(通用版)中考数学二轮复习 专题2 图象信息类问题
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【解析】第(1)题表中一对数有什么实际含义？用什么方法就可以求得？
解：.(1)y1关于x的函数表达式为y1＝2x＋2
(2)设李华从文化宫回到家里所需的总时间为 t 分钟， 则 t＝y1＋y2＝(2x＋2)＋(12x2－11x＋78)＝12(x－9)2＋729 (x＝8，9，10，11.5，13)，∴当 x＝9 时，tmin＝729＝39.5. 故李华应选择 B 站出地铁，从文化宫回到家里所需的时间最短， 最短时间为 39.5 分钟
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记 录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打 结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的 天数是( C)
A．84
B．336
C．510
D．1326
【解析】类比十进位“满十进一”， 观察图，如何表示满七进一的数？类
解：(1)根据所给数据猜想月销量是售价的一次函数，可设为 m＝kx＋b， 将(100，200)，(110，180)代入，得111000kk＋＋bb＝＝128000，，解得kb＝ ＝－ 4020， ， ∴m＝－2x＋400.将其他各组数据代入检验，适合， ∴月销量是(－2x＋400)件
(2)依题意可得y＝(x－60)(－2x＋400)＝－2x2＋520x－24000＝ －2(x－130)2＋9800.当x＝130时，y有最大值9800. ∴当售价为每件130元时，当月的利润最大，为9800元
6．(2018·预测)某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原 则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时， 每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个 玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系：
ABC
D
E
8
9 10 11.5 13
18 20 22
25
28
(1)求 y1 关于 x 的函数表达式； (2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受 x 的影响， 其关系可以用 y2＝12x2－11x＋78 来描述， 请问：李华应选择在哪一站出地铁， 才能使他从文化宫回到家里所需பைடு நூலகம்时间最短？并求出最短时间．
(3)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点(不与点 A，B 重合)， D 是半圆A︵DB的中点，C，D 在直径 AB 的两侧， 若在⊙O 内存在点 E，使得 AE＝AD，CE＝CB. ①求证：△ACE 是奇异三角形； ②当△ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．
解：(1)真命题 (2)在 Rt△ABC 中，a2＋b2＝c2，∵c>b>a>0， ∴2c2>a2＋b2，2a2<b2＋c2，∴若 Rt△ABC 为奇异三角形， 一定有 2b2＝a2＋c2，∴2b2＝a2＋(a2＋b2)，∴b2＝2a2，得 b＝ 2a. ∵c2＝b2＋a2＝3a2，∴c＝ 3a，∴a∶b∶c＝1∶ 2∶ 3
②由①可得△ACE 是奇异三角形，∴AC2＋CE2＝2AE2. 当△ACE 是直角三角形时，由(2)可得 AC∶AE∶CE＝1∶ 2∶ 3 或 AC∶AE∶CE＝ 3∶ 2∶1.(Ⅰ)当 AC∶AE∶CE＝1∶ 2∶ 3时， AC∶CE＝1∶ 3，即 AC∶CB＝1∶ 3，∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°. (Ⅱ)当 AC∶AE∶CE＝ 3∶ 2∶1 时，AC∶CE＝ 3∶1， 即 AC∶CB＝ 3∶1，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝120°.∴∠AOC 的度数为 60°或 120°
比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的
数×73＋百位上的数×72＋十位上的数×7＋个位上的数.1×73＋3×72＋2×7
＋6＝510，故选C.
3．阅读下面的情境对话，然后解答问题： (1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题“等边三角形一 定是奇异三角形”是真命题还是假命题？ (2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a且b＞a，若 Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c；
5．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的 相关信息如下表： 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元． (1)请用含x的式子表示月销量； (2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最 大利润是多少元？
售价(元/件) 月销量(件)
100 110 120 130 … 200 180 160 140 …
4．随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选
择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E
中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为
x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系 如下表：
地铁站 x(千米) y1(分钟)
(3)①∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在 Rt△ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，在 Rt△ABD 中，AD2＋BD2＝AB2， ∵点 D 是半圆A︵DB的中点，∴A︵D ＝B︵D ，∴AD＝BD， ∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2，∴AC2＋CB2＝2AD2. 又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2＋CE2＝2AE2，∴△ACE 是奇异三角形
专题2 图象信息类问题
1．(2018·预测) 用 m 根火柴恰好可拼成如图 1 所示的 a 个等边三角形或 如图 2 所示的 b 个正六边形，求ba＝_25___．
【解析】观察图 1，图 2，能够分别写出 a，b 关于 m 的关系式吗？ 根据图 1，求出拼成 a 个等边三角形用的火柴数量，即 m 与 a 之间的关系， 再根据图 2 找到 b 与 m 之间的等量关系，最后利用 m 相同得出ba的值． 由图 1 可知：一个等边三角形有 3 条边，两个等边三角形有 3＋2 条边， ∴m＝1＋2a，由图 2 可知：一个正六边形有 6 条边， 两个正六边形有 6＋5 条边，∴m＝1＋5b，∴1＋2a ＝1＋5b，∴ba＝25.
