选修1-1 常用逻辑用语导学案加课后作业及参考答案
选修1-1 第一章《常用逻辑用语》有答案

选修1-1 第一章《常用逻辑用语》§1.1.1 命题及四种命题【知识要点】●用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫命题.●掌握大多命题的表示形式“若p则q”,学会将常见的命题改写成这种形式,并写出其它三个命题,会判断真假.【例题精讲】【例1】对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是()A.所给命题为假B.它的逆否命题为真C.它的逆命题为真D.它的否命题为真解:改写成“若p则q”的形式:若一个四边形是正方形则其四个内角相等.则有原命题为真;逆否命题为真.逆命题:四个内角相等的四边形为正方形,为假命题.否命题:一个四边形不是正方形则四个内角不相等,为假命题.解答:选B【例2】命题“若kyx=,则x与y成反比例关系”的否命题是()A.若kyx≠,则x与y成正比例关系B.若kyx≠,则x与y成反比例关系C.若x与y不成反比例关系,则kyx≠D.若kyx≠,则x与y不成反比例关系解答:选D.点评:条件及结论同时否定,位置不变.【例3】下列命题中,否命题为假命题的是()A.若同位角相等,则两直线平行B.若x,y全为0,则x =0且y =0C.若方程有实根,则D.若,则解答:选C【例4】已知原命题“若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等”,那么它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个解答:B【例5】设原命题为:“对顶角相等”,把它写成“若p则q”形式为.它的逆命题为,否命题为,逆否命题为.解:若两个角是对顶角,则两个角相等;若两个角相等,则这两个角是对顶角;若两个角不是对顶角,则这两个角不相等;若两个角不相等,则这两个角不是对顶角.点评:只要确定了“p”和“q”,则四种命题形式都好写了.【例6】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(1)两条平行线不相交;(2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形;(3)若x≥10,则2x+1>20.解:(1)逆命题:若两条直线不相交,则它们平行,为假命题.否命题:若两条直线不平行,则它们相交,为假命题.逆否命题:若两条直线相交,则它们不平行,为真命题.(2)逆命题:若平行四边形不是矩形,则它的两条对角线不相等,为真命题.否命题:若平行四边形两条对角线相等,则它是矩形,为真命题.逆否命题:若平行四边形为矩形,则它的两条对角线相等,为真命题.(3)逆命题:若2x+1>20,则x≥10,为假命题.否命题:若x<10,则2x+1≤20,为假命题.逆否命题:若2x+1≤20,则x<10,为真命题.【基础达标】1.命题“若a b=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为()A.a,b都不为零,则a b≠0 B.a,b至少有一个不为零,则a b≠0C.a,b至少一个为零,则a b≠0 D.a,b不都为零,则a b≠02.对以下四个命题判断正确的是()(1)原命题:若一个自然数的末位数字为零,则这个自然数能被5整除.(2)逆命题:若一个自然数能被5整除,则这自然数末位数字为零.(3)否命题:若一个自然数的末位数字不为零,则这个自然数不能被5整除.(4)逆否命题:若一个自然数不能被5整除,则这个自然数末位数字不为零.A.(1)与(3)为真,(2)与(4)为假B.(1)与(2)为真,(3)与(4)为假C.(1)与(4)为真,(2)与(3)为假D.(1)与(4)为假,(2)与(3)为真3.有下列四个命题:①命题“若x y=1 ,则x,y互为倒数”的逆命题;②命题“面积相等的三角形全等”的否命题;③命题“若m≤1,则有实根”的逆否命题;④命题“若A∩B = B,则A B”的逆否命题。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案:第一章 常用逻辑

1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换.2.正确理解“或”的意义,日常用语中的“或”有两类用法:其一是“不可兼”的“或”;其二是“可兼”的“或”,我们这里仅研究“可兼”的“或”.3.有的命题中省略了“且”“或”,要正确区分.4.常用“都是”表示全称肯定,它的特称否定为“不都是”,两者互为否定;用“都不是”表示全称否定,它的特称肯定可用“至少有一个是”来表示.5.在判定充分条件、必要条件时,要注意既要看由p能否推出q,又要看由q能否推出p,不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证,证明时要分两个方面,防止将充分条件和必要条件的证明弄混.6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p ,则q ”,其否命题形式为“若綈p ,则綈q ”,其命题的否定为“若p ,则綈q ”,即否命题是将条件、结论同时否定,而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式,此时应先分清条件p ,结论q ,改写成“若p ,则q ”的形式再判断.题型一 转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化,使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化,使复杂问题简单化,抽象问题具体化. 例1 判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形; (2)若x ∉A ∩B ,则x ∉A 且x ∉B ; (3)若x ≠y 或x ≠-y ,则|x |≠|y |.解 (1)该命题的逆否命题:“若一个四边形是等腰梯形,则它的对角线相等”,它为真命题,故原命题为真.(2)该命题的逆否命题:“若x ∈A 或x ∈B ,则x ∈A ∩B ”,它为假命题,故原命题为假. (3)该命题的逆否命题:“若|x |=|y |,则x =y 且x =-y ”,它为假命题,故原命题为假. 跟踪训练1 下列各题中,p 是q 的什么条件?(1)p :圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,q :c 2=(a 2+b 2)r 2(其中r >0); (2)p :x +y ≠-2,q :x ,y 不都是-1.解 (1)若圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,圆心到直线ax +by +c =0的距离等于r ,即r =|c |a 2+b 2,所以c 2=(a 2+b 2)r 2;反过来,若c 2=(a 2+b 2)r 2,则|c |a 2+b 2=r 成立,说明圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切,故p 是q 的充要条件. (2) 綈q :x =-1且y =-1,綈p :x +y =-2.∵綈q ⇒綈p ,而綈pD ⇒/綈q ,∴綈q 是綈p 的充分不必要条件,从而,p 是q 的充分不必要条件.例2 设命题p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a >0,命题q :实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0.(1)若a =1,且p 且q 为真,求实数x 的取值范围; (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.解 (1)由x 2-4ax +3a 2<0得(x -3a )(x -a )<0. 又a >0,所以a <x <3a ,当a =1时,1<x <3, 即p 为真命题时,实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧-2≤x ≤3,x <-4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时,实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p 且q 为真,则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3,2<x ≤3⇔2<x <3,所以实数x 的取值范围是(2,3). (2) 綈p 是綈q 的充分不必要条件, 即綈p ⇒綈q 且綈qD ⇒/綈p .设A ={x |x ≤a 或x ≥3a },B ={x |x ≤2或x >3}, 则A B .所以0<a ≤2且3a >3,即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].跟踪训练2 命题p :任意x ∈R ,x 2+1>a ,命题q :a 2-4>0,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围. 解 若p 为真命题,则a <1;若q 为真命题,则a 2>4,即a >2或a <-2. 由已知条件知:p 与q 一真一假,当p 为真,q 为假时有:⎩⎪⎨⎪⎧a <1,-2≤a ≤2,所以-2≤a <1,当q 为真,p 为假时有:⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1,a >2或a <-2,所以a >2,综上所述,-2≤a <1或a >2. 题型二 分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分,是中学数学常用思想方法之一,分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确,从而对问题进行分类求解,常用逻辑用语这章所涉及的不等式大多是含有字母参数的,对这类含参数的问题要进行分类讨论,讨论时要做到不重复、不遗漏.例3 已知a >0,a ≠1,设p :函数y =log a (x +1)在x ∈(0,+∞)内单调递减;q :曲线y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴交于不同的两点,如果p 或q 为真,p 且q 为假,求a 的取值范围. 解 方法一 由题意知,p 和q 有且只有一个为真.p 为真时,0<a <1;∵y =x 2+(2a -3)x +1与x 轴有两个不同交点,∴Δ=(2a -3)2-4>0,得a <12或a >52,即q 为真时,0<a <12或a >52.(1)当p 为真,且q 为假时,a ∈(0,1)∩([12,1)∪(1,52]),即a ∈[12,1).(2)当p 为假,且q 为真时,a ∈(1,+∞)∩[(0,12)∪(52,+∞)],即a ∈(52,+∞).综上,a 的取值范围为[12,1)∪(52,+∞).方法二 ∵A ={a |p (a )}={a |0<a <1}, B ={a |q (a )}={a |0<a <12或a >52},∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈(A ∪B )且a ∉(A ∩B ), 故a 的取值范围为[12,1)∪(52,+∞).跟踪训练3 命题p :函数f (x )=lg(ax 2+2x +1)的定义域为R ;命题q :函数g (x )=x +ax -2在(2,+∞)上是增函数.如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数a 的取值范围. 解 当p 为真命题时,ax 2+2x +1>0恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,Δ<0,即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0,4-4a <0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a >1,∴a >1. 当q 为真命题时,g (x )=x -2+2+a x -2=1+a +2x -2在(2,+∞)上是增函数,∴a +2<0,即a <-2.∵p 或q 为真命题,p 且q 为假命题, ∴p 与q 一真一假,∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).3.数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来,促使抽象思维和形象思维的和谐复合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上.例4 设函数f (x )=|log 2x |,则f (x )在区间(m,2m +1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________. 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )=|log 2x |的图像如图所示,可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1,2m +1>1,故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m +1)(m >0)上不是单调函数的充要条件.故填0<m <1.跟踪训练4 已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx .若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ) A.(0,12)B.(12,1) C.(1,2) D.(2,+∞) 答案 B解析 先作出函数f (x )=|x -2|+1的图像,如图所示,当直线g (x )=kx 与直线AB 平行时斜率为1,当直线g (x )=kx 过A 点时斜率为12,故f (x )=g (x )有两个不相等的实根时,k 的取值范围为(12,1).1.对于命题的判断问题,在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查.考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容,得到命题者的青睐.该部分的考查重点有两个:(1)是综合其他知识,考查一些简单命题真假的判断;(2)是考查命题四种形式之间的关系.体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求.解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断,主要是选出错误的命题,所以可以利用特例法确定选项,即只需举出一个反例即可说明命题是假命题,对于较难判断的问题,可以转化为它的逆否命题来解决.2.充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径.通过对命题条件和结论的分析,考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解.3.正确理解逻辑联结词的含义,准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法,熟记规律:已知命题p 、q ,只要有一个命题为假,p 且q 就为假;只要有一个为真,p 或q 就为真,綈p与p真假相对.另外注意命题的否定与命题的否命题的区别,这是两个很容易混淆的概念,要准确把握它们的基本形式,不能混淆.4.解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面:一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式,这两类命题的否定形式有严格的格式,不要和一般命题的否命题的形式混淆;二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法,即只要找出一个反例就可说明全称命题为假,只要找到一个正例就可以说明特称命题为真.。
高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案

q ”,那么
1 时,mx 2 − x + 1 = 0 无实数根; 4
1 ,则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根,真命题; 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假. (1)若 m ⋅ n < 0 ,则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根; (2)若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0,则 m + n ⩽ 0 . 解:(1)逆命题:若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根,则 m ⋅ n < 0 ,假命题 ; 否命题:若 m ⋅ n ⩾ 0 ,则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根,假命题 ; 逆否命题:若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根,则 m ⋅ n ⩾ 0 ,真命题. (2)逆命题:若 m + n ⩽ 0 ,则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ,真命题; 否命题:若 m > 0 且 n > 0,则 m + n > 0 ,真命题 ; 逆否命题:若 m + n > 0 ,则 m > 0 且 n > 0 ,假命题 .
因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 A ⫋ B.故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ,故实数 m 的取值范围是 [9, +∞).
2.若则命题的四种形式 描述: 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”,其中 p 叫做命题的条件, q 叫做命题的结论. 逆命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题.其中一个命题称为原命题(original proposition),另一个称为原命题的逆命 题(inverse proposition).也就是说,如果原命题为“若 p ,则 q ”,那么它的逆命题 为“若 q ,则 p ”. 否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么 这两个命题称为互否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题(negative proposition).也就是说,如果原命题为“若 p ,则 q ”,那么它的否命题为“若 ¬p ,则 ¬q ”. 逆否命题 对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,那么 这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命
高中数学选修1-1教学辅导与测试第一章《常用逻辑用语》(整理含答案)

