单自由度水平地震作用
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱一、水平地震作用的基本公式 由上一节可知，()()[]()()t kx t x c t xt x m +=+- 0 3.26因()()r kx t xc ，略去不计，有()()[]()t kx t x t x m ≈+-0 3.27质点的绝对加速度为3.28()()()()()t x t x mkt xt x t a 20ϖ-=-=+= 将式3.24代入上式，得3.29质点的最大绝对加速度为()m ax a t a S =3.30一、 地震反应谱 反应谱分析法：求解结构最大地震反应的方法即反应谱分析法，这种方法是对单质点单自由度体系，在给定的阻尼比 时，取不同的自振周期T ，求出任意给定的地震波下的最大加速度 。
然后，以阻尼比 为参数，作出自振周期T 与最大反应的关系曲线族，即反应谱。
这样一来，对于任何单质点、单自由度体系，如果已知其自振周期T 、阻尼比 ，便可从反应谱图中直接查得该结构体系在特定地震波下的最大反应，实际运用是比较方便的。
图3.7是根据1940.5.18美国埃尔森特罗地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线。
任何地震波所得的地震反应谱，几乎后共同的特点。
1、谱曲线是多峰点的，是由于地面运动的不规则造成的，但在阻尼比等于零时反应谱的谱值最大，而任何较小的阻尼比都能否使峰点削平很多。
2、当结构自振周期较小时，随周期T 的增加，反应急剧增长，而较大自振周期时，反应逐渐衰减、稳定。
目前，世界各国已普遍计算和利用地震反应谱。
在现今设计中，已有许多可以直接应用的地震反应谱，包括最大加速度、最大相对加速度或最大相对位移反应，以满足不同使用的要求。
aS 与质点质量的乘积即为水平地震作用的绝对最大值a mS F = 3.31二、 标准反应谱βGk x Sg x mg mS F max a max a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00 3.32式中： k—— 地震系数 β—— 动力系数mg G =——重力（一）地震系数1、概念：即指地面运动最大加速度与重力加速度的比值2、公式：gxk max0 =3.333、有关因素：与地震烈度有关4、确定：见表 3.1 （二）动力系数β1、概念：即指单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比。
建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用
2
max
1
Tg
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结构抗震设计
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设计特征周期
规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应
谱特征周期Tg，取名为“设计特征周期”。
设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境 确定。（所谓地震环境，是指建筑物所在地区及周围 可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近以 及建筑物所在地区的场地条件等。）
式中 k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，
在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力；
在进行建筑结构地震反应分析时， 除了少数质量比较集中的结构 可以简化为单质点体系外，大 量的多层和高层工业与民用建 筑、多跨不等高单层工业厂房 等，质量比较分散，则应简化 为多质点体系来分析，这样才 能得出比较符合实际的结果。
一般，对多质点体系，若 只考虑其作单向振动时，则体 系的自由度与质点个数相同。
1、两自由度运动方程的建立 2、两自由度弹性体系的运动微分方程组 3、两自由度弹性体系的自由振动 三、多自由度弹性体系的自由振动 1、n自由度体系运动微分方程组 2、n自由度弹性体系的自由振动 四、振型分解法 1、两自由度体系振型分解法 2、n自由度体系振型分解法
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结构抗震设计
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一、多质点和多自由度体系
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单质点,多质点体系地震作用处理方法的异同
单质点,多质点体系地震作用处理方法的异同刘十一050880，易坤涛050881，王超维050882，刘超050883地壳板块在地幔热对流作用下发生缓慢漂移，由于板块之间的碰撞和积压，地壳内部的应力不断累积。
当应力到达一定程度时，就会发生断裂，形成地震。
我国处在环太平洋地震带和喜马拉雅地震带的交汇处，为地震多发国家。
建筑抗震研究在我国有重要实际意义。
地震波分为体波和面波。
体波在地球内部传播，分为横波（S ）和纵波（P ）两种。
纵波为压缩波，传播速度与拉伸弹性模量有关，对地表建筑的作用主要是垂直方向。
横波为剪切波，传播与剪切弹性模量有关，对地表建筑作用主要是水平方向。
面波是在体表传播，由体波的折射、反射后形成的，对建筑影响既有水平方向，又有垂直方向。
因此，建筑物受到的地震作用既有水平方向，又有竖直方向的。
由于建筑在竖直方向刚度较大，而水平方向刚度较小，容易在水平方向发生震动的放大，所以主要考虑水平方向的震动响应。
由于线弹性体震动可以叠加，只要考虑了一个方向的水平震动。
求地震作用时，通常将建筑物简化为单质点或多质点体系。
单质点体系，质点受到三个力的作用： 1. 惯性力：()I g f m x x ''''=-+2. 阻尼力：c f cx '=-3. 恢复力：k f kx =-4. 由质点受力平衡得：0I c k f f f ++= => g mx cx kx mx '''''++=-其中m 、c 、k 、x g 、x 分别为质量，阻尼，体系刚度，地面位移和质点相对地面的位移。
令ω=2c mωξ= 则上式子转化为 22g x x x x ωξω'''''++=- 加上初始条件（x(0)＝0，x ’(0)=0）可得到()01()()sin[()]t t g D D x t x e t d ξωτττωτω--''=--⎰；ω=D其中ω为无阻尼体系自由振动频率,ξ称为阻尼比,一般工程结构中ξ值较小,在0.101~0.1,ωd 为有阻尼时体系自由振动圆频率,一般ω≈ωd.将位移反应对时间求一阶和二阶导数,并且ξ值很小,可得体系地震速度反应和地震加速度反应：()0()()cos[()]tt g D x t x e t d ξωτττωτ--'''=--⎰ ()0()()()sin[()]t t g D g D x t x t x e t d ξωττωτωτ--''''''+=-⎰单自由度体系再地震作用下的振动是最简单的情况，但是由于实际工程中建筑物质量是非集中的，非集中倒一点，也不会只有一个自由度。
浅谈计算水平地震作用的两种方法
表 1-2 各振型的剪力值及贡献率
第二振型
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ振型
剪力
贡献率
剪力
贡献率
0.75
1.1%
0.23
——
（-0.62） 1.3% （-0.53） 1.0%
（-1.05） 15.1%
0.39
1.9%
层间剪力
6.96 5.28 2.70
从表 1-2 知，各个振型在地震总反应中的贡献将随着频率的增加而迅速减少， 故频率最低的几个振型控制着结构的最大地震反应。因此在计算中，一般只算 2-3 个振型即可。
学报，2008 年（增刊 1).
