北师大八年级数学第二章《二次根式》典型题目及练习

北师大八年级数学-第二章-《二次根式》典型题目及练习

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2.7 二次根式

知识点梳理 知识点1 二次根式的概念

一般地，形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数。

二次根式必须满足3个条件 ① 形式上必须有二次根号“

” ② “

”里的数必须是非负数 ③ “” 里可以是数字，也可以是代数式。

【例1】 判断下列根式是否为二次根式

⑴

3- ⑵ 3- ⑶ a - ⑷ 32-- 1. 判断下列根式是否为二次根式

⑴()25- ⑵ 12--a ⑶ 122+-a a 知识点2 二次根式的性质

性质1：b a ab •= （a ≥0，b ≥0） 。

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用性质1可以对二次根式进行化简 性质2：b a b a = （a ≥0，b ≥0）

商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。

最简二次根式：像3，2

3等等这样的二次根式，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

【例2】 把下面的二次根式化简成最简二次根式。 ⑴ 1512⨯ ⑵

2427b a （b ≥0） ⑶ x

94

2. 化简下列各题。

⑴ 588 ⑵91636⨯⨯ ⑶

2549x

⑷

962++x x （x ≥0） ⑸ a

1

3. 下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ） A. 18 B. 24 C. 12 D. 9

4. 若最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则=a

知识点3 二次根式的乘、除法（重点）

两个二次根式相乘，可先将它们的被开方数相乘再开方，即ab b a =• （a ≥0，b ≥0） 两个二次根式相除，可将它们的被开方数相除再开方，即

b a b a = （a ≥0，b ＞0） 【例3】 计算

⑴ 12143⨯ ⑵x y xy 33÷(x ＞0, y ＞0 ) ⑶ 322145051183÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+

【例4】 将二次根式a

a 1-

的根号外面的因式移到根号内。

3. 计算下列各题

⑴

142821⨯ ⑵ 2712553⨯ ⑶ 6

18 ⑷ b a b a -÷-2)( ()b a >

4. 把()

1

11--x x 根号外面的因式移到根号内为

知识点4 二次根式的加、减法（难点）

二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 如32和35，74和76-

二次根式的加、减法运算实质是合并同类二次根式，类似合并同类项， 如32+3537=，74 7276-=-

二次根式的加、减法运算注意以下三点

① 加法运算律仍然适用于二次根式的加、减法运算

② 不是同类二次根式的不能合并

③ 计算结果必须最简

【例5】 计算：

383532+-

32188-+ 122432+--

5445452021515

-++ )127(213b

b a b a a --+

5. 计算

⑴ 585554-+ ⑵ 12188++ ⑶ ab xy ab xy xy 54

132214+--+

考点归纳

考点1 二次根式的乘除混合运算

【例1】 计算下列各题 ⑴

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212 ⑵ ()

2222-÷--•x x x x x x

1. 计算下列各题。

⑴ 32232513

45⨯÷ ⑵ ab

ab b a 1•÷ （0>b ）

【例2】 化简并求值 ab a b b a b ab a -÷-+-2

2222，其中12+=a ，12-=b

2. 化简再求值

⑴ )

(2)()(2

2a b a b ab a b a b b a -++÷-+，其中2=a ，3=b

⑵ x x x x x x 11132-•⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--，其中22-=x

【例3】 星期天，张琪的妈妈和张琪做了一个小游戏，张琪的妈妈说：“你现在学习了二次根式，

若x 表示10的整数部分，y 表示它的小数部分，我右手里的钱数是

()y x •+10元，你

猜一下右手里的钱数是多少？

3. 若731

-的整数部分是a ，小数部分为b ，求()

ab a 172++的值