高中数学同步辅导与检测:选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系 1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1.“红豆生南国,春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》,在这4句诗中,可作为命题的是()A.红豆生南国B.春来发几枝C.愿君多采撷D.此物最相思2.下列命题为真命题的是()A.若1x=1y,则x=y B.若x2=1,则x=1C.若x=y,则x=y D.若x<y,则x2<y23.给出下列命题:①若直线l⊥平面α,直线m⊥平面α,则l⊥m;②若a、b都是正实数,则a+b≥2ab;③若x2>x,则x>1;④函数y=x3是指数函数.其中假命题为()A.①③B.①②③C.①③④D.①④4.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是() A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线5.下列语句中命题的个数为()①若a,G,b成等比数列,则G2=ab. ②4-x2≥0.③梯形是中心对称图形.④π>2吗?⑤2016年是我人生中最难忘的一年!A.2B.3C.4D.5二、填空题6.下列语句:①2是无限循环小数;②x2-3x+2=0;③当x=4时,2x>0;④把门关上!其中不是命题的是________.7.已知命题“f(x)=cos2ωx-sin2ωx的最小正周期是π”是真命题,则实数ω的值为________.8.下列命题:①若xy=1,则x,y互为倒数;②二次函数的图象与x轴有公共点;③平行四边形是梯形;④若ac2>bc2,则a>b.其中真命题是________(写出所有真命题的编号).三、解答题9.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)末位数字是0的整数能被5整除;(2)偶函数的图象关于y轴对称;(3)菱形的对角线互相垂直.10.已知:A:5x-1>a,B:x>1,请选择适当的实数a,使得利用A、B 构造的命题“若p,则q”为真命题.B级能力提升1.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a 的一个值可以是()A.4B.2C.1D.-32.①若a·b=a·c,则b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a//b,则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).3.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.(1)乘积为1的两个实数互为倒数;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)与同一直线平行的两个平面平行.第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1.命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.无关命题2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a+b+c≥3,则a2+b2+c2=33.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是() A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除4.下列说法:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.②③④5.有下列四种命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;②“若x>y,则x2>y2”的逆否命题;③“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题;④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题6.命题“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题为_______________,是______________(填“真”或“假”)命题.7.命题“当AB=AC时,△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有________个.8.设有两个命题:①不等式mx2+1>0的解集是R;②函数f(x)=log m x是减函数.如果这两个命题中有且只有一个是真命题,则实数m的取值范围是________.三、解答题9.写出命题“在△ABC中,若a>b,则A>B”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.10.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>0的解集是R,则a<74”的逆否命题的真假.B级能力提升1.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是m,则m是p的()A.原命题B.逆命题C.否命题 D.逆否命题2.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,为真命题的是________.3.已知p:x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若p,q一真一假,求m的取值范围.第一章常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件A级基础巩固一、选择题1.“α=π6”是“cos 2α=12”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·天津卷)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3.x2<4的必要不充分条件是()A.0<x≤2 B.-2<x<0C.-2≤x≤2 D.1<x<34.(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是() A.m=2 B.m=-2C.m=-1 D.m=1二、填空题6.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的_____________条件.7.关于x的不等式|2x-3|>a的解集为R的充要条件是________.8.对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“b-2是无理数”是“b是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的序号是________.三、解答题9.已知p :-4<x -a <4,q :(x -2)(x -3)<0,且q 是p 的充分而不必要条件,试求a 的取值范围.10.求证:关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个根为1的充要条件是a +b +c =0.B 级 能力提升1.m =12是直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m -2)x +(m +2)y -3=0相互垂直的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件2.已知p :不等式x 2+2x +m >0的解集为R ;q :指数函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫m +14x 为增函数,则p 是q 成立的________条件.3.已知p :-2≤x ≤10,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若綈p 是綈q 的充分不必要条件.求实数m 的取值范围.第一章常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词A级基础巩固一、选择题1.命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是()A.没有使用逻辑联结词B.使用了逻辑联结词“且”C.使用了逻辑联结词“或”D.使用了逻辑联结词“非”2.若命题“p且q”为假,且綈p为假,则()A.p或q为假B.q假C.q真D.p假3.下列命题中,既是“p或q”形式的命题,又是真命题的是()A.方程x2-x+2=0的两根是-2,1B.方程x2+x+1=0没有实根C.2n-1(n∈Z)是奇数D.a2+b2≥0(a,b∈R)4.已知p:x∈A∩B,则綈p是()A.x∈A且x∉B B.x∉A或x∉BC.x∉A且x∉B D.x∈A∪B5.给出命题p:函数y=x2-x-1有两个不同的零点;q:若1x<1,则x>1.那么在下列四个命题中,真命题是()A.(綈p)∨q B.p∧qC.(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q)二、填空题6.命题“若a<b,则2a<2b”的否命题是________________,命题的否定是______________.答案:若a≥b,则2a≥2b若a<b,则2a≥2b7.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0.q:x=1是方程x+2=0的根,则p∧(綈q)为________命题(填“真”或“假”).8.已知p:x2-x≥6,q:x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题,则x的值组成的集合为________.三、解答题9.写出下列命题的p∨q,p∧q,綈p的形式,并判断其真假:(1)p:2是有理数;q:2是实数.(2)p:5不是15的约数;q:5是15的倍数.(3)p:空集是任何集合的子集;q:空集是任何集合的真子集.10.已知命题p:方程x2+2x+a=0有实数根;命题q:函数f(x)=(a2-a)x 在R上是增函数.若p∧q为真命题,求实数a的取值范围.B级能力提升1.给定命题p:若x2≥0,则x≥0;命题q:已知非零向量a,b,则“a⊥b”是“| a-b |=| a+b |”的充要条件,则下列各命题中,假命题是() A.p∨q B.(綈p)∨q C.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)2.给出下列结论:(1)当p是真命题时,“p且q”一定是真命题;(2)当p是假命题时,“p且q”一定是假命题;(3)当“p且q”是假命题时,p一定是假命题;(4)当“p且q”是真命题时,p一定是真命题.其中正确结论的序号是________.3.已知a>0,设p:函数y=a x在R上单调递减;q:不等式x+|x-2a|>1的解集为R,如果“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数a的取值范围.第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词A 级 基础巩固一、选择题1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A .锐角三角形的内角是锐角或钝角B .至少有一个实数x ,使x 2≤0C .两个无理数的和必是无理数D .存在一个负数x ,使1x >22.命题“∀x ∈R ,x 2≠x ”的否定是( )A .∀x ∉R ,x 2≠xB .∀x ∈R ,x 2=xC .∃x ∉R ,x 2≠xD .∃x ∈R ,x 2=x3.下列特称命题中假命题的个数是( )①有一条直线与两个平行平面垂直;②有一条直线与两个相交平面平行;③存在两条相交直线与同一个平面垂直.A .0B .1C .2D .34.设函数f (x )=x 2+mx (m ∈R),则下列命题中的真命题是( )A .任意m ∈R ,使y =f (x )都是奇函数B .存在m ∈R ,使y =f (x )是奇函数C .任意m ∈R ,使x =f (x )都是偶函数D .存在m ∈R ,使y =f (x )是偶函数5.若⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2-2ax<33x +a 2恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .0<a <1B .a >34C .0<a <34D .a <34二、填空题6.命题“∃x 0,y 0∈Z ,3x 0-2y 0=10”的否定是______________.7.下列命题中,是全称命题的是________;是特称命题的是________.①正方形的四条边相等;②有两个角相等的三角形是等腰三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.8.下面四个命题:①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x0∈Q,x20=2;③∃x0∈R,x20+1=0;④∀x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________.三、解答题9.判断下列各命题的真假,并写出命题的否定.(1)有一个实数a,使不等式x2-(a+1)x+a>0恒成立;(2)对任意实数x,不等式|x+2|≤0恒成立;(3)在实数范围内,有些一元二次方程无解.10.对于任意实数x,不等式sin x+cos x>m恒成立,求实数m的取值范围.B级能力提升1.若命题p:∀x∈R,log2x>0,命题q:∃x0∈R,2x0<0,则下列命题为真命题的是()A.p∨q B.p∧qC.(綈p)∧q D.p∨(綈q)2.已知命题“∃x0∈R,2x20+(a-1)x0+12≤0”是假命题,则实数a的取值范围是________.3.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x20+2ax0+a+2=0”,若命题“p或q”是真命题,求实数a的取值范围.第一章章末复习课[易错提醒]1.命题及其关系的关注点(1)命题的四种形式的转换方法是首先确定原命题的条件和结论,然后对条件与结论进行交换、否定,就可以得到各种形式的命题.(2)命题真假的判断,可根据真(假)命题的定义直接推理判断,还可以根据互为逆否命题具有相同的真假性来判断.2.充分条件与必要条件的注意点(1)在判定充分条件、必要条件时,要注意既要看由p能否推出q,又要看由q能否推出p,不能顾此失彼.(2)证明充要条件要分两个方面,防止将充分条件和必要条件的证明弄混.3.简单的逻辑联结词的两个关注点(1)正确理解“或”的意义,日常用语中的“或”有两类用法:其一是“不可兼”的“或”;其二是“可兼”的“或”,我们这里仅研究“可兼”的“或”.(2)有的命题中省略了“且”“或”,要正确区分.4.否命题与命题的否定的注意点否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p,则q”,其否命题形式为“若綈p,则綈q”,其否定为“若p,则綈q”,即否命题是将条件、结论同时否定,而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式,此时应先分清条件p,结论q,改写成“若p,则q”的形式再判断.专题1命题及其关系对于命题正误的判断是高考的热点之一,应重点关注,命题正误的判断涉及各章节的内容,覆盖面宽,也是高考的易失分点.命题正误的判断方法是:真命题要有依据或者给以论证;假命题只需举出一个反例即可.[例1](1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交(2)已知原命题“菱形的对角线互相垂直”,则对它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是()A.逆命题、否命题、逆否命题都为真B.逆命题为真,否命题、逆否命题为假C.逆命题为假,否命题、逆否命题为真D.逆命题、否命题为假,逆否命题为真解析:(1)法一:如图1,l1和l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,选D.图1图2法二:因为l分别与l1,l2共面,故l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,从而l1∥l2,与l1,l2是异面直线矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交,选D.(2)因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题,所以它的逆否命题为真;其逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题,所以原命题的否命题也是假命题.答案:(1)D(2)D归纳升华1.判断一个命题是真命题还是假命题,关键是看能否由命题的条件推出命题的结论,若能推出,则是真命题,否则为假命题.2.还可根据命题的四种形式之间的真假关系进行判断,即当一个命题的真假不易判断时,可以先把它转换成与它等价的命题(逆否命题),再进行判断.[变式训练]给出下面三个命题:①函数y=tan x在第一象限内是增函数;②奇函数的图象一定过原点;③命题“若0<log a b<1,则a>b>1”的逆命题.其中是真命题的是________(填序号).专题2充分条件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定是高考考查的热点内容,在高考试题中主要以选择题的形式出现.解决此类问题的关键是充分利用充分条件、必要条件与充要条件的定义,同时,丰富的数学基础知识是做好此类题目的前提.[例2](1)若向量a=(x,3)(x∈R),则“|a|=5”是“x=4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p:x+y≠-2,条件q:x≠-1或y≠-1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件归纳升华 判断充分条件和必要条件的方法1.定义法:根据充分条件和必要条件的定义直接判断.如本例中(1).2.集合法:运用集合思想判断充分条件和必要条件也是一种很有效的方法,主要是通过集合范围的大小判断.3.等价命题法:利用原命题与它的逆否命题是等价命题的结论,有时可以很快地判断.如本例中(2).[变式训练] 已知p :x 2-8x -33>0,q :x 2-2x +1-a 2>0(a >0),若p 是q 的充分不必要条件,求正实数a 的取值范围.专题3 含逻辑联结词的命题用逻辑联结词“且”“或”“非”正确地表述数学内容是学习数学的基本要求.本内容在高考试题中,既可以以选择题、填空题的形式单独出现,又可以渗透到解答题中.掌握本部分内容的关键是弄清含“且”“或”“非”命题的真假判断方法,即“p ∧q ”有假则假,“p ∨q ”有真则真.綈p 与p 真假相反.[例3] 已知命题p :幂函数y =x 1-a 在(0,+∞)上是减函数,命题q :∀x ∈R ,ax 2-ax +1>0恒成立.如果p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题,求实数a 的取值范围.解:若命题p 真,1-a <0⇒a >1,若命题q 真,则⎩⎨⎧a >0,a 2-4a <0或a =0⇒0≤a <4. 因为p ∧q 假,p ∧q 真,所以 命题p 与q 一真一假.当命题p 真q 假时,⎩⎨⎧a >1,a <0或a ≥4⇒a ≥4.当命题p 假q 真时,⎩⎨⎧a ≤1,0≤a <4,⇒0≤a ≤1. 所以 所求a 的取值范围是[0,1]∪[4,+∞).归纳升华解答这类问题的一般步骤1.求出命题p ,q 为真时参数的条件;2.根据命题p ∧q ,p ∨q 的真假判定命题p ,q 的真假;3.根据p ,q 的真假建立不等式(组),求出参数的取值范围.[变式训练] 已知命题p :函数f (x )=sin x ·cos x 的最小正周期为π;命题q :函数g (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2的图象关于原点对称,则下列命题中为真命题的是( ) A .綈pB .(綈p )∨qC .p ∧qD .p ∨q解析:因为f (x )=sin x ·cos x =12sin 2x ,其最小正周期为π,所以命题p 为真命题.因为g (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2=cos x ,所以g (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2的图象关于y 轴对称,所以命题q 为假命题,所以命题p ∨q 为真命题.答案:D专题4 转化思想所谓转化思想,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化、归结为在已学知识范围内可以解决的问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.可以说数学解题就是转化问题,每一个数学问题都是在不断的转化中获得解决的.即使是数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想也都是转化思想的一种表现形式.[例4] 已知p :⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),且綈p 是綈q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.解:因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件,所以 p 是q 的充分而不必要条件,由q :x 2-2x +1-m 2≤0,得1-m ≤x ≤1+m ,所以 q :Q ={x |1-m ≤x ≤1+m },由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-x -13≤2,解得-2≤x ≤10, 所以 p :P ={x |-2≤x ≤10},因为p 是q 的充分而不必要条件,所以 P Q ,所以 ⎩⎨⎧m >0,1-m <-2,1+m ≥10或⎩⎨⎧m >0,1-m ≤-2,1+m >10,即m ≥9或m >9.所以 实数m 的取值范围是m ≥9.归纳升华对于条件或结论是否定式的命题一般应用等价法.这里要注意“原命题⇔逆否命题”,对于本题綈p 是綈q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件,进而转化为研究p ,q 对应的集合之间的关系,求出实数m 的取值范围.[变式训练] 若r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0,如果对∀x ∈R ,r (x )为假命题且s (x )为真命题,求实数m 的取值范围.解:因为sin x +cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4∈[-2, 2 ], 所以 如果对∀x ∈R ,r (x )为假命题,即对∀x ∈R ,不等式sin x +cos x >m 不恒成立,所以 m ≥- 2.又对∀x ∈R ,s (x )为真命题,即对∀x ∈R ,不等式x 2+mx +1>0恒成立,所以 m 2-4<0,即-2<m <2.所以 如果对∀x ∈R ,r (x )为假命题且s (x )为真命题,应有-2≤m <2.第一章 单元测试卷(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“若a>0,则a2>0”的逆命题是()A.若a>0,则a2≤0B.若a2>0,则a>0C.若a≤0,则a2>0 D.若a≤0,则a2≤02.在△ABC中,“A=π4”是“cos A=22”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若“x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是()A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1B.若-1<x<1,则x2<1C.若x>1或x<-1,则x2>1D.若x≥1或x≤-1,则x2≥15.下列命题中,是真命题的是()A.若向量a,b满足a·b=0,则a=0或b=0B.若0<a<b,则1a<1bC.对任意x∈R,x是无理数D.∃x∈R,使得sin x+cos x=43成立6.命题“设a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有()A.0个B.1个C.2个D.3个7.命题p:∀x∈R,x2+1>0,命题q:∃θ∈R,sin2θ+cos2θ=1.5,则下列命题中真命题是()A .p ∧qB .(綈p )∧qC .(綈p )∨qD .p ∨(綈q )8.下列说法错误的是( ) A .“sin θ=12”是“θ=30°”的充分不必要条件B .命题“若a =0,则ab =0”的否命题是“若a ≠0,则ab ≠0”C .△ABC 中,“sin A >sin B ”是“A >B ”的充要条件D .如果命题“綈p ”与命题“p ∨q ”都是真命题,那么命题q 一定是真命题9.设f (x )=x 2-4x (x ∈R),则f (x )>0的一个必要不充分条件是( )A .x <0B .x <0或x >4C .|x -1|>1D .|x -2|>310.下列命题中为假命题的是( )A .∀x >0且x ≠1,x +1x >2B .∀a ∈R ,直线ax +y =a 恒过定点(1,0)C .∃m 0∈R ,f (x )=(m 0-1)·xm 20-4m 0+3是幂函数D .∀φ∈R ,函数,f (x )=sin (2x +φ)不是偶函数11.已知命题p (x )∶x 2+2x -m >0,如果p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m 的取值范围为( )A .[3,+∞)B .(-∞,8)C .RD .[3,8)12.设集合U ={(x ,y )|x ∈R ,y ∈R},A ={(x ,y )|2x -y +m >0},B ={(x ,y )|x +y -n ≤0},那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A .m >-1,n <5B .m <-1,n <5C .m >-1,n >5D .m <-1,n >5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.命题“∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,tan x 0≤sin x 0”的否定是______________________.14.命题p:y=f(x)为偶函数,命题q:f(-x)f(x)=1,则p为q的________条件.15.“相似三角形的面积相等”的否命题是_________________,原命题的否定是______________________.16.已知命题p:∃x∈R,x2+m<0;命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0.若p∧q 为真命题,则实数m的取值范围是___________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)若a,b,c∈R,写出命题“若ac<0,则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.18.(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(3)∀x∈{x|x>0},x+1x>2;(4)∃x0∈Z,log2x0≥2.19.(本小题满分12分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},若A是B的必要不充分条件,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件,证明你的结论.21.(本小题满分12分)已知ab≠0,求证a+b=1的充要条件是a3+b3+ab -a2-b2=0.22.(本小题满分12分)已知c>0,设命题p:y=c x为减函数,命题q:函数f(x)=x+1x>1c在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上恒成立.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求c的取值范围.第一章学案参考答案高中数学同步辅导与检测:选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系 1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1.“红豆生南国,春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》,在这4句诗中,可作为命题的是()A.红豆生南国B.春来发几枝C.愿君多采撷D.此物最相思解析:“红豆生南国”是陈述句,意思是“红豆生长在南方”,故本句是命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题.答案:A2.下列命题为真命题的是()A.若1x=1y,则x=y B.若x2=1,则x=1C.若x=y,则x=y D.若x<y,则x2<y2解析:很明显A正确;B中,由x2=1,得x=±1,所以B是假命题;C中,当x=y<0时,结论不成立,所以C是假命题;D中,当x=-1,y=1时,结论不成立,所以D是假命题.答案:A3.给出下列命题:①若直线l⊥平面α,直线m⊥平面α,则l⊥m;②若a、b都是正实数,则a+b≥2ab;③若x2>x,则x>1;④函数y=x3是指数函数.其中假命题为()A.①③B.①②③C.①③④D.①④解析:①显然错误,所以①是假命题;由基本不等式,知②是真命题;③中,由x 2>x ,得x <0或x >1,所以③是假命题;④中函数y =x 3是幂函数,不是指数函数,④是假命题.答案:C4.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A .两个平面B .一条直线C .垂直D .两个平面垂直于同一条直线解析:把命题改为“若p 则q ”的形式为若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行,则条件为“两个平面垂直于同一条直线”.答案:D5.下列语句中命题的个数为( )①若a ,G ,b 成等比数列,则G 2=ab . ②4-x 2≥0.③梯形是中心对称图形. ④π>2吗?⑤2016年是我人生中最难忘的一年!A .2B .3C .4D .5解析:依据命题的概念知④和⑤不是陈述句,故④⑤不是命题;再从“能否判断真假”的角度分析:②不是命题.只有①③为命题,故选A.答案:A二、填空题6.下列语句:①2是无限循环小数;②x 2-3x +2=0;③当x =4时,2x >0;④把门关上!其中不是命题的是________.解析:①是命题;②不是命题,因为语句中含有变量x ,在没给变量x 赋值的情况下,无法判断语句的真假;③是命题;④是祈使句,不是命题.答案:②④7.已知命题“f (x )=cos 2ωx -sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题,则实数ω的值为________.解析:f (x )=cos 2ωx -sin 2ωx =cos 2ωx ,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω=π,解得ω=±1. 答案:±18.下列命题:①若xy =1,则x ,y 互为倒数;②二次函数的图象与x 轴有公共点;③平行四边形是梯形;④若ac 2>bc 2,则a >b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号).解析:对于②,二次函数图象与x 轴不一定有公共点;对于③,平行四边形不是梯形.答案:①④三、解答题9.把下列命题改写成“若p ,则q ”的形式,并判断其真假.(1)末位数字是0的整数能被5整除;(2)偶函数的图象关于y 轴对称;(3)菱形的对角线互相垂直.解:(1)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除,为真命题.(2)若一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于y 轴对称,为真命题.(3)若一个四边形是菱形,则它的对角线互相垂直,为真命题.10.已知:A :5x -1>a ,B :x >1,请选择适当的实数a ,使得利用A 、B 构造的命题“若p ,则q ”为真命题.解:若视A 为p ,则命题“若p ,则q ”为“若x >1+a 5,则x >1”.由命题为真命题可知1+a 5≥1,解得a ≥4;若视B 为p ,则命题“若p ,则q ”为“若x >1,则x >1+a 5”.由命题为真命题可知1+a 5≤1,解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ,B 构造出一个真命题,比如这里取a =1,则有真命题“若x >1,则x >25”.B 级 能力提升1.给出命题“方程x 2+ax +1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A.4B.2C.1D.-3解析:C中,当a=1时,Δ=12-4×1×1=-3<0,方程无实根,其余3项中,a的值使方程均有实根.答案:C2.①若a·b=a·c,则b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a//b,则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).解析:取a=0,满足a·b=a·c,但不一定有b=c,故①不正确;当a=(1,k),b=(-2,6),a//b时,6+2k=0,所以k=-3,则②正确;非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|时,|a|,|b|,|a-b|构成等边三角形,所以a与a+b的夹角为30°,因此③错误.答案:②3.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.(1)乘积为1的两个实数互为倒数;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)与同一直线平行的两个平面平行.解:(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1.命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的()A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.无关命题解析:将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若p,则q”的形式为:“若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形”.而将命题“矩形的对角线相等”写成“若p,则q”的形式为:“若一个四边形是矩形,则四边形的对角线相等”.则前一个命题为后一个命题的逆命题.答案:A2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a+b+c≥3,则a2+b2+c2=3解析:否定条件,得a+b+c≠3,否定结论,得a2+b2+c2<3.所以否命题是“若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3”.答案:A3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是()A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除解析:原命题与它的逆否命题是等价命题,原命题的逆否命题是:不能被3整除的整数,一定不能被6整除.答案:B4.下列说法:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.②③④解析:互为逆否命题的两个命题同真假,互为否命题和逆命题的两个命题,它们的真假性没有关系.答案:B5.有下列四种命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;②“若x>y,则x2>y2”的逆否命题;③“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题;④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析:(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性,其逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,为真命题;(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性.而原命题为假命题(如x=0,y=-1),故其逆否命题为假命题;(3)该命题的否命题为“若x>3,则x2-x-6≤0”,很明显为假命题;(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”,显然是假命题.答案:B二、填空题6.命题“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题为_______________,是______________(填“真”或“假”)命题.解析:命题“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,因为原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题.答案:若x≥2或x≤-2,则x2≥4真7.命题“当AB=AC时,△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有________个.。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案:第一章 常用逻辑