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（1-1）
式中 F ——作用在第 j 振型第 i 质点上的地震作用绝对最大标准值；
α ——相应于第 j 振型自振周期T 的地震影响系数，按图 1-1 确定；
γ ——j 振型的振型参与系数，可按式（1-2）计算；
X ——j 振型 i 质点的水平位移，即振型位移；
m ——集中于 i 质点的质量；
g——重力加速度；
∑
γ=
∑
(1-2)
F = ∑F
（1-3）
式中 F ——第 i 质点水平地震作用效应； F ——j 振型 i 质点的地震作用效应。
第三章2 工程结构地震反应分析与抗震验算.ppt
h 1 ---直线下降段的斜率调整系数；按下式确定
h1 = 0.02 + (0.05 - z ) / 8 当h1 < 0时，取h1 = 0
h2 - -阻尼调整系数，h2 < 0.55时，取h2 = 0.55
h2
=1+
0.05 - z 0.06 +1.7z
Tg : 特征周期，见表3.2
max：水平地震系数的最大值 α max = kβ max ,β max= 2.25
结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
F
=
F (t ) max
= m &x&(t) + &x&g (t) max
= mSa
= mg Sa
&x&g (t) max = Gk = G
&x&g (t) max
g
G ---集中于质点处的重力荷载代表值；
g ---重力加速度
= Sa
&x&g (t) max
地震特征周期分组的特征周期值（s）
场地类别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一组 0.25
0.35
0.45 0.65
查表确定 Tg Tg = 0.3
第二组 0.30
0.40
第三组 0.35
0.45
0.55 0.75 0.65 0.90
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic = EIc / h = 2.6104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。
水平地震作用计算
第四节水平地震作用计算重力荷载代表值计算本设计建筑高度为23.95m，以剪切表形为主，且质量和高度均匀分布，故可采用底部剪力法计算水平地震作用。
首先需要计算重力荷载代表值。
屋面处重力荷载代表值=结构和构件自重标准值楼面处重力荷载代表值=结构和构件自重标准值+0.5楼面活荷载标准值其中结构和构件自重取楼面上、下各半层高度范围内（屋面处取顶层1/2）的结构和构件自重。
计算地震作用时，建筑的重力荷载代表值应取结构和构件自重和各可变荷载组合值之和。
设计时顶层重力荷载代表值包括：屋面恒载，纵、横梁自重，半层柱自重，女儿墙自重，半层墙体自重。
其他层重力荷载代表值包括：楼面恒载，50%楼面均布活荷载，纵、横梁自重，楼面上、下各半层的柱及纵、横墙体自重。
一、楼层总量取6轴框架左侧3000mm宽度和右侧3000mm宽度的楼层的重量进行近似计算第9标准层：1.梁重量⑴截面尺寸：b×h=300mm×600mm线荷载：25×0.3×（0.6-0.12）+0.04×（0.6-0.12）×17=3.93KN/m=3.93×（4＋3）＝27.51 KNG1⑵截面尺寸：b×h=250mm×500mm线荷载：25×0.25×（0.5-0.12）+0.04×（0.5-0.12）×17=2.63KN/m=2.63×3×4 ＝31.56 KNG2(3)截面尺寸：b×h=200mm×450mm线荷载：25×0.2 ×（0.45-0.12）+0.04×（0.45-0.12）×17=1.87KN/m =1.87×6 ＝11.22 KNG3(4)截面尺寸：b×h=300mm×650mm线荷载：25×0.3 ×（0.65-0.12）+0.04×（0.65-0.12）×17=4.34KN/m =4.34×8 ＝34.72 KNG42.柱重量= (6.01×3)×（1.8/2－0.12）=27.18KNG53.板重量G=5.0×14×3 =210KN64.墙重量=6.3×(2×3＋6)+3×2+5.1×1.15/2×8+5.1×0.6×4+5.1×G71.3/2×3=120.95KN5.活载：根据《建筑抗震设计规范》5.1.3要求屋面板的活载组合值系数为0，故：=0G8则第9层楼面的重力荷载代表值为：G=27.51＋31.56＋11.22＋34.72＋27.18＋210+120.95=508.14 KN 7第8标准层：1.梁重量⑴截面尺寸：b×h=300mm×600mm线荷载：25×0.3×（0.6-0.12）+0.04×（0.6-0.12）×17=3.93KN/m=3.93×8＝31.44 KNG1⑵截面尺寸：b×h=250mm×500mm线荷载：25×0.25×（0.5-0.12）+0.04×（0.5-0.12）×17=2.63KN/m=2.63×(3×5+6+4)＝65.75 KNG2(3)截面尺寸：b×h=200mm×450mm线荷载：25×0.2 ×（0.45-0.12）+0.04×（0.45-0.12）×17=1.87KN/m G=1.87×(3×5) ＝28.05 KN32.柱重量G= (6.01×3)×（2.0/2+1.8/2－0.12）+6.01×(1-0.12)=69.38KN43.板重量=5.0×3×（6＋1.5+14）=322.5KNG54.墙重量G＝ (3+12)×5.1/2+(3+14)×6.1/2+3×10.5/2+3×1.1/2＝107.5KN65. 活载：根据《建筑抗震设计规范》5.1.3要求屋面板的活载组合值系数为0 ，故：= 0G7则第8层楼面的重力荷载代表值为：G=31.44＋65.75＋28.05＋151.2＋322.5＋107.5 =624.62KN8第7标准层：1.梁重量⑴截面尺寸：b×h=300mm×600mmG=4.2×8＝33.6KN1⑵截面尺寸：b×h=250mm×500mmG=2.86×(3×4+6+4)＝62.92KN2(3)截面尺寸：b×h=200mm×450mm=2.06×(3×2+6) ＝24.72KNG32.柱重量G= 6.01×1×4+(8.35×2+13.25×2)×（3.6/2－0.1）=116.64KN43.板重量=3.4×(3×14)+3.6×（3×4）=220KNG54.墙重量＝(3+18)×6.1/2+3×3/2+3×10.5/2+3×1.1×0.5+3×G6(4.5+9.7+10.5+10.5+6.1) ×0.5+10×12.2/2+6.5×10.3×0.5+5×12.4×0.5+6×9.7×0.5+2.5×10.4×0.5=315.48KN5. 