(第03讲) 第二章 拉氏变换与传递函数
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《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
拉普拉斯变换以及传递函数
2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
例2-5
求例2-2机械系统与电路系统的传递函数 Xc和(s) Uc (s)
解：
Xr (s)
U r (s)
•
•
(B1 B2 ) X c (K1 K 2 ) X c B1 X c K1 X r
(B1 B2 )SXc (s) (K1 K2 ) X c (s) B1SX r (s) K1X r (s)
性质 传递函数与微分方程之间有关系。
6
G(s) C(s) R(s)
如果将 S d 置换 传递函数 微分方程
dt
10
性质 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)
7
脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单 位脉冲输入
时的输出响应。
R(s) L[ (t)] 1
c(t) L1[C(s)] L1[C(s)R(s)]
延迟定理
L[ f (t )] es F (s)
终值定理
lim f (t) lim sF (s)
3
t
s 0
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理 微分定理
lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
于是，由定义得系统传递函数为：
第03讲 传递函数
在零初始条件下，线性定常系统输出量的 拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比， 定义为线性定常系统的传递函数。 即，
2020/7/27
第3讲 传递函数
3
若已知线性定常系统的微分方程为
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式) 取拉氏变换，得
2020/7/27
（2）极点的位置决定模态的敛散性，即决定稳定 性、快速性。
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第3讲 传递函数
13
（3）零点决定各运动模态的比重。其本身并不形 成自由运动的模态，但它们却影响各模态在响应 中所占的比重。
➢零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所 占比重越大 ➢零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所 占比重越小 ➢如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因 为分子分母相互抵消。
其传递函数为
式中 T—— 惯性环节的时间常数 K—— 惯性环节的增益或放大系数
2020/7/27
第3讲 传递函数
20
当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线
1)(is 1)
1)(Tjs 1)
式中，分子和分母中的一次因子对应于实数零点和极点；二次 因式对应于共轭的复数零点和极点；τi和Tj称为时间常数；K为 系统的传递系数或称静态增益；ξ或ζ为阻尼比。
由该表达式可以看出：系统可以分解为一些比较典型的环节。
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第3讲 传递函数
16
传递系数
前面介绍了两种传递系数K和Kg： 其中： Kg=b0/a0为分子与分母多项式中最高次项系
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第3讲 传递函数
8
6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为
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第3讲 传递函数
3
若已知线性定常系统的微分方程为
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式) 取拉氏变换，得
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（2）极点的位置决定模态的敛散性，即决定稳定 性、快速性。
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第3讲 传递函数
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（3）零点决定各运动模态的比重。其本身并不形 成自由运动的模态，但它们却影响各模态在响应 中所占的比重。
➢零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所 占比重越大 ➢零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所 占比重越小 ➢如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因 为分子分母相互抵消。
其传递函数为
式中 T—— 惯性环节的时间常数 K—— 惯性环节的增益或放大系数
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第3讲 传递函数
20
当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线
1)(is 1)
1)(Tjs 1)
式中，分子和分母中的一次因子对应于实数零点和极点；二次 因式对应于共轭的复数零点和极点；τi和Tj称为时间常数；K为 系统的传递系数或称静态增益；ξ或ζ为阻尼比。
由该表达式可以看出：系统可以分解为一些比较典型的环节。
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第3讲 传递函数
16
传递系数
前面介绍了两种传递系数K和Kg： 其中： Kg=b0/a0为分子与分母多项式中最高次项系
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第3讲 传递函数
8
6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为
二章2拉氏变换ppt课件
五、拉氏变换求解线性微分方程
➢将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； ➢解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； ➢应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
A1 A2 A3 S S2 S3
A1
S S
1
2S
3
S
S 0
1 6
A2
S S
1
2S
3 S
2
S 2
1 2
A3
S S
1
2S
3 S
3
S 3
1 3
1
Y(S) 6
1 2
1 3
S S2 S3
yt 1 1 e2t 1 e3t
62 3
1 e2t 1 e3t
2
3
1
S 0.5
0.57 0.866
S S 0.52 0.8662 S 0.52 0.8662
f t 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
３、A(S)=0有重极点
设A(S)=0有r个重极点，将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
P0 r
1 !