[学习目标] 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义,掌握“p或q”“p且q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义,能写出简单命题的綈p命题.知识点一且“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到的新命题.知识点二或“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到的新命题.知识点三非一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”.知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同?(2)命题的否定与否命题有什么区别?答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有,而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论,而否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论.题型一p且q命题及p或q命题例1分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”的形式,并判断它们的真假.(1)p:函数y=3x2是偶函数,q:函数y=3x2是增函数;(2)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;(3)p:3是无理数,q:3是实数;(4)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等.解(1)p且q:函数y=3x2是偶函数且是增函数;∵p真,q假,∴p且q为假.p或q:函数y=3x2是偶函数或是增函数;∵p真,q假,∴p或q为真.(2)p且q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角;∵p真,q真,∴p且q为真.p或q:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角;∵p真,q真,∴p或q为真.(3)p且q:3是无理数且是实数;∵p真,q真,∴p且q为真.p或q:3是无理数或是实数;∵p真,q真,∴p或q为真.(4)p且q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等;∵p真,q真,∴p且q为真.p或q:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等;∵p真,q真,∴p或q为真.反思与感悟(1)判断“p且q”形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,然后根据真值表“一假则假,全真则真”进行判断.(2)判断“p或q”形式的命题的真假,首先判断命题p与命题q的真假,只要有一个为真,即可判定“p或q”形式命题为真,而“p与q”均为假命题时,命题“p或q”为假命题,可简记为:有真则真,全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题:(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2+1=0没有实数根.(3)12能被3或4整除. 解 (1)是“p 且q ”形式.其中p :李明是男生;q :李明是高一学生. (2)是“非p ”形式.其中p :方程2x 2+1=0有实根.(3)是“p 或q ”形式.其中p :12能被3整除;q :12能被4整除. 题型二 綈p 命题例2 写出下列命题的否定形式. (1)面积相等的三角形都是全等三角形; (2)若m 2+n 2=0,则实数m 、n 全为零; (3)若xy =0,则x =0或y =0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形. (2)若m 2+n 2=0,则实数m 、n 不全为零. (3)若xy =0,则x ≠0且y ≠0.反思与感悟 綈p 是对命题p 的全盘否定,对一些词语的正确否定是写綈p 的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的反面是“至少三个”、“p 且q ”的否定是“(綈p )或(綈q )”等.跟踪训练2 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p :y = sin x 是周期函数; (2)p :3<2;(3)p :空集是集合A 的子集; (4)p :5不是75的约数.解 (1) 綈p :y = sin x 不是周期函数.命题p 是真命题,綈p 是假命题; (2) 綈p :3≥2.命题p 是假命题,綈p 是真命题;(3) 綈p :空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题,綈p 是假命题; (4) 綈p :5是75的约数.命题p 是假命题,綈p 是真命题. 题型三 p 或q 、p 且q 、綈p 命题的综合应用例3 已知命题p :方程x 2+2ax +1=0有两个大于-1的实数根,命题q :关于x 的不等式ax 2-ax +1>0的解集为R ,若“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题,求实数a 的取值范围. 解 命题p :方程x 2+2ax +1=0有两个大于-1的实数根,等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4a 2-4≥0,x 1+x 2>-2,(x 1+1)(x 2+1)>0,⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1≥0,-2a >-22-2a >0,,解得a ≤-1.命题q :关于x 的不等式ax 2-ax +1>0的解集为R ,等价于a =0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0,a 2-4a <0,解得0<a <4, 所以0≤a <4.因为“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题,即p 真且q 假,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-1,a <0或a ≥4,解得a ≤-1.故实数a 的取值范围是(-∞,-1].反思与感悟 由真值表可判断p 或q 、p 且q 、綈p 命题的真假,反之,由p 或q ,p 且q ,綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围,应先求p 真成立的参数的范围,再求其补集.跟踪训练3 已知命题p :方程x 2+ax +1=0有两个不等的实根;命题q :方程4x 2+2(a -4)x +1=0无实根,若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求实数a 的取值范围. 解 ∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p 与q 一真一假, 由a 2-4>0得a >2或a <-2. 由4(a -4)2-4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <-2,a ≤2或a ≥6,∴a <-2或a ≥6;②若p 假q 真,则有⎩⎪⎨⎪⎧-2≤a ≤2,2<a <6,通过分析可知不存在这样的a .综上,a <-2或a ≥6.分类讨论思想的应用例4 已知命题p :关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,命题q :函数f (x )=(3-2a )x 是增函数.若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围.分析 首先求出p ,q 为真时a 的取值范围,然后利用命题的实际真假列不等式组求解. 解 设g (x )=x 2+2ax +4.因为关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图像开口向上,且与x 轴没有交点,故Δ=4a 2-16<0,所以-2<a <2. 又因为函数f (x )=(3-2a )x 是增函数,所以3-2a >1,即a <1. 又因为p 或q 为真,p 且q 为假,所以p 和q 一真一假.若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧-2<a <2,a ≥1,所以1≤a <2;若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-2或a ≥2,a <1,所以a ≤-2.综上所述,实数a 的取值范围是1≤a <2或a ≤-2.解后反思 由p ,q 的真假,可以判断“p 或q ”“p 且q ”的真假;反之,由“p 或q ”“p 且q ”的真假,也能推断p ,q 的真假,如“p 且q ”为假,则包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”三种情况.1.命题p :“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件,命题q :△ABC 中,“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件,则( ) A.p 真q 假B.p 且q 为真C.p 或q 为假D.p 假q 真 答案 D解析 命题p 假,命题q 真. 2.给出下列命题: ①2>1或1>3;②方程x 2-2x -4=0的判别式大于或等于0; ③25是6或5的倍数;④集合A ∩B 是A 的子集,且是A ∪B 的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 ①由于2>1是真命题,所以“2>1或1>3”是真命题;②由于方程x 2-2x -4=0的Δ=4+16>0,所以“方程x 2-2x -4=0的判别式大于或等于0”是真命题;③由于25是5的倍数,所以命题“25是6或5的倍数”是真命题;④由于A ∩B ⊆A ,A ∩B ⊆A ∪B ,所以命题“集合A ∩B 是A 的子集,且是A ∪B 的子集”是真命题.3.已知命题p 1:函数y =2x -2-x 在R 上为增函数,p 2:函数y =2x +2-x 在R 上为减函数.则在命题q 1:p 1或p 2,q 2:p 1且p 2,q 3:(綈p 1)或p 2和q 4:p 1且(綈p 2)中,为真命题的是( ) A.q 1,q 3 B.q 2,q 3 C.q 1,q 4 D.q 2,q 4答案 C解析p1是真命题,则綈p1为假命题;p2是假命题,则綈p2为真命题;∴q1:p1或p2是真命题,q2:p1且p2是假命题,∴q3:(綈p1)或p2为假命题,q4:p1且(綈p2)为真命题.∴为真命题的是q1,q4.4.已知命题p:1∈{x|(x+2)(x-3)<0},命题q:∅={0},则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p或q”为真C.“p且q”为真D.“綈p”为真答案 B解析由(x+2)(x-3)<0得-2<x<3,∵1∈(-2,3),∴p真.∵∅≠{0},∴q假,∴“p或q”为真.5.若p是真命题,q是假命题,则()A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案 D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤:(1)逐一判断命题p,q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”,“p或q”的真假.p且q为真⇔p和q同时为真,p或q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真,则“綈p”为假;若p为假,则“綈p”为真,类比集合知识,“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集∁U P.因此(綈p)且p为假,(綈p)或p为真.4.注意区别命题的否定与否命题,命题的否定只否定结论,否命题既否定结论又否定条件.。
人教版高二数学选修1-1 第一章《常用逻辑用语》教案2(有答案)

选修1-1 第一章《常用逻辑用语》§1.2.2 充要条件【知识要点】●p是q的充分条件同时p又是q的必要条件则称p是q的充要条件.●充要性的证明注意分清充分性及必要性进行证明.【例题精讲】【例1】设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件分析1:由丙乙甲且乙丙,即丙是甲的充分不必要条件.分析2:画图观察之.答:选A.点评:抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便【例2】设有非空集合A、B、C,若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C ”,则“a∈B”是“a∈A”的()A.充分而不必要条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:选B【例3】ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是()A.0<a≤1B.a<1 C.a≤1D.0<a≤1 或a<0【例4】设α,β是方程x2-ax+b=0 的两个实根,试分析a>2 且b>1 是两根α,β均大于1的什么条件?【基础达标】1.不等式的解集为R的充要条件是()A.B.C.D.2.p是q的充要条件的是()A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5B.p:a>2,b<2,q:a>bC.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形D.p:a≠0,q:关于x的方程a x=1有惟一解3.设A、B、C三个集合,为使A(B∪C),条件A B是()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.x∈R,|x|(1+x)是正数的充分必要条件是()A.|x|<1 B.x<1C.x<-1 D.x>-1且x≠05.三个实数a、b、c不全为零的充要条件是()A.a、b、c都不是零B.a、b、c中至多有一个是零C.a、b、c中只有一个是零D.a、b、c中至少有一个不是零6.p:x-4=0,q:,则p是q的.7.在平面直角坐标系中,点(x2+5x,1-x2)在第一象限的充要条件是.1~5:BDADD6.充分不必要条件7.0<x<1【能力提高】8.求证:关于x的方程有一个根为1的充要条件是.9.已知,求证的充要条件是.10.集合,若“a=1”是“”的充分条件,求b的取值范围.§1.3.1 简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”【知识要点】●如果用p,q,r,s……表示命题,则复合命题的形式接触过的有以下三种:p或q记作p∨q 当且仅当p、q同为假时为假p且q记作p∧q 当且仅当p、q同为真时为真非p记作⌝p 与p的真假性相反●常见词语的否定【例题精讲】【例1】命题“方程的解为”,使用逻辑联结词的情况是()A.没有使用联结词B.使用了联结词“或”C.使用了联结词“非”D.使用了联结词“且”答案:B说明:常见的表示是用“或”还是“非”,要根据实际情况定,比如“x=1,y=2.则x+y=3 成立”中的x=1,y=2 所用的联结词为且.【例2】分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题:1.p:李明是高中一年级学生q:李明是共青团员2.p:q:是无理数【例3】命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中元素”是形式;命题“非空集合A∪B中的元素是A的元素或是B的元素”是形式.分析:x∈A∩B则x∈A且x∈B,填p且q.x∈A∪B则x∈A或x∈B.填p或q.答:填p且q;p或q.【例4】命题①梯形不是平行四边形;②等腰三角形的底角相等;③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形;④60是5或2的公倍数,其中复合命题有()A.①③④B.③④C.③D.①③分析:②是简单命题,其余的均为复合命题.选A.【例5】分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合命题的真假.(1)8 或6是30 的约数;(2)矩形的对角线垂直平分;(3)方程x2-2x+3=0 没有实数根.分析:分清形式结构,判断简单命题真假,利用真值表再判断原复合命题真假.解:(1)p或q;p:8 是30 的约数(假),q:6 是30 的约数(真).“p或q”为真.(2)p且q;p:矩形的对角线互相垂直(假),q:矩形的对角线互相平分(真).“p且q”为假.(3)非p;p:x2-2x+3=0 有实根(假).非p为真.点评:将简易逻辑知识负载在其它知识之上.【基础达标】1.命题“方程x2-4=0 的解是x=±2”中,使用的逻辑联结词的情况是()A.没有使用联结词B.使用了逻辑联结词“或”C.使用了逻辑联结词“且”D.使用了逻辑联结词“非”2.以下判断正确的是()A.若p是真命题,则“p且q”一定是真命题B.命题“p且q”是真命题,则命题p一定是真命题C.命题“p且q”是假命题时,则命题p一定是假命题D.命题p是假命题时,则命题“p且q”不一定是假命题3.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,那么()A.命题p不一定是假命题B.命题q一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真值相同4.若p、q是两个简单命题,且“p或q”的否定是真命题,则必有()A.p真q真B.p假q假C.p真q假D.p假q真5.如果命题“p或q”是真命题,那么()A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q的真值是相同的,即同真同假C.命题p与命题q中只有一个是真命题D.命题p与命题q中至少有一个是真命题6.下列命题中:;(2)集合是的子集;(1)11(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.其中为真命题的序号依次为.7.有下列四个命题:(1)40 能被3或5整除;(2)不存在实数x,使x2+x+1<0;(3)对任意实数x,均有x+1>x;(4)方程x2-2x+3=0 有两个不等的实根;其中假命题为_ .(只填序号)1~5:BBBBD6.①②7.(4)【能力提高】8.分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假.(1)p:3是无理数,q:3是实数;(2)p:4>6,q:4+6≠10.解:(1)p或q:真;p且q:真;非p:假.(2)p或q:假;p且q:假;非p:真.9.已知命题p、q,写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假.(1)p:2 是偶数,q:2 是质数;(2)p:0的倒数还是0,q:0 的相反数还是0.(1) p或q:2 是偶数或质数,真命题p且q:2 是偶数且是质数,真命题非p:2 不是偶数,假命题.(2)p或q:0 的倒数还是0或0的相反数还是0,真命题.p且q:0的倒数还是0且0的相反数还是0,假命题.非p:0的倒数不是0,真命题.10.写出命题“5>2 且4>6”的否定,并判断其真假,由此分别讨论“p或q”、“p且q”的否定形式.§1.4.1 全称量词与存在量词及其否定【知识要点】●短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用“∀”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.●短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用“∃”表示.含有存在量词的命题叫特称命题.●【例题精讲】【例1】下列真命题的个数()A.0 B.1 C.2 D.3答案:D【例2】下列命题中真命题的个数是()(1)所有的素数是奇数;(2)∀x∈R,(x-1) 2+1≥1;(3)有的无理数的平方是无理数A.0 B.1 C.2 D.3答案:C【例3】下列特称命题中假命题的个数是()(1)∃x∈R,使2x2+x +1=0;(2)存在两条相交直线垂直于同一个平面;(3)∃x∈R,x2≤0A.0 B.1 C.2 D.3答案:C【例4】下列全称命题的否命题中,假命题的个数是()(1)所有能被3整除的数能被6整除;(2)所有实数的绝对值是正数;(3)∀x∈Z,x2的个位数不是2A.0 B.1 C.2 D.3答案:B【例5】命题:∃x∈N,x3 ≤x2的否定是.命题:∀x∈R,x2-x+1> 0 的否定是_.【例6】命题:“存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分”的否定是.答案:所有四边形的对角线互相垂直或平分.【例7】写出下列命题的否定.(1)所有自然数的平方是正数;(2)任何实数x都是5x-12=0 的根;(3)对任意实数x,存在实数y,使x+y>0;(4)有些质数是奇数.解:(1)存在自然数的平方是负数或0;(2)存在实数x,它不是5x-12=0 的根;(3)存在实数x,同时存在实数y,使x+y≤0;(4)任何质数都不是奇数.点评:简单全称命题及特称命题的否定,对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词.【基础达标】1.下列命题为真命题的是()A.所有的质数都是奇数B.有些三角形不是锐角三角形C.实数的平方都是正数D.存在一个三角形,它的内角和小于180°2.下列命题中假命题的个数是()(1)有的梯形是等腰梯形;(2)有的菱形是正方形;(3)每个正方形都是平行四边形;(4)每个矩形都是正方形.A.0 B.1 C.3 D.43.命题“原函数与反函数的图象关于直线y=x对称”的否定是()A.原函数与反函数的图象关于直线y=-x对称B.原函数不与反函数的图象关于直线y=x对称C.存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y=x对称D.存在原函数与反函数的图象关于直线y=x对称4.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0B.存在x∈R,x3-x2+1≤0C.存在x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的x∈R,x3-x2+1>05.已知命题p:∀x∈R,s in x≤1,则()A.⌝p:∃x∈R,s in x≥1B.⌝p:∀x∈R,s in x≥1C.⌝p:∃x∈R,s in x>1 D.⌝p:∀x∈R,s in x>16.命题“”的否定为.7.命题“”的否定为.1~5:BBCCC【能力提高】8.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题:(1)能被4整除的整数能被2整除;(2)任何大于2的偶数可表示为两个素数之和;(3)有些数的平方小于0.9.判断以下命题的真假:(1) ∀x∈R,-x2+x-1<0;①真;②真;③真;④假10.指出下列命题是特称命题还是全称命题,并写出其否命题,并判断否命题的真假.(1)直线与x轴都有交点;(2)正方形都是菱形;(3)梯形的对角线相等;(4)存在一个三角形,它的内角和大于180°(1)全称命题:否命题为有些直线与x轴没有交点真命题(2)全称命题:否命题为有些正方形不是菱形假命题(3)全称命题:否命题为有些梯形对角线不相等真命题(4)特称命题:否命题为所有三角形内角和小于或等于180 度真命题《常用逻辑用语》全章复习掌握四种命题,充要条件逻辑联结词“且”“或”“非”,全称量词与存在量词及其否定.会判断充要条件,并能证明.【例题精讲】【例1】分别写出命题“若x2+y2=0,则x、y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题.【例2】“若P={x|x|<1},则0∈P”的等价命题是.【例3】A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【基础达标】1.命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是()A.若A∪B≠A,则A∩B≠B B.若A∩B=B,则A∪B=AC.若A∩B≠A,则A∪B≠B D.若A∪B=B,则A∩B=A2.命题“若a>b,则ac2>bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.4 个B.3 个C.2 个D.0 个3.下列说法:(1)四种命题中真命题的个数一定是偶数.(2)若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题一定是真命题.(3)逆命题与否命题之间是互为逆否的关系.(4)若一个命题的逆否命题是假命题,则它的逆命题与否命题都是假命题.其中正确的有()个.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4.x∈R,(1-x)(1+x)是正数的充分必要条件是()A.-1<x<1 B.x<1 C.x<-1 D.x<1 且x≠-15.下列说法正确的是()A.x≥3是x>5 的充分而不必要条件B.x≠±1 是|x|≠1的充要条件C.若⌝p⇒⌝q,则p是q的充分条件D.一个四边形是矩形的充分条件是:它是平行四边形6.集合A={x|x>1},B={x|x<2};则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的条件.7.命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是的形式.命题“CA中的元素是I中的元素但不是A中的元素”是的形式.I1.A2.C 3.C 4.D 5.B 6.必要非充分条件7.p或q;p且q【能力提高】8.写出“∃x∈R,使得”的否命题.9.写出“∀x > 0 ,x2+x+2≥0”的否命题.10.用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.。
数同步精致讲义选修1-1北师大:第一章常用逻辑用语1Word含答案