活载：根据《建筑抗震设计规范》5.1.3要求楼面板的活载组合值系数为0.5，故：G=〔2.0×（3.0×14）＋ 2.5×（3×4）〕×0.5=32KN7则第7层楼面的重力荷载代表值为：G=33.6＋62.92＋24.72＋116.64＋220＋315.48＋32=805.36 KN7第6标准层：1.梁重量⑴截面尺寸：b×h=300mm×600mm=4.2×8＝33.6KNG1⑵截面尺寸：b×h=250mm×500mmG=2.86×(3×7+6+4)＝88.66KN2(3)截面尺寸：b×h=200mm×450mm=2.06×(3×6+6+2.5×3) ＝64.89KNG3(4)截面尺寸：b×h=200mm×300mm=1.21×1 ＝1.21KNG42.柱重量= (8.35×2+13.25×2)×（3.6/2+3.6/2－0.1）=151.2KNG53.板重量G=3.6×(3×14+3×8+0.5×6)+3×（3×4）+3.4×2.5×3.5=314.15KN64.墙重量＝3×(10.5+10.5+6.1)+12.2×10+9.7×6+12.4×2.5×2+9.7×3G7×0.5+10.4×2.5×0.5+3×(2+6.3) ×0.5+10.3×6.5×0.5+8.1×1+11.8×6×0.5+3×4.5×0.5+3×8.5×0.5+5.5×6×0.5+10.5×6×0.5+10.8×3×0.5=524.18KN5. 活载：根据《建筑抗震设计规范》5.1.3要求楼面板的活载组合值系数为0.5，故：=〔2.0×（3×4＋2.5×3.5+3×14）＋2.5×（3×11.5＋0.5×6）〕×0.5=109.63KN G8则第6层楼面的重力荷载代表值为：G=33.6＋88.66＋64.89＋1.21＋151.2＋314.15＋524.18+109.63=1287.5KN 6第5标准层：1.梁重量⑴截面尺寸：b×h=300mm×600mm=4.2×8＝33.6KNG1⑵截面尺寸：b×h=250mm×500mmG=2.86×(3×7+6+4)＝88.66KN2(3)截面尺寸：b×h=200mm×450mm=2.06×(3×6+6+2.5×2) ＝59.74KNG3(4)截面尺寸：b×h=200mm×300mmG=1.21×1 ＝1.21KN42.柱重量G= (8.35×2+13.25×2)×（3.6/2+3.6/2－0.1）=151.2KN53.板重量G=3.6×(3×8+ 0.5×6)+ 3.4×(3×19.5+2.5×3.5)=325.85K64.墙重量G＝5.5×6+10.5×12+10.8×3+4.6×3+6.1×3+12.4×2.5×2+8.17×1+12.2×10+11.8×6+9.7×6=544.6KN5. 活载：根据《建筑抗震设计规范》5.1.3要求楼面板的活载组合值系数为0.5，故：G=〔2.0×（3×19.5＋2.5×3.5 ）＋2.5×（3×8＋0.5×6）〕×0.5=101KN10则第5层楼面的重力荷载代表值为：G=33.6＋88.66＋59.74＋1.21＋151.2＋325.85＋544.6+101=1305.86KN 5第4标准层：1.梁重量⑴截面尺寸：b×h=300mm×600mm=4.2×8＝33.6KNG1⑵截面尺寸：b×h=250mm×500mm=2.86×(3×7+6+4)＝88.66KNG2(3)截面尺寸：b×h=200mm×450mmG=2.06×(3×6+6+2.5×2) ＝59.74KN3(4)截面尺寸：b×h=200mm×300mm=1.21×1 ＝1.21KNG42.柱重量= (8.35×2+13.25×2)×（3.6/2+3.6/2－0.1）=151.2KNG53.板重量G=3.6×(3×8+ 0.5×6)+ 3.4×(3×19.5+2.5×3.5)=325.85K64.墙重量＝(5.5×6+10.5×12+10.8×3+4.6×3+6.1×3+12.4×2.5×2+8.1×1+12.2 G7×10+11.8×6+9.7×6) ×0.5+(5.5×6+10.5×12+4.6×3+6.1×3+12.4×2.5×2+8.1×1+12.2×4+11.8×6+9.7×6+12.4×6) ×0.5=491.8KN5. 活载：根据《建筑抗震设计规范》5.1.3要求楼面板的活载组合值系数为0.5，故：G=〔2.0×（3×19.5＋2.5×3.5 ）＋2.5×（3×8＋0.5×6）〕×0.5=101KN 10则第4层楼面的重力荷载代表值为：G=33.6＋88.66＋59.74＋1.21＋151.2＋325.85＋491.8+101=1253.06KN 4第3标准层：1.梁重量⑴截面尺寸：b×h=300mm×600mm=4.2×8＝33.6KNG1⑵截面尺寸：b×h=250mm×500mm=2.86×(3×6+6+4)＝80.08KNG2(3)截面尺寸：b×h=200mm×450mm=2.06×(3×6+6+2.5×2) ＝59.74KNG3(4)截面尺寸：b×h=200mm×300mmG=1.21×1 ＝1.21KN4(5)截面尺寸：b×h=250mm×550mm=3.44×3 ＝10.32KNG52.柱重量G= (8.35×2+13.25×2)×（3.6/2+3.6/2－0.1）=151.2KN63.板重量=3.6×(3×8+ 0.5×6)+ 3.4×(3×19.5+2.5×3.5)=325.85KNG74.墙重量＝(5.5×6+10.5×12+10.8×3+4.6×3+6.1×3+12.4×2.5×2+8.1×1+12.2 G8×10+11.8×6+9.7×6) ×0.5+(5.5×6+10.5×12+4.6×3+6.1×3+12.4×2.5×2+8.1×1+12.2×4+11.8×6+9.7×6+12.4×6) ×0.5=491.8KN5. 活载：根据《建筑抗震设计规范》5.1.3要求楼面板的活载组合值系数为0.5，故：=〔2.0×（3×19.5＋2.5×3.5 ）＋2.5×（3×8＋0.5×6）〕×0.5=101KN G9则第1层楼面的重力荷载代表值为：G=33.6＋80.08＋59.74＋1.21＋10.32+151.2＋325.85＋491.8+101=1254.8KN 3第2标准层：1.梁重量⑴截面尺寸：b×h=300mm×600mmG=4.2×8＝33.6KN1⑵截面尺寸：b×h=250mm×500mm=2.86×(3×7+6+4)＝88.66KNG2(3)截面尺寸：b×h=200mm×450mm=2.06×(3×6+6+2.5×2) ＝59.74KNG3(4)截面尺寸：b×h=200mm×300mmG=1.21×1 ＝1.21KN42.柱重量= (8.35×2+13.25×2)×（3.6/2+3.6/2－0.1）=151.2KNG53.板重量G=3.6×(3×8+ 0.5×6)+ 3.4×(3×19.5+2.5×3.5)=325.85K64.