例3：求
F
S
S
S 3
22 S
1
的反变换
将F（Ｓ）展开成下列形式：
FS
S
A01
22
A02
S 2
A3
S 1
A01
S
S 3
22 S
1 S
22
S 2
1
A02
d
ds
S
S 3
22 S
1 S
22
S
2
2
[自动控制原理][课件][第03讲][传递函数]
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(2)关于传递函数的几点说明 关于传递函数的几点说明 传递函数与微分方程有相通性. 传递函数与微分方程有相通性.传递函数分子 多项式系数及分母多项式系数, 多项式系数及分母多项式系数,分别与相应微分方 程的右端及左端微分算符多项式系数相对应. 程的右端及左端微分算符多项式系数相对应.故在 零初始条件下,将微分方程的算符d/dt用复数 零初始条件下,将微分方程的算符d/dt用复数s置换 用复数s 便得到传递函数. 便得到传递函数.
2. 传递函数
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型 之一.利用传递函数,可以: 之一.利用传递函数,可以: 不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在 输入作用下的动态过程. 输入作用下的动态过程. 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影 响——分析 分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要 求——综合 综合
(四)振荡环节 时域方程: 时域方程: a2 y '' (t ) + a1 y ' (t ) + a0 y (t ) = b0 x(t ) 传递函数: 传递函数:G ( s ) =
b0 a0 1 =k =k 2 2 a2 s 2 + a1s + a0 a2 s 2 + a1s + a0 T s + 2ζTs + 1
∏ (s z ) ∏ (s p )
j =1 j i =1 n i
m
式中: 称为传递函数的零点, 式中:-Zi 称为传递函数的零点,-pj称为传递函数的 极点. 极点.
b0 K = a0
*
——传递系数或根轨迹增益 ——传递系数或根轨迹增益
3. 典型环节及其传递函数
典型环节有比例,积分,惯性,振荡, 典型环节有比例,积分,惯性,振荡,微分和延 迟环节等多种. 迟环节等多种.以下分别讨论典型环节的时域特征和 复域( 特征. 复域(s域)特征.
第二节 传递函数讲解
L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—象函数。f(t)—原函数
拉氏反变换的定义
将象函数 F(s) 变换成与之相对应 的原函数 f(t) 的过程
? f (t) ? L?1[F(s)] ? 1 ? ? jw F(s)estds
2? j ? ? jw
拉氏变换的性质
线
性
若 有 常 数 k1 ， k2, 函 数
第二节 传递函数
拉氏变换与拉氏变换的定义
拉普拉斯变换
拉氏变换是控制工程中的一个基本数 学方法，其优点是能将时间函数的导 数经拉氏变换后，变成复变量 S的乘积， 将时间表示的微分方程，变成以 S表示 的代数方程。
拉氏变换的定义
设有时间函数 f(t) ，其中，t ? 0 则f(t)的拉氏变换记作：
? L[f (t)] ? F(s) ? ? f (t)e?st dt 0
理
其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)
延迟时间a.
复
数
域
的
位
移
若f(t) 的拉氏变换为 F(s), 对于任一
定
常数 a,有
理
L[e ? at f (t)] ? F(s ? a)
微 分 定
理
设f(t)的拉氏变换为 F(s),
则 L[df (t)] ? L[f ' (t)] ? sF (s) ? f (0? )
G(s) ?
U c (s) U (s)
?
1 R1C1R2C2s 2 ? (R1C1 ?
R2C2
?
R1C2 )s ? 1
传递函数的基本形式 零点、极点表示形式：
? zi (i ? 1, 2, , m)
? p j ( j ? 1, 2, , m)
拉氏反变换的定义
将象函数 F(s) 变换成与之相对应 的原函数 f(t) 的过程
? f (t) ? L?1[F(s)] ? 1 ? ? jw F(s)estds
2? j ? ? jw
拉氏变换的性质
线
性
若 有 常 数 k1 ， k2, 函 数
第二节 传递函数
拉氏变换与拉氏变换的定义
拉普拉斯变换
拉氏变换是控制工程中的一个基本数 学方法，其优点是能将时间函数的导 数经拉氏变换后，变成复变量 S的乘积， 将时间表示的微分方程，变成以 S表示 的代数方程。
拉氏变换的定义
设有时间函数 f(t) ，其中，t ? 0 则f(t)的拉氏变换记作：
? L[f (t)] ? F(s) ? ? f (t)e?st dt 0
理
其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)
延迟时间a.