§1命题L 了解命题的概念及命题的构成,会判断一个命题的真假2理解四种命题及其关系,掌握互为逆否命题的等价关系及貞•假判断.知识点一命题的概念及命题的形式思考给出下列语句:①若直线a∕∕b,则直线α和宜线b无公共点:② 3 + 6=7;③偶函数的图像关于y轴对称:④5能被4整除.请你找岀上述语句的共同特点.★答案★ 上述语句有两个特点:①都是陈述句;②能够判断真假.梳理(1)定狡可以判斷真假、用丈字或符号表述的语句叫作命題.(2)分类①真命题:判断为真的语句叫作真命题;②假命题:判斷为假的语句叫作假命题・(3)命题的形式:“若p,则q”,其中命题的条件是p,结论是Q.由P能推出g,則为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点二四种命题思考给出以下四个命题:(1)若x=2,则√-3x+2=0;(2)若x2-3x+2=0,则x=2;(3)若XH2,则X2-3X+2≠0:(4)若x2-3x+2≠0,贝∣J x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗?★答案★ 命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否泄和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否宦和条件的否定.梳理一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件, 那么把这两个命题叫作互逆命题・如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把这两个命题叫作互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点三四种命题的关系及其真假判断思考如果原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗?它的否命题呢?它的逆否命题呢?★答案★ 原命题为真,其逆命题不一泄为真,其否命题不一泄为真,其逆否命题一左是真命题.梳理(1)四种命題的相互关系(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中,一定与原命题真假性相同的是逆否命題.(3)两个命题互为逆命题或互为否命题吋,它们的真假性没有关系.(4)四种命题中,真命题都是成对出现,即真命题的个数为O或2或4.1.有些命題的真假性不能确定・(×)2.有的命題没有逆命题・(X )3・原命题的否命题的逆命题就是原命題的逆否命题.(√)类型一命题的概念例1下列语句:(1)√5是无限循环小数;(2)√—3x+2=0:(3)当x=4 时,2A>0;(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?(5)—个正整数不是合数就是素数:(6)作∕∖ABC竺M B' C :(7)二次函数的图像太美了!(8)4是集合{1,2,3}中的元素.其中是命题的是________ .(填序号)考点命题的概念及分类题点命题概念的理解★答案★ (1)(3)(5)(8)解析本题主要考查命题的判断,判断依据:看能否判断真假.(1)是命题,能判断真假;(2) 不是命题,因为语句中含有变量X,在没给变量X賦值前,我们无法判断语句的真假;(3)是命题;(4)不是命题,因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断;(5)是命題;(6)不是命题;(7)不是命题;(8)是命题.故★答案★为(1)(3)(5)(8).反思与感悟一般地,判斷一个语句是不是命题,要看这个语句能不能判斷真假.跟踪训练1判断下列语句是否为命题,若是,请判断真假并改写成“若p,则g”的形式.(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?(2)三角形中,大角所对的边大于小角所对的边;⑶当x+y是有理数时,X,I y都是有理数;(4)1+2+3 ---- 2 014;(5)这盆花长得太好了!考点命题的概念及分类题点命题概念的理解解(1)(4)(5)未涉及真假,都不是命題.(2)是真命题.此命题可写成“在三角形中,若一条边所对的角大于另一边所对的角,则这条边大于另一边•”(3)是假命题.此命题可写成'‘若x+y是有理数,则X, I y都是有理数”.类型二四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.⑴若TH n<0,贝!|方程mF—x+"=0有实数根;(2)弦的垂直平分线经过圆心,且平分弦所对的弧;⑶若7∕J≤0 或Π≤0,则77∕÷Π≤0:(4)在∕∖ΛBC中,若α>b,则Z4>ZB-考点四种命题题点四种命题概念的理解解(1)逆命题:若方程nιx2-χ+n=0有实数根,则W W<0,假命題.否命题:若?w ?/>0,则方程nιx2-χ-∖~n=0没有实数根,假命题.逆否命题:若方程w√-χ÷7∕=0没有实数根,则加”20,真命题.(2)逆命題:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,真命題.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧,真命題. 逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线,真命题.(3)逆命题:若TH+"W0,则加WO或w≤0,真命题.否命题:若加>0且">0,则"i+">0,真命题.逆否命题:若加+">0,则加>0且">0,假命题.(4)逆命題:在MBC中,⅛ZJ>ZB,则α>b,真命题.否命题:在AABC中,若αWb,则ZJ≤Z5,真命題.逆否命题:在A∙15C中,若ZJ≤Z5,则aWb,真命題.反思与感悟四种命題的转换方法(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命題.(2)同时否定原命題的条件和结论,所得命题是原命题的否命题・(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题. 跟踪训练2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.⑴若ab=Q,则α=0;(2)已知C b9 C为实数,若(I=b、则ac=bc.考点四种命题题点四种命题概念的理解解(1)逆命题:若α=0,则ab=Q,真命题.否命题:若abH0,则a≠09真命题・逆否命题:若αH0,则ab≠Q9假命题・(2)逆命題:已知α, b, C为实数,若ac=bc,则a=b,假命题.否命题:已知α, b, C为实数,若a≠b t则ac≠bc,假命题.逆否命题:已知e b. Q为实数,若ac≠bc9则a≠b,真命题・命题角度2四种命题的相互关系例3若命题B “若x+y=O,则X, y互为相反数”的否命题为s命题Q的逆命题为儿则厂与P的逆命题的关系是()A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.同一命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用★答案★ B解析已知命题p:若x÷y=O,则X, y互为相反数.命題P的否命题Q:若x÷y≠0,则X, y不互为相反数,命題g的逆命题门若X, y不互为相反数,则x÷y≠O,・•"是P的逆否命题,••・厂是P的逆命题的否命题,故选B.反思与感悟L判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判斷.(2)巧用''逆、否”两字进行判斷,如“逆命题”与"逆否命题"中不同有“否” 一个字,是互否关系;而“逆命題”与'‘否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.2.要判斷四种命题的真假:首先,要熟悉四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性:其次,利用其他知识判斷真假时,一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3有下列四个命题:①“若x+y=O,则X, I y互为相反数”的否命题:②一个实数不是正数就是负数;③“若x≤-3,则√-χ-6>0"的否命题:④“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是________ .考点四种命题的真假判断题点四种命题的概念及真假判断的综合应用★答案★ 1解析①"若x+yH0,则X, y不互为相反数”,是真命题.②实数0既不是正数,也不是负数,所以原命题是假命题.③“若x>-3,则√-χ-6≤0",解不等式X2-A-6≤0可得一2≤x≤3,而x=4>—3不是不等式的解,故是假命题.④“相等的角是同位角”,是假命题.类型三等价命题的应用例4判断命题“已知GX为实数,若关于X的不等式W+(2a+l)x+,+2WO的解集非空, 则的逆否命题的真假.考点四种命题的相互关系题点逆否证法解方法一原命題的逆否命題:已知α, X为实数,若αvl,则关于X的不等式x2+ (2α + 1)A÷^+2≤O的解集为0,判断如下:二次函数y=x2+(2α+l)x+∕+2的开口向上,令x2+(2f7÷l>+α2÷2=0,则∕=(2α+1)?—4(*+2)=4α-7.因为*1,所以4a_7v0,即关于X的不等式√+(2Λ+1)A+^+2≤0的解集为0.故此命题为真命题.方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.因为关于X的不等式F+Qa+l)χ+a2+2W0的解集非空,所以(2 “+1)2—43+2)20,即4a-7M0,解得心卜1,所以原命题为真,故其逆否命題为真.引申探究判断命题"已知a,X为实数,若关于X的不等式χ2 + Qa+l)x+a2+2>0的解集为R,则的逆否命题的真假.解先判断原命题的真假如下:因为ex为实数,关于X的不等式W+(2a + l)x+a2+2>0的解集为R,且二次函数y=√+(2a+l)x+B+2 的开口向上,所以丿=(2d+l)2—4(,+2)=4a — 7v0,7所以a<4 所以原命题是真命题•因为互为逆否命题的两个命题同真同假,所以原命题的逆否命题为真命題. 反思与感悟由于原命题和它的逆否命題有相同的真假性,即互为逆否命题的两个命题具有等价性,所以我们在直接证明某一个命題为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练4证明:若a2-4b2→a+l≠Q9贝∣Jα≠2fe+l.考点四种命题的相互关系题点逆否证法证明“若a2-4b2→a+l≠0.则a≠2b+Γ的逆否命题为“若α=2b+l,则a2-4b2-2a + 1 = 0” .Tα=2b+1,∙∙∙ a2-4b2-2a+1 =(2b+ l)2-462-2(2Z>+1)+1=4Z∕2+1 +4b-4,一4b—2+1=0.•••命题“若α=2b+l,则a2—4,一2d+l = 0” 为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.1.命题“若χ>l,则χ>~Γ的否命题是()A.若x>l,则x≤-lB.若x≤b 则x>-lC.若x≤L 贝IJx≤-1D・若XV1,则x<-l考点四种命题概念的理解题点四种命题概念的理解★答案★ C解析原命題的否命题是对条件"x>l"和结论“x>—广同时否定, 即“若x≤l,则x≤-Γ,,故选C.2.命题“垂直于同一条直线的两个平而平行”的条件是()A.两个平而B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线考点命题的概念及分类题点命题的结构★答案★ D解析只要分清命题中的条件和结论即可.3.命题'‘若犬力是奇函数,则人一力是奇函数”的否命题是()A.若夬x)是偶函数,则Λ-x)是偶函数B.若XX)不是奇函数,则D不是奇函数c.若Λ-χ)是奇函数,则金)是奇函数D.若Λ-χ)不是奇函数,则y(χ)不是奇函数考点四种命题题点四种命题概念的理解★答案★ B解析否命題是既否定条件又否定结论.因此否命题应为"若金)不是奇函数,则A-X)不是奇函数”.4.命题“若a>b,则ac2>bc2(a, b,c∈R)"与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.OB. 2C. 3D. 4考点四种命题的貞•假判断题点利用四种命题的关系判断真假★答案★ B解析命题"若α>b,则ac2>bc2(a, b,c∈R)"是假命题,则其逆否命題是假命題.该命题的逆命题为“若ac2>bc2,则a>b(a, b,c∈R)"是真命题,则其否命題是真命題.故选B5.给岀以下命题:①“若√+3^2≠O,则X, V不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题:③“若M>0,则x2+χ-m=O有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________ ・(填序号)考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断貞•假★答案★①®解析①否命题是''若χ2÷r=o,则X, 全为篆”,真命題.②逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”,假命题.③VJ = I+4m,当加X)时,」>O tΛx2+χ-m=O有实根,即原命题为真・∙'∙逆否命題为真・1.可以判断真假.用文字或符号表述的语句是命题,命题的条件与结论之间属于因果关系,真命题可以给出证明,假命题只需举出一个反例即可.2.任何命題都是由条件和结论构成的.可以写成“若p,则g''的形式.含有大前提的命题写成"若P,则/'的形式时,大前提应保持不变.3・写四种命题时,可以按下列步骤进行(1)找出命题的条件P和结论q.(2)写出条件P的否定和结论g的否定・(3)按照四种命题的结构写出所有命题・4.判斷命題的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础.课时对点练注Jfi双基强化落实一、选择题1.下列说法正确的是()A.命题“直角相等"的条件和结论分别是“直角”和“相等”B•语句“最髙气温3(ΓC时我就开空调”是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是貞•命题D.语句“当α>4时,方程X2—4x+α=O有实根”是假命题考点命题的概念及分类题点命题頁•假性的判断★答案★ D解析对于A,改写成“若P,则Q”的形式应为"若有两个角是直角,则这两个角相等”;B所给语句不是命题;C的反例可以是'‘用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等 ,腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.2.给出下列三个命题:()①“全等三角形的面积相等”的否命题;②“若IgW=O,贝∣]x=-l''的逆命题;③“若XH),或XHp,则IXiHly的逆否命题.其中真命题的个数是()A・0 B・1 C・2 D. 3考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假★答案★ B解析①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”,它是假命题;②的逆命题是'‘若X= -I,则lg√≈=O M ,它是真命題;③的逆否命题是“若IXI=M,则x=y且x=p",它是假命题,故选B 3・已知命题“若αbW0,贝IJaWo或Z>≤0",则下列结论正确的是()A•真命题,否命题: “若ab>0,则a>Q或b>0''B •真命题,否命题: “若ab>0,则a>Q且b>Q"C •假命题,否命题: “若αb>0,则α>0 或b>0"D.假命题,否命题: “若ab>0,则a>0且b>(Γ考点四种命题题点四种命题概念的理解★答案★ B解析“若aX)且b>0,则^>0M是真命题,又“若α>0且bX),则ab>0f9是“若αbW0, 则QWo 或b3的逆否命題,故原命题为真命题•已知命題的否命題是“若必>0,则QO 且b>09f・4.下列命题中为真命题的是()A.“若x>2016,则xX)”的逆命题B.“若X y=O t贝IJX=O或y=0"的逆否命题C.若x2÷x~2=0,贝IJX=ID.“若x221,则x21”的逆否命题考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假★答案★ B解析A选项,“若A>2016,则X>0”的逆命题为“若xX),则x>2 016”是假命题;B选项, “若xy=O,则X=O或J=O w的逆否命题为“若XHO且y≠0t则^≠0,*是真命題;C选项, 由X2+A-2 =0,得x=l或x=-2,故C是假命题;D选项,“若√≥1,则X^r是假命題,故其逆否命题是假命题.5.已知α, b∈R,命题''若α+b=l,则a2+b2^的否命题是()A.若则α+bHlB.若a+b=l,则a2+k2<^C.若a+b≠l,则a2+b2<^D.若t72+62^2,则a+b=l考点四种命题题点四种命题概念的理解★答案★ C解析“a+b=l”,“鼻*”的否定分别是ti a+b≠Γ , ”,故否命题为“若a+b≠l t则a? +,#” .6.有下列三个命题:①“若x+y=0,则X, I y互为相反数”的逆命题:②“若a2<b2,则Xb”的否命题:③“若gWl,则W+2χ+g=O有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题.其中真命题为()A.①②B.②③C.①③D.③④考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断貞•假★答案★ C解析命题①:“若XJ互为相反数,则x+y=O f,是真命题;命题②:"若α2≥⅛2,则風” 是假命题;命题③:“若<7≤1,则x2+2x+q=O有实根”是真命題,则其逆否命题也为真命題;命题④是假命题.7.已知命题“若α, b, c成等比数列,则b2=ac,t ,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A. OB. 1C. 2D. 3考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假★答案★ B解析命题“若α, b, C成等比数列,则b2=ac”是真命题,故其逆否命题是真命題.该命题的逆命题为“若b2=ac,则α, b, c成等比数列”是假命题,故其否命题也是假命题, 故选B8.原命题为''AJ5C中,若CoSZIV0,则MBC为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.真,假,假考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假★答案★ B解析若COS J<0, A为钝角,则3C为钝角三角形,所以原命題为真,则逆否命题也为真;HABC 为钝角三角形,可能是E或者C为钝角,2可能为锐角,CoS A>0.所以逆命題为假,则否命题也为假.故选B9.已知命题B若*1,则,vl,则下列说法正确的是()A.命题P是真命题B.命题P的逆命题是真命题C.命题P的否命题是"若GVl,则BN1”D.命题P的逆否命题是“若则gl”考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假★答案★ B解析若α=-2,则(一2)2>1,・•.命题P为假命題,Λ A不正确;命题P的逆命题是''若a2<l t则a<Γ ,为真命题,AB正确;命題P的否命题是''若心,则α2≥Γ,, ΛC不正确;命題P的逆否命题是“若/$1,则α21'' , .∙.D不正确.故选B二、填空题10.已知命题P的逆命题是"若实数α, b满足α=l且5=2,则α+b<4",则命题P的否命题是___________________________________ -考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用★答案★ 若实数α, b满足α+bM4,贝IIaHl或b≠2解析由命題P的逆命题与其否命题互为逆否命題可得.11.在命题"若抛物线y=ax1+bx^c的开口向下,则{x∖ax2+bx+c<O}≠0”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是_________ .考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假★答案★ 1解析原命題是真命題,则其逆否命题是真命题,该命题的逆命题是假命题,则其否命題也是假命题,故★答案★为1.12.给泄下列命题:①若Q0,则方程√-2χ-⅛= 0有实数根:②若x+yH8,则XH2 或y≠6:③“矩形的对角线相等”的逆命题:④“若xy=0,则X, I y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是_______ .考点四种命题的真假判断题点四种命题的槪念及貞•假判断的综合应用★答案★①®④解析①∙∙d=4-4(-k)=4+4Q0,①是真命题•②其逆否命题为真,故②是真命题.③逆命题:“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.④否命题:'‘若xy≠O,则X, y都不为零”是真命题.三' 解答题13.判断命题:“若Z>≤-l.则关于X的方程√-2hx+δ2+δ=O有实根”的逆否命题的真假. 考点四种命题的相互关系题点逆否证法解方法一因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题的真假即可.方程判别式为J=4δ2-4(Z>2÷6)=-4δ,因为δ≤-h所以J^4>0,故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于X的方程√-2fo+δ2+i=0无实根,则b>-Γ .方程判别式为J=4Z>2-4(⅛2 + ⅛)=-45,因为方程无实根,所以丿vθ,即一4X0,所以b>0,所以6>—1成立,即原命題的逆否命题为真.四、探究与拓展14.命题“若£+2必+夕+“+6—2H0,则a+b≠Γ,的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是________ .考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断克假★答案★ 1解析Cr-Vlab+b1+aΛ-b-2≠0 化简得(α+b-l)(α+b+2)H0,即a+bHl 且a-∖~b≠~2. 命题"若a2+2βfr+护+a+12H0,则Λ÷⅛≠1W的逆命题为"若a+b≠l,则a2+2ab+b2 +a+b—2H0”,为假命题,a+b=—2 也可以使a1-∖-2ab-∖-b2-∖-a-∖-b~2=Q∙,否命题与逆命題同真同假,故其否命题为假命题;逆否命题为“若a+b=l,则a2 + 2ab +,+ a+b-2=0”,为真命题.15.设W7, ∕j∈R. iιE明:若ZH2÷M2=2,则WJ÷Π≤2.考点四种命题的相互关系题点逆否证法证明将“若胪+沪=2,则加+”£2”视为原命题,则它的逆否命题为“若∕M+M>2,则m2+n2≠r,.因为加+“>2,所以»72+??2≥y(?//+M)2×22=2.所以加2+沪H2,所以原命题得证.。
苏教版高中数学选修1-1同步全解答案

选修1-1参考答案第一章 常用逻辑用语 第一节 针对训练答案:1.必要不充分 2. 32,10x x x ∃∈-+>R 3 若12,m m+≥则m>0 4 _存在矩形对角线不相等 5 ②③④ ①正确, ②中B ≤0时不成立, ③中的定义域为φ, ④中应是随机抽样. 6 ②④ 7 必要不充分 8充分而不必要条件 9 ② ③ 10,11a b a b ≤-≤-若则 11充分不必要 12充分非必要 13 (3)14 C 15A 16 2,217A 18C 19 A 20 逆命题:若有两个不等实根则(假) 否命题:若则没有两个不等实根(假) 逆否命题:若没有两个不相等实根则(真)21D 22A 23 A 24B 25A 26D 27C 28. D 29. A 30 D 31. C . 32. 33. 真命题:或,非;假命题:且,非 第二节 针对训练1B2.D 原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题3.A ①,仅仅是充分条件 ② ,仅仅是充分条件;③,仅仅是充分条件4.B “”为假,则为真,而(且)为假,得为假 5.D 当时,都满足选项,但是不能得出 当时,都满足选项,但是不能得出6.B 当时,,所以“过不去”;但是在△中, ,即“回得来” 02=++c bx ax 0<ac 0≥ac 02=++c bx ax 02=++c bx ax 0≥ac 20<<m p q p p q q 220a b a b >>⇒>0a b >>⇒ba 11<330a b a b >>⇒>p ⌝p p q ∧q 1,0a b ==,A B 1a b +>0.5,0.5a b ==C 1a b +>0170A =001sin170sin102=<ABC 0001sin 30150302A A A >⇒<<⇒>7.D 当时,从不能推出,所以假,显然为真 8.解:而,即。
高中数学选修1-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习及答案

p
真 真 假 假
q
真 假 真 假
p∨q
真 真 真 假
非(not)
非(not) 一般地,对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作 ¬p 读作“非 p ”或“ p 的否 定”.若 p 是真命题,则 ¬p 必是假命题;若 p 是假命题,则 ¬p 必是真命题.
p
真 假
¬p
假 真
复合命题 不含有逻辑联结词的命题是简单命题,由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的 命题是复合命题. 例题: 将下列命题用“且”和“或”联结成新的命题,并判断它们的真假. (1)p : √2 是无理数,q : 3 不是无理数; (2)p : 方程 x 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根,q : 方程 x2 + 2x + 1 = 0 两根的绝对 值相等; (3)p : 3 是 19 的约数,q : 3 是 27 的约数. 解:(1) p ∧ q :√2 是无理数且 3 不是无理数;p ∨ q :√2 是无理数或 3 不是无理数. 由于 p 是真命题,q 是真命题,所以 p ∧ q 是真命题, p ∨ q 是真命题. (2) p ∧ q :方程 x 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根且两根的绝对值相等;p ∨ q :方程 x2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根或两根的绝对值相等. 由于 p 是假命题,q 是真命题,所以 p ∧ q 是假命题,p ∨ q 是真命题. (3)p ∧ q :3 是 19 的约数且 3 是 27 的约数;p ∨ q :3 是 19 的约数或 3 是 27 的约 数. 由于 p 是假命题,q 是真命题,所以 p ∧ q 是假命题,p ∨ q 是真命题. 写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p :y = cos x 是奇函数; (2)p : (3)p :四个角都相等的四边形是正方形; (4)p :一元二次方程至多有两个解. 解:(1)¬p : y = cos x 不是奇函数.是真命题. (2)¬p : (3)¬p : 四个角都相等的四边形不都是正方形.是真命题. (4)¬p : 一元二次方程至少有三个解.是假命题.
2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】

提示:常见的全称量词除“所有”外,还有“一切”“每一个”“任一个”等.
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.有时省去全称量词,但仍为全称命题.如“正方形都是平行四边形”,省去了全称量词“所有”.
3.存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题?
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.
3.会判断全称命题与存在性命题的真假.
1.命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的?
提示:数学中的定义、公理、定理都是命题,但命题与定理是有区别的:
(1)命题有真假之分,而定理都是真的;
(2)命题一定有逆命题,而定理不一定有逆定理.
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题,只有能够判断真假的语句才是命题.一般地,祈使句、感叹句、疑问句都不是命题.
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假,但随着时间的推移,总能判断其真假,这样的语句也是命题.
2.全称量词与全称命题
判断下列命题的真假:
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数,也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案:(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句,没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题.
(3)是假命题,数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题,没有考虑到“在两个三角形中,其他两边对应相等”的情况.
2018版高中数学选修1-1学案:第一章 常用逻辑用语 1-3

1.3.1量词[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点一全称量词和全称命题(1)全称量词:短语“所有”“任意”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,并用符号“∀”表示.(2)全称命题:含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.知识点二存在量词和存在性命题(1)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,并用符号“∃”表示.(2)存在性命题:含有存在量词的命题称为存在性命题.存在性命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x),读作“存在一个x属于M,使p(x)成立”.[思考](1)在全称命题和存在性命题中,量词是否可以省略?(2)全称命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么?答案(1)在存在性命题中,量词不可以省略;在有些全称命题中,量词可以省略.(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“∀x∈N,x≥0”.题型一 全称量词与全称命题 例1 试判断下列全称命题的真假: (1)∀x ∈R ,x 2+2>0; (2)∀x ∈N ,x 4≥1;(3)对任意角α,都有sin 2α+cos 2α=1.解 (1)由于∀x ∈R ,都有x 2≥0,因而有x 2+2≥2>0,即x 2+2>0,所以命题“∀x ∈R ,x 2+2>0”是真命题.(2)由于0∈N ,当x =0时,x 4≥1不成立,所以命题“∀x ∈N ,x 4≥1”是假命题.(3)由于∀α∈R ,sin 2α+cos 2α=1成立.所以命题“对任意角α,都有sin 2α+cos 2α=1”是真命题.反思与感悟 判定全称命题的真假的方法:(1)定义法,对给定的集合的每一个元素x ,p (x )都为真;(2)代入法,在给定的集合内找出一个x 0,使p (x 0)为假,则全称命题为假. 跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假: (1)∀x ∈R ,x 2+1≥2; (2)任何一条直线都有斜率; (3)每个指数函数都是单调函数. 解 (1)由于∀x ∈R ,都有x 2≥0,因而有x 2+1≥1,所以“∀x ∈R ,x 2+1≥2”是假命题.(2)当直线的倾斜角为π2时,斜率不存在,所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.(3)无论底数a >1或是0<a <1,指数函数都是单调函数,所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.题型二 存在量词与存在性命题 例2 判断下列存在性命题的真假: (1)∃x ∈Z ,x 3<1;(2)存在一个四边形不是平行四边形; (3)有一个实数α,tan α无意义; (4)∃x ∈R ,cos x =π2.解 (1)∵-1∈Z ,且(-1)3=-1<1, ∴“∃x ∈Z ,x 3<1”是真命题. (2)真命题,如梯形.(3)真命题,当α=π2时,tan α无意义.(4)∵当x ∈R 时,cos x ∈[-1,1],而π2>1,∴不存在x ∈R ,使cos x =π2,∴“∃x ∈R ,cos x =π2”是假命题.反思与感悟 判定存在性命题真假的方法:代入法,在给定的集合中找到一个元素x ,使命题p (x )为真,否则命题为假.跟踪训练2 试判断下列存在性命题的真假: (1)∃x ∈Q ,x 2=3;(2)∃x ,y 为正实数,使x 2+y 2=0; (3)∃x ∈R ,tan x =1; (4)∃x ∈R ,lg x =0.解 (1)由于使x 2=3成立的数只有±3,而它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“∃x ∈Q ,x 2=3”为假命题.(2)因为x >0,y >0,所以x 2+y 2>0,所以“∃x ,y 为正实数,使x 2+y 2=0”为假命题. (3)当x =π4时,tan π4=1,所以“∃x ∈R ,tan x =1”为真命题.(4)当x =1时,lg1=0,所以“∃x ∈R ,lg x =0”为真命题. 题型三 全称命题、存在性命题的应用例3 (1)若命题p :存在x ∈R ,使ax 2+2x +a <0,求实数a 的取值范围;(2)若不等式(m +1)x 2-(m -1)x +3(m -1)<0对任意实数x 恒成立,求实数m 的取值范围. 解 (1)由ax 2+2x +a <0,得a (x 2+1)<-2x , ∵x 2+1>0,∴a <-2x x 2+1=-2x +1x ,当x >0时,x +1x ≥2,∴-2x +1x≥-1,当x <0时,x +1x ≤-2,∴-2x +1x ≤1,∴-2x +1x的最大值为1.又∵∃x ∈R ,使ax 2+2x +a <0成立, ∴只要a <1,∴a 的取值范围是(-∞,1).(2)①当m +1=0即m =-1时,2x -6<0不恒成立. ②当m +1≠0,则⎩⎪⎨⎪⎧ m +1<0,Δ<0,⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <-1,Δ=(m -1)2-4(m +1)·3(m -1)<0, ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <-1,m <-1311或m >1, 综上,m <-1311.反思与感悟 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用,注意二者的区别. 跟踪训练3 (1)已知关于x 的不等式x 2+(2a +1)x +a 2+2≤0的解集非空,求实数a 的取值范围;(2)若命题p :1-sin2x =sin x -cos x 是真命题,求实数x 的取值范围.解 (1)关于x 的不等式x 2+(2a +1)x +a 2+2≤0的解集非空,∴Δ=(2a +1)2-4(a 2+2)≥0,即4a -7≥0,解得a ≥74,∴实数a 的取值范围为[74,+∞).(2)由1-sin2x =sin x -cos x ,得sin 2x +cos 2x -2sin x cos x =sin x -cos x , ∴(sin x -cos x )2=sin x -cos x , 即|sin x -cos x |=sin x -cos x , ∴sin x ≥cos x .结合三角函数图象得,2k π+π4≤x ≤2k π+5π4(k ∈Z ),此即为所求x 的取值范围.即p :∀x ∈[2k π+π4,2k π+5π4](k ∈Z ),有1-sin2x =sin x -cos x 是真命题.化归思想的应用例4 对任意x ∈[-1,2],有4x -2x +1+2-a <0恒成立,求实数a 的取值范围.分析 通过换元,可转化为一元二次不等式的恒成立问题,通过分离参数,又可将恒成立问题转化为求最值的问题.解 原不等式化为22x -2·2x +2-a <0,① 令t =2x ,因为x ∈[-1,2],所以t ∈[12,4],则不等式①化为t 2-2t +2-a <0,即a >t 2-2t +2. 所以原命题等价于∀t ∈[12,4],a >t 2-2t +2恒成立,令y =t 2-2t +2=(t -1)2+1,因为当t ∈[12,4]时,y max =10,所以只需a >10即可.故实数a 的取值范围是(10,+∞).解后反思 在本题的解答过程中,用到了两次化归思想,在第一次通过换元,化归为一元二次不等式恒成立时,要特别注意新元的取值范围.1.下列命题中全称命题的个数是________. ①任意一个自然数都是正整数; ②有的等差数列也是等比数列; ③三角形的内角和是180°. 答案 2解析 ①③是全称命题.2.下列命题中,不是全称命题的是________. ①任何一个实数乘以0都等于0; ②自然数都是正整数;③每一个向量都有大小;④一定存在没有最大值的二次函数. 答案 ④解析 ④是存在性命题.3.下列命题中,既是真命题又是存在性命题的是________. ①存在一个α,使tan(90°-α)=tan α ②存在实数x ,使sin x =π2③对一切α,sin(180°-α)=sin α④对一切α,β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β 答案 ①解析 含有存在量词的命题只有①,②, 而sin x ≤1,所以sin x =π2不成立,故填①.4.对任意的x >3,x >a 都成立,则a 的取值范围是________________. 答案 (-∞,3]解析 只有当a ≤3时,对任意的x >3,则x >a 都成立.5.已知命题p :∃x ∈(-∞,0),2x <3x ,命题q :∀x ∈(0,π2),cos x <1,则下列命题为真命题的是________. ①p ∧q ②p ∨(綈q ) ③(綈p )∧q ④p ∧(綈q ) 答案 ③解析 当x <0时,2x <3x 不成立, ∴p 为假命题,綈p 为真命题,而x ∈(0,π2)时,cos x <1成立,∴q 为真命题.1.判断命题是全称命题还是存在性命题,主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词,有些全称命题虽然不含全称量词,可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题.3.要确定一个存在性命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在性命题是假命题.。
高中数学选修1_1全册习题(答案详解)

目录:数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组](数学选修1-1)第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1.下列语句中是命题的是( )A .周期函数的和是周期函数吗?B .0sin 451=C .2210x x +->D .梯形是不是平面图形呢?2.在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下,则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A .都真B .都假C .否命题真D .逆否命题真3.有下述说法:①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有( )A .0个B .1个C .2个D .3个 4.下列说法中正确的是( )A .一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B .“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C .“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D .一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真5.若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知条件:12p x +>,条件2:56q x x ->,则p ⌝是q ⌝的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题1.命题:“若a b ⋅不为零,则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语

常用逻辑用语一、命题及其关系考点:要点1.命题:一般地,把用语言、符号或式子表达的,可以推断真假的陈述句叫做命题.其中推断为真的语句叫做真命题,推断为假的语句叫做假命题.要点2.四种命题:(1)一般地,用p和q分别表示命题的条件和结论,用¬p和¬q分别表示p和q的否定,于是四种命题的形式就是:原命题:若p,则q;逆命题:若q,则p;否命题:若¬p,则¬q;逆否命题:若¬q,则¬p.要点3.四种命题的关系:互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断:例1、推断下列语句是否是命题?若是,推断其真假并说明理由。
1)x>1或x=1;2)假如x=1,那么x=33)x2-5x+6=0; 4)当x=4时,2x<0; 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗?;8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析:1)不是,x值不确定。
2)是,假命题3)不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x>0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练: 1. 推断下列语句是不是命题。
(1)2+22是有理数;(2)1+1>2;(3)2100是个大数;(4)986能被11整除;(5)非典型性肺炎是怎样传播的? (6)(6)x ≤3。
2. 推断下列语句是不是命题。
(1)矩形莫非不是平行四边形吗? (2)垂直于同一条直线的两条直线平行吗? (3)一个数不是合数就是质数。
(4)大角所对的边大于小角所对的边; (5)y+x 是有理数,则x 、y 也是有理数。
高中数学苏教版选修1-1学案:第一章 常用逻辑用语 1.1.1 四种命题 Word版含答案

1.1.1四种命题[学习目标]1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系.知识点一命题的定义(1)定义:能够判断真假的语句叫做命题.(2)真假命题:命题中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.(3)命题的一般形式:命题的一般形式为“若p则q”.通常,命题中的p是命题的条件,q是命题的结论.知识点二四种命题的概念(1)互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆否命题.知识点三四种命题的真假性的判断原命题为真,它的逆命题不一定为真;它的否命题也不一定为真.原命题为真,它的逆否命题一定为真.题型一命题及其真假的判定例1判断下列语句是不是命题,若是,判断真假,并说明理由.(1)求证3是无理数.(2)若x∈R,则x2+2x+1≥0.(3)你是高二学生吗?(4)并非所有的人都喜欢苹果.(5)一个正整数不是质数就是合数.(6)x+3>0.解(1)祈使句,不是命题.(2)是真命题,因为x2+2x+1=(x+1)2≥0.对于x∈R,不等式恒成立.(3)是疑问句,不能判断真假,不是命题.(4)是真命题.(5)是假命题,正整数1既不是质数,也不是合数.(6)不是命题.不能判断真假.反思与感悟要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时,要有理有据,有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可. 跟踪训练1判断下列语句是不是命题,若是,判断其真假,并说明理由.(1)函数y=sin2x-cos2x的最小正周期是π.(2)若x=4,则2x+1<0.(3)垂直于同一条直线的两直线平行吗?(4)一个等比数列的公比大于1时,该数列为递增数列.(5)求证:x∈R时,方程x2-x+1=0无实数根.解(1)(2)(4)是命题.(3)(5)不是命题.命题(1)中,y=sin2x-cos2x=-cos2x,显然其最小正周期为π,是真命题.命题(2)中,当x=4,2x+1>0,是假命题.(3)是一个疑问句,不是命题.命题(4)中,当等比数列的首项a1<0,公比q>1时,该数列为递减数列,是假命题.(5)是一个祈使句,没有作出判断,不是命题.题型二四种命题的概念例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(1)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实数根;(2)弦的垂直平分线经过圆心,且平分弦所对的弧;(3)若m≤0或n≤0,则m+n≤0;(4)在△ABC中,若a>b,则∠A>∠B.解(1)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,则m·n<0,假命题.否命题:若m·n≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根,假命题.逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则m·n≥0,真命题.(2)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,真命题.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧,真命题.逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线,真命题.(3)逆命题:若m+n≤0,则m≤0或n≤0,真命题.否命题:若m>0且n>0,则m+n>0,真命题.逆否命题:若m+n>0,则m>0且n>0,假命题.(4)逆命题:在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b,真命题.否命题:在△ABC中,若a≤b,则∠A≤∠B,真命题.逆否命题:在△ABC中,若∠A≤∠B,则a≤b,真命题.反思与感悟(1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命题的条件的否定和结论的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题.(2)在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当地添加一些词语,但不能改变条件和结论.跟踪训练2判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.(1)若x2+y2=0,则x,y全为零;(2)若在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,b2-4ac<0,则该函数图象与x轴有交点.解(1)该命题为真命题.逆命题:若x,y全为零,则x2+y2=0,真命题.否命题:若x2+y2≠0,则x,y不全为零,真命题.逆否命题:若x,y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.(2)该命题为假命题.逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有交点,则b2-4ac<0,假命题.否命题:若在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,b2-4ac≥0,则该函数图象与x轴无交点,假命题.逆否命题:若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴无交点,则b2-4ac≥0,假命题.题型三四种命题的关系例3下列命题:①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题;②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;④“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题.其中是真命题的是________.答案①②③解析①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题;③“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题;④“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题是“若a>b,则ac2>bc2”,是假命题.所以真命题是①②③. 反思与感悟要判断四种命题的真假:首先,要熟练掌握四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性;其次,利用其他知识判断真假时,一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3下列命题中为真命题的是________.(填序号)①“正三角形都相似”的逆命题;②“若m>0,则x2+2x-m=0有实根”的逆否命题;③“若x-2是有理数,则x是无理数”的逆否命题.答案②③解析①原命题的逆命题为“若两个三角形相似,则这两个三角形是正三角形”,故为假命题.②原命题的逆否命题为“若x2+2x-m=0无实根,则m≤0”.∵方程无实根,∴判别式Δ=4+4m<0,∴m<-1,即m≤0成立,故为真命题.③原命题的逆否命题为“若x不是无理数,则x-2不是有理数”.∵x不是无理数,∴x是有理数.又2是无理数,∴x-2是无理数,不是有理数,故为真命题.正确的命题为②③.题型四等价命题的应用例4判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集是空集,则a<2”的真假.解原命题的逆否命题为“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.判断真假如下:函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,因为a≥2,所以4a-7>0,即抛物线与x轴有交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真.所以原命题为真.反思与感悟因为原命题与它的逆否命题的真假性相同,所以我们可以利用这一点,通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫做逆否证法,它也是一种间接的证明方法.跟踪训练4判断命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.解∵m>0,∴方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.∴原命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.化归思想的应用例5判断命题“若x2-y2≠0,则x-y,x+y中至少有一个不等于0”的真假.分析原命题的真假性不容易判断,可以找出其逆否命题,若其逆否命题的真假性容易判断,则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系,就可以解决原命题的真假性问题了.解原命题的逆否命题:若x-y,x+y都等于0,则x2-y2=0.由x-y=0,x+y=0,得x2-y2=(x+y)(x-y)=0.因此,原命题的逆否命题是真命题.所以原命题是真命题.解后反思条件与结论都含有否定词的命题在判断其真假时,会有一定的困难,这时最好转化为判断其逆否命题的真假,这种化归的思想是解题的重要思想方法.根据已知集合求参数范围例6已知p:M={x|x2-2x-80≤0},q:N={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.如果“若p,则q”为真,且“若q,则p”为假,求实数m的取值范围.分析先求不等式的解集,再根据条件建立不等式组求解即可.解p:M={x|x2-2x-80≤0}={x|-8≤x≤10},q :N ={x |x 2-2x +1-m 2≤0,m >0}={x |1-m ≤x ≤1+m ,m >0}.因为“若p ,则q ”为真,且“若q ,则p ”为假,所以M N ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m ≤-8,1+m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,1-m <-8,1+m ≥10, 即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,m ≥9,m >9或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0,m >9,m ≥9,解得m >9,即实数m 的取值范围是{}m |m >9.解后反思由“若p ,则q ”为真,“若q ,则p ”为假,得M ⊆N ,但N M ,故M N ,即“1-m 与-8”和“1+m 与10”不能同时取等号.事实上,当m =9时,两个集合相等.1.下列语句不是命题的个数为________.①2<1;②x <1;③若x <2,则x <1;④函数f (x )=x 2是R 上的偶函数.答案1解析①③④可以判断真假,是命题,②不能判断真假,所以不是命题.2.命题“若a >b ,则a -1>b -1”的否命题是________.答案若a ≤b ,则a -1≤b -1解析直接按否命题的构成改写.3.命题“若平面向量a ,b 共线,则a ,b 方向相同”的逆否命题是______________________________,它是________命题(填“真”或“假”).答案若平面向量a ,b 的方向不相同,则a ,b 不共线假4.给出以下命题:①“若a ,b 都是偶数,则a +b 是偶数”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m >0,则x 2+x -m =0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.答案③解析①否命题是“若a ,b 不都是偶数,则a +b 不是偶数”.假命题.②逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ=1+4m ,m >0时,Δ>0,∴x 2+x -m =0有实根,即原命题为真.∴逆否命题为真.5.“若sin α=12,则α=π6”的逆否命题是“__________________”,逆否命题是________命题(填“真”或“假”).答案若α≠π6,则sin α≠12假 解析逆否命题是“若α≠π6,则sin α≠12”是假命题.1.根据命题的意义,可以判断真假的陈述句是命题,命题的条件与结论之间属于因果关系,真命题需要给出证明,假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论构成的,可以写成“若p ,则q ”的形式.含有大前提的命题写成“若p ,则q ”的形式,大前提应保持不变,且不写在条件p 中.3.写四种命题时,可以按下列步骤进行:(1)找出命题的条件p 和结论q ;(2)写出条件p 的否定非p 和结论q 的否定非q ;(3)按照四种命题的结构写出所有命题.4.每一个命题都有条件和结论组成,要分清条件和结论.5.判断命题的真假可以根据互为逆否命题的真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础.。
高中选修1-1导学案 第一章 常用逻辑用语(含答案)

