2014年考研数三真题和解析

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2014【考研数三】真题及解析

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（）（A ）2n aa >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）（A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000ab a bcd cd =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为（A ）F （1,1）（B ）F （2,1）（C ）t(1）（D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

考研数学三(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学三（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2004年]函数在区间( )内有界．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：解一大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选．解二因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选．解三因由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。

即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选．注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界．(2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界．知识模块：函数、极限、连续2．[2014年]设且a≠0，则当n充分大时，有( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：解一由可取从而有不等式即亦即当a＞0时有当a＜0时有由式①、式②可知仅(A)入选．解二因由极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，使得n＞N时，有|an一a|＜ε，从而取时有即仅(A)入选．解三由得到取则存在N＞0，当n>N时有即亦即故仅(A)入选．知识模块：函数、极限、连续3．[2000年]设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则( ).A．存在且等于零B．存在但不一定为零C．一定不存在D．不一定存在正确答案：D解析：下面举反例说明(A)，(B)，(C)都不正确．仅(D)入选．令φ(x)=1-1／x2，f(x)=1，g(x)=1+1／x2，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且这时有这说明(A)、(C)都不正确．事实上，满足上述条件的f(x)，其极限不一定存在．因而(B)也不正确．例如，令φ(x)=x－1／x2，f(x)=x，g(x)=x+1／x2，显然它们均满足题设条件，但知识模块：函数、极限、连续4．[2015年]设{xn)是数列．下列命题中不正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由命题1．1．3．8的充分条件知选项(B)正确．由命题1．1．3．8的必要条件知选项(A)、(C)正确，因而仅(D)入选．注：命题1．1．3．8 如果与均存在且相等，则存在，且知识模块：函数、极限、连续5．[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )．A．a=1，b=－1／6B．a=1，b=1／6C．a=－1，b=－1／6D．a=－1，b=1／6正确答案：A解析：解一因故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选．解二反复利用洛必达法则求之．即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有即1－a=0，故a=1，从而b=－1／6．仅(A)入选．注：命题1．1．3．1 当x→0时，有(2)x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 知识模块：函数、极限、连续6．[2010年]若则a等于( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：解一即a=2．仅(C)入选．解二由题设知，a－1=1，故a=2．仅(C)入选．知识模块：函数、极限、连续7．[2014年]设P(x)=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若P(x)=-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( )．A．a=0B．b=1C．c=0D．正确答案：D解析：由题设得故a=0，b－1=0，c=0，即a=0，b=1，c=0，仅(D)入选．知识模块：函数、极限、连续填空题8．[2012年]设函数则正确答案：解析：当x=e时，y=lnx－1，故知识模块：函数、极限、连续9．[2012年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续10．[2009年]正确答案：3e/2解析：知识模块：函数、极限、连续11．[2015年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续12．[2002年]设常数则正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续13．[2005年]正确答案：2解析：解一当x→∞时，sin[2x／(x2+1)]～2x／(x2+1)，由命题1．1．4．1 [*]其中m,n为正整数.得到[*] 解二令[*]则[*]故[*] 知识模块：函数、极限、连续14．[2007年]正确答案：0解析：解一因|sinx+cosx|≤|cosx|+|sinx|≤2，故sinx+cosx为有界变量，又根据命题1．1．3．6即得所求极限为0．解二当x→∞时，2x是比xk(k 为正整数)高阶的无穷大量，因而显然|sinx+cosx|≤2，于是由命题1．1．3．6即得所求极限为0．注：命题1．1．3．6 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量. 知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2014年考研数三真题和解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A ）23()()x o x o x ⋅= （B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（）（A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )（A ）112 （B ）18（C ）16（D ）12二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。