墙重量＝5.5×6+10.5×12+10.8×3+4.6×3+6.1×3+12.4×2.5×2+8.1G7×1+12.2×10+11.8×6+9.7×6=544.6KN5. 活载：根据《建筑抗震设计规范》5.1.3要求楼面板的活载组合值系数为0.5，故：=〔2.0×（3×19.5＋2.5×3.5 ）＋2.5×（3×8＋0.5×6）〕×0.5=101KNG8则第2层楼面的重力荷载代表值为：G=33.6＋88.66＋59.74＋1.21＋151.2＋325.85＋544.6+101=1305.86KN 2第1标准层：1.梁重量⑴截面尺寸：b×h=300mm×600mm=4.2×8＝33.6KNG1⑵截面尺寸：b×h=250mm×500mm=2.86×(3×7+6+4)＝88.66KNG2(3)截面尺寸：b×h=200mm×450mm=2.06×(3×6+6+2.5×2) ＝59.74KNG3(4)截面尺寸：b×h=200mm×300mm=1.21×1 ＝1.21KNG42.柱重量G= (8.35×2+13.25×2)×（3.6/2+5.2 －0.1）=298.08KN53.板重量=3.6×(3×8+ 0.5×6)+ 3.4×(3×19.5+2.5×3.5)=325.85KG64.墙重量＝（5.5×6+10.5×12+10.8×3+4.6×3+6.1×3+12.4×2.5×2+8.1G7×1+12.2×13+11.8×6+9.7×6）×0.5+（7.9×6+14.5×10+12.9×6+6.8×3+14.7×2.5×2+12.8×2.5+8.6×3+12.1×6+14.1×6+10×1）×0.5=584.95KN5. 活载：根据《建筑抗震设计规范》5.1.3要求楼面板的活载组合值系数为0.5，故：=〔2.0×（3×19.5＋2.5×3.5 ）＋2.5×（3×8＋0.5×6）〕×0.5=101KNG8则第1层楼面的重力荷载代表值为：G=33.6＋88.66＋59.74＋1.21＋185.76＋325.85＋584.95+101=1493.09KN 1二、荷载分层总汇顶层重力荷载代表值包括：屋面恒载，纵、横梁自重，半层柱自重，半层墙体自重。
第三章-单自由度体系结构的地震反应
P(t)
t
(t)
x(t)
() (a)
t
() (b)
xt ＝e
Pdt sin t （3.11） m
图3.7 瞬时冲量及其 引起的自由振动
3.3.2
一般动力荷载下的动力反应 般动力荷载下的动力反应—— 杜哈美积分
P()
图3.8示任一动力荷载，它 图3 8示任 动力荷载 它 的整个加载过程可看作是 由一系列瞬时冲量所组成。 运用叠加原理，把各个瞬 时冲量单独作用下的动力 反应求出 然后再叠加以 反应求出，然后再叠加以 求得总的动力反应。 冲量 P d 在 t t 引起的单自由度体系的振 动为
（3 1） （3.1） （3.2）
2x 2 x ＝ a t x
c c c 2 ＝ , ξ ， 2 mω 2 mk m
称为阻尼比；k为弹簧系数；c为阻尼系数 称为阻尼比 为弹簧系数 为阻尼系数
k ＝ ， 叫做无阻尼的自振圆频率 m
P t a t ＝ m Nhomakorabea3.4.2 运动方程数值计算解
目前直接对运动微分方程进行数值积分的方法，如 平均加速度法、线性加速度法、纽马克—法、 Wilson－法等。 数值方法的基本思路 t 0 ， t 0 及各个分点间的递 x 利用初始条件 x t 0 ，x 推关系，一步一步地向下进行递推计算
叫做激振加速度
地面运动作用下单自由度体系的运动方程
X(t) -mXg(t)
D S
I
Xg(t) (a) (b) (c)
图3.4
力学模型
x(t ) 质量块的绝对加速度 相对加速度为 x(t ) xg (t ) ，相对加速度为
单自由度体系结构的地震反应
3.13.1 概述
建筑结构的地震反应
3.1 概述
3.2.1力学模型及其运动方程
线性单自由度体系的运动方程
()
平衡方程地面运动作用下单自由度体系的运动方程平衡方程为（如图3.4）：
3.2.2单自由度体系的无阻尼自由振动3.2.3单自由度体系的有阻尼自由振动
例题分析
[例题3.1]
用下的受迫振动
3.3.1瞬时冲量及其引起的自由振动
应——杜哈美积分
3.4.1杜哈美积分的数值计算3.4 单自由度体系地震反应的数值计算
3.4.1杜哈美积分的数值计算
3.4.2运动方程数值计算解线性加速度法
线性加速度法线性加速度法
[]
例题分析例题分析
3.5 抗震设计反应谱 3.5.1水平地震作用的基本公式
采用的反应谱地震系数
动力系数标准的地震影响系数曲线
α
例题分析
例题分析
[例题3.3]
反应与计算 3.6.1材料的非线性
3.6.2单自由度非线性体系的运动方程 3.6.3非线性运动方程的求解3.6.4恢复力模型
“半退化三线型”恢复力模型。
第二章 地震作用 (2)
(c) 多、高层建筑 c) 多、高层建筑 主要质量：楼盖部分
(d) 烟囱 烟囱 (d) 结构无主要质量部分
结构分成若干区域
集中到各区域质心
多质点体系
多质点体系
§2.1 概述
四、体系的自由度
体系的自由度：确定一个体系弹性位移的独立参数的个数
理解体系自由度的注意事项：
(1)结构的自由度数不一定等于其质点数，而要根据质点 的位移数来确定
0
max
最大反应之间的关系
S a Sv 2 S d
2.2
单自由度体系水平地震作用
(t ) g Sa x x
max
g ( )e x (t ) sin (t )d x
0
t
max
由此式可知：Sa取决于地面运动加速度、结构自振频率或 自振周期，并与阻尼比有关。 在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数 Sa通过反应谱理论确定 反应谱：单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应 与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
2.2
单自由度体系水平地震作用
3、不同场地条件对反应谱的影响
Sa / g
软土层
厚的无粘性土层
周期（s)
坚硬场地
岩石
场地土质松软，长周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值右移 场地土质坚硬，短周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值左移
2.2
单自由度体系水平地震作用
不同震中距条件下的平均反应谱
4、震中距对反应谱的影响 烈度相同的条件下 震中距较远时，反应谱曲 线峰值右移 震中距较近时，反应谱曲 线峰值左移
ζ 1
临界阻尼比，表示结构不再振动
一般工程结构的阻尼比在0.01~0.20之间， 常用的混凝土结构默认情况下取为0.05.