复
数
域
的
位
移
若f(t) 的拉氏变换为 F(s), 对于任一
定
常数 a,有
理
L[e ? at f (t)] ? F(s ? a)
微 分 定
理
设f(t)的拉氏变换为 F(s),
则 L[df (t)] ? L[f ' (t)] ? sF (s) ? f (0? )
G(s) ?
U c (s) U (s)
?
1 R1C1R2C2s 2 ? (R1C1 ?
R2C2
?
R1C2 )s ? 1
传递函数的基本形式 零点、极点表示形式：
? zi (i ? 1, 2, , m)
? p j ( j ? 1, 2, , m)
拉氏变换、传递函数、数学模型
拉普拉斯变换的数学方法一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
证：同理可推广到n阶：当初始条件为0时，即则有4、积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则，其中时的值。
证明：同理可得n阶积分的拉氏变换：当初始条件为0时，f(t)的各重积分在时，均为0，则有]5、初值定理设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为：证明：由微分定理知：对等式两边取极限：则有例：已知，求f(0+)由初值定理知：6、终值定理：若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为：证明：由微分定理知：令，对上式两边取极限，这个定理在稳态误差中常用。
第二章附录-拉氏变换
例3 : y(3) 3y 3y y 1, y(0) y(0) y(0) 0 求微分方程.
F (s)
1 s(s 1)3
b3 (s 1)3
b2 (s 1)2
b1 s 1
c4 s
b3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
b2
d
ds
[
s(s
1 1)3
(s
1)3
]
s1
[d ds
(
1 s
一.拉氏变换
1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积
分
F (s) f (t)est dt
0
存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
简称拉氏变换。记为 F (s) L[ f (t)]
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f (t) L1[F (s)]
2.常用函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t) f(t)
ci是常数
M (s) ci [ D(s) (s pi )]s pi
例1: F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)(s
1 2)(s
3)
(s
1)]s 1
1 6
1
1
c2
[ (s
1)(s
2)(s
3)
(s
2)]s2
15
c3
[ (s
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
令t / a ,则原式 f ( )esa ad aF(as)
0
(8)卷积定理
74-学习手册-单元二知识点二拉氏变换和知识点三传递函数
例题分析：用复阻抗法求 RLC 串联电路的传递函数
解：将 RLC 串联电路中的电压和电流各量用对应的象函数表示，根据电工基础所学 知识，有：
课堂讨论
已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
c(t)
=
1-
2 3
e-t
-
1 3
e-4t
试求：系统的传递函数。
解：
C(s)
=
1 s
-
2 3
�s 1+1
-
1 3
�s +1
t
s0
知识点三 传递函数
学习重点：
1、理解传递函数的定义
2、控制系统传递函数的求取方法
3、直接求取法和复阻抗法能够传递函数
学习内容：
一、传递函数的定义
当初始条件为零时，输出量 c(t)的拉氏变换式 C(s)与输入量 r(t)的拉氏变换式 R(s)的 之比。
零初始条件有两方面含义：
一是指输入量在 t≥0 时才作用于系统，因此，在 t≤0 时，输入量及其各阶导数均为
s( s 2
+
1 a1s +
a2 )
（3）L-1变换
y t = L-1 Y (s)
（四）小结
1 拉氏变换的定义
ﾥ F (s) = ﾥ f (t) ﾥe-tsdt 0
2 常见函数L变换
f (t)
（1）单位脉冲
(t)
（2）单位阶跃
1(t )
（3）单位斜坡
t
（4）单位加速度
t2 2
e -at
（5）指数函数
L f t = s F s - f 0
L
f tdt
=
1 s
F
拉普拉斯变换与传递函数
2、微分性质
3、积分性质
4、终值定理
5、初值定理
6、位移定理
7、卷积定理
传递函数
以 RC 网络为例。
