6-7第七节 数学归纳法(理)(2015年高考总复习)
高考数学一轮复习 第六章 第七节 数学归纳法课件 理 新人教版
数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．
[基础自测自评] 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n∈N，n≥3)，第一步应验证 ( A．n＝1 B．n＝2 )
C．n＝3
C
D．n＝4
1 1 2． (教材习题改编)已知 n 为正偶数， 用数学归纳法证明 1－ ＋ － 2 3 1 1 1 1 1 ＋…－ ＝2 ＋ ＋…＋ 时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 4 n n＋2 n＋4 2n 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 ( )
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
[规律方法] 用数学归纳法证明等式的规则
(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 B [因为n为偶数，故假设n＝k成立后，再证n＝k＋2时等式 成立．]
1 1 1 1 3．已知 f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ 2，则 n n＋1 n＋2 n ( 1 1 A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ 2 3 1 1 1 B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ ＋ 2 3 4 1 1 C．f(n)中共有 n －n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ 2 3
左边＝右边，等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k
2015高考数学配套课件：6-7 数学归纳法
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十二页，编辑于星期五：十五点 八分。
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考点 解密
研考向 要点
[证明]
(1)当n＝1时，因为a2是方程a
2 2
＋a2－1＝0的正根，所以
探究
a1<a2.
悟典题
能力 提升
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak<ak＋1，
提素能 高效
书
业
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
有 限
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
公 司
菜 单 隐藏
第二十一页，编辑于星期五：十五点 八分。
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考点 解密
研考向
要点
探究
解析：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；
悟典题 能力 提升
当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；
抓主干 考点 解密 研考向 要点 探究 悟典题 能力 提升 提素能 高效 训练
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学（理）
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
第十四页，编辑于星期五：十五点 八分。
高考总复习 A 数学（理）
抓主干
考点
解密
证明：(1)当n＝1时，∵a2是a22＋a2－1＝0的负根，
高效
训练
＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
山 东
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，
(广东专用)高考数学总复习 第六章第七节 数学归纳法及其应用课件 理
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
第一个值n0(n0∈N*) (1)(归纳奠基)证明当n取_____________________ 时命题成立； (2)( 归纳递推 ) 假 设 n ＝ k(k≥n0 ， k∈N*) 时 命 题 成 立， 证 明 当
递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递
推．两者缺一不可．另外，在第二步中证明n＝k＋1时命题成
立，必须利用归纳假设，否则就不是数学归纳法．
1 1． (教材改编题)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n 2 －2)条时，第一步检验 n 等于( ) A．1 B．2 C．3 D．0
当 n＝ k＋ 1 时，左边 k＋ 12 12 22 k2 ＝ ＋ ＋„＋ ＋ 1· 3 3· 5 2k－ 12k＋ 1 2k＋ 12k＋ 3 k k＋ 1 k＋ 12 ＝ ＋ 2 2k＋ 1 2k＋ 12k＋ 3 k k＋ 12k＋ 3＋ 2k＋ 12 ＝ 2 2k＋ 12k＋ 3 k＋ 12k2＋ 5k＋ 2 ＝ 2 2k＋ 12k＋ 3 k＋ 1k＋ 2 ＝ ， 2 2k＋ 3 所以当 n＝ k＋ 1 时，命题成立． 由 ①②可得对任意 n∈N*，等式成立．
【答案】 C
1 1 1 1 4．(2012· 揭阳模拟3 4 3n－1 f(n＋1)－f(n)＝________.
1 1 1 1 【解析】 ∵f(n)＝ 1＋ ＋ ＋ ＋„＋ ， 2 3 4 3n－ 1 1 1 1 1 1 1 ∴ f(n＋ 1)＝ 1＋ ＋ ＋ „＋ ＋ ＋ ＋ .∴ f(n＋ 1) 2 3 3n－ 1 3n 3n＋ 1 3n＋ 2 1 1 1 － f(n)＝ ＋ ＋ . 3n 3n＋ 1 3n＋ 2
【全套解析】高三数学一轮复习 6-7 数学归纳法课件 (理) 新人教A版
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热点之二
用数学归纳法证明有关问题
用数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式、不等式、整除性 问题和几何问题等，应用数学归纳法要注意其基本步骤.
1 1 解析：f(n)表示n项的和，则f(n＋1)＝ ＋ n＋1＋1 n＋1＋2 1 1 ＋…＋ ＋ . n＋1＋n n＋1＋n＋1 ∴f(n＋1)－f(n) 1 1 1 ＝ ＋ － 2n＋1 2n＋2 n＋1 1 1 ＝ － . 2n＋1 2n＋2
答案：D
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第七节
数学归纳法
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1.了解数学归纳法的原因，掌握用数学归纳法证 明问题的基本步骤． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
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1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论 的推理方法叫归纳法．根
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＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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即时训练用数学归纳法证明： n 1 1 1 1 1＋ ≤1＋ ＋ ＋…＋ n≤ ＋n(n∈N*)． 2 2 3 2 2 1 1 证明：(1)当n＝1时，左式＝1＋ ，右式＝ ＋1， 2 2
1 1 1 4．用数学归纳法证明：“1＋ ＋ ＋…＋ n <n(n∈N*， 2 3 2 －1 n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增 加的项数是________．
高考数学 6-7数学归纳法课件 理 新人教B版
1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时， 从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是( A． 2k＋ 2 C． 2k＋ 1 B．2k＋3 D．(2k＋2)＋(2k＋3) )
解析：当n＝k时，左边共有2k＋1个连续自然数相加， 即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，
所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋
1 答案：an＝ 2n－12n＋1
5．(2013年徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn 能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需 证n＝________时，命题亦真． 解析：∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k
＋1时成立．
即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)． 由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．
下面用数学归纳法予以证明： ①当 n＝1 时，命题显然成立． ②假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即有 ak＝k(k＋1)，则当 n＝k＋1 时，由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)， 得[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，
－
)
B．k 项 D．2k 项
1 1 1 1 1 1 解析：1＋ ＋ ＋…＋ k＋1 －1＋2＋3＋…＋ k 2 3 2 －1 2 －1
1 1 1 ＝ k＋ k ＋…＋ k＋1 ，共增加了 2k 项，故选 D. 2 2 ＋1 2 －1
答案：D
3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可 推得当 n＝ k＋ 1时该命题也成立，现已知 n ＝ 5 时，该命题不成立，那
(1)写出a1，a2，a3；
高考理科第一轮复习课件(6.7数学归纳法)
1.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4,n∈N+)第一步应验证n等
于(
(A)1
)
(B)2 (C)3 (D)4
【解析】选D.由n≥4,n∈N+可知,应验证n=4时不等式成立.