2014年考研数学三真题与答案解析

2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim且01==-∞→∞→xx y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的．显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）５．行列式dc d c ba b a00000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c bd a - （D ）2222c bd a +- 【详解】20000000000000000)()()(bc ad bc ad bc bc ad ad dc b a bcd c b a ad dc c ba b d c d b a a dcd c ba b a--=-+--=+-=+-=应该选（B ）．6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件（B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）非充分非必要条件【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）． 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P 505030=-=-=-==-．所以60.)(=A P ，=-)(A B P 205050.)(..)()(=-=-A P AB P B P ．故选择（B ）． 8．设321X X X ,,为来自正态总体),(20σN 的简单随机样本，则统计量3212X X X S -=服从的分布是（A ）),(11F （B ）),(12F （C ） )(1t （D ）)(2t 【详解】232132122XX X X X X S -=-=，显然),(~10221N X X σ-，)(~12223χσX ，且),(~10221N X X σ-与)(~12223χσX 相互独立，从而)(~1222223212321321t X X X XX X X X X S σσ-=-=-=故应该选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为．【详解】2240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为．【详解】22112101ln +=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S11．设412=⎰ax dx xe ，则=a ．【详解】411241244120202+-=-==⎰)(|)(a e x e dx xe a ax ax ．所以.21=a12．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e xe dy y y x 11022．【详解】)()(12111010101010100110101102222222222-==+-=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dy ye dy e e dy y e dy x e x d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dxx xy x x y y x y y x 13．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是．【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．14．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,,),(02322θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单样本，若∑=ni iXC12是2θ的无偏估计，则常数C = ．【详解】22222532θθθθ==⎰2dx x x X E )(，所以21225θCn X C E n i i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=，由于∑=ni i X C 12是2θ的无偏估计，故125=Cn，nC 52=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D DD dr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u x cos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,．所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分）求幂级数∑∞=++031n nxn n ))((的收敛域、和函数．【详解】由于11=+∞→nn n a a lim，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-．令和函数)(x S =∑∞=++031n nxn n ))((，则3211121112131111234)('"'")())(()()(x xx x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n nn nn n--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++=∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=∞=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+ba dtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1）求方程组0=AX 的一个基础解系；（2）求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ，即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 21．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似．【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100．分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 22．（本题满分11分）设随机变量X 的分布为2121====)()(X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ．（1）求Y 的分布函数；（2）求期望).(Y E 【详解】（1）分布函数())/()/()()/()()/(),(),()()(2121221121=≤+=≤===≤+==≤==≤+=≤=≤=X y Y P X y Y P X P X y Y P X P X y Y P X y Y P X y Y P y Y P y F当0<y 时，0=)(y F ；当10<≤y 时，y y y y F 4322121=+=)(；当21<≤y 时，214122121+=+=y y y F )(；当2≥y 时，1=)(y F ．所以分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<≤<=2121421104300y y y y y y y F ,,,,)( （2）概率密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<==其它,,,)(')(021411043y y y F y f ，434432110=+=⎰⎰dy y ydy Y E )(．23．（本题满分11分）设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为321310====)(,)(X P X P ，且X ，Y 的相关系数21=XY ρ．（1）求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布；（2）求概率)(1≤+Y X P ．[详解]由于X ，Y 的概率分布相同，故321310====)(,)(X P X P ，321310====)(,)(Y P Y P ，显然32==EY EX ，92==DY DX 相关系数()929421-=-===XY E DYDX EXEY XY E DY DX Y X COV XY )(),(ρ，所以95=)(XY E ．而),()(1111==⨯⨯=Y X P XY E ，所以9511===),(Y X P ，从而得到),(Y X 的联合概率分布：11 9511===),(Y X P ，9110===),(Y X P ，9101===),(Y X P ，9200===),(Y X P （2）.),()()(94111111===-=>+-=≤+Y X P Y X P Y X P。

考研数三2014真题

考研数三2014真题考研数学三是计算机、物理等专业考研生必考的一门数学课程，其中2014年的真题是考生备考的重要参考资料之一。

本文将围绕2014年考研数学三的真题进行讨论，从各个方面进行分析和解答，帮助考生更好地备战考研。

一、概述2014年考研数学三的真题分为两道大题（A、B）和六个小题（1-6），题目涉及到概率、数理统计、高等数学等多个知识点。

本真题难度适中，题型多样，对考生的能力有一定的考察和涵盖。

二、真题分析1. 题目类型2014年考研数学三的真题题型包括选择题、填空题和计算题。

选择题主要考察对基本概念和知识的理解和运用；填空题测试考生对知识点的掌握程度以及灵活运用能力；计算题则需要考生对知识点进行深入思考并进行具体计算，答案要求精确。

2. 难度评估整体而言，2014年考研数学三的真题难度适中，对于有一定数学基础和备考经验的考生来说，应该能够应对。

其中，选择题和填空题比较简单，计算题稍微有些复杂，但仍可在有限时间内完成。

三、解答方法和技巧1. 阅读题目在开始解答之前，考生要认真阅读每道题目，理解题目要求和条件限制，明确解题思路。

对于选择题，可以先大致浏览选项，了解题目所考察的知识点，再进行选择。

对于填空题，注意题目中给出的背景信息和需求，找准空格要求的内容。

对于计算题，可以先进行数据整理和分析，然后有条理地进行计算。

2. 灵活运用知识点在解答过程中，考生要充分利用已经学习过的知识点，灵活运用相应的公式和定理，尽量减少计算出错和时间浪费。

同时，对于涉及到多个知识点的题目，要善于将不同的知识点进行结合，找到解题的最佳路径。

3. 注意边界条件在进行计算题时，要特别注意边界条件和约束条件。

边界条件常常会对计算结果和分析过程有极大影响，考生需要细心观察并合理运用这些条件。

同时，在解答填空题时，要注意对于不同的情况进行分类讨论，有针对性地填写不同的空格。

四、备考建议1. 加强基础知识在备考过程中，建议考生加强基础知识的学习，尤其是数学的基本概念和常用方法。

2014年考研数学三真题及答案解析

x
y
f (0) 0 ，求 f u 的表达式
.
（18）（本题满分 10 分）
求幂级数 (n 1)(n 3)xn 的收敛域及和函数。 n0
（19）（本题满分 10 分）
设函数 f (x), g(x) 在区间[a,b] 上连续，且 f (x) 单调增加， 0 g(x) 1，证明：
x
（I） 0 g(t)dt x a, x [a,b]; a
线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件（7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求 P（B-A）=（）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4
（8）设
X1,
X2,
X3 为来自正态总体 N (0, 2 ) 的简单随机样本，则统计量
1 1
1 0 0
1Hale Waihona Puke 与001
0
0
1
2
相似。
n
第5页
（22）（本题满分 11 分）
设随机变量
X
的概率分布为
1
P{X=1}=P{X=2}=
，在给定 X
i 的条件下，随机变量
Y
服从均匀分布
2
U (0,i)(i 1, 2)
（1）求 Y 的分布函数 FY ( y)
（2）求 EY
（23）（本题满分 11 分）
2x
（14）设总体
X
的概率密度为
f
(x; )
3
2
0
x 2 ，其中是未知参数, X1, X 2 ,..., X n , 为来自
其它
n