duc RC uc ur，设 uc (0) dt
R
0
ur
i
C
1 U c ( s) U r ( s )。 其中 U r ( s )随 ur (t ) 形式而变， RCs 1
1 1 C ( s) s(Ts 1) s 1
c(t )
T
2T
3T
4T
t
t T
1 s T
c( t ) 1 e
如RC网络、LR回路。
R
R
ur
C
uc
ur
L
i为out
（四）微分环节：
dr ( t ) 1．微方： c( t ) dt
2．传函： G( s ) s ，只有一个零值零点。
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
（4）一般表示法： 系统可能还会有零值极点，若为 个，则有：
1 3．响应： r ( t ) 1( t ), R( s ) ，则 s
c( s )
s
s
—脉冲函数, c(t ) (t )
若r (t ) t 1(t ) 则 c( t ) ——阶跃函数
因此微分环节能预示
r (t )
r ( t )的变化趋势。
拉氏变换及传递函数详解演示文稿
Fx （3）复数的共轭 F(s) Fx jFy （4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
2.复变数的各种表达形式
s j 代数形式
s
极坐标
s e jθ
指数
s (cos j sin )
三角
s 2 2 tg 1
欧拉定理：
e jθ cosθ j sin θ e jθ cosθ j sin θ cosθ 1 (e jθ e jθ )
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
5 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
证
明： 左 f t estdt estdf t
0
0
e-st f
t
0
例8
L e-3t cos 5t
s 2
s 52
ss3
s3
s 32 52
例9
Le 2 t
cos ( 5t
π 3
)
Le 2t
cos5(t
π 15
)
-
π
s
e 15
s
2
s
52
s
s
2
π s2
e 15
s2 s 2 2 52
（6）初值定理 lim f (t) lim s F(s)
s
s
s
（5）位移定理 L eAt f (t) F (s A)
证明：左 e At f (t) ets dt f (t) e(sA)t dt
0
0
令 sA s
f (t)est dt
2.复变数的各种表达形式
s j 代数形式
s
极坐标
s e jθ
指数
s (cos j sin )
三角
s 2 2 tg 1
欧拉定理：
e jθ cosθ j sin θ e jθ cosθ j sin θ cosθ 1 (e jθ e jθ )
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
5 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
（2）微分定理 L f t s F s f 0
证
明： 左 f t estdt estdf t
0
0
e-st f
t
0
例8
L e-3t cos 5t
s 2
s 52
ss3
s3
s 32 52
例9
Le 2 t
cos ( 5t
π 3
)
Le 2t
cos5(t
π 15
)
-
π
s
e 15
s
2
s
52
s
s
2
π s2
e 15
s2 s 2 2 52
（6）初值定理 lim f (t) lim s F(s)
s
s
s
（5）位移定理 L eAt f (t) F (s A)
证明：左 e At f (t) ets dt f (t) e(sA)t dt
0
0
令 sA s
f (t)est dt
2.3 Laplace变换和传递函数
n L[ f ( n ) (t )] = s F (s)
L
原函数的n阶导数的拉氏式等于其像函数乘以 原函数的 阶导数的拉氏式等于其像函数乘以 s n
2012-5-2 第二章 控制系统的数学模型 7
3、频域导数性质 、
设：L[ f (t )] = F ( s )
dF ( s) 则：L[tf (t )] = − ds
则：L[eαt f (t )] = F ( s − α )
L− [ F ( s − α )] = eα t f (t )
说明：原函数f(t)乘以因子 它的像函数只需把F(s)中的 中的s用 说明：原函数 乘以因子eα t 它的像函数只需把 中的 用
s − α 代替。 代替。
2012-5-2
第二章 控制系统的数学模型
利用部分分式F(s)分解为： 分解为： 利用部分分式 分解为
kn k1 k2 F (s) = + + ⋅⋅⋅ + s − s1 s − s2 s − sn
f (t ) = k1e + k 2 e + ⋅ ⋅ ⋅ + k n e
s1t s2t
snt
法1： ： 法2： ：
2012-5-2