2.若 f n 1 1 1
1 则f(1)为( n N ， 2 3 5n 1 1 A 1 B 4 1 1 1 1 C 1 D 1 4 2 3 4 【解析】选D. f 1 1 1 1 1 . 2 3 4
(3n 2＋ ＋ 11n 10)
对一切n∈N+都成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，由上面可知等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1,k∈N+)时等式成立，
即 122＋232＋＋k k＋ 2 ＝ k k 1 3k 2＋ ＋ ， 1 11k 10
12
则当n＝k+1时，
2k 1 2k 2 k 1
=(k+1)(k+2)„(k+k)·2(2k+1), 所以多乘了2(2k+1).
5．在数列{an}中，a1＝ 1 且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，
3
a4，猜想an的表达式，其结果是. 【解析】由 a1＝1 且Sn=n(2n-1)an得， 2＝ 1 ，a 3＝ 1 ，a 4＝ 1 ， a
)
3．用数学归纳法证明：＋ 1 1＋ ＋ 1
2 3
1 n (n∈N+且n>1) n 2 1
时，在第二步证明从 n＝k 到 n＝k＋1 成立时，左边增加 的项数是( (A)2k ) (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1
6.7第七节 数学归纳法
(2)证明：an＝2－21n(n∈N*)， ①当 n＝1 时，a1＝2－211＝32，结论成立． ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即 ak＝2－21k， 那么当 n＝k＋1 时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1， ∵a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak， ∴2ak＋1＝ak＋2，∴2ak＋1＝4－21k，∴ak＋1＝2－2k1＋1， ∴当 n＝k＋1 时结论成立． 由①②知对于任意正整数 n，结论都成立．
1．数学归纳法证题时，误把第一个值 n0 认为是 1，如证明 多边形内角和定理(n－2)π 时，初始值 n0＝3.
2．数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必 须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证
法等方法；③解题时要搞清从 n＝k 到 n＝k＋1 增加了哪些项或 减少了哪些项．
解析：数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方 法，由此可知选项 C 符合题意．
答案：C
3．若 f(n)＝1＋12＋13＋…＋6n1－1(n∈N＋)，则 f(1)为(
)
A．1
1 B.5
C．1＋12＋13＋14＋15
D．非以上答案
解析：等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数，且最大 分母为 6n－1，则当 n＝1 时，最大分母为 5，故选 C.
2015届高考数学总复习第七章推理与证明第3课时数学归纳法教学案(含最新模拟、试题改编)
第七章 推理与证明第3课时 数学归纳法(对应学生用书(理)97～98页)考情分析考点新知理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1. 若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N )，则n ＝1时，f(n)＝________.答案：1＋12＋13解析：当n ＝1时，f(1)＝1＋12＋13.2. (选修22P 88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．答案：5解析：当n ≤4时，2n ≤n 2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n 0应取为5.3. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝________.答案：13k ＋13k ＋1＋13k ＋2解析：f(k ＋1)－f(k)＝1＋12＋13＋14＋…＋13（k ＋1）－1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14＋…＋13k －1＝13k ＋13k ＋1＋13k ＋2. 4. 用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n －y n 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成____．答案：2 当n ＝2k(k ∈N *)时结论成立，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除解析：因为n 为正偶数，故取第一个值n ＝2，第二步假设n 取第k 个正偶数成立，即n ＝2k ，故假设当n ＝2k(k ∈N *)时结论成立，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除．5. 已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________________，由此猜想a n ＝________．答案：37、38、39、310 3n ＋5解析：a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝35＋5，猜想a n ＝3n ＋5.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： (1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3) 由(1)(2)得出结论． [备课札记]题型1 证明等式例1 用数学归纳法证明： 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N )． 证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．② 假设当n ＝k(k ∈N )时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，上式表明当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n ∈N 均成立． 变式训练当n ≥1，n ∈N *时，(1) 求证：C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋(n －1)C n －1n x n －2＋nC n n xn －1＝n(1＋x)n －1； (2) 求和：12C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋(n －1)2C n －1n ＋n 2C nn .(1) 证明：设f(x)＝(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n ，①①式两边求导得n(1＋x)n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋(n －1)C n －1n x n －2＋nC n n xn －1.② ①式等于②式，故等式成立．(2) 解：②两边同乘x 得nx(1＋x)n －1＝C 1n x ＋2C 2n x 2＋3C 3n x 3＋…＋(n －1)C n －1n xn －1＋nC n n x n.③ ③式两边求导得n(1＋x)n －1＋n(n －1)x(1＋x)n －2＝C 1n ＋22C 2n x ＋32C 3n x 2＋…＋(n －1)2C n －1n x n －2＋n 2C n n xn －1.④在④中令x ＝1，则12C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋(n －1)2C n －1n ＋n 2C n n ＝n·2n －1＋n(n －1)2n －2＝2n －2(2n ＋n 2－n)＝2n －2·n(n ＋1)． 题型2 证明不等式例2 (选修2-2P 91习题6改编)设n ∈N *，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，试比较f(n)与n ＋1的大小．解：当n ＝1，2时f(n)<n ＋1；当n ≥3时f(n)>n ＋1.下面用数学归纳法证明： ① 当n ＝3时，显然成立；② 假设当n ＝k(k ≥3，k ∈N )时，即f(k)>k ＋1，那么，当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)>k ＋1＋1k ＋1＝k ＋2k ＋1>k ＋2k ＋2＝k ＋2，即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②知，对任何n ≥3，n ∈N 不等式成立．