解：.(1)y1关于x的函数表达式为y1＝2x＋2
(2)设李华从文化宫回到家里所需的总时间为 t 分钟， 则 t＝y1＋y2＝(2x＋2)＋(12x2－11x＋78)＝12(x－9)2＋729 (x＝8，9，10，11.5，13)，∴当 x＝9 时，tmin＝729＝39.5. 故李华应选择 B 站出地铁，从文化宫回到家里所需的时间最短， 最短时间为 39.5 分钟
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记 录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打 结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的 天数是( C)
A．84
B．336
C．510
D．1326
【解析】类比十进位“满十进一”， 观察图，如何表示满七进一的数？类
解：(1)根据所给数据猜想月销量是售价的一次函数，可设为 m＝kx＋b， 将(100，200)，(110，180)代入，得111000kk＋＋bb＝＝128000，，解得kb＝ ＝－ 4020， ， ∴m＝－2x＋400.将其他各组数据代入检验，适合， ∴月销量是(－2x＋400)件
(2)依题意可得y＝(x－60)(－2x＋400)＝－2x2＋520x－24000＝ －2(x－130)2＋9800.当x＝130时，y有最大值9800. ∴当售价为每件130元时，当月的利润最大，为9800元
6．(2018·预测)某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原 则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时， 每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个 玩具的固定成本Q(元)与月产销量y(个)满足如下关系：
ABC
D
E
8
9 10 11.5 13
18 20 22
25
28
(1)求 y1 关于 x 的函数表达式； (2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受 x 的影响， 其关系可以用 y2＝12x2－11x＋78 来描述， 请问：李华应选择在哪一站出地铁， 才能使他从文化宫回到家里所需பைடு நூலகம்时间最短？并求出最短时间．
(3)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点(不与点 A，B 重合)， D 是半圆A︵DB的中点，C，D 在直径 AB 的两侧， 若在⊙O 内存在点 E，使得 AE＝AD，CE＝CB. ①求证：△ACE 是奇异三角形； ②当△ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．
解：(1)真命题 (2)在 Rt△ABC 中，a2＋b2＝c2，∵c>b>a>0， ∴2c2>a2＋b2，2a2<b2＋c2，∴若 Rt△ABC 为奇异三角形， 一定有 2b2＝a2＋c2，∴2b2＝a2＋(a2＋b2)，∴b2＝2a2，得 b＝ 2a. ∵c2＝b2＋a2＝3a2，∴c＝ 3a，∴a∶b∶c＝1∶ 2∶ 3
②由①可得△ACE 是奇异三角形，∴AC2＋CE2＝2AE2. 当△ACE 是直角三角形时，由(2)可得 AC∶AE∶CE＝1∶ 2∶ 3 或 AC∶AE∶CE＝ 3∶ 2∶1.(Ⅰ)当 AC∶AE∶CE＝1∶ 2∶ 3时， AC∶CE＝1∶ 3，即 AC∶CB＝1∶ 3，∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°. (Ⅱ)当 AC∶AE∶CE＝ 3∶ 2∶1 时，AC∶CE＝ 3∶1， 即 AC∶CB＝ 3∶1，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝120°.∴∠AOC 的度数为 60°或 120°
比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的
数×73＋百位上的数×72＋十位上的数×7＋个位上的数.1×73＋3×72＋2×7
＋6＝510，故选C.
3．阅读下面的情境对话，然后解答问题： (1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题“等边三角形一 定是奇异三角形”是真命题还是假命题？ (2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a且b＞a，若 Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c；
5．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的 相关信息如下表： 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元． (1)请用含x的式子表示月销量； (2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最 大利润是多少元？
售价(元/件) 月销量(件)
100 110 120 130 … 200 180 160 140 …
4．随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选
择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E
中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为
x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系 如下表：
地铁站 x(千米) y1(分钟)
(3)①∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在 Rt△ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，在 Rt△ABD 中，AD2＋BD2＝AB2， ∵点 D 是半圆A︵DB的中点，∴A︵D ＝B︵D ，∴AD＝BD， ∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2，∴AC2＋CB2＝2AD2. 又∵CB＝CE，AE＝AD，∴AC2＋CE2＝2AE2，∴△ACE 是奇异三角形
专题2 图象信息类问题
1．(2018·预测) 用 m 根火柴恰好可拼成如图 1 所示的 a 个等边三角形或 如图 2 所示的 b 个正六边形，求ba＝_25___．
【解析】观察图 1，图 2，能够分别写出 a，b 关于 m 的关系式吗？ 根据图 1，求出拼成 a 个等边三角形用的火柴数量，即 m 与 a 之间的关系， 再根据图 2 找到 b 与 m 之间的等量关系，最后利用 m 相同得出ba的值． 由图 1 可知：一个等边三角形有 3 条边，两个等边三角形有 3＋2 条边， ∴m＝1＋2a，由图 2 可知：一个正六边形有 6 条边， 两个正六边形有 6＋5 条边，∴m＝1＋5b，∴1＋2a ＝1＋5b，∴ba＝25.