ki = F ( s )( s − si ) s = si
特殊情况： 特殊情况：当σ =0，s=jω，且积分下限为－∞时， ， ω 且积分下限为－ 时 拉氏变换就是傅立叶变换 拉氏变换就是傅立叶变换 F ( jω ) = +∞ f ( t )e − jωt dt 正变换 ∫− ∞ 傅立叶变换 1 j∞ f(t )= F ( jω )e jωt dω 反变换 ∫− j∞ 2π
N ( s) K1 = D ′( s ) K 2 = 0.5
L
原函数的n阶导数的拉氏式等于其像函数乘以 原函数的 阶导数的拉氏式等于其像函数乘以 s n
2012-5-2 第二章 控制系统的数学模型 7
3、频域导数性质 、
设：L[ f (t )] = F ( s )
dF ( s) 则：L[tf (t )] = − ds
则：L[eαt f (t )] = F ( s − α )
L− [ F ( s − α )] = eα t f (t )
说明：原函数f(t)乘以因子 它的像函数只需把F(s)中的 中的s用 说明：原函数 乘以因子eα t 它的像函数只需把 中的 用
s − α 代替。 代替。
2012-5-2
第二章 控制系统的数学模型
利用部分分式F(s)分解为： 分解为： 利用部分分式 分解为
kn k1 k2 F (s) = + + ⋅⋅⋅ + s − s1 s − s2 s − sn
f (t ) = k1e + k 2 e + ⋅ ⋅ ⋅ + k n e
s1t s2t
snt
法1： ： 法2： ：
2012-5-2
ki = F ( s )( s − si ) s = si
特殊情况： 特殊情况：当σ =0，s=jω，且积分下限为－∞时， ， ω 且积分下限为－ 时 拉氏变换就是傅立叶变换 拉氏变换就是傅立叶变换 F ( jω ) = +∞ f ( t )e − jωt dt 正变换 ∫− ∞ 傅立叶变换 1 j∞ f(t )= F ( jω )e jωt dω 反变换 ∫− j∞ 2π
N ( s) K1 = D ′( s ) K 2 = 0.5
传递函数拉氏变换
传递函数拉氏变换
拉普拉斯变换（LaplaceTransform）是一种重要的数学工具，它可以将一个函数从时间域转换到频率域。
通过拉普拉斯变换，我们可以更加方便地研究信号的特性和行为，以及进行系统分析和控制设计。
拉普拉斯变换可以在复平面上表示，并且它具有线性性、时移性、频移性、导数性质、积分性质、卷积性质等多种重要性质。
因此，它不仅在工程学科中广泛应用，而且在物理学、化学、经济学等学科中也具有重要的应用价值。
在实际应用中，我们一般使用拉氏变换对信号进行分析和处理。
例如，我们可以通过拉氏变换求解微分方程、求解线性时不变系统的传递函数、计算信号的频谱等。
此外，拉氏变换还可以与其他数学工具如傅里叶变换、Z变换等相结合，进一步扩展其应用范围。
总之，拉氏变换是一个强大的工具，它为我们提供了一种更加方便和有效的方式来研究信号和系统。
在工程学科中，它被广泛应用于电路分析、控制系统设计、通信系统设计等领域。
- 1 -。
(第03讲) 第二章 拉氏变换与传递函数
t )] 1( s
(
s j
) s
2
2
4 幂函数
L (t )
n
t t) 1(
n
n s
t e
n
st
dt
st
1 s
n s
t e
n
st
0
0
n
s
e
st
t
n 1
dt
0
L[t
n
]
t
n 1
e
dt
L[t
n 1]
]
0
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
X ( s ) L [ x ( t )]
x (t )e
st
dt
0
式中，s是复变数； s
x (t ) 为原函数； X ( s )
j
Re( s )
为象函数。
2.3.2 简单函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 1( t )
0, t 0 1( t ) 1, t 0
x ( t ) y ( t ) 的卷积分的数学表示为：
x (t ) y (t ) x (t ) y (t )
06-7-20
t 0
t
x ( t ) y ( ) d
0
x ( ) y ( t ) d y ( t ) x ( t )
控制系统系统的动态数学模型 12
对于函数 x (t ) 满足， x （1）当t<0时， ( t ) 0
x (t 当t>0时， )
拉氏变换及传递函数(补充内容)
c 2 m [ F ( s ) ( s s 2 ) m ] | s s2
c2( m1) d [ F ( s ) ( s s2 ) m ] |s s2 ds
(2-85)
(2-86) (2-87) 15
1 d ( m1) c21 m1 [ F ( s ) ( s s2 ) m ] |s s2 ( m 1)! ds
f (t )
拉氏变换逆运算称为拉普拉斯反变换,简称拉氏反变换。
(2-77)
上式所指明的拉氏反变换，由于是复变函数的积 分，计算复杂，一般很少采用。
9