备选变式（教师专享）用数学归纳法证明a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除(n ∈N *)． 证明：① 当n ＝1时，a 2＋(a ＋1)＝a 2＋a ＋1可被a 2＋a ＋1整除．② 假设n ＝k(k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a·a k ＋1＋a·(a ＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a 2＋a ＋1整除，(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1也能被a 2＋a ＋1整除，∴ a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1能被a 2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时命题也成立，∴ 对任意n ∈N *原命题成立．题型3 证明整除例3 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被36整除． 证明：① 当n ＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．② 假设n ＝k 时，f(k)能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除．所以n ＝k ＋1时，f(n)能被36整除．由①②知，对任何n ∈N ，f(n)能被36整除． 备选变式（教师专享）已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1) 求数列{b n }的通项公式b n ；(2) 设数列{a n }的通项a n ＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋1b n (其中a ＞0且a ≠1)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13log a b n ＋1的大小，并证明你的结论.解：(1) 设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧b 1＝1，10b 1＋10（10－1）2d ＝145Þ⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，d ＝3， ∴ b n ＝3n －2. (2) 由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a ⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2 ＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋1）⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2而13log a b n ＋1＝log a 33n ＋1，于是，比较S n 与13log a b n ＋1的大小比较(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2与33n ＋1的大小 . 取n ＝1，有1＋1＝38>34＝33×1＋1， 取n ＝2，有(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14>38>37＝33×2＋1. 推测 (1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2＞33n ＋1，(*) ① 当n ＝1时，已验证(*)式成立；② 假设n ＝k(k ≥1)时(*)式成立，即(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2＞33k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋13（k ＋1）－2>33k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k ＋1＝3k ＋23k ＋133k ＋1. ∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋23k ＋133k ＋13－(33k ＋4)3＝（3k ＋2）3－（3k ＋4）（3k ＋1）2（3k ＋1）2＝9k ＋4（3k ＋1）2>0，∴ 33k ＋13k ＋1(3k ＋2)>33k ＋4＝33（k ＋1）＋1，从而(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k ＋1>33（k ＋1）＋1，即当n ＝k ＋1时，(*)式成立．由①②知(*)式对任意正整数n 都成立．于是，当a ＞1时，S n ＞13log a b n ＋1，当 0＜a ＜1时，S n ＜13log a b n ＋1.题型4 归纳、猜想与证明例4 已知数列{a n }满足a 1＝1，且4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9(n ∈N )． (1) 求a 2，a 3，a 4的值；(2) 由(1) 猜想{a n }的通项公式，并给出证明．解：(1) 由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9，得a n ＋1＝9－2a n 4－a n ＝2－1a n －4，求得a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2) 猜想a n ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝2－1a k －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6（k ＋1）－52（k ＋1）－1，所以当n＝k ＋1时猜想也成立．综合①②，猜想对任何n ∈N *都成立． 备选变式（教师专享）已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N )，g(n)＝2(n ＋1－1)(n ∈N )．(1) 当n ＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)； (2) 由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论． 解：(1) 当n ＝1时，f(1)>g(1)； 当n ＝2时，f(2)>g(2)； 当n ＝3时，f(3)>g(3)．(2) 猜想：f(n)>g(n)(n ∈N *)，即1＋12＋13＋ (1)>2(n ＋1－1)(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(2－1)，f(1)>g(1)．②假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋1k >2(k ＋1－1)．则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>2(k ＋1－1)＋1k ＋1＝2k ＋1＋1k ＋1－2，而g(k ＋1)＝2(k ＋2－1)＝2k ＋2－2， 下面转化为证明：2k ＋1＋1k ＋1>2k ＋2. 只要证：2(k ＋1)＋1＝2k ＋3>2（k ＋2）（k ＋1）， 需证：(2k ＋3)2>4(k ＋2)(k ＋1)，即证：4k 2＋12k ＋9>4k 2＋12k ＋8，此式显然成立． 所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立． 综上可知：对n ∈N *，猜想都成立，即1＋12＋13＋ (1)>2(n ＋1－1)(n ∈N *)成立．1. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n ，其中n>1且n ∈N *，在验证n ＝2时，式子的左边等于________．答案：1＋12＋13⎝⎛⎭⎫或116 解析：当n ＝2时，式子的左边等于1＋12＋122－1＝1＋12＋13.2. 用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步验证的表达式为________．答案：21＋1≥12＋1＋2(或22≥4或4≥4也算对)解析：当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2.3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是____． 