单质点地震作用计算计算方法
单质点地震作用计算的计算方法主要内容：1．单自由度弹性体系地震反应分析，主要是运动方程解的一般形式及水平地震作用的基本公式及计算方法。
2．计算水平地震作用关键在于求出地震系数k 和动力系数β。
一、地震概述地震是一种地质现象，就是人们常说的地动，它主要是由于地球的内力作用而产生的一种地壳振动现象。
据统计，地球上每年约有15万次以上或大或小的地震。
人们能感觉到的地震平均每年达三千次，具有很大破坏性的达100次。
每次中等程度的地震就会造成重大损失和人员伤亡，研究地震的危害和抗震的方法极有必要，目前已经研究到了多质点体系地震作用和整体结构的地震作用，但这些研究都离不开单质点地震作用的计算，我们组准备理论研究并在现有的计算基础上做一点拓展。
二.地震危害直接2005年2月15日新疆乌什发生6.2级地震，经济损失达15757.43万元，主要是土木结构的房屋破坏严重。
近期，云南普洱发生严重的地震，震中位于人口稠密的县城，造成严重的财产损失和人员伤亡。
目前，因灾受伤群众为３００余人，其中３人死亡。
全县各乡（镇）房屋受损严重，土木结构房屋墙体倒塌较多，砖混结构房屋普遍出现墙体开裂，承重柱移位。
作为将来的结构工程师，抗震是我们拦路虎，必须加以重视，那我们先从基础理论着手。
三、单质点弹性体系的地震反应目前，我国和其他许多国家的抗震设计规范都采用反应谱理论来确定地震作用。
这种计算理论是根据地震时地面运动的实测纪录，通过计算分析所绘制的加速度（在计算中通常采用加速度相对值）反应谱曲线为依据的。
所谓加速度反应谱曲线，就是单质点弹性体系在一定地震作用下，最大反应加速度与体系自振周期的函数曲线。
如果已知体系的自振周期，那么利用加速度反应谱曲线或相应公式就可以很方便地确定体系的反应加速度，进而求出地震作用。
应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题，而且，在一定假设条件下，通过振型组合的方法还可以计算多质点体系的地震反应。
单自由度体系结构的地震反应(2)
• 动力系数(放大倍数）
＝ Sa
xg max
7
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应
二、地震影响系数
• 地震系数 k＝ xg max
g
反应地面运动强烈程度。一般，地震烈度愈大，地面 运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数 与地震烈度之间有一定的对应关系。
地震烈度与地震系数的关系
地震烈度
6
7
2 1+0.05 0.08+1.6
20
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 六、 《抗震规范》设计反应谱
2. 地震影响系数曲线的确定 1)选用国内、外近300条地震纪录，按场地类别归类，统 计拟合出标准地震影响系数曲线。
2)谱曲线的峰值 max ：取决于设防烈度
表5-5 水平地震影响系数最大值αmax
对应关系，这样给定任一地面运动，即可做出一条a-T 曲线称作加速度反应谱曲线。
13
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 四、地震反应谱
反应谱曲线的特点 1）多峰值；2)阻尼影响大；3)随周期变化规律显著
El Centro波加速度反应谱
El Centro波速度反应谱
14
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 五、设计地震反应谱
地震系数k 0.05
0.1
表3-3
8
9
0.2
0.4
8
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 二、地震影响系数
• 动力系数(放大倍数） ＝ Sa xg max
反应单质点体系最大绝对加速度与地面运动最大加速度 的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比 地面运动最大加速度放大了多少倍.
9
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 三、水平地震作用的计算
单自由度体系地震作用
单自由度体系地震作用地震作为自然灾害的一种，对单自由度体系（简称SDOF）造成的影响非常显著。
单自由度体系是指一个物体只能在一个方向上做简谐振动的系统。
本文将从地震的原理、地震对单自由度体系的作用和对策等方面进行探讨。
首先，地震是由地球内部的能量释放引起的地壳振动现象。
地震的能量通过地震波的传播传导到地表，对单自由度体系造成的主要作用有以下几个方面：1.混合波作用：地震波是有横波和纵波组成的，而纵波对单自由度体系能量输入的效果更强。
地震波经过傅里叶变换可以分解成多个不同频率的简谐波，在振动频率接近结构的固有频率时，能量输入会增加。
2.地震力作用：地震力是地震波在作用于结构上时产生的外部力，导致结构发生振动。
地震力与单自由度体系的质量、地震波的加速度和结构刚度有关。
地震波的加速度越大，结构受到的地震力就越大。
3.应变能作用：地震波会导致振动结构内部的位移和应变，从而在结构中产生能量损耗。
这些位移和应变会对结构的受力特性产生影响，可能导致结构的损坏。
在地震波作用下，单自由度体系受到的影响会导致以下几个问题：1.结构的动力响应：单自由度体系在地震波的作用下发生振动，产生位移、速度、加速度等动力响应。
这些响应对于结构的稳定性和安全性有着重要的影响。
2.力的集中：由于单自由度体系的特性，地震力作用在质点上，使得力在结构上集中，可能导致结构节点和关键部位产生过大的应力，从而引起结构的破坏。
3.结构的共振：当地震波的频率与结构的固有频率接近时，会引起结构的共振现象。
在共振状态下，结构的动力响应会显著增大，导致结构的损坏。
为了减轻地震对单自由度体系造成的影响1.设计合理的结构：在结构设计阶段，应根据当地的地震状况和结构的要求确定合理的结构抗震要求和设计参数，确保结构具备足够的刚度和韧性。
2.加固结构：对于现有结构，可以通过加固和改造的方法提高结构的抗震性能。
例如，在现有柱子上加固钢管剪力墙，增加柱箍加固，以提高结构的刚度和耐震能力。
第3章2-地震作用..
