09 第九章 直线相关与回归分析20130204

样本的相关系数
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ρ r
2、相关系数(correlation coefficient)
概念：描述两变量间相关关系的密切程度和相关方向。 用符号ρ（r）表示，其数值1≥ ρ（r） ≥－1。 相关方向： 当ρ（r）为正值时，表示一变量随另一变量的增加而 增加称为正相关； 当ρ（r）为负值时，表示一变量随另一变量的增加而 减少，称为负相关。
Sb为回归系数的标准误
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Syx为各观察值 Y 距回归直线的标准差，即剩余标准差；
ˆ )2 为剩余平方和，它反映X对Y的线性影响之外的因素 (Y Y
对Y的变异作用。在散点图中，各实测点离回归直线越近，越 小，说明直线回归的估计误差越小。
Sb
S YX l XX
SYX
2 ˆ (Y Y ) n2
2
4.09
18
（3）确定P值，作出推断结论
按ν＝n-2=8查t界值表，得 0.002<P<0.005，按α＝0.05 水准，拒绝 Ho ，接受H1 ，故可认为 20 岁男青年身高与前臂 长呈正直线相关关系。
2、查表法
查附表 14, r 界值表列出了相关系数 r 与 0 差别有统计学意 义的判断界值，按自由度＝n-2查r界值表， 当r≥rα(n-2)时，则P≤α ；反之，r＜ rα(n-2) 时，则P＞ α 。本例 r＝0.8227 ，大于 r0.05(8) ＝0.632 ，故 P<0.05 。 r值有意义。检验结果与t检验相同。
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二、直线回归方程的求法
求直线回归方程，关键在于计算a、b两个系数，根据数学 上的最小二乘法原理即保证各实测点至回归直线的纵向距 离的平方和最小。
( X X )(Y Y ) l XY b 2 l XX ( X X )
a Y bX
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计算步骤：
（1）列回归系数计算表同表9-1，求出ΣX ，ΣY ，ΣXY ， ΣX2 ， ΣY2 。 本例ΣX=1725 ，ΣY=454 ，ΣXY=78541 ，ΣX2=298525 ， ΣY2=20690 。前面已经计算出 lxx=962.5 ，lxy=226
一般认为，当样本含量较大的情况下（n＞100），大致可 按下列标准估计两变量相关的程度 │r│≥0.7 高度相关 0.7＞│r│≥0.4 中度相关 0.4＞│r│≥0.2 低度相关
7
8
图9-1
相关系数示意图
a图
图9-2
9
b图 相关系数大小比较
二、相关系数的计算
相关系数r的计算公式：
r
表9-1 身高与前臂长测量结果
20岁男青年身高与
前臂长，见下表。 问身高与前臂长有 无直线相关关系？
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高cm 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165
前臂长cm 45 42 44 41 47 50 47 46 49 43
14
计算步骤：
（3）计算X、Y的离均差平方和与离均差积和
l XX
2 2 ( X ) 1725 X2 298525 962.5 n 10
lYY
l XY
15
( Y ) 454 Y 20690 78.4 n 10
2 2 2
( X )( Y ) 1725 454 XY 78541 226 n 10
（X X )(Y Y ) ( X X )
2
(Y Y )
2

l XY l XX lYY
• 式中lXX与lYY分别为变量X与Y的离均差平 方和，lXY为两变量X 、Y的离均差积和。
10
计算公式为：
( X ) l XX X n
2
Baidu Nhomakorabea
2
( Y ) lYY Y n
6
密切程度： 当│ρ（r）│愈接近1，表示两变量的相关愈密切； 当│ρ（r）│愈接近0时，表示两变量相关程度愈低； 当│ρ（r）│＝0时，称为零相关，表示两变量无直线相 关关系， 当│ρ（r）│＝1时，称为完全相关，表示两变量呈直线 关系（x y有直线函数关系），见示意图9-1。
4
第一节 直线相关（linear correlation）
一、基本概念
1、直线相关：
当两正态分布变量在数量上的变化呈直线趋势时，则称 为直线相关,又称简单相关（simple correlation），用于 分析双变量正态分布资料。 表示两变量相关关系的重要指标就是相关系数，
总体的相关系数
SS总 Σ(Y Y ) lYY 78.400
2
SS回 blxy 0.2348 226 53.065
SS残 SS总 - SS回 78.400- 53.065 25.335
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表9-2 20岁男青年身高前臂长直线回归关系方差分析表 变异来源 总变异 回归 残差 自由度 9 1 8 SS 78.400 53.065 25.335 53.065 3.167 16.765 ＜0.01 MS F P
进行直线相关与回归分析时应注意的问题
1.作相关回归分析要有实际意义。不要把毫无联系的两种 现象作相关回归分析。
2.相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
3.在进行直线相关与回归分析之前，应先绘制散点图，当 观察到点的分布呈直线趋势时，方可进行分析，如散点图 呈曲线趋势，应进行曲线回归分析。
X 1725 X 172 .5 n 10
Y 454 Y 45 .4 n 10
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（3）求回归系数b和截距a
l XY 226 b 0.2348 l XX 962.5
a Y bX 45.4 0.2348 172.5 4.897
（4）列出回归方程 将求出的 a 和 b 代入公式（9.7）得
2
例9-1资料可验证
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F 16.756 4.09 tb
五、直线回归方程的应用
（一）描述两变量间的依存关系 可用直线回归来描述 。 （二）利用回归方程进行预测 将X代入直线回归方程，可得到应变量Y的估计值。 （三）利用回归方程进行统计控制 通过X取值来控制Y的变化。
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第三节
ˆ 4.897 0.2348X Y
25
三、回归直线的绘制
在自变量X的实测值范围，任意指定相距较远且易读的两
个数值，代入直线回归方程，求出相应的Y的估计值，确
定两点，用直线连接。 如本例取X1=155，则 ；X2=185，则。在图上确定（155， 41.291）和（185，48.335）两个点，直线连接，即得出 直线回归方程的图形。
计算步骤：
（4）求相关系数r
r
l XY l XX lYY