答案：假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确解析：因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确．4. (2013·广东理)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1) 求a 2的值；(2) 求数列{a n }的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.∴ 当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 2－13－1－23＝a 2－2.又a 1＝1，∴ a 2＝4.(2) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.∴ 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n＝na n ＋1－n （n ＋1）（n ＋2）3， ①∴ 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －（n －1）n （n ＋1）3， ②由①－②，得 2S n －2S n －1＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)． ∵ 2a n ＝2S n －2S n －1，∴ 2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn＝1. ∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以首项为a 11＝1，公差为1的等差数列.∴ a nn ＝1＋1×(n －1)＝n ，∴a n ＝n 2(n ≥2)，当n ＝1时，上式显然成立． ∴ a n ＝n 2，n ∈N * .(3) 证明：由(2)知，a n ＝n 2，n ∈N * ，① 当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴ 原不等式成立. ② 当n ＝2时， 1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴ 原不等式亦成立.③ 当n ≥3时， ∵ n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴ 1n 2<1（n －1）·（n ＋1）， ∴1a 1＋1a 2＋...＋1a n ＝112＋122＋ (1)2 <1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）·n ＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝⎛⎭⎫11－13＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋12(13－15)＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝1＋12(11－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－1n －1n ＋1＝74＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n －1n ＋1<74， ∴ 当n ≥3时，原不等式亦成立.综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.1. 用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N *)”，当n ＝k ＋1时，应在n ＝k 时的等式左边添加的项是________．答案：(k ＋1)2解析：[12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2]－(12＋22＋…＋k 2)＝(k ＋1)2.2. 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2＞1(n ∈N *且n ＞1)．证明：①当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝1312＞1，∴n ＝2时不等式成立；②假设当n ＝k(k ≥2)时不等式成立， 即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2 ＝1k ＋1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2－1k＞1＋(2k ＋1)·1k 2＋1－1k ＝1＋k 2＋k －1k （k 2＋1）＞1. 综上，对于任意n ∈N *，n>1不等式均成立，原命题得证．3. 设函数f(x)＝x －xlnx ，数列{a n }满足0＜a 1＜1，a n ＋1＝f(a n )．求证： (1) 函数f(x)在区间(0，1)是增函数； (2) a n ＜a n ＋1＜1.证明：(1) f(x)＝x －xlnx ，f ′(x)＝－lnx ，当x ∈(0，1)时，f ′(x)＝－lnx ＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数．(2) (用数学归纳法)①当n ＝1时，0＜a 1＜1，a 1ln a 1＜0，a 2＝f(a 1)＝a 1－a 1lna 1＞a 1. 由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且f(1)＝1，得f(x)在区间(0，1)是增函数，a 2＝f(a 1)＝a 1－a 1lna 1＜f(1)＝1，即a 1＜a 2＜1成立．②假设当n ＝k(k ∈N *)时，a k ＜a k ＋1＜1成立， 即0＜a 1≤a k ≤a k ＋1＜1，那么当n ＝k ＋1时，由f(x)在区间(0，1]上是增函数，得0＜a 1≤a k ≤a k ＋1＜1， 得f(a k )＜f(a k ＋1)＜f(1)，而a n ＋1＝f(a n )，则a k ＋1＝f(a k )，a k ＋2＝f(a k ＋1)，即a k ＋1＜a k ＋2＜1，也就是说当n ＝k ＋1时，a n ＜a n ＋1＜1也成立．由①②可得对任意的正整数n ，a n ＜a n ＋1＜1恒成立．4. (2013·江苏改编)设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k k 个，即当（k －1）k 2<n ≤k （k ＋1）2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，用数学归纳法证明S i(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)(i ∈N *)．证明：①当i ＝1时，S i(2i ＋1)＝S 3＝－1·(2＋1)＝－3， 故原式成立．②假设当i ＝m 时，等式成立，即S m(2m ＋1)＝－m·(2m ＋1)． 则当i ＝m ＋1时，S (m ＋1)[2(m ＋1)＋1]＝S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2 ＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)，故原式成立．综合①②得：S i(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)．1. 数学归纳法是专门证明与整数有关命题的一种方法，他分两步，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两步缺一不可．2. 运用数学归纳法时易犯的错误①对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错；②没有利用归纳假设；③关键步骤含糊不清，“假设n ＝k 时结论成立，利用此假设证明n ＝k ＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性和规范性．。
第六章 第七节 数学归纳法(理)
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1 1 1 1．(教材习题改编 已知 为正偶数，用数学归纳法证明 －2＋3－4＋… ． 教材习题改编 已知n为正偶数 用数学归纳法证明1－ 教材习题改编)已知 为正偶数， 1 1 1 1 为偶数)时 －n＝2( ＋ ＋…＋2n)时，若已假设 ＝k(k≥2且k为偶数 时 时 若已假设n＝ ≥ 且 为偶数 n＋2 n＋4 ＋ ＋ 命题为真， 命题为真，则还需要用归纳假设再证 A．n＝k＋1时等式成立 ． ＝ ＋ 时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 ． ＝ ＋ 时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 ． ＝ ＋ 时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 ． ＝ ＋ 时等式 时等式成立 ( )