拉氏变换和拉氏反变换是一一对应的，大多数情 况可由拉氏变换表上查得。当表中查不到时，则需将 F ( s ) 转化成表的形式，再进行查表。 由 F ( s ) 求 f (t ) 时，通常采用的方法是部分分式法。 将F(s)分解为一系列的有理分式Fi(s)之和，
(2-92)
得到输出信号的拉氏变换Y ( s )为
bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 Y ( s) n U ( s) n 1 s a n 1 s ... a1 s a0
(2-93)
21
则 Y ( s )与 U ( s )的比值为
Y ( s ) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 n U ( s) s a n 1s n 1 ... a1s a0
1 st L [ F ( s)] f (t ) F ( s ) e ds c 2j
1
(2-44)
上式为复变函数积分，积分围线c为由s=-j到 s=+j 的闭曲线。
3
2 拉氏变换的一些基本定理
(1) 线性定理 则
c2( m1) d [ F ( s ) ( s s2 ) m ] |s s2 ds
(2-85)
(2-86) (2-87) 15
1 d ( m1) c21 m1 [ F ( s ) ( s s2 ) m ] |s s2 ( m 1)! ds
f (t )
拉氏变换逆运算称为拉普拉斯反变换,简称拉氏反变换。
(2-77)
上式所指明的拉氏反变换，由于是复变函数的积 分，计算复杂，一般很少采用。
9
拉氏变换和拉氏反变换是一一对应的，大多数情 况可由拉氏变换表上查得。当表中查不到时，则需将 F ( s ) 转化成表的形式，再进行查表。 由 F ( s ) 求 f (t ) 时，通常采用的方法是部分分式法。 将F(s)分解为一系列的有理分式Fi(s)之和，
(2-92)
得到输出信号的拉氏变换Y ( s )为
bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 Y ( s) n U ( s) n 1 s a n 1 s ... a1 s a0
(2-93)
21
则 Y ( s )与 U ( s )的比值为
Y ( s ) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 n U ( s) s a n 1s n 1 ... a1s a0
1 st L [ F ( s)] f (t ) F ( s ) e ds c 2j
1
(2-44)
上式为复变函数积分，积分围线c为由s=-j到 s=+j 的闭曲线。
3
2 拉氏变换的一些基本定理
(1) 线性定理 则
控制工程基础 第二章数学模型-拉氏变换(第三讲)
上式为复数方程，令方程两端实部、虚部分别相等即可 确定A1和A2的值。
例：求
的原函数。
解：
1 1 2 A1 A2 2 即： j 3 A j 3 1 2 2
所以：
含多重极点的情况 设F(s)存在r个重极点-p0，其余极点均不同，则
= 式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。
解：对微分方程左边进行拉氏变换
对方程右边进行拉氏变换
从而：
所以
当初始条件为零时：
作业: 2-1， 2-2， 2-9(b)， 2-10(a) ，2-11(c)
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）为复变数； 象函数 原函数
拉氏变换的符号
简单函数的拉氏变换
单位阶跃函数 1(t)
f(t) 1
0
单位阶跃函数
t
指数函数
f(t) 1
指数函数
t
正弦函数、余弦函数
f(t) 1 0 -1 f(t)=cost 正弦及余弦函数 f(t)=sint
由欧拉公式，有：
工程数学积分变换数学变换小学数学图形变换数学必修二第二章高等数学李伟第二章高中数学图像变换数学建模第二章答案数学必修2第二章数学必修一第二章初一数学第二章
四、拉氏变换和拉氏反变换 设函数f(t) (t≥0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正 实常数σ，使得：
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
复微分定理 若L[f(t)]=F(s)，则除了F(s)的极点之外，有：
积分定理
……
Hale Waihona Puke 当初始条件为零时 延时定理
f(t-a)
a
函数 f(t-a)
自动控制理论第二章传递函数_图文
解：前向通路4条 独立回路3个
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
《拉氏变换》课件
介绍拉氏变换在控制系统设计和稳定性分析中的重要性。
六、总结
拉氏变换是一种强大的工具，具有许多优点和应用。通过学习拉氏变换，我们也能培养出思考和解决问题的能 力。
1 拉氏变换的优点和缺点
总结拉氏变换的优点和限制。
ห้องสมุดไป่ตู้