第一章 常用逻辑用语1.1.1 命题 --1.1.2四种命题学案【学习目标】1.理解命题的概念及命题的构成形式,并会判断一个命题的真假;2.了解命题的逆命题、否命题和逆否命题;3.会根据原命题写出逆命题、否命题和逆否命题。
【学习过程】1.命题的定义:我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的 叫做命题。
其中判断为真的语句叫做 ,判断为假的语句叫做 。
点评:判断一命题的真假的标准:是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。
2.命题的结构:在数学中,具有“若则”这种形式的命题是较为常见的,我们把这种形式的命题中的叫做 ,叫做 。
3.原命题:若,则;逆命题: ;否命题: ;逆否命题: 。
4.关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以如下表述:(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的 ;(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的 ;(3)交换原命题的条件和结论,同时进行否定,所得的命题是原命题的 。
例题:写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题.(1)若,则;(2)垂直于同一平面的两直线平行。
【学习评价】1.下列语句是命题的为( )A .这是一棵小树.B .对顶角相等吗?C .D .2不是最小的质数.2.命题“若a >b ,则a-8>b-8”的逆否命题是( )A .若a<b ,则a-8>b-8.B .若a-8>b-8,则a >b .C .若a ≤b ,则a-8≤b-8.D .若a-8≤b-8,则a ≤b .3.给出下列命题:①若x y=1,则x ,y 互为倒数;②两个有理数的和是有理数;③若A ∪B=B ,则A B ;④相似的三角形的周长相等,其中真命题是( )A .①.B .①②.C .①②③.D .①③④.4.将命题“平行四边形的对角线互相平分”改写成“若P ,则q ”的形式: .5.命题“若a ,b 都是偶数,则a+b 是偶数”的逆否命题是 . p q p q p q 0a =0ab =0122>-+x x ⊇6.若命题p 的逆命题是q ,命题r 是命题q 的否命题,则p 是r 的 命题.7.把下列命题写成“若p ,则q ” 的形式,并判断它们的真假.(1)实数的平方是非负数.(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.8.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.(1)若a=b ,则ac=bc .(2)若圆心到直线的距离等于半径,则该直线是圆的切线.9.写出下列命题的否命题,并判断它们的真假.(1)若A=B ,则sinA=sinB .(2)周长相等的两个三角形全等.10.把下列命题改写成“若p ,则q ”的形式,并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题.(1)矩形的四个角均为直角.(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.(3)平行于同一平面的两直线平行。
高中数学选修1-1各章节作业练习题(附答 案解析)