第 六 章 不 等 式、 推 理 与 证 明
第 七 节 数 学 归 纳 法 (理)
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招
提 能 力
我 来 演 练
[备考方向要明了 备考方向要明了] 备考方向要明了 考 什 么 了解数学归纳法的原理， 了解数学归纳法的原理 ， 能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题. 简单的数学命题
(
)
解析：由n＝1时，左＝1＋2＋22＋23. 解析： ＝ 时 ＋ ＋ 答案： 答案： D
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1 1 1 1 3．已知 ．已知f(n)＝n＋ ＝ ＋ ＋…＋n2，则 n＋1 n＋2 ＋ ＋ 1 1 A．f(n)中共有 项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 ． 中共有n项 中共有 ＝ 时 ＝ 1 1 1 B．f(n)中共有 ＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 ． 中共有n＋ 项 中共有 ＝ 时 ＝ 1 1 C．f(n)中共有 2－n项，当n＝2时，f(2)＝2＋3 ． 中共有n 中共有 项 ＝ 时 ＝ 1 1 1 D．f(n)中共有 2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝2＋3＋4 ． 中共有n 中共有 ＋ 项 ＝ 时 ＝
第六章 第七节 数学归纳法(理)
×1×2× × ×
22＋42＋…＋(2k)2＋(2k＋2)2 ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ k(k＋1)(2k＋1)＋4(k＋1)2 ＋ ＋ ＋ ＋ (k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)] ＋ ＋ ＋ ＋ (k＋1)(2k2＋7k＋6)＝ ＋ ＋ ＝ (k＋1) (k＋2)(2k＋3)＝ ＋ ＋ ＋ ＝
1.用数学归纳法证明 用数学归纳法证明 22＋42＋62＋…＋(2n)2＝ ＋ (n＋1)(2n＋1). ＋ ＋
证明： 当 ＝ 时 左边＝ 证明：(1)当n＝1时，左边＝22＝4，右边＝ ，右边＝ 3＝4， ＝ ， ∴左边＝右边，即n＝1时，等式成立 左边＝右边， ＝ 时 等式成立. (2)假设当 ＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立， 假设当n＝ ∈ 时等式成立， 假设当 时等式成立 即22＋42＋62＋…＋(2k)2＝ ＋ 那么当n＝ ＋ 时 那么当 ＝k＋1时， k(k＋1)(2k＋1)， ＋ ＋ ，
数学归纳法的两个步骤各有何作用？ 数学归纳法的两个步骤各有何作用？ 提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想， 提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想， 第一步是递推基础，也叫归纳奠基， 第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递 推的依据，也叫归纳递推 两者缺一不可 两者缺一不可. 推的依据，也叫归纳递推.两者缺一不可
由此猜测第n个不等式为 由此猜测第 个不等式为
(n∈N*). ∈
解析： ＝ 解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1， ＝ ＝ ， 可猜测： 可猜测：
答案： 答案：1+
5.记凸 边形的内角和为 ，则凸 ＋1边形的内角和 ＋1)＝ 记凸k边形的内角和为 边形的内角和f(k＋ ＝ 记凸 边形的内角和为f(k)，则凸k＋ 边形的内角和 f(k)＋ ＋ .
【步步高】2015届高考数学总复习 7.6数学归纳法课件 理 新人教B版
2k＋1 2k＋2 2k＋2 1 1 1 1 (1＋3)(1＋5)· „· (1＋ )[1＋ ]> 2 · ＝ 2k－1 2k＋1－1 2k＋1 2 2k＋1 4k2＋8k＋4 4k2＋8k＋3 ＝ > 2 2k＋1 2 2k＋1 2k＋3 2k＋1 2k＋1＋1 ＝ ＝ . 2 2 2k＋1 ∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 已知函数 f(x)＝ax 3 2 1 － x 的最大值不大于 ，又 2 6 1 1 1 当 x∈[ ， ]时，f(x)≥ . 4 2 8 (1)求 a 的值； 1 (2)设 0<a1< ， an＋ 1 ＝ f(an)， 2 1 n∈N＋，证明：an< . n＋1
②假设当 n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不 1 等式 0<ak< 成立． k＋ 1 3 2 因为 f(x)＝ax－ x 的对称轴为直线 2 1 x＝3，
3 由题意，知 f(x)＝ax－ x2＝ 2 3 a 2 a2 － (x－ ) ＋ . 2 3 6 1 a a2 1 又 f(x)max≤ ，所以 f( )＝ ≤ . 6 3 6 6 所以 a2≤1. (1)解
1 1 1 又 x∈[ ， ]时，f(x)≥ ， 4 2 8
1 1 f2≥8， 所以 f1≥1， 4 8 a 3 1 2－8≥8， 即 a－ 3 ≥1， 4 32 8
题型分类·深度剖析
题型三 归纳—猜想—证明
思维启迪 解析 思维升华
【例 3】
已知数列{an}的前 n an 1 项和 Sn 满足： Sn＝ ＋a －1， 2 通过计算 a1，a2，a3 寻求规 n 且 an>0，n∈N＋. (1)求 a1，a2，a3，并猜想{an} 的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第六章+不等式、推理与证明 第7节 数学归纳法及其应用
(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n ＝k 到 n＝k＋1 时，项数都增加了一项( )
(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－ 1”，验证 n＝1 时，左边式子应为 1＋2＋22＋23( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
第十七页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1) ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)． 这就是说当 n＝k＋1 时，等式成立． 根据(1)、(2)知，对 n∈N*，原等式成立．
第十八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 2 用数学归纳法证明简单的不等式 【 例 2 】 用 数 学 归 纳 法 证 明 对 任 意 n ∈ N* ， 2＋2 1·4＋4 1·…·2n2＋n 1> n＋1. 【思路点拨】 按数学归纳法的证明步骤进行证明．
第二十六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(2)①由(1)知，当 n＝1,2,3 时，通项公式成立． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立， 即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1. 由 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak2＋1＋ak1＋1－a2k－a1k， 将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式并整理得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0， 解得：ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1(an＞0)． 即当 n＝k＋1 时，通项公式也成立．
A．n＝k＋1 时等式成立 B．n＝k＋2 时等式成立 C．n＝2k＋2 时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 【解析】 k 为偶数，则 k＋2 为偶数，故选 B. 【答案】 B
第十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【优化方案】2015年高考数学 第六章 第7课时 数学归纳法知能演练轻松闯关 新人教A版