2 学习拉氏变换的思考方式
分享学习拉氏变换的思考方式和技巧。
七、参考文献
提供拉氏变换相关领域的参考文献，供进一步学习和研究之用。
拉氏变换具有许多有用的性质，理解这些性质将有助于我们更好地理解和应用拉氏变换。
线性性质
探讨拉氏变换的线性 性质和叠加原则。
移位性质
解释拉氏变换中的时 移、频移和频率缩放。
放大性质
讨论拉氏变换中的放 大和缩小效应。
模拟性质
研究拉氏变换的模拟 性质和与连续时间信 号的关系。
四、拉氏变换的逆变换
逆变换是拉氏变换的逆过程，将频率域的信号还原回时间域中的信号。
1 逆变换的表达式
探讨拉氏逆变换的数学表达式和符号。
2 逆变换的性质
讨论逆变换的性质以及逆变换在实际应用中的作用。
五、拉氏变换的应用
拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统设计等领域中有广泛的应用。
信号处理
探索拉氏变换在数字信号处理中的作用。
电路分析
研究拉氏变换在电路分析和设计中的应用。
控制系统设计
探索拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统 设计等领域的重要作用。
二、拉氏变换的定义
拉氏变换将信号从时间域转换到频率域，使我们能够以频域的角度来分析和处理信号。
1 时间域和频率域
解释时间域和频率域的概念，并探索两者之 间的关系。
2 拉氏变换的表达式
六、总结
拉氏变换是一种强大的工具，具有许多优点和应用。通过学习拉氏变换，我们也能培养出思考和解决问题的能 力。
1 拉氏变换的优点和缺点
总结拉氏变换的优点和限制。
ห้องสมุดไป่ตู้
2 学习拉氏变换的思考方式
分享学习拉氏变换的思考方式和技巧。
七、参考文献
提供拉氏变换相关领域的参考文献，供进一步学习和研究之用。
拉氏变换具有许多有用的性质，理解这些性质将有助于我们更好地理解和应用拉氏变换。
线性性质
探讨拉氏变换的线性 性质和叠加原则。
移位性质
解释拉氏变换中的时 移、频移和频率缩放。
放大性质
讨论拉氏变换中的放 大和缩小效应。
模拟性质
研究拉氏变换的模拟 性质和与连续时间信 号的关系。
四、拉氏变换的逆变换
逆变换是拉氏变换的逆过程，将频率域的信号还原回时间域中的信号。
1 逆变换的表达式
探讨拉氏逆变换的数学表达式和符号。
2 逆变换的性质
讨论逆变换的性质以及逆变换在实际应用中的作用。
五、拉氏变换的应用
拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统设计等领域中有广泛的应用。
信号处理
探索拉氏变换在数字信号处理中的作用。
电路分析
研究拉氏变换在电路分析和设计中的应用。
控制系统设计
探索拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统 设计等领域的重要作用。
二、拉氏变换的定义
拉氏变换将信号从时间域转换到频率域，使我们能够以频域的角度来分析和处理信号。
1 时间域和频率域
解释时间域和频率域的概念，并探索两者之 间的关系。
2 拉氏变换的表达式
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1
x (0 )
n 1
2
( n 1) 2
(0 )
s n x (0 ) s
n
s
（2）在零初始条件下
L [ x ( t )( dt ) ]
X (s) s
n
at 4 衰减定理 L[e x ( t )] X ( s a ) (复域中的延时定理)
5 延时定理
1 t0s
1 1 -t0s ] lim [ - e ] t0 0 t s s 0
2
1
t0 0
[1 - (1 - t 0 s
e
x
2!
(t 0 s ) - )] 1
1 2! x
2
注意：指数函数的展开
06-7-20
1 x
1 n!
x
n
x
10
控制系统系统的动态数学模型
n
1
3 积分定理
式中
06-7-20
L x ( t ) dt
1
X (s) s
x (0) s
x ( t ) x ( t ) dt
控制系统系统的动态数学模型 7
推论：
（1）
L[
x ( t )( d t ) ]
n
X (s) s x
n
x (0 ) s
n
X (s) B (s) A(s) b 0 s b1 s
m m 1
b m 1 s b m
s a1 s
n
n 1
a n 1 s a n
(n m )
A(s) 0 B (s) 0
得极点： p 1 , p 2 , p n 得零点： z 1 , z 2 , z m
L [1( t )]
0
e
1( t ) e
st
dt
1 s
e
st
0
1 s
2 指数函数
06-7-20
at
t) 1(
控制系统系统的动态数学模型 3
L[e
at
t )] 1(
( s a )t
e
0
at
t )e 1(
st
dt
0
e
dt
1 s a
5
n0 n 1
L [1 ( t )] L[t ] 1 s
2
1 s
n 2
L [1 ( t )] L[t ]
n
2 s n!
