《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
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)B
从中任取
律为P
布,则
件产品中有12
四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为
\0121
0.10.20.12
0.10.2
Y X
a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?
为什么?
五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为
(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
其他 求()(),E X D X
一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或A
B C 2、0.6 3、21
56311
C C C 或4
11或0.3636 4、1 5、
13
6、
2
014
1
315
5
5
k
X p 7、1 8、(2,1)N - 二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示
取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505
P A P A P B A P B A =
======= .... 2分 (1)由全概率公式得
112261511
()()(|)()(|)1151155
P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=
.............. 7分 (2)由贝叶斯公式得
22251
()()5
115()1()115
P A P B A P A B P B ⨯=== ........................... 12分
三、(本题12分)
解 (1)由概率密度的性质知
3
4
0391()21224
x f x dx kxdx dx k +∞
-∞⎛⎫=+-=+= ⎪
⎝
⎭
⎰⎰⎰ 故1
6
k =. ................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0x
F x f t dt -∞==⎰; 当03x <<时, 2
011()()612
x
x
F x f t dt tdt x -∞===
⎰⎰;
当
34
x ≤<时, 320311
()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝
⎭⎰⎰⎰; 当4x ≥时, 34031()()2162x t
F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰; 故X 的分布函数为
220
,01,0312
()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩
............................... 9分
(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫
<≤=-=-=
⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭ ....................... 12分 四、
解 (1)由分布律的性质知
01.0.20.10.10.21a +++++= 故0.3a = ..................................................... 4分
(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为
012
0.40.30.3
X
p
.......................................... 6分
12
0.40.6
Y p ............................................. 8分
(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故 {}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠== 所以X 与Y 不相互独立. ........................................ 12分 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为
(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪⎩
其他
求()(),E X D X .
解 2
1
3
1
2
2
3201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞
-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎰⎰⎰ ...................... 6分
12223
2017()()d d (2)d 6
E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ ................................................ 9分 221
()()[()].6
D X
E X E X =-= .................................... 12分
一、 ........................................................ 填