5 离散时间信号的傅里叶变换

定义：
∴
信号时频域的约束关系可参见动画6
八.频域微分
九.Parseval定理: 对非周期离散时间信号：
称为
的能量谱密度函数。
对周期离散时间信号：
称为周期信号的功率谱。
5.4 卷积特性 若 ，则 即是系统的频率特性。 说明:该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。 例:求和特性的证明 。
当
时，
，令 ————DTFT
有
显然，
对
是以
为周期的。
参看动画5-2
将其与
表达式比较有：
于是：当 。
时，
，
，
，
当k在一个周期范围内变化时， 积分区间是 。表明:
在
范围内变化，所以
离散时间序列可以分解为频率在 为
区间上连续分布的、幅度
的复指数分量的线性组合。
结论：离散时间非周期信号的傅立叶变换对为：
的频谱如图所示：
5.3 离散时间傅立叶变换的性质 通过对DTFT性质的讨论,目的在于揭示信号时域和频域特性之 间的关系。 一. 周期性: 若 二. 线性 ，则 。
三. 时移与频移 若 则： 四. 时间反转 若 五.共轭对称性 若 ，则 。 ，则 。 ，
六.时域差分与求和
例：
，
∴
七.时域内插
一.
系统的频域响应
对LCCDE描述的系统，有以下的方法可求得系统的频域响应。 方法一: 可以从求解 将 变换而求得 时的差分方程得到 。 因 。 ,而
方法二: 可以通过求出 时方程的解而得到 为 是LTI系统的特征函数, 此时的
方法三: 对方程两边进行DTFT变换,可得到:
通过反变换求得
。
例：
本章与第4章平行的讨论了DTFT,讨论的基本思路和方法与第4章 完全对应,许多结论也很类似通过对DTFT性质的讨论揭示了离散 时间信号时域与频域特性的关系.不仅看到许多性质与特性在 CTFT中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如DTFT 总是以2π为周期的.通过卷积的讨论,对LTI系统建立了频域分析 的方法.同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提 供了理论基础。 对偶性的讨论为我们进一步认识连续时间信号、 离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述之间存在的重要 内在联系,提供了重要的理论根据.深入理解并恰当运用对偶性,对 深刻掌握CFS,DFS,CTFT,DTFT的本质关系有很大帮助。 与连 续时间LTI系统一样,由LCCDE描述的LTI系统可以很方便的由方 程得到系统的频率响应函数 ，实现系统的频域分析,其基本过程 及涉及到的问题与连续时间LTI系统的情况也完全类似.
二.常用信号的离散时间傅立叶变换 1. ,通常 的模和相位： 是复函数。
信号的幅频特性如下：
由图可以得到: 时,信号表现为低通特性, 时,信号表现为高通特性, 为单调指数衰减; 为摆动指数衰减。
2、
三、DTFT的收敛问题 当序列是无限长序列时,由于 存在收敛问题. ，则 表达式是无穷项级数,当然会
，
利用时移性质有:
由对偶性有:
∴ ∵
∴
即是频移特性。
二.DTFT与CFS间的对偶 由 知 是一个以 为周期的连续函数。
若在时域构造一个以 表示为CFS:
为周期的连续时间信号
则可将其
，
比较
和
的表达式可以看出
，这表明：
若 则 利用这一对偶关系,可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去;或 者反之。 例:从CFS的时域微分到DTFT的频域微分
5.1 非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换 非周期信号的表示 表示： 一、从DFS到DTFT 让我们先来观察周期性矩形脉冲信号，取其周期N=10、20与 40时，其频谱的变化情况如下图所示。
在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到:当 信号周期N增大时,频谱的包络形状不变,幅度减小,而频谱的 谱线变密。 当 时,有 ,而从时域看,当周期信号 的周期 时,就变成了一个非周期的有限长序列.可以预 见,对一个非周期的有限长序列,它的频谱应该是一个连续的频 谱.（如动画5-1所示） 对周期信号 由DFS有
第五章 离散时间傅立叶变换
本章内容： 离散时间傅立叶变换的表示；常用信号的傅立叶变换；傅立 叶变换的性质；傅立叶变换的收敛；周期信号的傅立叶变换； 对偶性；卷积性与相乘性；LTI系统的频域响应与系统的频域 分析； 通过对离散时间傅立叶变换的学习，掌握信号在频域的分 析思想、物理含义及系统在频域分析的方法，理解信号通 过系统传输的不失真条件。
存在，且级数一致收敛于
。பைடு நூலகம்。
，则级数以均方误差最小准则收敛于
5.2 周期信号的DTFT 对连续时间信号,有 由此推断对离散时间信号 或许有相似的情况.但由于DTFT一定是以 为周期的,因此,频域 的冲激应该是周期性的冲激串:
对其作反变换有: :
可见：
由DFS，有
，
因此,周期信号
可表示为DTFT
从上式可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完全一致的. 例： 不一定是周期的,当 时， 才是周期的.
————CFS的时域微分特性
∵若
∴
，则
————DTFT的频域微分特性
例:从CFS的卷积特性到DTFT的相乘特性
由CFS的卷积特性：
由对偶性：
如图所示对偶关系示意图 可参看动画5-8 5-9
例：求
的
。
∵
，
∴
5.8 由LCCDE表征的系统 工程中使用相当广泛的一类离散时间LTI系统可以由一个线性常 系数差分方程LCCDE来表征:
5.5 相乘性质 如果: 则:
由于 和 期卷积。
都是以
为周期的，因此上述卷积称为周
例：y(n) = x(n)·c(n)，其中
调制信号的过程可见动画7
5.7 对偶性 一.DFS的对偶性
，
由于 形式 即：
本身也是以N为周期的序列,当然也可以将其展开成DFS
或
这表明
序列的DFS系数就是
即：
利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的性质对偶到频域得 到相应的性质. 例1:从时移到频移 1: