变化率与导数ppt课件
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平均变化率表示直线AB的斜率
16
例1 已知函数f(x)=x2,分别计算在下列区间上， f(x)的平均变化率. （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]
解：(1) f (3) f (1) 9 1 4
31
2
(2) f (2) f (1) 4 1 3
21
1
f (1.1) f (1) 1.21 1
人民教育出版社 高中数学
1.1 变化率与导数
1
微积分简介
微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微 分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关 概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。 内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分 学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它 使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套 通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算， 为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
于是，函数f(x)从x1到x2的平均变化率等于 函数值的增量/自变量的增量，即
y f ( x2 ) f ( x1 )
x
x2 x1
f ( x1 x) f ( x1 ) x
15
思考
y
根据平均变化率的定义：
=
f ( x2 )
f ( x1 )
x
x2 x1
你认为其几何意义是什么？
设A( x1, f ( x1 ))、B( x2 , f ( x2 ))
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0 t 0.5 这段时间里V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
， (2)在1
t
0.5 0
2 这段时间里 V = h(2) h(1) -8.2(m / s) 12
t
t
-4.9t 13.1 显然，当t 0时，V t 2时的瞬时速度 21
[5(2 x)2 6] (5 22 6)
不能写成 △x2
5(x)2 20x
y 所以平均变化率为 5x 20
x 19
课堂练习
1、一质点运动的方程为 s=1-2t2,则在一段时间 [1,2]内的平均速度为（ ） A. -4 B. -8 C. -6 D. 6
2. 设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+△x 时，函数的该变量为（ ）
(3)
2.1
17
1.1 1
0.1
例2 求函数 y=5x2+6在区间[2，2+△x]上的平均 变化率.
分析：平均变化率= y f ( x x)
x
x
（1）求y f ( x x)；
（2）求 y . x
18
例2 求函数 y=5x2+6在区间[2，2+△x]上的平均 变化率.
解：y f (2 x) f (2)
式子
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
称为函数f(x)从x1到
x2的平均变化率.
x 若设 y
x2 y2
x1 y1
,
则平均变化率为
y x
这里，我们称△x是相对于x1的一个增量 （也叫做自变量的增量），可用x1+△x代替x2， 同理△y叫做函数值的增量，可用y1+△y代替y2
14
注意：△x（△y）是一个整体,可正可负！
2
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
3
微积分的创立
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理 学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如 法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗 、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都 提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡 献。
4
微积分的创立
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英 国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自 己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作 ，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩 是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个 是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积 问题（积分学的中心问题）。
9
问题一：气球膨胀率 V 4 r3 r 3 3V
3
4
很多人都吹过气球，可以发现，随着气球空气容
量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角
度，如何解释这个现象呢？
空气容量从0增加到 1时，气球的平均膨
r(1) r(0) 0.62 10
胀率为：
空气容量从1增加到 2时，气球的平均膨 胀率为：
r(2) r(1) 0.16 2-1
气球的平均膨胀率减小了，所以我们感觉气球变大1得0 越来越慢。
思考：
空气容量从V1增加到V2时，气球 的平均膨胀率是多少?
r(V2 ) r(V1 ) V2 V1
11
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动
员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
A. f(x0+△x) C. f(x0)·△x
B.f(x0)+△x D. f(x0+△x)-f(x0)
20
2、瞬时变化率
瞬时速度：物体在某一时刻的速度
在高台跳水中，函数关系是h=-4.9t2+6.5t+10 如何求t=2时的瞬时速度？
计算函数在[2,2+△t]内的平均速度
V h(2 t) h(2) h(2 t) h(2)
，
21
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗？
答：（1）
h(65) h(0) 10 49
V = h 0 t
（2）平均速度不能准确反映该段时间的运
动状态.
13
平均变化率的定义
5
牛顿
莱布尼茨
6
微积分的创立
牛顿和莱布尼茨建立微积分 的出发点是直观的无穷小量，因 此这门学科早期也称为无穷小分 析，这正是现在数学中分析学这 一大分支名称的来源。
牛顿研究微积分着重 于从运动学来考虑，莱布 尼茨却是侧重于几何学来 考虑的。
7
人民教育出版社 高中数学
1.1 变化率与导数
8பைடு நூலகம்
1、变化率问题
16
例1 已知函数f(x)=x2,分别计算在下列区间上， f(x)的平均变化率. （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]
解：(1) f (3) f (1) 9 1 4
31
2
(2) f (2) f (1) 4 1 3
21
1
f (1.1) f (1) 1.21 1
人民教育出版社 高中数学
1.1 变化率与导数
1
微积分简介
微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微 分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关 概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。 内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分 学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它 使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套 通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算， 为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
于是，函数f(x)从x1到x2的平均变化率等于 函数值的增量/自变量的增量，即
y f ( x2 ) f ( x1 )
x
x2 x1
f ( x1 x) f ( x1 ) x
15
思考
y
根据平均变化率的定义：
=
f ( x2 )
f ( x1 )
x
x2 x1
你认为其几何意义是什么？
设A( x1, f ( x1 ))、B( x2 , f ( x2 ))
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0 t 0.5 这段时间里V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
， (2)在1
t
0.5 0
2 这段时间里 V = h(2) h(1) -8.2(m / s) 12
t
t
-4.9t 13.1 显然，当t 0时，V t 2时的瞬时速度 21
[5(2 x)2 6] (5 22 6)
不能写成 △x2
5(x)2 20x
y 所以平均变化率为 5x 20
x 19
课堂练习
1、一质点运动的方程为 s=1-2t2,则在一段时间 [1,2]内的平均速度为（ ） A. -4 B. -8 C. -6 D. 6
2. 设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+△x 时，函数的该变量为（ ）
(3)
2.1
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1.1 1
0.1
例2 求函数 y=5x2+6在区间[2，2+△x]上的平均 变化率.
分析：平均变化率= y f ( x x)
x
x
（1）求y f ( x x)；
（2）求 y . x
18
例2 求函数 y=5x2+6在区间[2，2+△x]上的平均 变化率.
解：y f (2 x) f (2)
式子
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
称为函数f(x)从x1到
x2的平均变化率.
x 若设 y
x2 y2
x1 y1
,
则平均变化率为
y x
这里，我们称△x是相对于x1的一个增量 （也叫做自变量的增量），可用x1+△x代替x2， 同理△y叫做函数值的增量，可用y1+△y代替y2
14
注意：△x（△y）是一个整体,可正可负！
2
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
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微积分的创立
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理 学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如 法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗 、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都 提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡 献。
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微积分的创立
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英 国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自 己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作 ，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩 是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个 是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积 问题（积分学的中心问题）。
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问题一：气球膨胀率 V 4 r3 r 3 3V
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很多人都吹过气球，可以发现，随着气球空气容
量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角
度，如何解释这个现象呢？
空气容量从0增加到 1时，气球的平均膨
r(1) r(0) 0.62 10
胀率为：
空气容量从1增加到 2时，气球的平均膨 胀率为：
r(2) r(1) 0.16 2-1
气球的平均膨胀率减小了，所以我们感觉气球变大1得0 越来越慢。
思考：
空气容量从V1增加到V2时，气球 的平均膨胀率是多少?
r(V2 ) r(V1 ) V2 V1
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问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动
员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
A. f(x0+△x) C. f(x0)·△x
B.f(x0)+△x D. f(x0+△x)-f(x0)
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2、瞬时变化率
瞬时速度：物体在某一时刻的速度
在高台跳水中，函数关系是h=-4.9t2+6.5t+10 如何求t=2时的瞬时速度？
计算函数在[2,2+△t]内的平均速度
V h(2 t) h(2) h(2 t) h(2)
，
21
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗？
答：（1）
h(65) h(0) 10 49
V = h 0 t
（2）平均速度不能准确反映该段时间的运
动状态.
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平均变化率的定义
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牛顿
莱布尼茨
6
微积分的创立
牛顿和莱布尼茨建立微积分 的出发点是直观的无穷小量，因 此这门学科早期也称为无穷小分 析，这正是现在数学中分析学这 一大分支名称的来源。
牛顿研究微积分着重 于从运动学来考虑，莱布 尼茨却是侧重于几何学来 考虑的。
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人民教育出版社 高中数学
1.1 变化率与导数
8பைடு நூலகம்
1、变化率问题