解析几何解答题

解析几何解答题一一抛物线（1）

1.已知抛物线〔I：/二）》（丨；：•：），焦点为F，直线交抛物线「于A：.- :

两点，为丄的中点，且| AF| t | 3F| - 1

（1）求抛物线匚的方程;

（2）若A.X V.V .-丨，求的最小值.

|AB|

2.已知F是抛物线C:x2 =4y的焦点，点P是不在抛物线上的一个动点，过点P向抛物线C作两条切线l i ,l2，切点分别为A %,力，B X2, y2 .

1 1

（1）如果点P在直线y = -1上，求 ----- -- --- 的值；

AF| |BF

（2）若点P在以F为圆心，半径为4的圆上，求AF BF的值•

解析几何解答题一一抛物线（2）

3•已知抛物线C1 : y2=2px（p ■ 0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为

2 2

3，且点G在圆C: x y =9上.

（1）求抛物线G的方程；

2 2

（2）已知椭圆C2 : =1（m・n .0）的一个焦点与抛物线G的焦点重合，且离心m n

1

率为一•直线I :y =kx -4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为2 2

直径的圆的外部，求k的取值范围.

2

4 .已知P是抛物线E : y 2px p 0上一点，P到直线x - y • 4 = 0的距离为di ,

P到E的准线的距离为d2，且d i d2的最小值为3,2 .

(1)求抛物线E的方程；

(2)直线11 :y = ki (x — 1 )父E 于点A, B，直线l2：y =k2(x—1)父E 于点C, D，线段AB,CD的中点分别为M ,N，若kh - -2，直线MN的斜率为k，求证：直线

I: kx「y「kk j「kk2二0 恒过定点.

解析几何解答题一一抛物线(3)

5 •已知动圆C过点Q 1,0，且在y轴上截得的弦长为2.

(I)求圆心C的轨迹方程；

(n)过点Q 1,0的直线1交轨迹C于A x i, y i , B X2, y?两点，证明: 为定值，并求出这个定值

1 1

2 2 QA QB

6.在平面直角坐标系中，一动圆经过点

的轨迹方程为曲线•

(I)求曲线；的方程；

且与直线相切，设该动圆圆心

(H)设；是曲线；上的动点，点；的横坐标为■，点「，圆的方程为(.v-l);+ r z =［，将表示成'的函数，并求在轴上，的内切■：■面积的最小值.

解析几何解答题一一椭圆(1)

7.如图，焦点在X轴的椭圆，离心率，且过点A -2,1，由椭圆上异于点P点发出的光线射到A点处被直线y二1反射后交椭圆于Q点(Q点与P点不重合)

(1)求椭圆标准方程；

(2)求证：直线PQ的斜率为定值;

2 2 2 2

xv x y

= 1(a • b • 0)的离心率与双&已知椭圆C :

2 2

曲线C': 1的离心率

a b 2 2

互为倒数，且经过点Mi41.

03丿

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，已知R,S是椭圆上的两个点，线段

O为坐标原点，求证：P,O, M三点共线.

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参考答案

1.(1) '； (2)-.

【解析】试题分析：(1) (1)根据抛物线的定义知，：'：,

• 'I十卜丨 1 + 2x

°，从而可求出p = 1，进而可得结果；(2)设直线1的方程为K二my + b，

x o

代入抛物线方程，得丁，根据韦达定理，弦长公式将2■用' 表示，换元后

利用基本不等式可得结果.

试题解析：(1)根据抛物线的定义知；：' …、•，

..J冋| -「- "：，

• ，

|._=二：

• ?

2

(2)设直线的方程为•二，代入抛物线方程，得1':'，

•.•" + 怕7,即4 "，

...畑“，即YM = 2bp2，

•L -• 1

… ，

•¥严十2E y L Y2=-2

•• ，，

1岡=山+朋¥1讪=& +』血十¥$-的迪=2真5茹屛+ 2

X1 + X2 V L2 + V? 1 3- 2

% = ——二—= -[fyi + V z)-却诜卜m +1

?

x o m2 + 1

.|AB| 2加十1 • Jnt? + 2

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X

0 t

阳*・、

令t:=m 2

+ 1, tC +护)，则

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题

•解决

圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面 几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根 据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值 不等式法，本题(2)就是用的

这种思路，利用均值不等式法求解的 2. (1) 1 (2) 16

解析】 试题分析：(1

) 根据抛物线定义得

1 1 y 1 y

2 2

帚V 芦

久 …1，设

Px

0-1，利用同一法可得切点弦

AB 方程X g X-2y ・2=0•联立切点弦方程与抛物线方程，利用韦达定理代入可得

1 1

——+——的值；(2 ) AF £F| =(如+1 X y 2 +1)

， AB 的方程为

AF BF

^x —2y —2y 0=0 . BF = 4 =衣2曹y° j ，联立切点弦方程与抛物线方程，利

用韦达定理代入可得 AF||BF 的值•

x 2

x

试题解析：解：因为抛物线的方程为

y ，所以y ，所以切线PA 的方程为

4 2

y-y^i 'x-x ,，即—x-y-y^0①，同理切线PB 的方程为一^x-y-y z^O ②，

2 2 2

设P x 0, y 0，则由①②得 xx o -2% -2y 0 =0以及x 2x^ -2y 2 -2y 0 = 0，由此得直线

AB 的方程为-2y -2y° =0 .

(1 )由于点 P 是直线y = T 上的一个动点，所以

y 0 = -1，即直线 AB 的方程为 x 0X-2y ，2=O,因此它过抛物线的焦点

F 0,1 .

1 1 __ +____ AF | BF

当X 。=0时, AB 的方程为y =1，此时 AF

BF =2，所以

AF BF

=1