数学必修4(45分钟课时作业与单元测试卷)：习题课(一) Word版含解析

习题课(一)

一、选择题

1．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在( )

A ．x 轴的正半轴上

B ．y 轴的正半轴上

C ．x 轴的负半轴上

D ．y 轴的负半轴上

答案：A

解析：∵角α、β终边相同，∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z .

作差α－β＝k ·360°＋β－β＝k ·360°，k ∈Z ，

∴α－β的终边在x 轴的正半轴上．

2．在半径为10的圆中，4π3

的圆心角所对弧长是( ) A.403π B.203

π C.2003π D .4003

π 答案：A

解析：所求的弧长l ＝43π×10＝403

π. 3．已知tan130°＝k ，则sin50°的值为( ) A ．－k 1＋k 2 B.k 1＋k 2

C.1＋k 2k D ．－1＋k 2

k

答案：A

解析：k ＝tan130°＝－tan50°，∴tan50°＝－k >0，∴cos50°＝－1k sin50°.又sin 250°＋cos 250°＝1，∴sin 250°＝k 2k 2＋1.∵k <0，sin50°>0，∴sin50°＝－k 1＋k

2. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋σ＝－35，且σ是第四象限角，则cos(－3π＋σ)＝( ) A.45 B ．－45 C ．±45 D.35

答案：B

解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋σ＝sin σ＝－35

，且σ是第四象限角， ∴cos σ＝45，∴cos(－3π＋σ)＝－cos σ＝－45

. 5．如果角θ满足sin θ＋cos θ＝2，那么tan θ＋1tan θ

的值是( ) A ．－1 B ．－2

C ．1

D ．2

答案：D 解析：由sin θ＋cos θ＝2，得sin θcos θ＝12

. 故tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θcos θ

＝2.

6．已知n 为整数，化简

sin (n π＋α)cos (n π＋α)

所得结果是( ) A ．tan(nα) B ．－tan(nα)

C ．tan α

D ．－tan α

答案：C 解析：若n ＝2k (k ∈Z )，则

sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α；若n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α

＝tan α. 二、填空题

7．如果cos α＝15

，且α是第四象限角，那么cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝________. 答案：265

解析：∵α是第四象限角，且cos α＝15，∴sin α＝－1－cos 2α＝－265

，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝265

. 8．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．

答案：912

解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，

sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，

sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，

∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°

＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 9．设α是第二象限角，且cos α2＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π－α2，则α2是第________象限角． 答案：三

解析：∵cos α2＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π－α2 ＝－1－sin 2α2＝－|cos α2|.∴cos α2≤0.又∵α是第二象限角，∴α2是第一或第三象限角．故α2是第三象限角．

三、解答题

10．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2

，求sin α与cos α的值． 解析：∵sin ⎝⎛⎭

⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭

⎫2π＋π2＋α＝－sin α， ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169

.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②

∴由①＋②，得(sin α＋cos α)2＝289169

，

由②－①，得(sin α－cos α)2＝49169

， 又α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，

即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，

∴sin α＋cos α＝1713

，③ sin α－cos α＝713

，④ 由③＋④，得sin α＝1213，由③－④，得cos α＝513

. 11．化简：(1)cos36°－1－cos 236°1－2sin36°cos36°

； (2)tan (3π－α)sin (π－α)sin ⎝⎛⎭

⎫32π－α＋ sin (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫α－72πsin ⎝⎛⎭⎫32π＋αcos (2π＋α)

. 解：

(1)原式＝

cos36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin36°cos36° ＝cos36°－sin36°(cos36°－sin36°)

2＝cos36°－sin36°|cos36°－sin36°| ＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°

＝1； (2)∵tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α，

sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π＋α)＝cos α，

sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫α－72π＝cos ⎝⎛⎭

⎫72π－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π2－α＝cos ⎝⎛⎭

⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭

⎫32π＋α＝－cos α， ∴原式＝－tan αsin α(－cos α)＋－sin α(－sin α)－cos α·cos α

＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α

＝1.

能力提升

12．若tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)

的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1

C ．－1

D ．1