6-7第七节 数学归纳法(理)(2015年高考总复习)

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1 ＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－ ]－k k＋1 ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． ∴f(1)＋f(2)＋„＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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备考这样做 1.理解数学归纳法的原理，积累用数学归纳证明问题的技巧 与方法． 2.规范书写数学归纳法的证题步骤.
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D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点
)
1 1 1 1 解析 f(1)＝1＋2＋3＋4＋5，故选C.
答案 C
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1 1 1 1 4．设f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋„＋ (n∈N*)， 2 3 4 3n－1 则f(n＋1)－f(n)＝________.
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变式思考 1
用数学归纳法证明下列等式：
1 1 1 1 n ＋ ＋ ＋„＋ ＝ . 2×4 4×6 6×8 2n2n＋2 4n＋1
1 1 证明 (1)当n＝1时，等式左边＝ ＝ ， 2×4 8 1 1 等式右边＝ ＝ ，∴等式成立． 41＋1 8 (2)假设n＝k时等式成立， 1 1 1 k 即 ＋ ＋„＋ ＝ 成立， 2×4 4×6 2k2k＋2 4k＋1
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解析
k为偶数，则k＋2为偶数，故选B.
答案 B
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1 1 1 3．若f(n)＝1＋ ＋ ＋„＋ (n∈N*)，则f(1)为( 2 3 6n－1 A．1 1 1 1 1 C．1＋ ＋ ＋ ＋ 2 3 4 5 1 B. 5 D．非以上答案
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1 1 1 1 那么当n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋„＋ ＋ 2×4 4×6 6×8 2k2k＋2 1 2k＋1[2k＋1＋2] kk＋2＋1 k 1 ＝ ＋ ＝ 4k＋1 4k＋1k＋2 4k＋1k＋2 k＋12 k＋1 ＝ ＝ ， 4k＋1k＋2 4[k＋1＋1] 即n＝k＋1时等式成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．
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1 1 1 则当n＝k＋1时，有 ＋ ＋„＋ ＋ k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1
＞
2k＋1 2k＋2 2k＋2 · ＝ ＝ 2 2k＋1 2 2k＋1
4k2＋8k＋4 4k2＋8k＋3 2k＋3 2k＋1 2k＋1＋1 ＞ ＝ ＝ . 2 2 2k＋1 2 2k＋1 2 2k＋1 ∴当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
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题型二 【例2】
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等 2n＋1 2 均成立．
1 1 1 式1＋31＋5„1＋2n－1 ＞
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听 课 记 录 当n＝2时，左边＝f(1)＝1. 1 右边＝2[1＋2－1]＝1，左边＝右边，等式成立． 假设n＝k时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋„＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋„＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)
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基 础 自 评 1 1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 2 n(n－3)条 时，第一步检验n等于( A．1 C．3 B．2 D．4 )
解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.
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2．数学归纳法 (1)数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：①当n取 第1个值n0时命题成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时，命题 成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定这 个命题对于n取第1个值后面的所有正整数成立．
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(2)数学归纳法证题的步骤：
n＝n0 时，命题成立． ①(归纳奠基)证明当n取第一个值________ n＝k ②(归纳递推)假设________
(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证
n＝k＋1 明当______________ 时命题也成立．
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1 1 1 26 解 取n＝1， ＋ ＋ ＝ . 1＋1 1＋2 3×1＋1 24 26 a 令24＞24，得a＜26，而a∈N*， 所以取a＝25，下面用数学归纳法证明， 1 1 1 25 ＋ ＋„＋ ＞ . n＋1 n＋2 3n＋1 24 (1)n＝1时，已证结论正确． (2)假设n＝k(k∈N*)时， 1 1 1 25 ＋ ＋„＋ ＞24， k＋1 k＋2 3k＋1
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高考这样考 1.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式以及与数列有关 的命题是高考命题的热点． 2.题型为解答题，着重考查数学归纳法的应用及学生的逻辑 推理能力，难度中、高档.
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Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
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题型一 【例1】
用数学归纳法证明等式
1 1 1 设f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n∈N*)．
求证：f(1)＋f(2)＋„＋f(n－1)＝n· [f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
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【规律方法】
在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中，应用放
缩技巧，使问题得到简化，用数学归纳 法证明不等式问题时，从n＝k到n＝k＋1的推证过程中，证 明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
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1 解析 由n＝k(k>1)到n＝k＋1时，不等式左端增加的项为 k＋ 2 1 1 k＋1 k k ＋ „ ＋ ，共增加 (2 － 1) － (2 － 1) ＝ 2 项． ＋ 2k＋1 2k 1－1
答案 2k
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只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整 数n都成立．
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疑 点 清 源 1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决 与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1) 是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为 1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数 学归纳法．
答案 C
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1 1 1 1 2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－ ＋ － ＋„－ 2 3 4 n 1 1 1 ＝2( ＋ ＋„＋ )时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命 2n n＋2 n＋4 题为真，则还需要用归纳假设再证( A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立 )
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第六章 不等式、推理与证明
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第七节 ►►数学归纳法(理)
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研考点· 知规律
拓思维· 培能力
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1 1 1 1 解析 ∵f(n)＝1＋2＋3＋4＋„＋ ， 3n－1 1 1 1 1 1 1 ∴f(n＋1)＝1＋ ＋ ＋„＋ ＋ ＋ ＋ .∴f(n＋ 2 3 3n－1 3n 3n＋1 3n＋2 1 1 1 1)－f(n)＝3n＋ ＋ . 3n＋1 3n＋2
1 1 1 答案 3n＋ ＋ 3n＋1 3n＋2
2k＋1 2 .
则当n＝k＋1时，
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1 1 1＋ 1＋ „ 3 5 1 1 ＋ 2k－1 1 1 ＋ 2k＋1－1
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1 1 1 5．用数学归纳法证明：“1＋ ＋ ＋„＋ n <n(n>1)”， 2 3 2 －1 由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项 数是________．
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1 4 5 听 课 记 录 (1)当n＝2时，左边＝1＋ ＝ ；右边＝ . 3 3 2 ∵左边＞右边，∴不等式成立． (2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，
1 1 1 即1＋31＋5„1＋2k－1 ＞
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【规律方法】
用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中
验证n0的值，如本题要取n0＝2，在第(2)步的证明中应在归纳假设 的基础上推证n＝k＋1等式也成立，但必须用上归纳假设．
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变式思考 2
1 1 1 1 a 若不等式 ＋ ＋ ＋„＋ ＞ n＋1 n＋2 n＋3 3n＋1 24
对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．
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课 本 导 读 1．归纳法
一般结论 的推理方法叫归 由一系列有限的特殊事例得出___________
纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分
不完全 完全 归纳法和__________ 为______ 归纳法．