2014年考研数学三真题及答案

三、解答题： 15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)

求极限 lim
x
x
1
2 1 t e t 1 t dt . 1 2 x ln 1 x
2
(2) 下列曲线有渐近线的是（ (A) y x sin x (C) y x sin
1 x
(D) y x 2 sin
1 x
【答案】(C) 【金程解析】本题主要考查渐近线的定义、分类及求法：
1 1 sin 1 1 x lim1 lim x 1 0 1 ， C 选项：又 lim[ x sin x] lim sin 0 ， lim x x x x x x x x x 1 所以 y x sin 存在斜渐近线 y x . 故选(C).对于(A) (B) (D)均可验证没有渐近线. x x sin
(5) 行列式
0 a b a 0 0
0 b
0 c d 0 c 0 0 d
2

(
)
(A) (ad bc)
(B) (ad bc)
2
(C) a 2 d 2 b2c 2
(D)
b2c 2 a 2 d 2
【答案】(B) 【金程解析】本题考查行列式的计算和展开定理.由行列式的展开定理按照第一列展开

名校之路源自金程
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． (1) 设 lim an a ，且 a 0 ，则当 n 充分大时有 (

2014数三考研真题答案

2014数三考研真题答案2014年数学三考研真题答案一、选择题1. 答案：B解析：根据题意及图片可知，直线AB与x轴和y轴的交点分别为A(0, -3)和B(4, 0)。

直线AB的斜率可以通过斜率公式计算：$$k =\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-3)}{4 - 0} = \frac{3}{4}$$2. 答案：D解析：已知函数f(x)的定义域为[-2, 3]，求函数f(g(-1))的值。

根据g(x)定义可得g(-1) = 1。

将g(-1)代入f(x)中，得到f(1) = 1 + 2 = 3。

3. 答案：D解析：根据题意，有三种颜色的糖果分别为红、蓝、黄。

根据已知条件可得：2个黄色糖果的重量等于5个蓝色糖果的重量，5个蓝色糖果加2个黄色糖果的重量等于7个红色糖果的重量。

设蓝色糖果的重量为x，黄色糖果的重量为y，红色糖果的重量为z。

根据上述条件，列出方程组：\[\begin{equation}\begin{cases}2y = 5x \\5x + 2y = 7z\end{cases}\end{equation}\]解方程组可得z = 5x。

4. 答案：C解析：已知函数f(x)和g(x)的定义域均为实数集，对于任意实数x，有f(g(x)) = f(x + 1) + 5。

因此，f(g(4)) = f(5) + 5 = 3 + 5 = 8。

5. 答案：B解析：根据题意，甲、乙两人每天上课时间和休息时间之和均为12小时，记甲的上课时间为x小时，乙的上课时间为y小时，则甲的休息时间为12 - x小时，乙的休息时间为12 - y小时。

根据题意可得方程：$$\frac{x}{12} + \frac{y}{12} + \frac{12 - x}{3} + \frac{12 - y}{3} =12$$整理方程可得：x + y = 36。

二、填空题1. 答案：-9解析：给定等差数列的第一项a = 3，公差d = 2，可使用等差数列通项公式an = a + (n - 1)d来求解。

2014年考研数学三真题(含解析)