应允许比本地区抗震设防烈度的要求适当降低，但抗震设防烈度为6度 时不应降低
较小乙类建筑：工矿企业的变电所、空压站以及城市供水水源的泵房等。
3.2.3抗震计算理论及设计反应谱
由于地震作用的复杂性和地震作用发生的强度的不 确定性，以及结构和体形的差异等，地震作用的计算方 法是不同的。目前，主要有两类：
抗震次要建筑
2.抗震设防措施
抗震措施:除结构地震作用计算和抗力计算以外的抗震设 计内容，包括抗震构造措施。
甲 当抗震设防烈度为6-8度时，应符合本地区抗震设防烈度提高1度的要 类 求；当为9度时，应符合比9度抗震设防更高的要求
抗乙 震类 措 施
丙 类 丁 类
一般情况下，当抗震设防烈度为6-8度时，应符合本地区抗震设防烈度 提高1度的要求；当9度时，应符合比9度抗震设防更高的要求，对较小 的乙类建筑，当其结构改用抗震性能较好的结构类型时，应允许仍按 本地区抗震设防烈度的要求采取抗震措施
第二阶段：对一些规范规定的结构进行大震作用下 的弹塑性变形验算。
有特殊要求的建筑、 地震易倒塌的建筑、 有明显薄弱层的建筑， 不规则的建筑等
三、抗震设防范围
抗震设防烈度为6度及以上地区的所有新建建筑工 程均必需进行抗震设计。超过9度的地区和行业有特殊 要求的工业建筑按有关专门规定执行。
四、设防依据——抗震设防烈度
相对位移反应谱
绝对加速度反应谱
不同场地条件对反应谱的影响
将多个地震反应谱平均后得平均加速度反应谱：
Sa / g
软土层
厚的无粘性土层
坚硬场地
岩石
周期（s)
场地条件对反应谱的影响：硬土反应谱的峰值对应的周期 较短，即硬土的卓越周期短；软土反应谱的峰值对应的周期较 长，即软土的卓越周期长。
3—2 单自由度体系的弹性地震反应分析
fr = −kx(t)
(3-3)
式中 k——弹性直杆的刚度，即质点产生单位水平位移时， ——弹性直杆的刚度 即质点产生单位水平位移时， 弹性直杆的刚度， 在质点上所需施加的水平力， 在质点上所需施加的水平力 ， 负号表示恢复力的方向总是 和质点位移方向相反。 和质点位移方向相反。
阻尼力是使结构体系振动逐渐衰减的力 阻尼力是使结构体系振动逐渐衰减的力，反映了造 是使结构体系振动逐渐衰减的力， 成系统能量耗散的诸因素( 如材料内摩擦、 成系统能量耗散的诸因素 ( 如材料内摩擦 、 构件连 接处的摩擦、 空气阻尼等) 的作用。 接处的摩擦 、 空气阻尼等 ) 的作用 。 通常采用便于 计算的粘滞阻尼理论， 计算的粘滞阻尼理论，即假定阻尼力的大小与质点 的相对速度成正比， 的相对速度成正比，而力的方向与相对速度的方向 相反， 相反，即 fc = −cx(t) ɺ (3-2)
2
x ɺɺ(t) + 2ζωx(t) +ω x(t) = 0 ɺ
(3—10) 10)
上式为有阻尼单自由度体系自由振动的运动方程， 上式为有阻尼单自由度体系自由振动的运动方程 ， 方 程等号右边荷载项为零， 程等号右边荷载项为零 ， 表示体系在振动过程中无外 部干扰作用， 部干扰作用 ， 振动是由初始位移或初始速度或两者共 同影响而引起的。 同影响而引起的。
fI = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] x x
式中负号表示惯性力的方向与绝对加速度的方向相反。 式中负号表示惯性力的方向与绝对加速度的方向相反。
弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的 一种力，它是由质点支承杆弹性变形引起的， 一种力，它是由质点支承杆弹性变形引起的，其大 正比， 小与质点的相对位移成 x(t) 正比，即
3—3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱
F(t) = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] x x
F(t) = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] = cx(t) + kx(t) ≈ kx(t) x x ɺ
3.3.2 地震反应谱
1、定义与计算 将式( 将式(3—32) 32)
1 x(t) = dx(t) = − ∫ ɺɺg (τ )e−ζω(t−τ ) sin ω′(t −τ )dτ x ω′
2π 1 β(T) = ⋅ T ɺɺg (t) x
2、动力系数 x S 41） 式(3—41） F = mg ɺɺ • = Gkβ(T) 中的动力系数 g x ɺɺ (t) 为 β(T) = Sa / ɺɺg (t) max x (3—43) (3— 将式( 39)代入上式， 将式(3—39)代入上式，则得 （ 3-3-6）
t ∫0
代入（ 代入（3-3-2）式 F(t) = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] = cx(t) + kx(t) ≈ kx(t) x x ɺ ，并注意到 ω′ = ω 地震作用， 地震作用，即 及 k = mω2 即，则得水平
t F(t) = mω2 x(t) = −mω∫0 ɺɺg (τ )e−ζω(t−τ ) sin ω(t −τ )dτ x （3 - 3 - 3 ）
设计地震 分组 第一组 第二组 第三组 I 0.25 0.30 0.35
特征周期 Tg 值(s)
场 地 类 别 II 0.35 0.40 0.45 III 0.45 0.55 0.65 IV 0.65 0.75 0.90
3、Tg
≤ T ≤ 5Tg
区段：在这一区段为曲线下降
段，曲 线呈双曲线 变化：
1、地震系数 x ɺɺg (t ) max Sa F = mg • 41) 式(3-41) g x ɺɺg (t) 地震系数为
水平作用力计算公式
水平作用力计算公式采用底部剪力法时，各楼层可仅取一个自由度，结构的水平地震作用标准值，FEk＝α1Geq （5.2.1-1）（i＝1，2…n）（5.2.1-2）ΔFn＝δnFEk （5.2.1-3）式中FEk——结构总水平地震作用标准值；α1——相应于结构基本自振周期的水平地震影响系数值，应按本章第 5.1.4 条、第 5.1.5 条确定，多层砌体房屋、底部框架砌体房屋，宜取水平地震影响系数最大值；Geq——结构等效总重力荷载，单质点应取总重力荷载代表值，多质点可取总重力荷载代表值的 85％；Fi——质点i的水平地震作用标准值；Gi，Gj——分别为集中于质点 i、j 的重力荷载代表值，应按本章第 5.1.3 条确定；Hi，Hj——分别为质点 i、j 的计算高度；δn——顶部附加地震作用系数，多层钢筋混凝土和钢结构房屋可按表 5.2.1 采用，其他房屋可采用 0.0；ΔFn——顶部附加水平地震作用。
表 5.2.1 顶部附加地震作用系数Tg（s）T1＞1.4TgT1≤1.4TgTg≤0.350.08T1＋0.070.00.35＜Tg≤0.550.08T1＋0.01Tg＞0.550.08T1－0.02注：T1 为结构基本自振周期。