【优化方案】2015年高考数学 第六章 第7课时 数学归纳法知能演练轻松闯关 新人教A 版[基础达标]1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析：选C ．令n 0分别取2，3，5，6，依次验证即得．2．(2014·某某某某联考)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)解析：选B ．∵n ＝k 为偶数，∴下一个偶数为n ＝k ＋2.3．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：选C ．边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．4．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·2·…·(2n －1)(n ∈N＋)”时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1B ．2k ＋3C ．2(2k ＋1)D ．2(2k ＋3)解析：选C ．左边应增添的式子等于（k ＋2）（k ＋3）·…·[（k ＋1）＋（k ＋1）]（k ＋1）（k ＋2）·…·（k ＋k ）＝（k ＋2）（k ＋3）·…·（2k ）（2k ＋1）（2k ＋2）（k ＋1）（k ＋2）·…·（2k ）＝2(2k ＋1)．5．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取n ＝________.解析：由等比数列前n 项和公式得，1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝1－12n 12>12764， ∴12n <1128，∴n >7.又n ∈N *，∴n ＝8. 答案：86．(2014·皖南三校联考)设平面上n 个圆周最多把平面分成f (n )片(平面区域)，则f (2)＝________，f (n )＝________．(n ≥1，n 是自然数)解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f (n )片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n (n ≥1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，而f (1)＝2，从而f (n )＝n 2－n ＋2.答案：4 n 2－n ＋27．用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．证明：(1)当n ＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即(3k ＋1)·7k －1能被9整除，则当n ＝k ＋1时，[3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1＝(3k ＋1)·7k ＋1－1＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k －1＋6(3k ＋1)·7k ＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k －1＋9·(2k ＋3)·7k .由于(3k ＋1)·7k －1和9·(2k ＋3)·7k 都能被9整除，所以(3k ＋1)·7k －1＋9·(2k ＋3)·7k 能被9整除，即当n ＝k ＋1时，命题也成立，故(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．8．设f (x )＝2x x ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求x 2，x 3，x 4的值；(2)归纳并猜想{x n }的通项公式；(3)用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)x 2＝f (x 1)＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24， x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25. (2)根据计算结果，可以归纳猜想出x n ＝2n ＋1. (3)证明：①当n ＝1时，x 1＝21＋1＝1， 与已知相符，归纳出的公式成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1， 那么，当n ＝k ＋1时，有x k ＋1＝2x k x k ＋2＝2×2k ＋12k ＋1＋2＝42k ＋4＝2（k ＋1）＋1， 所以，当n ＝k ＋1时公式也成立．由①②知，对任意n ∈N ＋，有x n ＝2n ＋1成立． 9．由下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，1＞12，猜想成立； (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1＞k 2. 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋2k 2k ＋1＝k ＋12， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立，所以对任意的n ∈N *，不等式都成立．[能力提升]1．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13. ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1. (2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立．则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即对于n ∈N *，点P n 都在直线l 上．2．(2014·某某联盟第一次联考)已知各项均为正的数列{a n }的首项a 1＝1，对任意的正整数n 都有(n 2＋n )(a 2n －a 2n ＋1)＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n <2n .解：(1)法一：由(n 2＋n )(a 2n －a 2n ＋1)＝1，得a 2n －a 2n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴a 2n －a 2n －1＝1n －1n －1， ∴a 2n ＝(a 2n －a 2n －1)＋(a 2n －1－a 2n －2)＋…＋(a 23－a 22)＋(a 22－a 21)＋a 21＝1n －1n －1＋1n －1－1n －2＋…＋13－12＋12－1＋1＝1n .∵a n>0，∴a n＝1n .法二：∵a1＝1，a n>0，(n2＋n)(a2n－a2n＋1)＝1，∴a2＝12，a3＝13，a4＝12＝14，…，猜想a n＝1n.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，∵a1＝1，∴n＝1时，a n＝1n .②假设n＝k时所证成立，即a k＝1k ，当n＝k＋1时，∵(k2＋k)(a2k－a2k＋1)＝1，∴a2k＋1＝a2k－1k2＋k＝1k－1k2＋k＝1k＋1.∴a k＋1＝1k＋1.故n＝k＋1时，a n＝1n仍成立，由①②可知，对任意n∈N*，a n＝1n成立．(2)证明：法一：∵1n＝22n<2n＋n－1＝2(n－n－1)，∴S n＝1＋12＋13＋…＋1n<2(1－0＋2－1＋3－2＋…＋n－n－1)＝2n.法二：∵a n＝1n，∴S n＝1＋12＋13＋…＋1n.①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左<右，∴n＝1时，S n<2n.②假设n＝k时所证成立，即S k<2k，当n＝k＋1时，S k＋1＝1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1<2k＋1k＋1＝2k（k＋1）＋1k＋1<2k＋1＋1k＋1＝2（k＋1）k＋1＝2k＋1.故n＝k＋1时，不等式仍成立．由①②可知，对任意n∈N*，不等式成立．。
第六章 第七节 数学归纳法(理)
(a≠1)， ( )
解析：因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以验证n＝1时，
等式左端计算所得的项是1＋a＋a2. 答案：C
3.利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝ 2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N+”时，从“n＝k”变到 “n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是 A.2k＋1 C. B.2(2k＋1) D. ( )
(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N+) 时命题成立，推证当n＝ k＋1 时
命题也成立，从而推出对所有的 n≥n0，n∈N+ 命题成立.
