(第03讲) 第二章 拉氏变换与传递函数

L [1( t )]
0
e

1( t ) e
st
dt
1 s
e
st
0

1 s
2 指数函数
06-7-20
at
t) 1(
控制系统系统的动态数学模型 3
L[e
at
t )] 1(
( s a )t


e
0
at
t )e 1(
st
dt
0



e
dt
1 s a
X (s) B (s) A(s) b 0 s b1 s
m m 1
b m 1 s b m
s a1 s
n
n 1
a n 1 s a n
(n m )
A(s) 0 B (s) 0
得极点： p 1 , p 2 , p n 得零点： z 1 , z 2 , z m
5
n0 n 1
L [1 ( t )] L[t ] 1 s
2
1 s
n 2
L [1 ( t )] L[t ]
n
2 s n!
3
s
n 1
2.3.3 拉氏变换的性质
1 叠加定理（线性定理） 若 则
L [ x1 ( t )] X 1 ( s ) L [ x 2 ( t )] X 2 ( s )
3 2
例 6 试求
X (s)
s 1
拉氏反变换 。
X ( s ) 的极点
X ( s )( s
s 1 s
06-7-20
s 1 2 j
s1 , 2
1 2
1 2
j
3 2
s3 0
s 1 2 j 3 2
2
s 1)
s
j
3 2
a1 s a 2
3 2
a1 s a 2
L [ f ( t )]
06-7-20
E s
e
t0 s

E s

E s
(1 e
t0 s
)
9
控制系统系统的动态数学模型
例2：单位脉冲函数的数学表达式可以表示为：
1 lim (t ) t0 0 t 0 0
xi
0 t t0 t 0及 t t0
a 3 至 a n 与单极点的算法一样。
06-7-20 控制系统系统的动态数学模型 16
a1 s a 2 s cs d
2
可通过配方，化成正弦、余弦象函数的形式，
然后求其拉氏反变换 。
s s s a3 s 1 a1 s a 2 解：X ( s ) 2 3 2 s s s s s 1 s
m m 1
1.只含不同单极点的情况
X (s)
a1 s p1
B (s) A(s)


b 0 s b1 s
b m 1 s b m
( s p 1 )( s p 2 ) ( s p n )
an s pn
a2 s p2
t )] 1( s
(
s j
) s
2

2
4 幂函数
L (t )
n
t t) 1(
n

n s

t e
n
st
dt
st
1 s
n s
t e
n
st
0
0

n
s

e
st
t
n 1
dt
0
L[t
n
]


t
n 1
e
dt
L[t
n 1]
]
0
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
( s j )( s j )( s p 3 ) ( s p n ) a3 an a1 s a 2 ( s j )( s j ) s p 3 s pn
(2—20) ……
s1 j
n
n 1
x (0 ) s
( n 1)
n2
x (0 )

s x
(n2)
(0 ) x
2
(0 )
'
二阶导数的拉氏变换 L [ （2）在零初始条件下
d x (t ) dt
L[
2
] s X ( s ) sx ( 0 ) x ( 0 )
2
n n
d dt
x ( t )] s X ( s )
第二章 控制系统的动态数学模型
第 三 讲
拉氏变换与传递函数
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
1
2.3 拉氏变换与反变换
拉氏变换(Laplace Transfomer)作用：将微分 方程转换为代数方程，使求解大大简化，拉氏变换 是分析机电控制系统的基本数学方法之一。在此基 础上，进一步得到系统的传递函数。 2.3.1 拉氏变换定义
a k 是 X ( s ) 在 s p 点的留数。 k
ak [
06-7-20
B (s) A(s)
( s p k )] s p k
控制系统系统的动态数学模型 14
例5 试求
X (s) s
s 3
2
3s 2 a1 s 1
s 1
拉氏反变换。
a2 s 2
L [ x ( t a ) t a )] e 1(
as
X (s)
(时域中的延时定理)
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
8
x (t)
x (t)
t a
t
例1：求如下图函数的拉氏变换。
f(t)
f1 (t )
E
f2 (t )
E
==
+
t0
t
E t
t0
t
f ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) E t ) E t t 0 ) 1( 1(
[ a1 s a 2 ] s j [
s 2 j s 3 p 3
B (s) A(s)
sn pn
(2—21)
( s j )( s j )] s j
令（2－21）式两边实部与虚部分别相等，即可求得 a 1和 a 2
2.3.4 拉氏反变换
拉氏反变换定义：

x (t )
1 2 j

a j
a j
X ( s )e
st
ds
简写为： x ( t ) L 1 [ X ( s )] 例4 求
X (s) s s
2
2s 5

拉氏反变换。
s s 1 ( s 1) 2
2 2
解： X ( s )
解： X ( s )
s
s3
2
3s 2
a 1 X ( s ) ( s 1)
2
a 2 X ( s ) ( s 2 )
x (t ) ( 2 e
t
s 2
1
e
2 t
) t ) 1(
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
15
2. 含有共扼复数极点时
X (s) B (s) A(s) b 0 s b1 s
m m 1
b m 1 s b m
s a1 s
n m
n 1 m 1
a n 1 s a n b m 1 s b m
(n m )
b 0 s b1 s
t a
)] aX ( as )
)] b
的拉氏变换。
b b a a
解： L [ f ( a t b) 1( a t b { [f (a t )] 1[ a t )] L ( )]}