第一章常用逻辑用语§1.1 命题及其关系1.1.1命题课时目标 1.了解命题的概念,会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p,则q”的形式.1.一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断________的__________叫做命题.其中判断为______的语句叫做真命题,判断为______的语句叫做假命题.2.在数学中,“若p,则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的________,q叫做命题的________.一、选择题1.下列语句中是命题的是()A.周期函数的和是周期函数吗?B.sin 45°=1C.x2+2x-1>0D.梯形是不是平面图形呢?2.下列语句中,能作为命题的是()A.3比5大B.太阳和月亮C.高年级的学生D.x2+y2=03.下列命题中,是真命题的是()A.{x∈R|x2+1=0}不是空集B.若x2=1,则x=1C.空集是任何集合的真子集D.x2-5x=0的根是自然数4.已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题,那么下列命题:①M的元素都不是P的元素;②M中有不属于P的元素;③M中有P的元素;④M中元素不都是P的元素.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.45.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是()A.这个数能被2整除B.这个数能被3整除C.这个数既能被2整除,也能被3整除D.这个数是6的倍数6.在空间中,下列命题正确的是()A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行题号123456答案7.下列命题:①若xy =1,则x ,y 互为倒数;②四条边相等的四边形是正方形;③平行四边形是梯形;④若ac 2>bc 2,则a >b .其中真命题的序号是________.8.命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是__________________________,结论q 是________________________________.9.下列语句是命题的是________. ①求证3是无理数; ②x 2+4x +4≥0;③你是高一的学生吗?④一个正数不是素数就是合数; ⑤若x ∈R ,则x 2+4x +7>0. 三、解答题10.把下列命题改写成“若p ,则q ”的形式,并判断真假. (1)偶数能被2整除.(2)当m >14时,mx 2-x +1=0无实根.11.设有两个命题:p :x 2-2x +2≥m 的解集为R ;q :函数f (x )=-(7-3m )x 是减函数,若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m 的取值范围.能力提升12.设非空集合S ={x |m ≤x ≤l }满足:当x ∈S 时,有x 2∈S .给出如下三个命题:①若m =1,则S ={1};②若m =-12,则14≤l ≤1;③若l =12,则-22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .313.设α,β,γ为两两不重合的平面,l ,m ,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β; ③若α∥β,l ⊂α,则l ∥β;④若α∩β=l ,β∩γ=m ,γ∩α=n ,l ∥γ,则m ∥n . 其中真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .41.判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假,只有能判断真假的语句才是命题. 2.真命题是可以经过推理证明正确的命题,假命题只需举一反例说明即可.3.在判断命题的条件和结论时,可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式,改法不一定唯一.第一章 常用逻辑用语 §1.1 命题及其关系1.1.1 命题答案知识梳理1.真假 陈述句 真 假 2.条件 结论 作业设计1.B [A 、D 是疑问句,不是命题,C 中语句不能判断真假.]2.A [判断一个语句是不是命题,关键在于能否判断其真假.“3比5大”是一个假命题.]3.D [A 中方程在实数范围内无解,故是假命题;B 中若x 2=1,则x =±1,故B 是假命题;因空集是任何非空集合的真子集,故C 是假命题;所以选D.]4.B [命题②④为真命题.]5.C [命题可改写为:如果一个数是6的倍数,那么这个数既能被2整除,也能被3整除.]6.D 7.①④解析 ①④是真命题,②四条边相等的四边形也可以是菱形,③平行四边形不是梯形. 8.若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称 9.②④⑤解析 ①③不是命题,①是祈使句,③是疑问句.而②④⑤是命题,其中④是假命题,如正数12既不是素数也不是合数,②⑤是真命题,x 2+4x +4=(x +2)2≥0恒成立,x 2+4x +7=(x +2)2+3>0恒成立.10.解 (1)若一个数是偶数,则这个数能被2整除,真命题.(2)若m >14,则mx 2-x +1=0无实数根,真命题.11.解 若命题p 为真命题,可知m ≤1; 若命题q 为真命题,则7-3m >1,即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时,有p 真q 假或p 假q 真, 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1,m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1,m <2.故m 的取值范围是1<m <2.12.D [①m =1时,l ≥m =1且x 2≥1, ∴l =1,故①正确.②m =-12时,m 2=14,故l ≥14.又l ≤1,∴②正确.③l =12时,m 2≤12且m ≤0,则-22≤m ≤0,∴③正确.]13.B [①由面面垂直知,不正确;②由线面平行判定定理知,缺少m 、n 相交于一点这一条件,故不正确; ③由线面平行判定定理知,正确;④由线面相交、及线面、线线平行分析知,正确. 综上所述知,③,④正确.]1.1.2四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构,会对命题进行转换.1.四种命题的概念:(1)对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题,其中的一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆命题.(2)对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________,我们把这样的两个命题叫做互否命题,把其中的一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的否命题.(3)对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题,把其中的一个命题叫做原命题,另一个命题叫做原命题的逆否命题.2.四种命题的结构:用p和q分别表示原命题的条件和结论,用綈p,綈q分别表示p和q的否定,四种形式就是:原命题:若p成立,则q成立.即“若p,则q”.逆命题:________________________.即“若q,则p”.否命题:______________________.即“若綈p,则綈q”.逆否命题:________________________.即“若綈q,则綈p”.一、选择题1.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.42.命题“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是()A.若A∪B≠A,则A⊇BB.若A∩B≠A,则A⊆BC.若A⊆B,则A∩B≠AD.若A⊇B,则A∩B≠A3.对于命题“若数列{a n}是等比数列,则a n≠0”,下列说法正确的是()A.它的逆命题是真命题B.它的否命题是真命题C.它的逆否命题是假命题D.它的否命题是假命题4.有下列四个命题:①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“若b≤-1,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④若“A∪B=B,则A⊇B”的逆否命题.其中的真命题是()A.①②B.②③C.①③D.③④5.命题“当AB=AC时,△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.4 B.3 C.2 D.06.命题“若函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则log a2<0”的逆否命题是()A.若log a2≥0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数B.若log a2<0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数C.若log a2≥0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数D.若log a2<0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数题号123456答案二、填空题7.命题“若x>y,则x3>y3-1”的否命题是________________________.8.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数,可以被3整除”的逆否命题是________________________;逆命题是______________________;否命题是________________________.9.有下列四个命题:①“全等三角形的面积相等”的否命题;②若a2+b2=0,则a,b全为0;③命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;④命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆命题.其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号).三、解答题10.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于0;(2)当x=2时,x2+x-6=0;(3)对顶角相等.11.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数;(2)等高的两个三角形是全等三角形;(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧.能力提升12.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数13.命题:已知a、b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2-4b≥0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.1.对条件、结论不明显的命题,可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换.2.分清命题的条件和结论,然后进行互换和否定,即可得到原命题的逆命题,否命题和逆否命题.1.1.2四种命题答案知识梳理1.(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2.若q成立,则p成立若綈p成立,则綈q成立若綈q成立,则綈p成立作业设计1.B[由a>-3⇒a>-6,但由a>-6 a>-3,故真命题为原命题及原命题的逆否命题,故选B.]2.C[先明确命题的条件和结论,然后对命题进行转换.]3.D 4.C5.C[原命题和它的逆否命题为真命题.]6.A[由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命题为:若log a2≥0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数.]7.若x≤y,则x3≤y3-18.不能被3整除的正整数,其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数,它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数,不能被3整除9.②③10.解(1)原命题:“若a是正数,则a的平方根不等于0”.逆命题:“若a的平方根不等于0,则a是正数”.否命题:“若a不是正数,则a的平方根等于0”.逆否命题:“若a的平方根等于0,则a不是正数”.(2)原命题:“若x=2,则x2+x-6=0”.逆命题:“若x2+x-6=0,则x=2”.否命题:“若x≠2,则x2+x-6≠0”.逆否命题:“若x2+x-6≠0,则x≠2”.(3)原命题:“若两个角是对顶角,则它们相等”.逆命题:“若两个角相等,则它们是对顶角”.否命题:“若两个角不是对顶角,则它们不相等”.逆否命题:“若两个角不相等,则它们不是对顶角”.11.解(1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等高.否命题:若两个三角形不等高,则这两个三角形不全等.逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等高.(3)逆命题:若一条直线平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不平分弦所对的弧.逆否命题:若一条直线不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.12.B[命题“若p,则q”的否命题为“若綈p,则綈q”,而“是”的否定是“不是”,故选B.]13.解逆命题:已知a、b为实数,若a2-4b≥0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集.否命题:已知a、b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2-4b<0.逆否命题:已知a、b为实数,若a2-4b<0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集.原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.1.1.3四种命题间的相互关系课时目标1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题.1.四种命题的相互关系2.四种命题的真假性(1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题,它们有______的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性______________.一、选择题1.命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是()A.若q不正确,则p不正确B.若q不正确,则p正确C.若p正确,则q不正确D.若p正确,则q正确2.下列说法中正确的是()A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价C.“若a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真3.与命题“能被6整除的整数,一定能被2整除”等价的命题是()A.能被2整除的整数,一定能被6整除B.不能被6整除的整数,一定不能被2整除C.不能被6整除的整数,不一定能被2整除D.不能被2整除的整数,一定不能被6整除4.命题:“若a 2+b 2=0 (a ,b ∈R ),则a =b =0”的逆否命题是( ) A .若a ≠b ≠0 (a ,b ∈R ),则a 2+b 2≠0 B .若a =b ≠0 (a ,b ∈R ),则a 2+b 2≠0C .若a ≠0,且b ≠0 (a ,b ∈R ),则a 2+b 2≠0D .若a ≠0,或b ≠0 (a ,b ∈R ),则a 2+b 2≠05.在命题“若抛物线y =ax 2+bx +c 的开口向下,则{x |ax 2+bx +c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A .都真B .都假C .否命题真D .逆否命题真6.设α、β为两个不同的平面,l 、m 为两条不同的直线,且l ⊂α,m ⊂β,有如下的两个命题:①若α∥β,则l ∥m ;②若l ⊥m ,则α⊥β.那么( )A .①是真命题,②是假命题B .①是假命题,②是真命题C .①②都是真命题D .①②都是假命题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题7.“已知a ∈U (U 为全集),若a ∉∁U A ,则a ∈A ”的逆命题是______________________________________,它是______(填“真”“或”“假”)命题.8.“若x ≠1,则x 2-1≠0”的逆否命题为________命题.(填“真”或“假”)9.下列命题:①“若k >0,则方程x 2+2x +k =0有实根”的否命题;②“若1a >1b,则a <b ”的逆命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题.其中是假命题的是________.三、解答题10.已知命题:若m >2,则方程x 2+2x +3m =0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.11.已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数,a ,b ∈R ,若f (a )+f (b )≥0,求证:a +b ≥0.能力提升12.给出下列三个命题:①若a ≥b >-1,则a 1+a ≥b1+b;②若正整数m 和n 满足m ≤n ,则m (n -m )≤n2;③设P (x 1,y 1)是圆O 1:x 2+y 2=9上的任意一点,圆O 2以Q (a ,b )为圆心,且半径为1.当(a-x1)2+(b-y1)2=1时,圆O1与圆O2相切.其中假命题的个数为() A.0B.1C.2D.313.a、b、c为三个人,命题A:“如果b的年龄不是最大的,那么a的年龄最小”和命题B:“如果c的年龄不是最小的,那么a的年龄最大”都是真命题,则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定?请说明理由.1.互为逆否的命题同真假,即原命题与逆否命题,逆命题与否命题同真假.四种命题中真命题的个数只能是偶数个,即0个、2个或4个.2.当一个命题是否定形式的命题,且不易判断其真假时,可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的.1.1.3四种命题间的相互关系答案知识梳理1.若q,则p若綈p,则綈q若綈q,则綈p2.(2)①相同②没有关系作业设计1.D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题,只需写出原命题的否命题即可.] 2.D 3.D4.D[a=b=0的否定为a,b至少有一个不为0.]5.D[原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题.]6.D7.已知a∈U(U为全集),若a∈A,则a∉∁U A真解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提,条件是“a∉∁U A”,结论是“a∈A”,所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集),若a∈A,则a∉∁U A”.它为真命题.8.假9.①②10.解逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2,假命题.否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根,假命题.逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2,真命题.11.证明假设a+b<0,即a<-b,∵f(x)在R上是增函数,∴f(a)<f(-b).又f(x)为奇函数,∴f(-b)=-f(b),∴f(a)<-f(b),即f(a)+f(b)<0.即原命题的逆否命题为真,故原命题为真.∴a+b≥0.12.B[①用“分部分式”判断,具体:a1+a≥b1+b⇔1-11+a≥1-11+b⇔11+a≤11+b,又a≥b>-1⇔a+1≥b+1>0知本命题为真命题.②用基本不等式:2xy≤x2+y2 (x>0,y>0),取x=m,y=n-m,知本命题为真.③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB=1,所以P、O2可能都在圆O1上,当O2在圆O1上时,圆O1与圆O2相交.故本命题为假命题.]13.解能确定.理由如下:显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此应该从它的逆否命题来考虑.①由命题A为真可知,当b不是最大时,则a是最小的,即若c最大,则a最小,所以c>b>a;而它的逆否命题也为真,即“a不是最小,则b是最大”为真,所以b>a>c.总之由命题A为真可知:c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知,b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大,a次之,c最小.§1.2充分条件与必要条件课时目标 1.结合实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系.1.如果已知“若p,则q”为真,即p⇒q,那么我们说p是q的____________,q是p 的____________.2.如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作________.这时p是q的______________条件,简称________条件,实际上p与q互为________条件.如果p⇒q且q⇒p,则p是q的________________________条件.一、选择题1.“x>0”是“x≠0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.设p:x<-1或x>1;q:x<-2或x>1,则綈p是綈q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题号123456答案7.用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2;(2)ab≠0________a≠0.8.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而不必要条件是-2<x<-1,则a的取值范围是________.9.函数y=ax2+bx+c (a>0)在[1,+∞)上单调递增的充要条件是__________.三、解答题10.下列命题中,判断条件p 是条件q 的什么条件: (1)p :|x |=|y |,q :x =y .(2)p :△ABC 是直角三角形,q :△ABC 是等腰三角形; (3)p :四边形的对角线互相平分,q :四边形是矩形.11.已知P ={x |a -4<x <a +4},Q ={x |x 2-4x +3<0},若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件,求实数a 的取值范围.能力提升12.记实数x 1,x 2,…,x n 中的最大数为max {}x 1,x 2,…,x n ,最小数为min {}x 1,x 2,…,x n .已知△ABC 的三边边长为a ,b ,c (a ≤b ≤c ),定义它的倾斜度为l =max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ,b c ,c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ,b c ,c a ,则“l =1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A .必要而不充分条件 B .充分而不必要条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件13.已知数列{a n }的前n 项和为S n =(n +1)2+c ,探究{a n }是等差数列的充要条件.1.判断p 是q 的什么条件,常用的方法是验证由p 能否推出q ,由q 能否推出p ,对 于否定性命题,注意利用等价命题来判断.2.证明充要条件时,既要证明充分性,又要证明必要性,即证明原命题和逆命题都成立,但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立.“A 的充要条件为B ”的命题的证明:A ⇒B 证明了必要性;B ⇒A 证明了充分性.“A 是B 的充要条件”的命题的证明:A ⇒B 证明了充分性;B ⇒A 证明了必要性.§1.2 充分条件与必要条件 答案知识梳理1.充分条件 必要条件2.p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计1.A [对于“x >0”⇒“x ≠0”,反之不一定成立. 因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件.] 2.A [∵q ⇒p ,∴綈p ⇒綈q ,反之不一定成立,因此綈p 是綈q 的充分不必要条件.]3.B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件.]4.A [把k =1代入x -y +k =0,推得“直线x -y +k =0与圆x 2+y 2=1相交”;但“直线x -y +k =0与圆x 2+y 2=1相交”不一定推得“k =1”.故“k =1”是“直线x -y +k =0与圆x 2+y 2=1相交”的充分而不必要条件.]5.A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ,而m ,n 是平面α内两条直线,并不一定相交,所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6.B [当a <0时,由韦达定理知x 1x 2=1a<0,故此一元二次方程有一正根和一负根,符合题意;当ax 2+2x +1=0至少有一个负数根时,a 可以为0,因为当a =0时,该方程仅有一根为-12,所以a 不一定小于0.由上述推理可知,“a <0”是“方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根”的充分不必要条件.]7.(1) ⇒ (2)⇒ 8.a >2解析 不等式变形为(x +1)(x +a )<0,因当-2<x <-1时不等式成立,所以不等式的解为-a <x <-1.由题意有(-2,-1)(-a ,-1),∴-2>-a ,即a >2.9.b ≥-2a解析 由二次函数的图象可知当-b2a≤1,即b ≥-2a 时,函数y =ax 2+bx +c 在[1,+∞)上单调递增.10.解 (1)∵|x |=|y |⇒x =y , 但x =y ⇒|x |=|y |,∴p 是q 的必要条件,但不是充分条件.(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形. △ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形. ∴p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件. (3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形. 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分. ∴p 是q 的必要条件,但不是充分条件. 11.解 由题意知,Q ={x |1<x <3},Q ⇒P , ∴⎩⎪⎨⎪⎧a -4≤1a +4≥3,解得-1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[-1,5].12.A [当△ABC 是等边三角形时,a =b =c ,∴l =max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ,b c ,c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ,b c ,c a =1×1=1.∴“l =1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件.∵a ≤b ≤c ,∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ,b c ,c a =ca .又∵l =1,∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ,b c ,c a =ac,即a b =a c 或b c =a c, 得b =c 或b =a ,可知△ABC 为等腰三角形,而不能推出△ABC 为等边三角形. ∴“l =1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件.] 13.解 当{a n }是等差数列时,∵S n =(n +1)2+c ,∴当n≥2时,S n-1=n2+c,∴a n=S n-S n-1=2n+1,∴a n+1-a n=2为常数.又a1=S1=4+c,∴a2-a1=5-(4+c)=1-c,∵{a n}是等差数列,∴a2-a1=2,∴1-c=2.∴c=-1,反之,当c=-1时,S n=n2+2n,可得an=2n+1 (n≥1)为等差数列,∴{an}为等差数列的充要条件是c=-1.§1.3简单的逻辑联结词课时目标 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题,并能判断命题的真假.1.用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作__________,读作__________.(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作________,读作__________.(3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作________,读作________或____________.2.含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1.已知p:2+2=5;q:3>2,则下列判断错误的是()A.“p∨q”为真,“綈q”为假B.“p∧q”为假,“綈p”为真C.“p∧q”为假,“綈p”为假D.“p∨q”为真,“綈p”为真2.已知p:∅{0},q:{2}∈{1,2,3}.由它们构成的新命题“綈p”,“綈q”,“p∧q”,“p∨q”中,真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列命题:①2010年2月14日既是春节,又是情人节;②10的倍数一定是5的倍数;③梯形不是矩形.其中使用逻辑联结词的命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个4.设p、q是两个命题,则新命题“綈(p∨q)为假,p∧q为假”的充要条件是() A.p、q中至少有一个为真B.p、q中至少有一个为假C.p、q中有且只有一个为假D.p为真,q为假5.命题p:在△ABC中,∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件;命题q:a>b是ac2>bc2的充分不必要条件.则()A.p假q真B.p真q假C.p∨q为假D.p∧q为真6.下列命题中既是p∧q形式的命题,又是真命题的是()A.10或15是5的倍数B.方程x2-3x-4=0的两根是-4和1C.方程x2+1=0没有实数根D.有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7.“2≤3”中的逻辑联结词是________,它是________(填“真”,“假”)命题.8.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的范围是____________.9.已知a、b∈R,设p:|a|+|b|>|a+b|,q:函数y=x2-x+1在(0,+∞)上是增函数,那么命题:p∨q、p∧q、綈p中的真命题是________.三、解答题10.写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题,并判断真假.(1)p:1是质数;q:1是方程x2+2x-3=0的根;(2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直;(3)p:0∈∅;q:{x|x2-3x-5<0}⊆R;(4)p:5≤5;q:27不是质数.11.已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.能力提升12.命题p:若a,b∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件;命题q:函数y =|x-1|-2 的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞),则()A.“p或q”为假B.“p且q”为真C.p真q假D.p假q真13.设有两个命题.命题p:不等式x2-(a+1)x+1≤0的解集是∅;命题q:函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围.1.从集合的角度理解“且”“或”“非”.设命题p:x∈A.命题q:x∈B.则p∧q⇔x∈A且x∈B⇔x∈A∩B;p∨q⇔x∈A或x∈B ⇔x∈A∪B;綈p⇔x∉A⇔x∈∁U A.2.对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p、q都为真,p∧q才为真;当p、q有一个为真,p∨q即为真;綈p与p的真假性相反且一定有一个为真.3.含有逻辑联结词的命题否定“或”“且”联结词的否定形式:“p或q”的否定形式“綈p且綈q”,“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”,它类似于集合中的“∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B),∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B)”.§1.3简单的逻辑联结词答案知识梳理1.(1)p∧q“p且q”(2)p∨q“p或q”(3)綈p“非p”“p的否定”作业设计1.C[p假q真,根据真值表判断“p∧q”为假,“綈p”为真.]2.B[∵p真,q假,∴綈q真,p∨q真.]3.C[①③命题使用逻辑联结词,其中,①使用“且”,③使用“非”.]4.C[因为命题“綈(p∨q)”为假命题,所以p∨q为真命题.所以p、q一真一假或都是真命题.又因为p∧q为假,所以p、q一真一假或都是假命题,所以p、q中有且只有一个为假.] 5.C[命题p、q均为假命题,∴p∨q为假.]6.D[A中的命题是p∨q型命题,B中的命题是假命题,C中的命题是綈p的形式,D中的命题为p∧q型,且为真命题.]7.或真8.[1,2)解析x∈[2,5]或x∈(-∞,1)∪(4,+∞),即x∈(-∞,1)∪[2,+∞),由于命题是假命题,所以1≤x<2,即x∈[1,2).9.綈p解析对于p,当a>0,b>0时,|a|+|b|=|a+b|,故p假,綈p为真;对于q,抛物线y=x2-x+1的对称轴为x=12,故q假,所以p∨q假,p∧q假.这里綈p应理解成|a|+|b|>|a+b|不恒成立,而不是|a|+|b|≤|a+b|.10.解(1)p为假命题,q为真命题.p或q:1是质数或是方程x2+2x-3=0的根.真命题.p且q:1既是质数又是方程x2+2x-3=0的根.假命题.綈p:1不是质数.真命题.(2)p为假命题,q为假命题.p 或q :平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p 且q :平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题. 綈p :有些平行四边形的对角线不相等.真命题. (3)∵0∉∅,∴p 为假命题,又∵x 2-3x -5<0,∴3-292<x <3+292,∴{x |x 2-3x -5<0} =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3-292<x <3+292⊆R 成立. ∴q 为真命题.∴p 或q :0∈∅或{x |x 2-3x -5<0}⊆R ,真命题, p 且q :0∈∅且{x |x 2-3x -5<0}⊆R ,假命题,綈p :0∉∅,真命题.(4)显然p :5≤5为真命题,q :27不是质数为真命题,∴p 或q :5≤5或27不是质数,真命题,p 且q :5≤5且27不是质数,真命题,綈p :5>5,假命题.11.解 若方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ=m 2-4>0,-m <0,解得m >2,即p :m >2. 若方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根, 则Δ=16(m -2)2-16=16(m 2-4m +3)<0, 解得1<m <3,即q :1<m <3.因p 或q 为真,所以p 、q 至少有一个为真. 又p 且q 为假,所以p 、q 至少有一个为假.因此,p 、q 两命题应一真一假,即p 为真,q 为假,或p 为假,q 为真.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >2,m ≤1或m ≥3,或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2,1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2.12.D [当a =-2,b =2时,从|a |+|b |>1不能推出|a +b |>1,所以p 假,q 显然为真.] 13.解 对于p :因为不等式x 2-(a +1)x +1≤0的解集是∅,所以Δ=[-(a +1)]2-4<0. 解不等式得:-3<a <1.对于q :f (x )=(a +1)x 在定义域内是增函数, 则有a +1>1,所以a >0.又p ∧q 为假命题,p ∨q 为真命题, 所以p 、q 必是一真一假.当p 真q 假时有-3<a ≤0,当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述,a 的取值范围是(-3,0]∪[1,+∞).§1.4 全称量词与存在量词课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.1.全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“______”表示,常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等.(2)含有______________的命题,叫做全称命题.(3)全称命题:“对M中任意一个x,有p(x)成立”,可用符号简记为____________.2.存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“________”表示,常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.(2)含有______________的命题,叫做特称命题.(3)特称命题:“存在M中的一个x0,有p(x0)成立”,可用符号简记为____________.3.含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定綈p:____________;(2)特称命题p:∃x0∈M,p(x0),它的否定綈p:____________.4.命题的否定与否命题命题的否定只否定________,否命题既否定______,又否定________.一、选择题1.下列语句不是全称命题的是()A.任何一个实数乘以零都等于零B.自然数都是正整数C.高二(一)班绝大多数同学是团员D.每一个向量都有大小2.下列命题是特称命题的是()A.偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于33.下列是全称命题且是真命题的是()A.∀x∈R,x2>0 B.∀x∈Q,x2∈QC.∃x0∈Z,x20>1 D.∀x,y∈R,x2+y2>04.下列四个命题中,既是特称命题又是真命题的是()A.斜三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x0,使x20>0C.任一无理数的平方必是无理数D.存在一个负数x0,使1x0>25.已知命题p:∀x∈R,sin x≤1,则()A.綈p:∃x0∈R,sin x0≥1B.綈p:∀x∈R,sin x≥1C.綈p:∃x0∈R,sin x0>1D.綈p:∀x∈R,sin x>16.“存在整数m0,n0,使得m20=n20+2 011”的否定是()A.任意整数m,n,使得m2=n2+2 011B.存在整数m0,n0,使得m20≠n20+2 011C.任意整数m,n,使得m2≠n2+2 011D.以上都不对题号123456答案。
人教B版高中数学选修1-1导学案第一章常用逻辑用语1.2基本逻辑联结词课堂导学案 Word版含答案