[思考探究] (1)数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么？ 提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是
递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归
纳递推．两者缺一不可． (2)归纳推理与数学归纳法有什么区别与联系？ 提示：归纳推理是合情推理的一种方式，得到的结论不一 定正确，不可以作为数学证明的方法，数学归纳法是科学 的方法，可以用来证明与正整数n有关的问题，但在某些 与正整数有关的问题中，往往先用归纳推理得到结论后， 再用数学归纳法来证明．
(2)假设当n＝k时等式成立，即1· k＋2· (k－1)＋3· (k－2)＋
…＋(k－1)· 2＋k· 1＝ 则当n＝k＋1时， k(k＋1)(k＋2)，
f(k＋1)＝1· (k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k
＋1)－2]· 3＋[(k＋1)－1]· 2＋(k＋1)· 1
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 条时，第一步检验n等于 A.1 C.3 B.2 D.0
n(n－3) ( )
解析：因为n≥3，所以，第一步应检验n＝3. 答案：C
2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ 在验证n＝1时，等式左端计算所得的项是 A.1 C.1＋a＋a2 B.1＋a D.1＋a＋a2＋a3
6-7第七节 数学归纳法(理)练习题(2015年高考总复习)
第七节 数学归纳法(理)时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13 D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14解析 总项数为n 2－n ＋1，f (2)＝12＋13＋14.故选D.答案 D2．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析 1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12>12764， 整理得2n >128，解得n >7.∴初始值至少应取8.答案 B3．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋3)＝(k ＋2)2C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋3)＝(k ＋3)2解析 当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋3)＝(k ＋1)2＋(2k ＋3)＝(k ＋2)2.答案 B4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．现已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时，该命题不成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题不成立D ．当n ＝4时，该命题成立解析 因为当n ＝k 时命题成立可推出n ＝k ＋1时成立，所以n ＝5时命题不成立，则n ＝4时命题也一定不成立．答案 C5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2.∴a2＝115＝13×5，S3＝3(2×3－1)a3，即13＋115＋a3＝15a3.∴a3＝135＝15×7，同理可得a4＝17×9.答案 C6．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)解析(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任意k∈N*都成立．故选D.答案 D二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．解析∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n ＝2k＋1时成立．答案2k＋18．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系是__________．解析∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)29．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2，S 3，S 4分别为__________，由此猜想S n ＝__________.解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1， ∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3，∴S 2＝32.同理，分别令n ＝2，n ＝3，可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121，S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1. 答案 32，74，158 2n －12n －1 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋4k 2＋4k ＋1＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k )＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1]＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]．即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立．11．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2a n (n ∈N *)，求证：0＜a n ＜a n ＋1＜1.证明 ①n ＝1时，a 1＝12，a 2＝sin(π2a 1)＝sin π4＝22.∴0＜a 1＜a 2＜1，故结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即0＜a k ＜a k ＋1＜1， 则0＜π2a k ＜π2a k ＋1＜π2.∴0＜sin(π2a k )＜sin(π2a k ＋1)＜1，即0＜a k ＋1＜a k ＋2＜1.也就是说n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对一切n ∈N *均有0＜a n ＜a n ＋1＜1成立．12．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12－(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1， 那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k －12k －1＝2k ＋1－12k －1.∴a k ＋1＝2k ＋1－12k ，由①②可知，对n ∈N *，a n ＝2n －12n －1都成立．。
2015高考数学一轮总复习课件：6.7数学归纳法
∈N，且 n＞1)，第一步要证的不等式是_1_＋_2_＋__3_＜_2．
第五页，编辑于星期五：十二点 三十五分。
基础知识梳理
梳 理 一 数学归纳法
基础知识系统化1
◆以上题目主要考查了以下内容：
数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(2)假设 n＝k 时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k，
则当 n＝k＋1 时，1－12＋31－14＋…＋2k1－1－21k＋2k1＋1－2k1＋2
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋2
11
1
1
＝k＋2＋k＋3＋…＋2k＋1＋2k＋2.
