五年级三大原理抽屉原理教师版

抽屉原理知识要点最不利原则所谓“最不利原则”是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果。

由此得到充分可靠的结论。

抽屉原理又称鸽巢原理或Dirichlet原理抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。

抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。

许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快使问题得到解决。

第一抽屉原理：一、将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件；二、将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于m+件。

1第二抽屉原理：一、将少于n件的物品任意放到n个抽屉中，其中必有一个抽屉中没有物体。

二、把1mn-个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有1m-个物体。

平均值原理：如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。

运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题．这里不仅“抽屉”与“苹果”需要恰当地设计与选取，而且有时还应构造出达到最佳状态的例子．抽屉原理【例1】 数学兴趣小组共23人，有一个同学在某一天对大家宣布一个猜想：“我们中间必定有两个人生日处在同一个月份”，你知道他是怎么知道的吗？【分析】 因为数学兴趣小组的人数超过了12个人，而一年中只有12个月份，根据抽屉原理一，他就可以得出以上结论了。

【例2】 某小学有420名学生，证明其中必定有两名学生是同一天的生日。

【分析】 一年至多是366天，把这些不同日期看作是抽屉，将420名同学看作是物体，把420个物体放在不超过366个抽屉里面，至少有一个抽屉的物品不少于2个，也就是说这两个物体所代表的同学就是同一天的生日。

【例3】 有个小朋友特别勤奋，在暑假里每天都会做奥数题，已知他一共做了47道，妈妈说假期中他过生日那天不止做了一道数学题。

问他这个假期最多有多少天？【分析】 根据抽屉原理，如果假期里面的每天看作是抽屉，把47道题看作是物品，因为知道每个抽屉都有物品并且某个抽屉中放的物品不少于2件，所以抽屉数一定小于47，所以抽屉数至多是46，也就是说假期最多有46天。

【例4】 50个小朋友等着老师派发苹果，老师拿着苹果箱对大家说：“你们其中至少有一个小朋友可以拿到不少于两个的苹果”，请问老师至少需要准备多少个苹果？【分析】 根据抽屉原理一，老师准备的苹果数必须比小朋友总人数多，因此至少需要准备50151+=个苹果。

【例5】 妈妈给小明买了4个苹果，要求小明每天都要吃苹果，已知小明至少有一天吃了不止一个苹果，问小明最多能吃多少天？【分析】 根据抽屉原理知道，只有天数比苹果数少才能保证小明至少有一天可以吃不止一个苹果，那么小明最多可以吃3天。

【例6】 （第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级初赛动手动脑题第3题）能否在8行8列的方格表的每个空格中分别填入1,2,3这三个数中的任何一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？【分析】 不可能。

因为每行每列每对角线上的和最小为8，和最大为24,8~24共有17个互不相同的数，而8行、8列和两条对角线上共有18个和，根据抽屉原理，必定有两个和是相等的。

【例7】 用数字1,2,3,4,5,6填满一个66⨯的方格表，如图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每一个22⨯的正方格内的四个数之和称为这个22⨯正方格的“标示数”。

问：能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由。

抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数＝x ()()11x n -p p ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．【分析】 因为22⨯的正方格共有5525⨯=个，又因为用数字1,2,3,4,5,6填入22⨯的正方格中，标示数只能是4,5,6,24L 这21种不同的情况，即有21个抽屉，因为共有25个标示数，所以根据抽屉原理，必定有两个标示数是相同的。

【例8】 证明：任意28个人中，至少有3个人的属相相同。

【分析】 把12个属相看作是12个抽屉，把28个人看作是28个苹果，因为281224÷=L ，根据抽屉原理二，至少有一个抽屉有不少于213+=个苹果，即相应的至少有3个人是相同的属相。

【例9】 一群人参加集体聚会，要想保证至少有5个人属相相同，那么参加聚会的人不得少于多少人？【分析】 如果把12个属相看作是12个抽屉，那么根据抽屉原理二，至少需要124149⨯+=人参加聚会才可以保证有至少5个人属相相同。

【例10】 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五种颜色之分（摸球时看不见颜色），结果发现总有3个人取出的球相同，由此可知，参加取球的至少有几个人？【分析】 取出两个球共有多少种不同的颜色呢？如果两种球颜色相同，那么共有5种方法数，如果两种球颜色不同，则共有2510C =种方法数，所以取出两个球的方法数是15种，即有15个抽屉，根据抽屉原理可知，参加取球的至少有152131⨯+=人。

【例11】 一副扑克牌，共54张，问至少从中摸出多少张牌才能保证有5张牌的花色相同？【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两张牌，分别是大王和小王，然后再把四种花色各摸出四张，此时一共摸出44218⨯+=张牌，如果再摸一张就会出现至少有5张牌的花色相同，即至少需要摸出19张牌才可以保证至少有5张牌的花色相同。