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若a a n n =∞→lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（）（A ）2a a n > （B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> （D ）na a n 1+< 【答案】A【考点】极限的概念【详解】【解法一】lim 0n n a a ε→∞=⇔∀>，当n 充分大时，有-n a a ε<取2a ε=，有-2n a a a <即22n a a a a a -<<+当0a >时，322n a a a <<；当0a <时，322n a aa <<.从而2n a a >.故选A .【解法二】根据极限的保号性推论：若,0lim ≠=∞→a a n n 则存在0>N ，当N n >时，10,<<>θθa a n取21=θ，故选A . 【解法三】令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=为偶数为奇数n n a n n a a n 1111，则排除D C B ,,，故选A .（2）下列曲线中有渐近线的是（）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数的渐近线【详解】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线，而sinxlimlimx x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线；对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1limsin0x x y x x→∞→∞-⋅==.所以1sin y x x =+存在斜渐近线y x =.故选C.（3）设23()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3x 高阶的无穷小，则下列选项错误的是（）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【答案】D【考点】高阶无穷小、泰勒公式、洛必达法则【详解】【解法一】由泰勒展开式：)(31tan 33x o x x x ++=知，若()tan P x x -是比3x 高阶的无穷小则必有：31,0,1,0====d c b a ，故选D.【解法二】由题意可知2330tan lim0x a bx cx dx xx →+++-= 230lim(tan )00x a bx cx dx x a →∴+++-=⇒=23223200tan 23sec lim lim 03x x a bx cx dx x b cx dx xx x →→+++-++-==220lim(23sec )01x b cx dx x b →∴++-=⇒=22222222220000123sec 23tan 23tan lim lim lim lim 3333x x x x cx dx x cx dx x cx dx x x x x x →→→→++-+--==+ 20211lim()00,333x cx d c d x →=+-=⇒==（4）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（）（A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性【详解】【解法一】令)()()(x f x g x F -=则)()1()0()(x f f f x F '-+-='由拉格朗日中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()01()0()1(ξξf f f f '='-=- 即0)(='ξF又因为)()(x f x F ''-=''若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，所以)(x F '单调递减，当(0,),()0,()x F x F x ξ'∈>单调递增，当(,1),()0,()x F x F x ξ'∈<单调递减，又0)1(.0)0(==F F ，所以()0F x ≥，即()()f x g x ≤，故选D 【解法二】令2()f x x =，则函数()f x 具有2阶导数，且()0f x ''≥所以()(0)(1)(1)g x f x f x x =-+= 当]1,0[∈x 时，()()f x g x ≤，故选D（5）行列式00000000ab a bc d cd=（）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】行列式的性质、行列式按行（列）展开定理【详解】【解法一】13230000000000000000000000a b b a b a a b a b d c c c r r c d d c a b c dcd cd↔-↔2()()()b a a b bc ad ad bc ad bc d c c d=⋅=--=-- 故选B 【解法二】21410a 00000(1)0(1)0000000b ab a b a b a cd c b c d dcd c d++=⨯-+⨯- 3323(1)(1)a b a b a d c b c d c d++=-⨯⨯--⨯⨯-2()()a b a b a b ad bc bc ad ad bc c dc dc d=-+=-=--（6）设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（）（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】A【考点】向量组的线性无关性【详解】132312310(,)(,,)01k l k l ααααααα⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭记132312310(,),(,,),01A k l B C k l ααααααα⎛⎫⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭若123,,ααα线性无关，则1323()()()2,r A r BC r C k l αααα===⇒++线性无关. 由1323,k l αααα++线性无关不一定能推出123,,ααα线性无关.如：123100=0=1=0000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，1323,k l αααα++线性无关，但此时123,,ααα线性相关.故选A.（7）设随机事件A 与B 相互独立，且()0.5P B =，()0.3P A B -=，则=-)(A B P （）（A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B【考点】事件的概率、事件的独立性【详解】()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B -=-=- ()0.5()0.5()0.3()0.6P A P A P A P A =-==⇒=.()()()()()()0.50.50.60.2P B A P B P AB P B P A P B -=-=-=-⨯=.故选B.（8）若321,,X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，则统计量3212X X X S -=服从的分布为（）（A ）)1,1(F (B))1,2(F (C))1(t (D))2(t 【答案】C 【考点】t 分布【详解】【解法一】212~(0,2~(0,1),X X N N σ- 2233~(0,1),()~(1)X X N χσσ~(1)t ∴【解法二】因为分子为正态分布，故不是F 分布，为t 分布，又因为分母仅一项，故自由度为1，选C二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为P Q 240-=（P 为商品的价格），则商品的边际收益为【答案】Q -20 【考点】导数的经济意义【详解】40()24012022QR QP Q dR Q Q QdQ -==-=-=-收益边际收益（10）设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+x y 及2=y 围成的有界区域，则D 的面积为【答案】2ln 23- 【考点】平面图形的面积2212113(ln )ln 2122S y dy y y y =+=-+=-⎰面积（-）（11）设412=⎰dx xe ax ，则=a【答案】21 【考点】分部积分法【详解】222200011()022aa a xxx x a xe dx xde xe e dx ==-⎰⎰⎰2222111111()()0222224a x a a a ae e ae e =-=-+=12a ∴=（12）二次积分=-⎰⎰dx e xe dy y y x110)(22【答案】)1(21-e 【考点】交换累次积分的次序、二重积分的计算【详解】2222111111000()x xy y y y y e e dy e dx dy dx dy e dx x x -=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222221111100000(1)x xy x y y e dx dy y e dy e dx e dy ye dy x=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰221201111(1)0222y y e dy e e ===-⎰ （13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是【答案】]2,2[-【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况；因二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a aa ，即]2,2[-∈a【解法二】2222222212312132311332233(,,)2424f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x =-++=++-+- 2222222213233123()(2)(4)(4)x ax x x a x y y a y =+--+-=-+-若负惯性指数为1，则240[2,2]a a -≥⇒∈-（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，若212θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑=n i i X c E ，则=c【答案】n52【考点】统计量的数字特征【详解】322222112()()()3n ni i i i x E c X c E X ncE X nc dx θθθ======∑∑⎰4222221523425nc nc x c