226 962.5 78.4
0.8227
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三、相关系数的检验假设
检验r是否来自总体相关系数ρ为零的总体。
1、t 检验法
t检验的计算公式
|r 0| |r | t Sr Sr
Sr
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1 r n2
2
相关系数的检验假设步骤
第九章
直线相关与回归分析
目录
1
2
3 4
2
直线相关 直线回归 应注意的问题 等级相关
教学目的及要求
掌握直线相关与回归的概念、意义及应用条件；
掌握直线相关与回归各指标的意义、应用及计算
方法；
熟悉直线相关与回归的联系及区别；
了解曲线回归的概念、意义及类型。
3
例9-1
某研究者测量10名
26
图9-2 20岁男青年身高与前臂长散点图
27
四、回归系数的假设检验
回归系数b为样本回归系数，假设在总体回 归系数β=0的总体中抽样，得出样本的b不
一定为0。
因此需作总体回归系数β是否为0的假设检
验，
常用t检验或方差分析。
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四、回归系数的假设检验
1、t检验法
|b0| |b| tb Sb Sb
（1）建立检验假设 Ho：ρ＝0 ,两变量间无直线相关关系 H1：ρ≠0 ,两变量间有直线相关关系 α＝0.05
（ 2 ）计算t 值 本例n=10 ， r=0.8227 ，按公式（ 9.5 ） 和公式（9.6） 计算t值
tr
r 1 r n2
2

0.8227 1 0.8227 10 2
（3）确定P值，作出推断结论 本例υ=10-2=8，查附表2，t界值表得t0.005(8)=3.833, 现t>t0.005(8) ，故P<0.005。
按α=0.05的水准，拒绝Ho，接受H1，可认为20岁 男青年身高与前臂长有直线回归关系。
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回归系数的假设检验步骤：方差分析法
（1）建立检验假设 H0：β=0, 即身高与前臂长无直线回归关系 H1：β≠0, 即身高与前臂长有直线回归关系 α=0.05 （2）计算F值 前 面 已 经 求 得 lXX=962.5 ， lXY=226 ， lYY=78.4，代入公式（9.13）有
2
2
l XY
( X )( Y ) XY n
11
例9-1
某研究者测量10名
表9-1 身高与前臂长测量结果
20岁男青年身高与
前臂长，见下表。 问身高与前臂长有 无直线相关关系？
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高cm 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165
（3）确定P值，作出推断结论 F0.01(1，8)=11.3,现F>F0.01(1，8) ，故P<0.01。 按α=0.05的水准，拒绝Ho，接受H1，可认为20岁男 青年身高与前臂长有直线回归关系。
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注意：
对于同一资料作总体回归系数 β 是否为零 的假设检验，方差分析和t检验是等价的，
tb F 或 t b F
前臂长cm 45 42 44 41 47 50 47 46 49 43
12
计算步骤：
（1）由原始数据绘制散点图9-2，本资料呈直线相关趋势。
图9-1
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20岁男青年身高与前臂长散点图
计算步骤：
（2）根据表9-1原始数据计算出: ∑X，∑Y，∑X2，∑Y2，∑XY 。 本例∑X＝1725，∑Y＝454， ∑X2＝298525，∑Y2＝20690，∑XY＝78541。
一、直线回归的概念
1、回归：反映两变量数量依存的关系，即指由一个变量推 算另一个变量的数量关系。 直线回归是回归分析中最基本最简单的一种，故又称简单 回归（simple regression）。 2、反映回归关系的方程称为直线回归方程。
ˆ a bX Y
ˆ 为应变量Y 的估计值，a 为回归直线Y 轴上的 式中 Y 截距，b 为回归系数即回归方程的斜率，意义？。
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四、相关分析应用中应注意的问题
1、进行相关分析前应先绘制散点图。
2、直线相关分析的统计推断要求两个随机变量均服从正 态分布。 3、出现离群点时慎用相关。
4、相关关系不一定是因果关系。
5、分层资料不可盲目合并。
20
21
第二节 直线回归（linear regression）
l 226 2 ˆ (Y Y ) lYY 78.4 25.33 l XX 962.5
SYX
33
2 XY
2
2 ˆ (Y Y ) n2
25.33 1.78 10 2
Sb
SYX l XX

1.78 962.5
0.0574
b0 b 0.2348 tb 4.09 Sb S b 0.0574
30
l 2 ˆ (Y Y ) lYY l XX
2 XY
2、方差分析法
残差(residual)
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ˆ ˆ (Y - Y ) (Y - Y ) (Y - Y )
2 2
2
SS总 SS回 SS 残
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回归系数的假设检验步骤：t检验法
（1）建立检验假设 H0：β=0, 即身高与前臂长无直线回归关系 H1：β≠0, 即身高与前臂长有直线回归关系 α=0.05 （2）计算t值 前 面 已 经 求 得 lXX=962.5 ， lXY=226 ， lYY=78.4，代入公式（9.13）有
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4.直线相关与回归的区别
（ 1 ）在资料需求上，相关分析要求两变量 X 与 Y均为服从正 态分布的随机变量，即两者都不能预先指定；
回归分析要求 Y 是正态随机变量，而 X 可以不是正态随机变 量而是一确定值，此时回归分析称为Ⅰ型回归， X 也可以是 正态随机变量，此时回归分析称为Ⅱ型回归。 （ 2 ）在意义上，相关反映两变量的相关关系；回归反映两 变量间的依存关系。