【例12】 一副54张的扑克牌，至少需要摸出多少张，才可以保证所有花色的牌都有？【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两张王牌，然后挑选三种花色摸光，此时一共摸了133241⨯+=张牌，再摸一张就可以保证所有花色的牌都有。

【例13】 一副54张的扑克牌，至少需要摸出多少张，才可以保证有2张梅花和3张红桃？【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两张王牌，然后摸出所有的方块和黑桃，共计132228⨯+=张牌，接着就是最关键也是最容易出错的地方，那就是什么是最坏的情况。

因为要保证有2张梅花和3张红桃，所以我们只需要不符合其中一个即可，比如摸到了13张梅花和2张红桃就是不符合要求的（想想看为什么13张红桃和1张梅花为什么不是最坏的情况？），但是如果再摸一张就必定符合要求了，所以至少需要摸出28132144+++=张。

【例14】 布袋中有编号为1~10的形状大小完全一样的小球55个，其中编号为n 的小球有n 个，110n ≤≤，为了保证将取出的球组合出数字“1999”，问至少需要取出多少个球？ 【分析】 因为要求取出一个“1”和三个“9”，所以我们考虑最坏的情况，把编号为2,3,4,5,6,7,8,10的所有的球全部取出来，即有23456781045+++++++=个球，此时还是显然无法满足题目要求，这个时候再取出九个“9”或者两个“9”和一个“1”，还是无法满足要求，如果再取一个就符合要求，即至少需要取出459155++=个球。

【例15】（第七届中环杯五年级初赛）一只魔袋里装有30种不同颜色的魔球各30只，现在请你闭上眼睛到袋中去摸球，每次限摸3只，要使摸出的球至少有三种颜色是不少于3只的，那么至少要摸多少次？【分析】这题是比较典型的最不利原则的题型，最坏的情况就是有两种颜色的魔球都取完了，其他28种颜色的魔球都去了2只，这时只有再取一只球就能凑足有三种颜色是不少于3只，所以至少应该摸++⨯+÷=次。

(30302821)339【例16】请证明：在1,4,7,10,,100L中任选20个数，其中至少有不同的两组数，其和等于104。

【分析】共34个数分成18组如下：()()()()()L，共18个抽屉，从中任意选取204,100,7,97,,49,55,1,52个数，至少有18个数来自前16个抽屉，所以至少有4个数取自某两个抽屉，而属于同一个抽屉的两个数的和是104，所以问题得证。

【例17】从1~200这200个数中任意选取101个数，证明：必有一个数是另一个数的倍数。

【分析】把这200个数分成100组，看作是100个抽屉，分别是(1,2,4,8,,128)L，L，(3,6,12,,192)L，……，(99,198)，(101)，(103)，……，(199)，从这100个抽屉中选取101个(5,10,20,,160)数，则必定有两个数在同一个抽屉中，而同一个抽屉中的任意两个数都满足倍数关系，所以必有一个数是另一个数的倍数。

【例18】学校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛同学任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必定有男生，求参赛的男生人数是多少？【分析】因为参赛者中任何10人中必定有男生，所以女生人数必定不超过9人。

另一方面，因为任意分成四组，必定有一组女生不少于2人，所以女生人数多于2419⨯+=人，于是女生人数是9个，男生人数是46个。

【例19】平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上，证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，一定有一个三角形，它的最大边是另外一个三角形的最小边。

【分析】首先我们先将每一个三角形的最大边染色成红色的，将其他所有没有染色的边染成蓝色的。

设这六个点是,,,,,A B C D E F，则在A连出的五条线中必定有三条线颜色相同，假设AB AC AD相同的，那么,,B C D三个点之间的两两连线有颜色与,,AB AC AD颜色相同，如果,,这两个点和A点组成的三角形的边颜色就相同了，如果,,B C D三个点之间的两两连线的颜色与,,B C D三点组成的三角形的颜色就相同了，也就是说在这六个AB AC AD都不相同，那么,,点组成的三角形中必定存在同色三角形，因为这个三角形一定有最大边，所以这个同色三角形必定是红色三角形，那么这个三角形的最小边必定是红色，从而它必定是另外某一个三角形的最大边，也就是说这条边既是某个三角形的最大边，也是某个三角形的最小边。

【例20】平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形．证明：一定有一个三角形三边的颜色相同．【分析】从这17个点钟任取一个点A，把A点与其它16个点相连可以得到16条线段，根据抽屉原理，其中同色的线段至少有6条，不妨设为红色．考虑这6条线段的除A点外的6个端点：⑴如果6个点两两之间有1条红色线段，那么就有1个红色三角形符合条件；⑵如果6个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面的例题可知，这6个点中必有3个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样的三角形就符合条件．综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求．复杂的抽屉原理【例1】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？【分析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下6组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、狗；羊、狗．24436 21C⨯==⨯个。