nθθθθθ=⋅==∴=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e txtx +--⎰+∞→【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则【详解】11221122((1))((1))limlim11ln(1)xxttx x t e t dt t e t dtx x xx→+∞→+∞----=+⋅⎰⎰1122(1)1lim lim (1)1xx x x x e x x e x→+∞→+∞--==-- 20001111lim lim lim 222t t t t t t e t e e t x t t +++→→→---====令（16）（本题满分10分）设平面区域}0,0,41|),{(22≥≥≤+≤=y x y x y x D ，计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【考点】二重积分的计算、轮换对称性【详解】积分区域D 关于y x =对称，利用轮换对称性，D D =12D dxdy =⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰ 22201111sin()d cos()24d r r r rd r πθππ==-⎰⎰⎰221111cos()|cos()d 44r r r r ππ=-+⎰34=-（17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x=满足cos sin (4cos )x x z zyy z e y e x y∂∂-=+∂∂，若0)0(=f ，求)(u f 的表达式. 【考点】多元函数求偏导、一阶线性微分方程【详解】令y e u xcos =，()cos x zf u e y x∂'∴=⋅∂ ()(sin )x zf u e y y ∂'=⋅-∂ cos sin (4cos )x x z zyy z e y e x y∂∂-=+∂∂Q 22()cos ()sin [4()]x x x f u e y f u e y f u u e ''∴⋅+⋅=+即：u u f u f =-')(4)(u u ue u f u f e 44)](4)([--=-'∴两边积分得：)41(41)(4444C e ue du ue u f eu u u u++-==----⎰即：)41(41)(4uCe u u f ++-=因为0)0(=f ，解得41-=C所以41()(41)16uf u e u =--（18）（本题满分10分）求幂级数(1)(3)nn n n x∞=++∑的收敛域及和函数.【考点】幂级数求收敛域、和函数【详解】（Ⅰ）(2)(4)lim1(1)(3)n n n n n ρ→∞++==++Q ，∴收敛半径11R ρ==当1x =±时，级数发散，故收敛域为(1,1)-（Ⅱ）令0()(1)(3)nn S x n n x∞==++∑，则1201()(3)(3),0xn n n n S t dt n xn x x x ∞∞++===+=+≠∑∑⎰令210()(3)n n S x n x∞+==+∑，则3310()1xn n x S t dt xx∞+===-∑⎰3231232()1(1)x x x S x x x '⎛⎫-∴== ⎪--⎝⎭2321223132323()(),0(1)(1)(1)x x x x x S x S x x x x x x x '''⎛⎫⎛⎫---⎛⎫∴===≠ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 又03S =（），所以33,(1,1)(1)xSx x x -=∈--（）（19）（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，且)(x f 单调增加，1)(0≤≤x g . 证明：（I ）a x dt t g xa-≤≤⎰)(0，],[b a x ∈；（II ）⎰⎰⎰≤+badtt g a abadx x g x f dx x f )()()()(【考点】定积分中值定理、不等式的证明【详解】（I ）【解法一】因为函数)(x g 在区间],[b a 上连续，且1)(0≤≤x g . 所以⎰⎰⎰≤≤xax axadt dt t g dt 1)(0即a x dt t g x a-≤≤⎰)(0【解法二】由定积分中值定理知：存在),(b a ∈ξ，使得)()()(ξg a x dt t g xa-=⎰，又因为],[b a x ∈时1)(0≤≤x g ，所以)()()(0a x g a x -≤-≤ξ 即a x dt t g xa-≤≤⎰)(0【解法三】设1()()xah x g t dt =⎰，则1()0h a =，1'()()0h x g x =≥1()h x ∴单调增加∴当[],x a b ∈时，1()0h x ≥.设2()()xah x g t dt x a =-+⎰，则2'()()1h x g x =-0()1g x ≤≤Q ，2'()0h x ∴≤ 2()h x ∴单调减少.又2()0h a =，∴当[],x a b ∈时，2()0h x ≤∴当[],x a b ∈时，a x dt t g xa-≤≤⎰)(0（II ）令()()()()()xa xa g t dt aaF x f u g u du f u du+⎰=-⎰⎰'()()()[()]()()[()]()x xa a F x f x g x f a g t dt g x f x f a g t dt g x ⎡⎤∴=-+⋅=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()xaa g t dt a x a x +≤+-=⎰，又()f x 单调增加，()[()]x af x f ag t dt ∴≥+⎰；又因为(x)0g ≥'()0F x ∴≥ ()F x ∴在区间[],a b 上单调增加又()0F a =，()0F b ∴≥即()()()()ba ba g t dtaaf xg x dx f x dx +⎰≥⎰⎰（20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系；（II ）求满足E AB =的所有矩阵B .【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解【详解】1234100()01110101203001A E --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭M M M M1205412301021310013141--⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭M M M 100126101021310013141-⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭M M M （I ）方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x x x x x ，即方程组0=Ax 的一个基础解系为1231α-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为12110k α⎛⎫⎪- ⎪+ ⎪- ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=0433*******241x x x x x x x x ，即通解为26340k α⎛⎫⎪- ⎪+ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为31110k α-⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，123261131(,,)141000B k k k ααα-⎛⎫⎪-- ⎪∴=+ ⎪-- ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数（21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM O M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似. 【考点】矩阵的特征值、相似对角化【详解】设⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L111111111A ，⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L0001000200n B 因为1)(,1)(==B r A r所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλΛB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλΛ 关于A 的特征值0，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O同理，关于B 的特征值0，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似. （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ；（II ）求EY .【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征（期望）【详解】（I ）()()y F y P Y y =≤(1)(1)(2)(2)P Y y X P X P Y y X P X =≤==+≤== 11(1)(2)22P Y y X P Y y X =≤=+≤= ① 当0y < 时，(y)0Y F =② 当01y ≤<时，1113(y)2224Y F y y y =+⨯= ③ 当12y ≤<时，1111(y)22224Y yF y =+⨯=+④ 当2y ≥时，11(y)122Y F =+=综上：003y 014(y)1122412Y y y F y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩（II ）'30141(y)(y)1240Y Y y f F y ⎧<<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他12-013131133()4442424Y EY yf y dy ydy ydy +∞∞==+=⨯+⨯=⎰⎰⎰ （23）（本题满分11分）设随机变量Y X ,的概率分布相同，X 的概率分布为32}1{,31}0{====X P X P ，且X 与Y 的相关系数为21=XY ρ. （I ）求),(Y X 的概率分布；（II ）求}1{≤+Y X P .【考点】二维离散型随机变量及其概率【详解】（I ）由题意有：111222XY ρ=⇒=⇒= 2212,3339EX EY DX DY ====⨯=Q1222529339EXY EX EY ∴=⋅=⨯+⨯=即：95)1,1()1(=====Y X P XY P(II)54(1)1(1)1(1,1)199P X Y P X Y P X Y +≤=-+>=-===-=。