5.2.2 采用振型分解反应谱法时，不进行扭转耦联计算的结构，应按下列规定计算其地震作用和作用效应：1 结构 j 振型 i 质点的水平地震作用标准值，应按下列公式确定：Fji＝αjγjXjiGi （i＝1，2，…n，j＝1，2，…m）（5.2.2-1）（5.2.2-2）式中Fji——j 振型 i 质点的水平地震作用标准值；αj——相应于 j 振型自振周期的地震影响系数，应按本章第 5.1.4、第 5.1.5 条确定；Xji——j 振型 i 质点的水平相对位移；γj——j 振型的参与系数。
2 水平地震作用效应（弯矩、剪力、轴向力和变形），当相邻振型的周期比小于 0.85 时，可按下式确定：（5.2.2-3）式中SEk——水平地震作用标准值的效应；Sj——j 振型水平地震作用标准值的效应，可只取前 2～3 个振型，当基本自振周期大于 1.5s 或房屋高宽比大于 5 时，振型个数应适当增加。
反应谱理论
V (T ) B1(t)cost B2(t)sint max (22a) V (T ) B1(t)sint B2(t)cost max (22b)
7.3 地震反应谱
由式(22)可见
V (T ) S(t)cos(t ) max
式中
V (T ) S(t)sin(t ) max
(23a) (23b)
u，以它为隔离体，受力如图所示。
m EI h
umg((ut) ug )
图中Fs1和Fs2可由图是有位移法（实 际直接可由形常数）得到
Fms1uFcsu2 k1u2hE3 Iumugk2(tu)
列x方向全部力的平衡方程，即可得结
构的运动方程为
Fs1 cuFs2
uu
h
7.2 单自由度地震作用分析
例-2) 试用刚度法建立图示受地面运动激 m2
k2
h2
fe1 fd1
fe2 fd2
k12
k1
h1
fI1
fI2
7.2 单自由度地震作用分析
图中各项和第二章例子相仿，分别为 fe1 fd1
f I1 m(u1 ug (t )); ui为相对位移
fI1
fd1 c11u1 c12u2; fe1 k11u1 k12u2 ;
f I 2 m(u2 ug (t )) 元素全为1
曲线则分别称为该地震的相对位移、相对速度、绝对
加速度的反应谱,分别记作D(T)、V(T)、A(T)。
讲义上图5-2、5-3和5-4分别为1940年Elcentro南 -北地震分量的相对位移、相对速度、绝对加速度反 应谱.
7.3 地震反应谱
由于一般结构阻尼比很小,可近似认为d,所以从 式(11)-(13)可见,D(T)、V(T)、A(T)分别为
单自由度体系结构的地震反应
加速度反响谱曲线确定过程：
应取0.9。 4)直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系
数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
2 当建筑构造的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系 数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合以下规定：
1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定：
0.900..3056
• 由?抗震标准?可直接查得地震影响系数α，从而可方便地求得 单质点体系的水平地震作用。
F 由ma Sm 2 T• x g g 0S g 1 m aa xS g 0 ta x • g 0( G ) e 2 T ( t ) • s S i g n a2 T x ( 0 tg m ) a• d xx 0 m Sa m ax 得a x :k
• 对假设干条个地面运动加速度时程，可得到假设干条α-T曲
线。
• 对不同的建筑场地分类，对得到的α-T曲线进展统计、拟合，
并结合工程经历适当进展调整，可确定对应场地的标准α-T
曲线，即为标准的地震影响系数曲线。
• 假设构造的阻尼比不等于0.05，可在标准地震影响系数的根
底上进展修正而得到。
• 按照以上思路所得到的地震影响系数-自振周期曲线为设计
得 a ( t ) 0 t x 0 () e ( t )• si ( t n ) d
§3.3 单自由度体系地震作用及其反响谱
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0.04~0.09 0.09~0.14 0.14~0.19 0.19~0.28 0.28~0.38 0.04 0.12 — 0.08 0.23 0.50 0.12 0.34 0.72 0.16 0.45 0.90 0.24 0.68 1.20
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
《中国地震动参数区划图》以50年超越概率 10%的地面地震动峰值加速度为区划指标，分 为7个等级，不再采用地震烈度概念。
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
第二种方法是根据地震作用下工程结构的最 大加速度反应，求出该结构体系的最大惯性 力，将此惯性力视为一种反映地震影响的等 效荷载，即地震作用，再进行结构的静力计 算，求出各构件的内力，进行抗震验算，从 而使结构抗震计算的动力问题转化为相当于 静力荷载作用下的静力计算问题，可称之为 “动静法”。 我国现行抗震设计规范对于一般的工程结构采 用了第二种方法。
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
《建筑抗震设计规范》给出的水平向设计反应 谱曲线如下图所示，采用地震影响系数α谱曲 线的形式；依据不同的场地条件和地震环境， 设计反应谱曲线分为9条。
T g
T 2 m
ax
[2 0.2 (T 5Tg )] 1
max
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
设计地震分 组 第一组 第二组 第三组
图中的特征周期Tg按下表取值
Ⅰ0 0.20 0.25 0.30
场 Ⅰ 0.25 0.30 0.35 地 类
对应于阻尼比 ξ =0.05的水平地震影响系数最 大值αmax按下表取值：
6 0.05 0.05 0.04 0.12 — 7 0.10 0.10 0.08 0.23 0.50 0.15 0.15 0.12 0.34 0.72 0.20 0.20 0.16 0.45 0.90 8 0.30 0.30 0.24 0.68 1.20 9 0.40 0.40
其中 1 0.02 (0.05 ) / 8 0
2
0.05 0.9 0.5 5
第三章 建筑结构抗震原理
2 1
0.05 0.55 0.06 1.7
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