3
s
n 1
2.3.3 拉氏变换的性质
1 叠加定理（线性定理） 若 则
L [ x1 ( t )] X 1 ( s ) L [ x 2 ( t )] X 2 ( s )
dX ( s ) ds
11
控制系统系统的动态数学模型
10
x (t ) t
的拉氏变换
L[
x (t ) t
]
X ( s )ds
s
11 周期函数的象函数
L [ x ( t )] 1 1 e
sT
x (t T ) x (t )
T
x ( t )e
st
dt
0
12 卷积分的象函数
L [ x ( t ) y ( t )] X ( s )Y ( s )
解： X ( s )
s
s3
2
3s 2
a 1 X ( s ) ( s 1)
2
a 2 X ( s ) ( s 2 )
x (t ) ( 2 e
t
s 2
1
e
2 t
) t ) 1(
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
15
2. 含有共扼复数极点时
2.3.4 拉氏反变换
拉氏反变换定义：
x (t )
1 2 j
a j
a j
X ( s )e
st
ds
简写为： x ( t ) L 1 [ X ( s )] 例4 求
X (s) s s
2
2s 5
拉氏反变换。
s s 1 ( s 1) 2
2 2
解： X ( s )
s
1 2
j
3 2
e
( s a )t
1 s a
0
1( 1( 3 正弦函数 sin t t ) 和余弦函数 c o s t t )
根据欧拉公式： e
e
j
cos j sin cos j sin
e
j
j
sin
e 2 j
j
cos
e
j
n
n 1
x (0 ) s
( n 1)
n2
x (0 )
s x
(n2)
(0 ) x
2
(0 )
'
二阶导数的拉氏变换 L [ （2）在零初始条件下
d x (t ) dt
L[
2
] s X ( s ) sx ( 0 ) x ( 0 )
2
n n
d dt
x ( t )] s X ( s )
3 2
例 6 试求
X (s)
s 1
拉氏反变换 。
X ( s ) 的极点
X ( s )( s
s 1 s
06-7-20
s 1 2 j
s1 , 2
1 2
1 2
j
3 2
s3 0
s 1 2 j 3 2
2
s 1)
s
j
3 2
a1 s a 2
3 2
a1 s a 2
X (s) B (s) A(s) b 0 s b1 s
m m 1
b m 1 s b m
s a1 s
n m
n 1 m 1
a n 1 s a n b m 1 s b m
(n m )
b 0 s b1 s
m m 1
1.只含不同单极点的情况
X (s)
a1 s p1
B (s) A(s)
b 0 s b1 s
b m 1 s b m
( s p 1 )( s p 2 ) ( s p n )
an s pn
a2 s p2
x ( t ) y ( t ) 的卷积分的数学表示为：
x (t ) y (t ) x (t ) y (t )
06-7-20
t 0
t
x ( t ) y ( ) d
0
x ( ) y ( t ) d y ( t ) x ( t )
控制系统系统的动态数学模型 12
对于函数 x (t ) 满足， x （1）当t<0时， ( t ) 0
x (t 当t>0时， )
在每个有限区间上是分段连续的。
（2）
x (t ) e
t
dt
0
其中 是正实数，即 ) x (t
为指
x 数级的；则(t ) 的拉氏变换存在，其表达式记作 :
06-7-20 控制系统系统的动态数学模型 2
6 初值定理
7 终值定理
lim x ) ( t
t 0
lim
s
sX ) s (
lim x ( t ) lim sX ( s )
t s 0
注意:运用终值定理的前提
t
lim x ( t )是存在的。
8 时间比例尺改变的象函数 L [ x ( 例3：求 L [ f (at b ) 1(at
L [ a x1 ( t ) bx 2 ( t )] a X 1 ( s ) bX 2 ( s )
d x (t ) dt ] sX ( s ) x (0 )
2 微分定理
L[
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
6
推论： （1）
L[ d dt
n n
x ( t )] s X ( s ) s
X ( s ) L [ x ( t )]
x (t )e
st
dt
0
式中，s是复变数； s
x (t ) 为原函数； X ( s )
j
Re( s )
为象函数。
2.3.2 简单函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 1( t )
0, t 0 1( t ) 1, t 0
a k 是 X ( s ) 在 s p 点的留数。 k
ak [
06-7-20
B (s) A(s)
( s p k )] s p k
控制系统系统的动态数学模型 14
例5 试求
X (s) s
s 3
2
3s 2 a1 s 1
s 1
拉氏反变换。
a2 s 2
a 3 至 a n 与单极点的算法一样。
06-7-20 控制系统系统的动态数学模型 16
a1 s a 2 s cs d
2
可通过配方，化成正弦、余弦象函数的形式，
然后求其拉氏反变换 。
s s s a3 s 1 a1 s a 2 解：X ( s ) 2 3 2 s s s s s 1 s