历年考研数学三真题及答案解析

（2004-2014）历年考研数学三真题及答案解析20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（）（A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++，当0x →时，若(x)tanx P -是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是（A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）（A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000ab a bcd cd =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为（A ）F （1,1）（B ）F （2,1）（C ）t(1）（D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2014年考研数三真题及答案解析(完整版)

2014年考研数三真题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（）（A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是（A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）（A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式00000000a b abc d c d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c -（D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量1232X X X -服从的分布为（A ）F （1,1）（B ）F （2,1）（C ）t(1）（D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2014年全国硕士研究生入学考试数学三真题完整版及答案解析

3
32
(2)下列曲线有渐近线的是
（A） y = x + sin x (B) y = x2 + sin x
(C) y = x + sin 1
(D)
x
y = x2 + sin 1 x
【解析】 a
=
lim
f
(x)
=
lim
x + sin
1 x
=
lim(1 +
1 sin
1)
=1
x→∞ x
x→∞
x
x→∞ x x
0 k
0
1 l
知，
（D）既非充分也非必
α1,α2 ,α3
线性无关时，因为
1 0
0
≠0
0
所以α1 + kα3,α2 + lα3 线性无关反之不成立. 如当α3 = 0 ，且α1 与α2 线性无关时，α1,α2 ,α3 线性相关
【答案】A
（7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（B）=0.5，P（A-B）=0.3，则 P（B-A）=（）
b = lim[ f (x) − ax] = lim[x + sin 1 − x] = lim sin 1 = 0
x→∞ 是 y = x + sin 1 的斜渐近线 x
(3)设 P ( x) = a + bx + cx2 + dx2，当x → 0 时，若 P（x）− tan x 是比 x3 高阶的
∴P（B-A）=P（B）-P（BA）=0.5-0.3=0.2
【答案】B
（8）设 X1，X2，X3 为来自正态总体 N（0，σ 2 ）的简单随机样本，则统计量 S = X1 − X 2 服 2 X3

2014考研数学三真题答案

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）D （2）B （3）（4）D （5）B （6）A （7）（B ）（8）（C ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）p dpdR440-= （10）223ln - （11）21=a（12）)e (121-（13）[-2,2] （14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【答案】全国统一服务热线：400—668—2155 精勤求学自强不息2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x)e (x lim xtdtdt t )e (lim)xln(x dt ]t )e (t [limu u u u x x xx xx xxx 则令（16）【答案】4321312*********12021202120212021-=⋅-=+⋅+-=-+-=+-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππθπθθθθππρπρππρρθθθθππρρθθθθπρπρρθθθθρρθρθρπρθρθd )(d sin cos cos )d cos cos (d sin cos cos cos d d sin cos cos d sin d sin cos cos d sin cos sin cos d（17）【答案】y cos e )y cos e (f xEx x '=∂∂ )y cos (e )y cos e (f y sin e )y cos e (f yE )y sin (e )y cos e (f yEy cos e )y cos e (f y cos e )y cos e (f x Exx x x x x x x x x -'+''=∂∂-'=∂∂'+''=∂∂22222222ycos e )y cos e (f )y cos e (f e )y cos e E (e )y cos e (f y Ex E x x x x x x x +=''+=''=∂∂+∂∂44222222令u y cos e x=，则u )u (f )u (f +=''4，故)C ,C (,ue C eC )u (f u u为任意常数2122214-+=-由,)(f ,)(f 0000='=得4161622ue e )u (f u u --=-（18）【答案】由13142=++++∞→)n )(n ()n )(n (limn ，得1=R当1=x 时，∑∞=++031n )n )(n (发散，当1-=x 时，∑∞=++-0311n n)n )(n ()(发散，故收敛域为),(11-。

