椭圆的定义及应用1
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P F1 F2
三、发散创新
互动 练习
4、已知点P 是椭圆 ⑴若∠F1PF2=90°，求△ F1PF2的面积 ⑶若∠F1PF2=θ，求△ F1PF2的面积
x2 y2 1 一点 25 9
， F1和F2 是椭圆的焦点，
⑵若∠F1PF2=60°，求△ F1PF2的面积
P
d
解 ⑵ 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10① ⑴ ⑶ 又a=5 b=3,∴c=4,2c=8
①22-②得 2|PF11|· 22|=36 |PF ① -②得 3|PF |· |=36 |PF |PF ①2-②得 2(1+cosθ)|PF1|· 2|=36
d F1 F2
P
2
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
由两点间距离公式得:
(1)解法一:(代入法)设P(x,y),易知:c=3, 得F1(-3,0),
| PF1 |2 ( x 3) 2 y 2 16 x 6 x 9 (25 x 2 ) 25 9 2 3 x 6 x 25 ( x 5) 2 25 5
2
5 x 5 PF |max 8, | PF |min 2 | 1 1
5 x p 5
x p 5时, | PF1 |max | A2 F1 | 8, x p 5时, | PF1 |min | A1 F1 | 2
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
|PF1|>|PF2|,求
| PF1 | 的值 | PF2 |
到右准线的距离为10， F1和 ,｜PF2｜=
F2 是椭圆的左右焦点，则｜PF1｜= 4
6
。
二、应用提高
互动 练习
3、已知椭圆
x2 y2 1 上一点P 25 16
到右准线的距离为10， F1和 ,｜PF2｜= 。
F2 是椭圆的左右焦点，则｜PF1｜= 解：
3 | PF | 3 e ,由 e得 | PF2 | 10 6, 5 d 5 | PF | 10 6 4 1
1、灵活运用椭圆的两个定义，是 解决椭圆问题的基本方法之一 2、 “化斜为直”是解决椭圆问题 的重要转化方法 即利用第二定义可将椭圆上点到焦 点的距离的有关问题转化为该点到准线 的距离来研究 F1
P
d F2
五、过关练习
题目 求椭圆4x2+9y2=36的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标.并用描 点法画它的图形. (1) 设P为椭圆 上的动点,则|PF1||PF2|的最大值是 (2) 设P为椭圆 上的动点,当∠F1PF2为钝角时,P的横坐标的取值范围是 (3) 设P为椭圆 上的点,且∠F1PF2为直角时，则△F1PF2的面积为 (4) 设P为椭圆 上的点,且∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为 (5) 设P为椭圆 上的点,已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶 点 ,且
| PF1 |2 (5 cos 3) 2 (4 sin ) 2 9 cos2 30cos 25 (3 cos 5) 2
1 cos 1 PF |max 8, | PF |min 2 | 1 1
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
椭圆的定义及其应用
学习目标：
1、在进一步理解椭圆两种定义的基 础上，熟练掌握两定义的应用。
2、学习运用转化的数学思想方法。
一、复习导引
椭圆定义及标准方程
第一定义 与两个定点的距离的和等于常数（|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|） 第二定义 到定点的距离 |MF| 和它到一条定直线的距离d 的比 是常数e（O＜e＜1） | MF |
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
l
N
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(1)解法三:(几何法)设l是已知椭圆与焦点F1相 应的准线,PN⊥l,垂足为N, 由椭圆第二定义得:
| PF1 | 3 3 3 25 ,即 | PF1 | | PN | ( x p ) | PN | 5 5 5 3
椭圆相交于A、B两点， 则△F2AB的周长为= 20
A B F1 F2
2、在△ABC中，已知A（-3，0）、B（3，0），动点C满足|CA|、
|AB|、|CB|成等差数列，则点C的轨迹方程为
x2 y2 1( y 0) 。 36 27
3、已知椭圆
x2 y2 1 上一点P 25 16
F1
F2
由余弦定理得: |PF11|PF1|2+|PF2|2=64② 22|cosθ=64② |PF 由勾股定理得: 2+|PF2|2-2|PF1|· 由余弦定理得: |PF ||2+|PF2|2-2|PF1|· |cos60°=64② |PF
1 1 1 | PF1PF| PF2PF | 9 9 sin 故S F1S 2F PF | PF ||1| |PF ||sin 3 3 故 | sin 60 故S F1PF 21 22 2 | 1 PF 2 2 1 cos 2 9 tan
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(1)解法二:(参数法)设P(5cosθ,4sinθ), 易知:c=3, 得F1(-3,0),由两点间距离公式得:
(
d
e)
标准方程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
图 形 几何量 a b c ( a2=b2+c2) e=c/a a2/c
二、应用提高
互动 练习
1、已知F1和F2 是椭圆
x2 y2 1 25 16
。
的左右焦点 ，直线 l 过F1与
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
P F1
d F2
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(2) PF1 PF2 的最大值
解 (2) 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10
F1 F2
P
思考题:怎样求 | PF1 | | PF2 | 2 |PF PF1 PF2 ( ) 百度文库5 |PF1|· 2|的最小 值? 2