基本逻辑联结词课堂导学三点剖析一、逻辑联结词“或”“且”“非”【例】写出由下列各组命题构成的“或”“且”“非”形式的新命题,并判断真假.():是质数;:是方程的根;():平行四边形的对角线相等;:平行四边形的对角线互相垂直;():;:∈.思路分析:每一道题都要写出三种形式的新命题,本题考查逻辑联结词“或”“且”“非”的应用.解:()因为假真,所以或:是质数或是方程的根,为真;且:是质数且是方程的根,为假;非:不是质数,为真.()因为假假,所以或:平行四边形的对角线相等或互相垂直,为假;且:平行四边形的对角线相等且互相垂直,为假;非:平行四边形的对角线不一定相等,为真.()因为真真,所以或:或∈,为真;且:且∈,为真;非:,为假.温馨提示为了正确判断命题的真假,首先要确定命题的构成形式,然后指出其中命题、的真假,再根据已有结论判断这个命题的真假.二、含有一个量词的命题的否定【例】判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定:():对任意的∈,都成立;():,>.解析:()由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“至少存在一个”,因此,:至少存在一个∈,使≠成立;即:∈,使≠成立.()由于“∈”表示至少存在实数中的一个,即命题中含有存在量词“至少存在一个”,因而是存在性命题;又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,:对任意一个都有≤,即∈,≤.温馨提示首先弄清楚是全称命题还是存在性命题,再针对不同形式加以否定.从命题形式上看,全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.三、逻辑知识的综合应用【例】已知:方程有两个不等的负根;:方程()无实根,若或为真,且为假,求的取值范围. 解:若方程有两个不等的负根,则解得>,即:>若方程()无实根,则Δ()()<,解得<<,即:<<.因或为真,所以、至少有一个为真.又且为假,所以、至少有一个为假.因此,、两命题应一真一假,即为真,为假,或为假,为真.所以解得>或<<.温馨提示由、的真假可以判断∨、∧,的真假.反过来,由∨、∧,。
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§1.1.1命题导学案【学习要求】1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假,能够把命题化为“若p,则q”的形式.【学法指导】学习中要通过命题的一般形式把握命题,从命题的工具作用认识命题,不要过多地纠缠在判断一个语句是不是命题上,只要求能够从课本的例子中了解命题的概念就可以了.【知识要点】1.命题:一般地,我们把用表达的,可以的陈述句叫做命题.2.命题的真假:判断的命题叫做真命题,判断的命题叫做假命题.3.命题的形式:在数学中,“”是命题的常见形式,其中p叫做命题的,q叫做命题的. 【问题探究】探究点一命题的概念及分类问题1我们在初中已经学过许多数学命题,你能举出一些数学命题的例子吗?当时是怎么定义命题的?问题2观察下列语句的特点:(1)两个全等三角形的周长相等;(2)5能被2整除;(3)对顶角相等;(4)今天天气真好啊!(5)请把门关上!(6)2是质数吗?(7)若x=2,则x2=4;(8)3+2=6.回答:①以上有几个命题?②命题必须具备什么特征?问题3数学中的定义、公理、定理都是命题吗?问题4怎样判断一个命题是真命题还是假命题?例1判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.(1)求证3是无理数. (2)若x R,则x2+4x+4≥0.(3)你是高一的学生吗?(4)并非所有的人都喜欢苹果.(5)若xy是有理数,则x、y都是有理数. (6)60x+9>4.跟踪训练1判断下列语句中哪些是命题,是真命题还是假命题?(1)末位是0的整数能被5整除;(2)平行四边形的对角线相等且互相平分;(3)两直线平行,则斜率相等;(4)△ABC中,若∠A=∠B,则sin A=sin B;(5)余弦函数是周期函数吗?探究点二命题的结构问题在数学中,命题的常见形式为“若p,则q”,除此以外,还可以写成什么形式?例2把下列命题改写成“若p,则q”的形式:(1)各位数数字之和能被9整除的整数,可以被9整除;(2)斜率相等的两条直线平行;(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除;(4)钝角的余弦值是负数.跟踪训练2指出下列命题的条件p与结论q,并判断命题的真假. (1)若整数a是偶数,则a能被2整除;(2)对角线相等的平行四边形是矩形;(3)相等的两个角正切值相等.【当堂检测】1.下列语句为命题的是()A.对角线相等的四边形B.同位角相等C.x≥2D.x2-2x-3<02.下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则ac2>bc2;④矩形的对角线互相垂直. 其中假命题的个数是_______3.把下列命题写成“若p,则q”的形式.(1)ac>bc⇒a>b;(2)已知x、y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2;(3)当m>14时,mx2-x+1=0无实数根;(4)当abc=0时,a=0或b=0或c=0;(5)负数的立方是负数.【课堂小结】1.根据命题的意义,可以判断真假的陈述句是命题,命题的条件与结论之间属于因果关系,真命题可以给出证明,假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论构成的,可以写成“若p,则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p,则q”的形式,大前提应保持不变.【课后作业】一、基础过关1.下列语句中是命题的是()A.周期函数的和是周期函数吗?B.sin 45°=1C.x2+2x-1>0 D.梯形是不是平面图形呢?2.下列语句中是命题的为()①空集是任何集合的子集;②若x>1,则x>2;③ 3比1大吗?④若平面上两条直线不相交,则它们平行;⑤-2=-2;⑥x>15.A.①②⑥B.①②④C.①④⑤D.①②④⑤3.下列说法正确的是()A.命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C.“四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题4.已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是() A.若a∥b,则α∥βB.若α⊥β,则a⊥bC.若a、b相交,则α、β相交D.若α、β相交,则a、b相交5.下列命题:①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.其中真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.下列命题:①若xy=1,则x、y互为倒数;②对角线垂直的平行四边形是正方形;③平行四边形是梯形;④若ac2>bc2,则a>b.其中真命题的序号是________.7.已知命题:弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.若把上述命题改为“若p,则q”的形式,则p是______________________,q是________________________.二、能力提升8.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面9.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中为真命题的是()A.若a·b=0,则a=0或b=0 B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a·b=a·c,则b=c10.给出下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,是真命题的是________.(填序号)11.判断下列语句是否是命题,并说明理由.(1)若x+y是有理数,则x,y均为有理数.(2)一条直线l与平面α不是平行就是相交.(3)x2+2x-3<0.12.把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.(1)等腰三角形的两个底角相等;(2)当x=2或x=4时,x2-6x+8=0;(3)正方形是矩形又是菱形;(4)方程x2-x+1=0有两个实数根.三、探究与拓展13.设有两个命题:p:x2-2x+2≥m的解集为R;q:函数f(x)=-(7-3m)x是减函数,若这两个命题中有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围.§1.1.2四种命题~§1.1.3四种命题间的相互关系导学案【学习要求】1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结论,会写出某命题的逆命题,否命题和逆否命题.3.理解四种命题的关系.4.会利用命题的等价性解决问题.【学法指导】在本节的学习中,不要去死记硬背形式化的定义与模式,而应多通过具体实例,发现四种命题形式间的逻辑关系,并能利用这种关系对命题真假作出判断,从而体会正难则反思想的应用.【知识要点】1.四种命题的概念一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆命题为.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为.对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命题为.2.四种命题的相互关系3.四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有的真假性.(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性.【问题探究】探究点一四种命题的概念问题1观察下列四个命题:(1)若两个角是对顶角,则它们相等;(2)若两个角相等,则它们是对顶角;(3)若两个角不是对顶角,则它们不相等;(4)若两个角不相等,则它们不是对顶角.命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?问题2若(1)为原命题,则(2)为(1)的________命题,(3)为(1)的________命题,(4)为(1)的________命题.问题3在四种命题中,原命题是固定的吗?例1把下列命题写成“如果p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于0;(2)当x=2时,x2+x-6=0.跟踪训练1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:(1)实数的平方是非负数;(2)若x、y都是奇数,则x+y是偶数.探究点二四种命题的关系问题1通过以上学习,你认为如果原命题为真,那么它的逆命题、否命题的真假性是怎样的?问题2原命题为真,它的逆否命题的真假性如何?问题3四种命题中,真命题的个数可能为多少?例2下列命题:①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题;②“四边相等的四边形是正方形”的否命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;④“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题.其中的真命题是__________.跟踪训练2有下列四个命题:①“若x+y=0,则x、y互为相反数”的否命题;②“若a≥b,则a2≥b2”的逆否命题;③“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题;④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3探究点三等价命题的应用问题我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.你认为等价命题证明问题和反证法是不是一回事?例3证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、b R∈,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.跟踪训练3证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.【当堂检测】1.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数2.命题“如果x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是()A.如果x2≥1,则x≥1,或x≤-1 B.如果-1<x<1,则x2<1C.如果x>1或x<-1,则x2>1 D.如果x≥1或x≤-1,则x2≥13.命题“若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题是_________,它是_____命题(填“真”或“假”). 4.给出以下命题:①“若x2+y2≠0,则x、y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是________.5.若命题p的逆命题是q,命题p的否命题是r,则q是r的().A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上结论都不正确【课堂小结】1.写四种命题时,可以按下列步骤进行:(1)找出命题的条件p和结论q;(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q;(3)按照四种命题的结构写出所有命题.2.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础.【课后作业】一、基础过关1.命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是()A.若α≠π4,则tan α=1 B.若α=π4,则tan α≠1C.若tan α≠1,则α≠π4D.若tan α≠1,则α=π42.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是()A.若a≠-b,则|a|≠|b| B.若a=-b,则|a|≠|b|C.若|a|≠|b|,则a≠-b D.若|a|=|b|,则a=-b3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.44.以下说法错误的是()A.如果一个命题的逆命题为真命题,那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题,那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中,真命题的个数一定为偶数D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题5.“如果x、y R∈且x2+y2=0,则x、y全为0”的否命题是()A.若x、y R∈且x2+y2≠0,则x、y全不为0 B.若x、y R∈且x2+y2≠0,则x、y不全为0C.若x、y R∈且x、y全为0,则x2+y2=0 D.若x、y R∈且xy≠0,则x+y≠06.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是___________________,这是________命题.7.下列命题中:①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;②正方形的四条边相等;③若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.其中互为逆命题的有__________;互为否命题的有__________;互为逆否命题的有________.(填序号) 8.写出命题“已知a,b R∈,若a2>b2,则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.二、能力提升9.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是()A.3 B.2 C.1 D.010.有下列四个命题,其中真命题有:①“若x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中真命题的序号为()A.①②B.②③C.①③D.③④11.给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②若x+y≠8,则x≠2或y≠6;③“矩形的对角线相等”的逆命题;④“若xy=0,则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是________.12.判断命题:“若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题的真假.三、探究与拓展13.求证:如果p2+q2=2,则p+q≤2.§1.2.1充分条件与必要条件导学案【学习要求】1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断某些条件之间的关系.【学法指导】充分条件、必要条件是常用的逻辑用语,在数学中有广泛的应用,对于理解数学有很大的帮助.在此引入概念,对于这两个概念的准确理解需要一定的时间体会和思考,对于概念的运用和掌握依赖于后续的学习,不要急于求成,而应在后续的学习中经常借助这些概念表达、阐述和分析.【知识要点】【问题探究】探究点一充分条件、必要条件问题1判断下列两个命题的真假,并思考命题(1)中条件和结论之间的关系:(1)若x>a2+b2,则x>2ab;(2)若ab=0,则a=0.问题2结合充分条件、必要条件的定义,说说你对充分条件与必要条件的理解.问题3判断命题“若x=1,则x2-4x+3=0”中条件和结论的关系,并请你从集合的角度来解释.问题4结合以上分析,请你归纳判断充分条件,必要条件有哪些方法?例1指出下列各组命题中,p是q的什么条件?(充分不必要条件,必要不充分条件,既是充分条件也是必要条件,既不充分也不必要条件)(1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;(2)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除;(3)p:x>1,q:x2>1;(4)p:x,y不全为0,q:x+y≠0.跟踪训练1指出下列命题中,p是q的什么条件?(1)p:x2=2x+1,q:x=2x+1;(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;(3)p:x=1或x=2,q:x-1=x-1;(4)p:sin α>sin β,q:α>β.探究点二充分条件、必要条件与集合的关系问题设集合A={x|x满足条件p},集合B={x|x满足条件q},若A⊆B,则p是q的什么条件?q是p的什么条件?例2是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围;否则,说明理由. 跟踪训练2已知p:3x+m<0,q:x2-2x-3>0,若p是q 的一个充分不必要条件,求m的取值范围.【当堂检测】1.a<0,b<0的一个必要条件为()A.a+b<0 B.a-b>0 C.ab>1 D.ab<-12.如果命题“若A则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的______________条件3.若“x<m”是“(x-1)(x-2)>0”的充分不必要条件,求m的取值范围.4.指出下列各组命题中,p是q的什么条件?(充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分也不必要条件)(1)p:△ABC中,b2>a2+c2,q:△ABC为钝角三角形;(2)p:△ABC中有两个角相等,q:△ABC是正三角形;(3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.【课堂小结】1.充分条件、必要条件的判断方法:(1)定义法:直接利用定义进行判断.(2)等价法:“p⇔q”表示p等价于q,要证p⇒q,只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可;同理要证p⇐q,只需证綈q⇐綈p即可.所以p⇔q,只需綈q⇔綈p.(3)利用集合间的包含关系进行判断.2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.【课后作业】一、基础过关1.“-2<x <1”是“x >1或x <-1”的( )A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .既不是充分条件,也不是必要条件D .既是充分条件,也是必要条件 2.“ab ≠0”是“直线ax +by +c =0与两坐标轴都相交”的( )A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .既是充分条件,也是必要条件D .既不是充分条件,也不是必要条件 3.若綈p 是綈q 的必要条件,则q 是p 的( )A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .既是充分条件,也是必要条件D .既不是充分条件,也不是必要条件 4.下列命题中,真命题是( )A .“x 2>0”是“x >0”的充分条件B .“xy =0”是“x =0”的必要条件C .“|a |=|b |”是“a =b ”的充分条件D .“|x |>1”是“x 2不小于1”的必要条件5.设a ,b 为实数,则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 6.设0<x <π2,则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.设x ,y 是两个实数,命题:“x ,y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A .x +y =2B .x +y >2C .x 2+y 2>2D .xy >1二、能力提升8.不等式(a +x )(1+x )<0成立的一个充分而不必要条件是-2<x <-1,则a 的取值范围是________. 9.设p :x <-1或x >1;q :x <-2或x >1,则綈p 是綈q 的__________条件. 10.设α、β、γ为平面,m 、n 、l 为直线,则对于下列条件: ① α⊥β,α∩β=l ,m ⊥l ;② α∩γ=m ,α⊥β,γ⊥β; ③ α⊥γ,β⊥γ,m ⊥α;④ n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α.其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上). 11.下列各题中,p 是q 的什么条件?说明理由. (1)p :a 2+b 2=0;q :a +b =0.(2)p :p ≤-2或p ≥2;q :方程x 2+px +p +3=0有实根.(3)p :圆x 2+y 2=r 2与直线ax +by +c =0相切;q :c 2=(a 2+b 2)r 2.12.已知p :-2≤x ≤10,q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0),若綈p 是綈q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.三、探究与拓展13.设计如下图所示的两个电路图,条件A :“开关S 1闭合”;条件B :“灯泡L 亮”,问A 是B 的什么条件?§1.2.2 充要条件导学案【学习要求】1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.【学法指导】在数学中,形如“p 是q 的充要条件”的命题是相当普遍的.要证明命题的条件是充要条件,就是既要证明原命题,又要证明原命题的逆命题.证明原命题即证明命题条件的充分性,证明原命题的逆命题,即证明命题条件的必要性.在本节的学习中注意体验数学的等价转化思想,增强逻辑思维能力.【知识要点】1.如果既有 ,又有 ,就记作p ⇔q ,p 是q 的充分必要条件,简称 条件. 2.概括地说,如果 ,那么p 与q 互为充要条件.【问题探究】探究点一 充要条件的判断问题1 已知p :整数a 是6的倍数,q :整数a 是2和3的倍数,那么p 是q 的什么条件?q 又是p 的什么条件?问题2 结合实例说说你对充要条件的理解. 例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?(1)p :b =0,q :函数f (x )=ax 2+bx +c 是偶函数; (2)p :x >0,y >0,q :xy >0; (3)p :a >b ,q :a +c >b +c .跟踪训练1 (1)a ,b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A .ab =0 B .ab >0 C .a 2+b 2=0 D .a 2+b 2>0(2)x >2的一个必要不充分条件是__________;x +y >0的一个充分不必要条件是_________________. (3)“函数y =x 2-2x -a 没有零点”的充要条件是________.探究点二 充要条件的证明例2 已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q (p ≠0且p ≠1),求证数列{a n }为等比数列的充要条件为q =-1. 跟踪训练2 求证:方程x 2+(2k -1)x +k 2=0的两个根均大于1的充要条件是k <-2. 跟踪训练3 求关于x 的方程ax 2+x +1=0至少有一个负实根的充要条件.【当堂检测】1.“lg x >lg y ”是“x >y ”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 2.设{a n }是等比数列,则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 3.设φR ∈,则“φ=0”是“f (x )=cos(x +φ)(x ∈R)为偶函数”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件4.“m =-1”是“直线mx +(2m -1)y +1=0与直线3x +my +3=0垂直”的___________条件. 5.已知直线l 1:x +ay +6=0和l 2:(a -2)x +3y +2a =0,则l 1∥l 2的充要条件是a =________. 6.已知p 、q 是r 的必要条件,s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件,那么 (1)s 是q 的什么条件?(2)r 是q 的什么条件?(3)p 是q 的什么条件?【课堂小结】1.充要条件的判断有三种方法:定义法、等价命题法、集合法. 2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别: ①p 是q 的充要条件,则由p ⇒q 证的是充分性,由q ⇒p 证的是必要性; ②p 的充要条件是q ,则p ⇒q 证的是必要性,由q ⇒p 证的是充分性.(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.【课后作业】一、基础过关1.“x ,y 均为奇数”是“x +y 为偶数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 2.对于非零向量a ,b ,“a +b =0”是“a ∥b ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.一次函数y =-m n x +1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 ( )A .m >1,且n <1B .mn <0C .m >0,且n <0D .m <0,且n <04.平面α∥平面β的一个充分条件是 ( )A .存在一条直线a ,a ∥α,a ∥βB .存在一条直线a ,a ⊂α,a ∥βC .存在两条平行直线a 、b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥αD .存在两条异面直线a 、b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α 5.已知a ,b ,c R ∈,“2b =a +c ”是“a ,b ,c 成等差数列”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.在△ABC 中,“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC →<0”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 7.对任意实数a ,b ,c ,给出下列命题:①“a =b ”是“ac =bc ”的充要条件;②“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件;③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件;④“a <5”是“a <3”的必要条件.将所有正确命题的序号填在横线上________. 二、能力提升8.已知命题p :集合{x |x =cosn π3,n Z ∈}只有4个元素,q :集合{y |y =x 2+1,x R ∈}与集合{x |y =x 2+1}相等,则新命题:①p 或q ;②p 且q ;③非p ;④非q 中真命题的个数为( ) A .0B .1C .2D .39.已知p :12≤x ≤1,q :(x -a )(x -a -1)>0,若p 是綈q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________.10.设A 是B 的充分不必要条件,C 是B 的必要不充分条件,D 是C 的充要条件,则D 是A 的__________条件.11.求不等式ax 2+2x +1>0恒成立的充要条件.12.求证:一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.三、探究与拓展13.设x ,y R ∈,求证|x +y |=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.§1.3.1 且(and)~1.3.2 或(or) 导学案【学习要求】1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题,并判断新命题的真假.【学法指导】用集合的“交”、“并”之间的关系理解由“且”、“或”构成的命题,建立命题和集合运算之间的关系,体会逻辑用语在表述中的作用,注意逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”的区别与联系,以便准确地表达相关的数学知识.【知识要点】1.“p且q”就是用联结词“”把命题p和命题q联结起来,得到的新命题,记作.2.“p或q”就是用联结词“”把命题p和命题q联结起来,得到的新命题,记作.3.真值表【问题探究】探究点一p∧q命题问题1观察三个命题:①5是10的约数;②5是15的约数;③5是10的约数且是15的约数,它们之间有什么关系?问题2分析问题1中三个命题的真假,并归纳p∧q型命题的真假和命题p,q真假的关系.例1将下列命题用“且”联结成新命题,并判断它们的真假:(1)p:平行四边形的对角线互相平分,q:平行四边形的对角线相等;(2)p:菱形的对角线互相垂直,q:菱形的对角线互相平分;(3)p:35是15的倍数,q:35是7的倍数.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它的命题p,q,并判断它们的真假.(1)(n-1)·n·(n+1) (n N∈*)既能被2整除,也能被3整除;(2)∅是{∅}的元素,也是{∅}的真子集.探究点二p∨q命题问题1观察三个命题:①3>2;②3=2;③3≥2,它们之间有什么关系?问题2分析问题1中三个命题的真假,并归纳p∨q型命题的真假与p、q真假的关系.例2分别指出下列命题的形式及命题的真假:(1)相似三角形的面积相等或对应角相等;(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集;(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.跟踪训练2对下列各组命题,用逻辑联结词“或”构造新命题,并判断它们的真假.(1)p:正数的平方大于0,q:负数的平方大于0;(2)p:3>4,q:3<4;(3)p:π是整数,q:π是分数.探究点三p∨q与p∧q的应用问题如果p∧q为真命题,那么p∨q一定是真命题吗?反之,如果p∨q为真命题,那么p∧q一定是真命题吗?例3设有两个命题.命题p:不等式x2-(a+1)x+1≤0的解集是∅;命题q:函数f(x)=(a+1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题,p∨q为真命题,求a的取值范围.跟踪训练3本例中其它条件不变,把“p∧q为假命题,p∨q为真命题”改为“p∨q为真命题”,求a的取值范围. 【当堂检测】1.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.给出下列命题:①2>1或1>3;②方程x2-2x-4=0的判别式大于或等于0;③25是6或5的倍数;④集合A∩B是A的子集,且是A∪B的子集.其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.“p是假命题”是“p或q为假命题”的___________条件.4.p:1x-3<0,q:x2-4x-5<0,若p且q为假命题,则x的取值范围是_______________________.【课堂小结】1.正确理解逻辑联结词是解题的关键,日常用语中的“或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的“或”两个中至少选一个.2.一个复合命题,从字面上看不一定是“或”、“且”字样,这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词的关系,如“或者”,“x=±3”、“≤”的含义为“或”;“并且”,“綊”的含义为“且”.【课后作业】一、基础过关1.“p是真命题”是“p∧q为真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题p:“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件,命题q:△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件,则() A.p真q假B.p∧q为真C.p∨q为假D.p假q真3.命题“ab≠0”是指()A.a≠0且b≠0B.a≠0或b≠0C.a、b中至少有一个不为0 D.a、b不都为04.下列命题:①5>4或4>5;②9≥3;③若a>b,则a+c>b+c;④菱形的两条对角线互相垂直,其中假命题的个数为()A.0 B.1 C.2 D.35.“1不大于2”可用逻辑联结词表示为____________.6.给定下列命题:p:0不是自然数,q:2是无理数,在命题“p∧q”“p∨q”中,真命题是__________.二、能力提升7.对于命题p:对任意的实数x,有-1≤sin x≤1,q:存在一个实数使sin x+3cos x=π成立,下列结论正确的是()A.p假q真B.p真q假C.p、q都假D.p、q都真。