 内是解析函数。

2．将函数dz e z f z z ⎰=02

)(在00=z 处展开成泰勒级数，并指出其收敛半径。 3．设C 为2)1(=+-i z 的正向, 求⎰+-C

z z dz )

1()1(22. 四、证明题

设(,),(,)x y x y ϕψ都是调和函数，而,y x x y s t ϕψϕψ=-=+，试证

s it x iy ++是的解析函数。

五、应用题

利用Laplace 变换求积分方程301443

t y y ydt t '-+=⎰满足条件(0)0y =的特解。 复变函数与积分变换模拟题2

一、判断题（正确打√，错误打⨯， ）

1. 复数i i 3167+>+. （ ）

2..设),(y x v v =是区域D 内的调和函数，则x y v i v z f '+'=)(在D 内解析。( )

3.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=可微等价于),(),(y x v y x u 和

在点),(00y x 可微。 （ ）

4.若,)

()()(0m z z z g z f -= )(z g 在0z 点解析，则0z 必为)(z f 的m 级极点。（ ） 5.若∑∞=+--=03)

1()1()(n n n

z z f 在+∞<-<11z 内成立，由式中含无限个负幂项知 10=z 是)(z f 的本性奇点。 （ ）

6.设)(z f 在单连通区域D 内解析，)(z F 是)(z f 的一个原函数，C 为D 内的一 条正向闭曲线，则⎰=C

n dz z F 0)()(. ( )

二、填空题

1. =)Re(cos i _______________________.

2. )31(i Ln +-=___________________________.

3. 函数z w 1=

将z 平面上的曲线4=y 映射到w 平面上的曲线方程为________. 4．._____________1

=i i

5. 若dz z z z f z ⎰=-++=2

212)(ξξ，2≠ξ，则(1)______f =；=+)53(i f _______, (1)__________f '=. 6. _________]0,1sin [Re 2=z

z s .

三、计算题

1．讨论函数)3()(33y y i x z f --=的可导性，解析性，并写出可导点处的导数。

2．设C 为从01=z 到i z +=22的直线段, 求⎰C

dz z )Im(. 3．:(1,2)(1)(2)

z C e dz C z r r z z z I =

=≠+-⎰计算积分. 四、证明题

试证y x y y x u 233),(-=为调和函数，再求其共轭调和函数),(y x v 并写出iv u z f +=)(关于z 的表示式。

五、应用题

利用Laplace 变换求微分方程)0(4322>=-'-''t e y y y t 满足条件

8)0(,2)0(='=y y 的特解。

复变函数与积分变换模拟题3

一、判断题（正确打√，错误打⨯， ）

1．函数)(z f 在区域D 内处处可导是)(z f 在D 内解析的充分必要条件.（ ） 2．arg(12)arg(75)i i -+>+ ( )

3．复方程|1||z z -=所表示的曲线为一条直线. （ ）

4．若0)(=⎰c

dz z f ，则)(z f 在C 上及C 内处处解析. ( ) 5．若幂级数∑∞

=1n n n z a 在i z 2=处收敛，则它必在i z +-=1处收敛. （ ）

6．

10-=z 为函数)1ln()(z z f +=的孤立奇点. （ ）

二、填空题

1. 34,Re()z e i iz =-+=设则_______________________.

2. 设3,z ai =-且|2|2z -<，a 则实数的取值范围是_______________.

3. 函数z

w 1=将z 平面上的曲线1x =映射到w 平面上的曲线方程为________. 4．1_____________.i -=

5. 设z e z z f --=)1()(，则._________________)(='z f

6. 2||21sin _________z z dz z

==⎰. 7. 21[sin ]_________.t a L a kt >+=当时，

三、计算题

1．讨论函数i y x y x z f )(2)()(2++-=在何处可导，何处解析，并求其可导点处的 导数。