PF1 PF2 max 25
四、方法提练
三、发散创新
互动 练习
4、已知点P 是椭圆 ⑴若∠F1PF2=90°，求△ F1PF2的面积 ⑶若∠F1PF2=θ，求△ F1PF2的面积
x2 y2 1 一点 25 9
， F1和F2 是椭圆的焦点，
⑵若∠F1PF2=60°，求△ F1PF2的面积
P
d
解 ⑵ 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10① ⑴ ⑶ 又a=5 b=3,∴c=4,2c=8
①22-②得 2|PF11|· 22|=36 |PF ① -②得 3|PF |· |=36 |PF |PF ①2-②得 2(1+cosθ)|PF1|· 2|=36
d F1 F2
P
2
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
由两点间距离公式得:
(1)解法一:(代入法)设P(x,y),易知:c=3, 得F1(-3,0),
| PF1 |2 ( x 3) 2 y 2 16 x 6 x 9 (25 x 2 ) 25 9 2 3 x 6 x 25 ( x 5) 2 25 5
2
5 x 5 PF |max 8, | PF |min 2 | 1 1
5 x p 5
x p 5时, | PF1 |max | A2 F1 | 8, x p 5时, | PF1 |min | A1 F1 | 2
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
|PF1|>|PF2|,求
| PF1 | 的值 | PF2 |
到右准线的距离为10， F1和 ,｜PF2｜=
F2 是椭圆的左右焦点，则｜PF1｜= 4
6
。
二、应用提高
互动 练习
3、已知椭圆
x2 y2 1 上一点P 25 16
到右准线的距离为10， F1和 ,｜PF2｜= 。
F2 是椭圆的左右焦点，则｜PF1｜= 解：
3 | PF | 3 e ,由 e得 | PF2 | 10 6, 5 d 5 | PF | 10 6 4 1
1、灵活运用椭圆的两个定义，是 解决椭圆问题的基本方法之一 2、 “化斜为直”是解决椭圆问题 的重要转化方法 即利用第二定义可将椭圆上点到焦 点的距离的有关问题转化为该点到准线 的距离来研究 F1
P
d F2
五、过关练习
题目 求椭圆4x2+9y2=36的长轴和短轴的长,离心率,焦点和顶点的坐标.并用描 点法画它的图形. (1) 设P为椭圆 上的动点,则|PF1||PF2|的最大值是 (2) 设P为椭圆 上的动点,当∠F1PF2为钝角时,P的横坐标的取值范围是 (3) 设P为椭圆 上的点,且∠F1PF2为直角时，则△F1PF2的面积为 (4) 设P为椭圆 上的点,且∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为 (5) 设P为椭圆 上的点,已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶 点 ,且
| PF1 |2 (5 cos 3) 2 (4 sin ) 2 9 cos2 30cos 25 (3 cos 5) 2
1 cos 1 PF |max 8, | PF |min 2 | 1 1
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
椭圆的定义及其应用
学习目标：
1、在进一步理解椭圆两种定义的基 础上，熟练掌握两定义的应用。
2、学习运用转化的数学思想方法。
一、复习导引
椭圆定义及标准方程
第一定义 与两个定点的距离的和等于常数（|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|） 第二定义 到定点的距离 |MF| 和它到一条定直线的距离d 的比 是常数e（O＜e＜1） | MF |
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
l
N
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(1)解法三:(几何法)设l是已知椭圆与焦点F1相 应的准线,PN⊥l,垂足为N, 由椭圆第二定义得:
| PF1 | 3 3 3 25 ,即 | PF1 | | PN | ( x p ) | PN | 5 5 5 3
椭圆相交于A、B两点， 则△F2AB的周长为= 20
A B F1 F2
2、在△ABC中，已知A（-3，0）、B（3，0），动点C满足|CA|、
|AB|、|CB|成等差数列，则点C的轨迹方程为
x2 y2 1( y 0) 。 36 27
3、已知椭圆
x2 y2 1 上一点P 25 16
F1
F2
由余弦定理得: |PF11|PF1|2+|PF2|2=64② 22|cosθ=64② |PF 由勾股定理得: 2+|PF2|2-2|PF1|· 由余弦定理得: |PF ||2+|PF2|2-2|PF1|· |cos60°=64② |PF
1 1 1 | PF1PF| PF2PF | 9 9 sin 故S F1S 2F PF | PF ||1| |PF ||sin 3 3 故 | sin 60 故S F1PF 21 22 2 | 1 PF 2 2 1 cos 2 9 tan
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(1)解法二:(参数法)设P(5cosθ,4sinθ), 易知:c=3, 得F1(-3,0),由两点间距离公式得:
(
d
e)
标准方程
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
图 形 几何量 a b c ( a2=b2+c2) e=c/a a2/c
二、应用提高
互动 练习
1、已知F1和F2 是椭圆
x2 y2 1 25 16
。
的左右焦点 ，直线 l 过F1与
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
P F1
d F2
三、发散创新
互动 练习
x2 y2 1 右焦点,求: 25 16 (1) PF1 的最大值与最小值
5、已知点P 是椭圆 上一点 ， F1和F2 是椭圆的左
P A1 F1
d F2 A2
(2) PF1 PF2 的最大值
(2) PF1 PF2 的最大值
解 (2) 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10
F1 F2
P
思考题:怎样求 | PF1 | | PF2 | 2 |PF PF1 PF2 ( ) 百度文库5 |PF1|· 2|的最小 值? 2
PF1 PF2 max 25
四、方法提练