为了进行工程结构的抗震设计，必须首先求得 地震作用下工程结构各构件的内力。 目前，求解工程结构在地震作用下构件内力的 方法主要有两种： 第一种方法是根据工程结构在地震作用下的 位移反应，利用刚度方程，直接求解内力， 这时要求结构体系的动力学模型比较精确， 所选的地面运动时程曲线有很好的代表性；
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
别 Ⅲ 0.45 0.55 0.65
Ⅳ 0.65 0.75 0.90
抗震设防烈度 设计基本地震加速度值 (g) 地面地震动峰值加速度 αmax分区(g) αmax 多遇地震(小震) 基本烈度地震 罕遇地震(大震）
0.04~0.09 0.09~0.14 0.14~0.19 0.19~0.28 0.28~0.38
(t ) g (t ) F F (t ) max m u x
max
m Sa (T , )
g (t ) |max x S a (T , ) | m g Gk G g (t ) |max | x g
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
式中，m—单自由度体系的质量； G—体系的重量(力)，G=mg，g为重力加速度； S a (T , ) β—动力系数， ，是体系的最大绝对
| x g (t ) |max
加速度反应与地震地面运动最大加速度的比 值，表示由于动力效应，体系最大绝对加速 度比地面运动最大加速度的放大倍数。 k—地震系数，是地震地面运动最大加速度与 g (t ) |max | x 重力加速度的比值，即 k g α—水平地震影响系数，是地震系数与动力系 S a (T , ) 数的乘积，即 k g
考虑到不同结构类型建筑的抗震需要，提供了 不同阻尼比（ξ=0.01~0.20）地震影响系数曲线 相对于标准的地震影响系数曲线（阻尼比 ξ=0.05）的修正方法： 0.45 0.45 上升段(0≤T<0.1s)： [ 10(1.0 )T ]2 max 2 2 水平段(0.1s≤T≤Tg)： 2 max ( T / T ) 2 max 下降段(Tg<T≤5Tg)： g 1 [0.2 (T 5Tg )] 2 max 倾斜段(5Tg<T≤6.0s)：
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
同样，水平地震影响系数反应或α谱曲线的形 状与（拟）加速度反应谱Sa曲线的形状也完全 一致，只是α谱值比Sa谱值缩小了g倍。
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
3.2 设计反应谱
地震动是一个随机过程，即使在同一地点具有 相同的地面运动强度，两次地震中所记录的地 面运动加速度时程曲线也有很大差别。 采用不同的地面运动加速度时程曲线可以算得 不同的反应曲线，虽然它们之间存在某些共同 特性，但也存在很多差异。 在进行工程结构抗震设计时，无法预测该结构 将会遭遇到怎样的地震地面运动作用。 仅用某一次地震记录的一条加速度时程曲线所 得到的反应谱曲线作为设计依据，来计算地震 作用是不恰当的。 第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
而且，依据一条地面运动加速度时程曲线所绘 制的反应谱曲线波动起伏频繁，也很难在实际 抗震设计中应用。 因此，必须根据强震时在同一类场地上得到的 地面运动加速度时程，分别计算出其反应谱曲 线；然后将这些谱曲线进行统计分析，求出其 中最有代表性的平均反应谱曲线，再对其进行 平滑化处理，使其能用几个简单的数学表达式 来表示其变化，作为抗震设计的依据，称这样 的谱曲线为设计反应谱。 通常设计反应谱采用动力系数β谱或地震影响 系数α谱。
0.38
0.32 0.90 1.40
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
因此，在应用《建筑抗震设计规范》时，各抗 震设防烈度的设计基本地震加速度值采用《中 国地震动参数区划图》给出的地面地震动峰值 加速度分区值，其关系如下表所示。
抗震设防烈度 设计基本地震加速度值 (g) 地面地震动峰值加速度 αmax分区(g) 多遇地震(小震) αmax 基本烈度地震 罕遇地震(大震） 6 0.05 0.05 0.10 0.10 7 0.15 0.15 0.20 0.20 8 0.30 0.30 9 0.40 0.40 0.38 0.32 0.90 1.40
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
与最大绝对加速度反应谱Sa(T,ξ)一样，对于给 g (t ) 以及具有相同的结构 定的地震加速度记录 x 阻尼比ξ值，可以计算出对应不同的结构自振周 期T的动力系数β值。 用动力系数β作纵坐标，以体系的自振周期T作 横坐标，可以绘制出一条β－T曲线，称为动力 系数反应谱曲线或β谱曲线。 g (t ) |max x 对于给定的地震记录，其最大加速度a | 是个常数，所以β谱曲线是形状与（拟）加速 度反应谱Sa曲线的形状完全一致，只是纵坐标 g (t ) |max 倍。 x 值不同，β谱值比Sa谱值缩小了a |
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
3.1 单自由度体系水平地震作用
对于单自由度弹性体系，通常把惯性力看作是 一种反映地震地面运动对结构体系影响的等效 力，用以对结构进行抗震验算。 已知结构的自振周期T和阻尼比ξ时，对于特定 xg (t )，结构所受的最大 的水平向地震地面运动 水平地震作用F为：
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
采用特征周期Tg考虑同一加速度分区范围内或 同一地震烈度情况下地震震级大小、远近对加 速度反应谱形状的影响，大震、远震的加速度 反应谱向长周期一侧延伸，第一组表示小震、 近震的影响，第三组表示大震、远震的影响。
第三章 建筑结构抗震原理
§3 单自由度体系水平地震作用
§1 概述 §2 单自由度体系地震反应分析 §3 单自由度体系水平地震作用 §4 多自由度体系地震反应分析 §5 地震分析振型分解反应谱法 §6 水平地震作用的底部剪力法 §7 考虑扭转的水平地震作用 §8 结构竖向地震作用 §9 建筑结构抗震验算 §10 结构自振周期和频率的实用计算方法 §11 工程结构地震反应的时程分析方法 §12 地基与结构动力相互作用效应
土木工程专业本科专业课
工程抗震原理
Principles of Seismic Engineering
主要内容
第一章 工程抗震基础知识 第二章 场地与地基基础抗震原理
第三章 建筑结构抗震原理 第六章 桥梁结构抗震原理
第七章 工程结构减震控制原理
工程结构抗震原理 第三章 建筑结构抗震原理 2/322
第三章 建筑结构抗震原理