考研数学三真题2014

考研数学三真题20142014年的考研数学三真题是考生备战考研的重要参考资料之一。

它既考察了考生对基本概念和解题技巧的掌握程度，也对考生的逻辑思维和数学分析能力提出了一定要求。

本文将围绕2014年的考研数学三真题展开讨论，从其中选取几题加以分析，帮助考生更好地理解和应对这一考试科目。

一、题目一题目一要求考生根据已知条件求解方程的根。

在这类题目中，将方程转化为一系列代数方程，并通过整理和运算得到最终解。

2014年的考研数学三真题中，题目一要求求解3x^2 - 4x + 1 = 0的根。

解答思路：根据方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0，我们可以得到a = 3，b = -4，c = 1。

那么根据求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以代入数值进行计算。

最终得到方程的两个根为x = 1和x = 1/3。

二、题目二题目二考查了对矩阵的理解和运算。

在这类题目中，考生需要熟练掌握矩阵的加减乘除运算规则以及求逆矩阵的方法。

2014年的考研数学三真题中，题目二要求求矩阵A = [[2, 1], [1, 3]]的逆矩阵。

解答思路：首先，我们可以求出矩阵A的行列式值，即|A| = 6 - 1 = 5。

然后，我们可以求出矩阵A的伴随矩阵，即A* = [[3, -1], [-1, 2]]。

最后，根据逆矩阵的定义，矩阵A的逆矩阵等于A*乘以|A|的倒数，即A^-1 = (1/5) * [[3, -1], [-1, 2]]。

三、题目三题目三考查了对数函数和指数函数的性质和应用。

在这类题目中，考生需要熟练掌握对数和指数的基本运算规则以及对数和指数方程的解法。

2014年的考研数学三真题中，题目三要求解方程2^x + 4^(x+1)= 4^2x + 7。

解答思路：首先，我们可以利用指数函数的性质将等式两边进行变形。

通过把2^x表示成4^(x/2)，我们可以将方程表示为4^(x/2) + 4^(2x) = 4^(2x) + 7。

2014年考研数学三真题与解析

三、解答题 15．（本题满分 10 分）求极限 xlim

x 1
1
( t 2 (e t 1) t )dt 1 x ln(1 ) x
2
．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
5
【详解】
x
lim
x 1
1
( t 2 (e t 1) t )dt x 2 ln(1 1 ) x
（B）充分而非必要条件（D）非充分非必要条件
，对任意的常数 k , l ，矩阵
的秩都等于 2，所以向量 1 k 3 ， 2 l 3 一定线性无关．
1 0 0 而当 1 0 , 2 1 , 3 0 时，对任意的常数 k , l ，向量 1 k 3 ， 2 l 3 线性 0 0 0
f (1 ) x1 x 2 f ( x ) ，
故当 f ( x ) 0 时，曲线是凹的，即 f (1 ) x1 x 2 (1 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ，也就是
f ( x ) g ( x ) ，应该选（D）
【详解 2】如果对曲线在区间 [a , b] 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
2
13．设二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) x12 x 22 2ax1 x3 4 x 2 x3 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围是【详解】由配方法可知
2 f ( x1 , x 2 , x 3 ) x12 x 2 2ax1 x 3 4 x 2 x 3 2 ( x1 ax 3 ) 2 ( x 2 2 x 3 ) 2 ( 4 a 2 ) x 3

2014年考研数学三试题及答案解析

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。

（1）设lim ,0n n a a a →∞=≠且，则当n 充分大时有（）（A ）n a >||2a （B ）||||2n a a <(C) 1n a a n>-(D) 1n a a n<+答案：(A)【解析】方法1：lim 0,lim 0,=2n n n n aa a a a ε→∞→∞=≠∴=>取，则当n 充分大时，3,,22n n n a aa a a a a εεε-<-<-<<<即，故（A ）正确。

方法2：lim n n a a →∞=N N n N ε+∴∀>∃∈∀>使，有||n a a ε-<即 ||||||.0,222n n a a a a a a a a a εεε-<<+≠∴=<<+可取，则a-不论a >0或a <0，都有||2n a a >，选A(2)下列曲线有渐近线的是（A ）sin y x x =+(B)2sin y x x =+(C)1sin y x x =+(D)21sin y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。