1
F(
s

b a
s
) e
a a 9 tx (t )的象函数
06-7-20
L [ tx ( t )]
1 t0
试求其象函数。
解： ( t )
t0 0
0
t0
t
lim [
1(t) t0
-
1(t - t 0 ) t0
] lim
1 t0
t0 0
[1(t) - 1(t - t 0 )]
L [ ( t )] lim [
t0 0
1(t) t0
-
1(t - t 0 ) 1 t0
lim
s
1 2
j
3 2
1 t0s
1 1 -t0s ] lim [ - e ] t0 0 t s s 0
2
1
t0 0
[1 - (1 - t 0 s
e
x
2!
(t 0 s ) - )] 1
1 2! x
2
注意：指数函数的展开
06-7-20
1 x
1 n!
x
n

x
10
控制系统系统的动态数学模型
L [ a x1 ( t ) bx 2 ( t )] a X 1 ( s ) bX 2 ( s )
d x (t ) dt ] sX ( s ) x (0 )
2 微分定理
L[
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
6
推论： （1）
L[ d dt
n n
x ( t )] s X ( s ) s
6 初值定理
7 终值定理
lim x ) ( t
t 0
lim
s
sX ) s (
lim x ( t ) lim sX ( s )
t s 0
注意:运用终值定理的前提
t
lim x ( t )是存在的。
8 时间比例尺改变的象函数 L [ x ( 例3：求 L [ f (at b ) 1(at
dX ( s ) ds
11
控制系统系统的动态数学模型
10
x (t ) t
的拉氏变换
L[
x (t ) t
]


X ( s )ds
s
11 周期函数的象函数
L [ x ( t )] 1 1 e
sT
x (t T ) x (t )

T
x ( t )e
st
dt
0
12 卷积分的象函数
L [ x ( t ) y ( t )] X ( s )Y ( s )
对于函数 x (t ) 满足， x （1）当t<0时， ( t ) 0
x (t 当t>0时， )
在每个有限区间上是分段连续的。
（2）

x (t ) e
t
dt
0
其中 是正实数，即 ) x (t
为指
x 数级的；则(t ) 的拉氏变换存在，其表达式记作 :
06-7-20 控制系统系统的动态数学模型 2
1

x (0 )
n 1
2

( n 1) 2
(0 )

s n x (0 ) s
n
s
（2）在零初始条件下
L [ x ( t )( dt ) ]
X (s) s
n
at 4 衰减定理 L[e x ( t )] X ( s a ) (复域中的延时定理)
5 延时定理
n
1
3 积分定理
式中
06-7-20
L x ( t ) dt
1
X (s) s

x (0) s
x ( t ) x ( t ) dt
控制系统系统的动态数学模型 7
推论：
（1）
L[

x ( t )( d t ) ]
n
X (s) s x
n

x (0 ) s
n
x ( t ) y ( t ) 的卷积分的数学表示为：
x (t ) y (t ) x (t ) y (t )
06-7-20

t 0
t
x ( t ) y ( ) d
0

x ( ) y ( t ) d y ( t ) x ( t )
控制系统系统的动态数学模型 12
e
( s a )t

1 s a
0
1( 1( 3 正弦函数 sin t t ) 和余弦函数 c o s t t )
根据欧拉公式： e
e
j
cos j sin cos j sin
e
j
j
sin
e 2 j
j
cos
e
j
X ( s ) L [ x ( t )]



x (t )e
st
dt
0
式中，s是复变数； s
x (t ) 为原函数； X ( s )
j
Re( s )
为象函数。
2.3.2 简单函数的拉氏变换
1 单位阶跃函数 1( t )
0, t 0 1( t ) 1, t 0
e 2
j
06-7-20
控制系统系统的动态数学模型
4
L [s in t t )] L [ 1(
e
j t
e 2 j
j t
t )] 1(

1 2 j
(
1 s j

1 s j e
) s e 2

2

2
j t
j t
L [c o s t t )] L [ 1( 1 2 1 s j 1
s
s
2
2s 5 1
( s 1) 4
2

2 2 2 2 ( s 1) 2
t
x ( t ) L [ X ( s )] e
06-7-20
1
(c o s 2 t
1Leabharlann Baidu2
s in 2 t ) t ) 1(
13
控制系统系统的动态数学模型
一般机电系统，通常遇到如下形式的有理分式：