第二十一页，编辑于星期五：十二点 三十五分。
聚焦考向透析
考向三 归纳、猜想、证明
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2014·东北三校联考)已知数列 {an}的前 n 项和 Sn满足：Sn＝a2n＋a1n－1， 且 an＞0，n∈N*. (1)求 a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．
下面用数学归纳法证明
对于一切正整数 n，(*)式都成立．
(1)当 n＝1 时，由上述知，(*)式成立．
(2)假设 n＝k(k∈N*)时，(*)式成立，
即 1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝
k k＋ 12
(3k2＋11k＋10)，
第十一页，编辑于星期五：十二点 三十五分。
聚焦考向透析 考向一 用数学归纳法证明等式
即当 n＝k＋1 时，等式也成立．
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只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整 数n都成立．
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疑 点 清 源 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决 与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1) 是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为 1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数 学归纳法．
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1 1 1 5．用数学归纳法证明：“1＋ ＋ ＋„＋ n <n(n>1)”， 2 3 2 －1 由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项 数是________．
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听 课 记 录 当n＝2时，左边＝f(1)＝1. 1 右边＝2[1＋2－1]＝1，左边＝右边，等式成立． 假设n＝k时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋„＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋„＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)
1 1 1 1 解析 ∵f(n)＝1＋2＋3＋4＋„＋ ， 3n－1 1 1 1 1 1 1 ∴f(n＋1)＝1＋ ＋ ＋„＋ ＋ ＋ ＋ .∴f(n＋ 2 3 3n－1 3n 3n＋1 3n＋2 1 1 1 1)－f(n)＝3n＋ ＋ . 3n＋1 3n＋2
1 1 1 答案 3n＋ ＋ 3n＋1 3n＋2
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变式思考 1
用数学归纳法证明下列等式：
1 1 1 1 n ＋ ＋ ＋„＋ ＝ . 2×4 4×6 6×8 2n2n＋2 4n＋1
1 1 证明 (1)当n＝1时，等式左边＝ ＝ ， 2×4 8 1 1 等式右边＝ ＝ ，∴等式成立． 41＋1 8 (2)假设n＝k时等式成立， 1 1 1 k 即 ＋ ＋„＋ ＝ 成立， 2×4 4×6 2k2k＋2 4k＋1
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1 1 1 则当n＝k＋1时，有 ＋ ＋„＋ ＋ k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1
1 解析 由n＝k(k>1)到n＝k＋1时，不等式左端增加的项为 k＋ 2 1 1 k＋1 k k ＋ „ ＋ ，共增加 (2 － 1) － (2 － 1) ＝ 2 项． ＋ 2k＋1 2k 1－1
答案 2k
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2．数学归纳法 (1)数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：①当n取 第1个值n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时，命题 成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定这 个命题对于n取第1个值后面的所有正整数成立．
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题型二 【例2】
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等 2n＋1 2 均成立．
1 1 1 式1＋31＋5„1＋2n－1 ＞
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变式思考 2
1 1 1 1 a 若不等式 ＋ ＋ ＋„＋ ＞ n＋1 n＋2 n＋3 3n＋1 24
对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．
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2k＋1 2 .
则当n＝k＋1时，
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1 1 1＋ 1＋ „ 3 5 1 1 ＋ 2k－1 1 1 ＋ 2k＋1－1
)
1 1 1 1 解析 f(1)＝1＋2＋3＋4＋5，故选C.
答案 C
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1 1 1 1 4．设f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋„＋ (n∈N*)， 2 3 4 3n－1 则f(n＋1)－f(n)＝________.
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解析
k为偶数，则k＋2为偶数，故选B.
答案 B
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1 1 1 3．若f(n)＝1＋ ＋ ＋„＋ (n∈N*)，则f(1)为( 2 3 6n－1 A．1 1 1 1 1 C．1＋ ＋ ＋ ＋ 2 3 4 5 1 B. 5 D．非以上答案
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1 ＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－ ]－k k＋1 ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． ∴f(1)＋f(2)＋„＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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基 础 自 评 1 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 2 n(n－3)条 时，第一步检验n等于( A．1 C．3 B．2 D．4 )
解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.
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(2)数学归纳法证题的步骤：
n＝n0 时，命题成立． ①(归纳奠基)证明当n取第一个值________ n＝k ②(归纳递推)假设________
(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证
n＝k＋1 明当______________ 时命题也成立．
答案 C
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1 1 1 1 2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－ ＋ － ＋„－ 2 3 4 n 1 1 1 ＝2( ＋ ＋„＋ )时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命 2n n＋2 n＋4 题为真，则还需要用归纳假设再证( A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 )
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Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
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题型一 【例1】
用数学归纳法证明等式
1 1 1 设f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n∈N*)．
求证：f(1)＋f(2)＋„＋f(n－1)＝n· [f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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1 1 1 1 那么当n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋„＋ ＋ 2×4 4×6 6×8 2k2k＋2 1 2k＋1[2k＋1＋2] kk＋2＋1 k 1 ＝ ＋ ＝ 4k＋1 4k＋1k＋2 4k＋1k＋2 k＋12 k＋1 ＝ ＝ ， 4k＋1k＋2 4[k＋1＋1] 即n＝k＋1时等式成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．
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【规律方法】
在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中，应用放
缩技巧，使问题得到简化，用数学归纳 法证明不等式问题时，从n＝k到n＝k＋1的推证过程中，证 明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
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1 1 1 26 解 取n＝1， ＋ ＋ ＝ . 1＋1 1＋2 3×1＋1 24 26 a 令24＞24，得a＜26，而a∈N*， 所以取a＝25，下面用数学归纳法证明， 1 1 1 25 ＋ ＋„＋ ＞ . n＋1 n＋2 3n＋1 24 (1)n＝1时，已证结论正确． (2)假设n＝k(k∈N*)时， 1 1 1 25 ＋ ＋„＋ ＞24， k＋1 k＋2 3k＋1
＞
2k＋1 2k＋2 2k＋2 · ＝ ＝ 2 2k＋1 2 2k＋1
4k2＋8k＋4 4k2＋8k＋3 2k＋3 2k＋1 2k＋1＋1 ＞ ＝ ＝ . 2 2 2k＋1 2 2k＋1 2 2k＋1 ∴当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
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