本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。

(3)设()220P x a bx cx dx x =+++→，当时，若tan Px x -（）是比3x 高阶的无穷小，则下列试题中错误的是（）（A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =【答案】D【解析】法1：由泰勒公式331tan 0()3x x x x =++得 23333001(1)()()()tan 3lim lim 0x x a b x cx d x o x P x x x x→→+-++-+-== 10,1,0,,3a b c d ====故选（D ）.法2：由条件及洛必达法则可得222320000()tan 23sec lim tan 0,0,lim lim ,limsec 1,3x x x x P x x b cx dx x x a x x x →→→→-++-====知又故b =1,同理，再用洛比达法则可得20262sec tan lim 06x c dx x x x→+-⋅=，0c =，13d =，故选（D ）.（4）设函数f x （）具有二阶导数，011g x f x f x =-+（）（）(）（），则在区间[0,1]上（）（A ）0f x f x g x '≥≥当（）时，（）（）（B ）0f x f x g x '≥≤当（）时，（）（）(C)当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥. (D)当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减，当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（5）行列式00000000a b abc d cd=（）（A ）2ad bc -（）（B ）2ad bc --（）（C ）2222a dbc -（D ）2222b c a d -【解析】004000a b ab c d cd按第行展开c ·（-1）4+1440000(1)0000a b a bb d acd c d++- =-c ·b （-1）3+2a b c d +d ·a （-1）2+1a b c d=()·ad bc bc ad ad bc ---（） =()()()2ad bc bc ad ad bc --=--【答案】B（6）设1α，2α，3α均为3维向量，则对任意常数,,k l 向量组1323 k l αααα++,线性无关是向量组1α ，2α，3α线性无关的（）（A ）必要非充分条件.(B)充分非必要条件.（C ）充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件.【答案】A【解析】先看充分性是否成立：取特例：123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)TTTααα===，则对任意常数,k l ， 1323,k l αααα++线性无关，而123,,ααα线性相关（含零向量的任何向量组线性相关），故充分性不成立。

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2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A ）23()()x o x o x ⋅=（B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x +=（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（）（A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1a 1a b a 1a 1⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )（A ）112 （B ）18（C ）16（D ）12二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2在点)1,0(处有公共的切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ________。

（10）设函数),(y x z z =由方程xy y z x=+)(确定，则=∂∂)2,1(xz________。

（11）求dx x x⎰+∞+12)1(ln ________。

（12）微分方程041=+'-''y y y 通解为=y ________。

（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量X 服从标准正态分布~N(0,1)X ,则2()XE Xe= ________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

（16）（本题满分10分）设D 是由曲线13y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。

（17）（本题满分10分）设平面内区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成.计算2Dx dxdy ⎰⎰。

（18）（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为601000QP =-，（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。

（3）使得利润最大的定价P 。

（19）（本题满分10分）设函数()f x 在[0,]+∞上可导，(0)0lim ()2x f f x →+∞==且，证明（1）存在0a >，使得()1f a =（2）对（1）中的a ，存在(0,),a ξ∈使得1'().f aξ= （20）（本题满分11分）设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。

（21）（本题满分11分）设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2TTααββ+；（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22122y y +。

（22）（本题满分11分）设(),X Y 是二维随机变量，X 的边缘概率密度为()23,01,0,.X x x f x ⎧<<=⎨⎩其他，在给定()01X x x =<<的条件下，Y 的条件概率密度()233,0,0,.Y Xy y x f y x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（1）求(),X Y 的概率密度(),f x y ；（2） Y 的边缘概率密度()Y f y . （23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为()23,0,0,.x e x f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中θ为未知参数且大于零，12,N X X X ，为来自总体X 的简单随机样本.（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A ）23()()x o x o x ⋅=（B ）23()()()o x o x o x ⋅= （C ）222()()()o x o x o x += （D ）22()()()o x o x o x += 【答案】D【解析】2()()()o x o x o x +=，故D 错误。

（2）函数||1()(1)ln ||x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】由题意可知()f x 的间断点为0,1±。

又ln x 0x 0x 0x 011ln lim ()lim lim lim 1(1)ln (1)ln (1)ln x x x x e x xf x x x x x x x x x x ++++→→→→--====+++ ln()x 0x 0x 0x 0()11ln()lim ()lim lim lim 1(1)ln()(1)ln()(1)ln()x x x x e x x f x x x x x x x x x x -+++-→→→→----====+-+-+- ln x 1x 1x 1x 111ln 1lim ()lim lim lim (1)ln (1)ln (1)ln 2x x x x e x x f x x x x x x x x x x →→→→--====+++ ln()x 1x 1x 1x 1()11ln()lim ()lim lim lim (1)ln()(1)ln()(1)ln()x x x x e x x f x x x x x x x x x x -→-→-→-→-----====∞+-+-+- 故()f x 的可去间断点有2个。

（3）设k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()kk D I y x dxdy =-⎰⎰()1,2,3,4k =，则（）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 【答案】B【解析】令cos ,sin x r y r θθ==，则有 11()(s i n c o s )(c o s s i n )3kk D I y x d x d y r d r r r d ββααθθθθθ=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ 故当2k =时，,2παβπ==，此时有220.3I =>故正确答案选B 。

（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（）（A ）若111,(1)n n n n n a a a ∞-+=>-∑则收敛（B ）11(1)n n n a ∞-=-∑若收敛，则1n n a a +>（C ）1nn a∞=∑若收敛，则存在常数1P >,使lim Pn n n a →∞存在（D ）若存在常数1P >，使lim Pn n n a →∞存在，则1nn a∞=∑收敛【答案】D【解析】根据正项级数的比较判别法，当1P >时，11p n n∞=∑收敛，且lim Pn n n a →∞存在，则1n n a ∞=∑与11p n n ∞=∑同敛散，故1nn a∞=∑收敛.（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB C =，且C 可逆，则（）（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价【答案】（B ）【解析】由AB C =可知C 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示，又B 可逆，故有1-=CB A ，从而A 的列向量组也可以由C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B ）。