热传导方程初值问题解的性质的证明

乙 乙乙 +∞
-
t +∞
φ（ξ）e 4a2t d ξ+
（f ξ，t）
1
-
e 4a2（t-t）d ξd t，
-∞
0 -∞
2a 姨π（t-t）
（5）
此形式解是否为问题（4）的古典解是需要验证的，现有文献仅对齐次方程的初值问题给出了验证 . 如果仅
有（f x，t）∈C（（-∞，+∞）×［0，T］）是不够的 .
第 29 卷 第 11 期 2011 年 11 月
文章编号：1004-3918（2011）11-1261-06
河南科学 HENAN SCIENCE
Vol.29 No.11 Nov. 2011
热传导方程初值问题解的性质的证明
邢家省 1， 张军民 2
（1. 北京航空航天大学 数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191； 2. 河南省工业情报标准信息中心，郑州 450011）
∞
∞∞∞w（x，0；t）=（f x，t） （-∞<x<+∞）
的解
w（x，t；t）关于（x，t；t）连续，但
坠w 坠t
，坠坠2xw2
在（-∞，+∞）×［0，T］上未必连续 .
（7）
我们知道
乙t
u（x，t）= w（x，t-t；t）dt 0
（8）
乙 乙 在（-∞，+∞）×［0，T］上连续，但积分
t 0
坠w 坠t
这里我们是想用最直接的方法给出一种充分条件的结果 . 文献［1－3］中已给出 φ（x），（f x，t）连续，满足
一定的增长阶条件，并设 （f x，t）对 x 是局部 Holder 连续的（指数 α，0<α≤1），而且对 t 是一致的，那么由（5）
式给出的函数 u（x，t）是问题（4）的古典解 .
4 热传导方程初值问题求解公式的一些应用
（x，t-t；t）dt，
t 0
坠2w 坠x2
（x，t-t；t）dt
未必收敛，或难于确定是否收敛 .
所以必须增加 （f x，t）的光滑性条件 .
定理 6 设 φ（x）∈C（2 -∞，+∞），且
│φ（x）│+│φ（′ x）│+│φ（″ x）│≤A+Ber│x│ （-∞<x<+∞），
其中常数
A，B，r >0，则由（2）式给出的函数
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第 29 卷 第 11 期
则 坠u 坠t
，坠2u 坠x2
在（-∞，+∞）×［0，T］上连续，且 u（x，t）是问题（6）的古典解 .
证明
由定理
7
的结果，坠w 坠t
，坠2w 坠x2
在（-∞，+∞）×［0，T］×［0，T］上连续 .
所以有
乙 坠u =w（x，0；t）+ t 坠w（x，t-t；t）dt，
是问题（1）的古典解． 定理 3[6] 设函数 φ（x）在区间（-∞，+∞）内连续且绝对可积，则（2）式确定的函数在 u（x，t）∈C（（-∞，+∞）×
［0，+∞）），ut，uxx 在（-∞，+∞）×（0，+∞）上连续，且 u（x，t）是问题（1）的唯一古典解 .
收稿日期: 2011-09-19 基金项目: 国家自然科学基金资助项目（10871016）；北京市教育委员会共建项目专项资助 作者简介: 邢家省（1964－），男，河南泌阳人，副教授，博士，从事偏微分方程的教学和科研工作.
坠t
0 坠t
乙 坠2u
坠x2
=
t 0
坠2w 坠x2
（x，t-t；t）dt，
于是 坠u 坠t
，坠2u 坠x2
在（-∞，+∞）×［0，T］上连续，且 ut -a2uxx =（f x，t）（-∞<x<+∞，0<t≤T），u（x，0）=0（-∞<x<+∞）.
即
由（14）式所确定的函数 u（x，t）是问题（6）的古典解 .
3 非齐次热传导方程初值问题的形式解是古典解的一些充分条件
对非齐次热传导方程初值问题
∞
∞∞ut
-a2uxx
=
（f x，t）
（-∞<x<+∞，0<t≤T），
∞
∞∞∞u（x，0）=φ（x） （-∞<x<+∞），
（4）
利用 Fourier 变换，可得到形式解
1 u（x，t）=
2a 姨πt
（x- ξ）2
（x- ξ）2
定理 10 设 φ（x）在（-∞，+∞）上连续且有界，（f x，t）在（-∞，+∞）×［0，T］上连续且有界，令
u（x，t）= 1 2a 姨πt
（x- ξ）2
乙+∞
-
φ（ξ）e 4a2t d ξ+
1
-∞
2a 姨π
（x- ξ）2
乙 乙 t
+∞
1
dt （f ξ，t）
-
e 4a2（t-t）d ξ，
0
-∞
姨t-t
摘 要：主要研究热传导方程初值问题解的性质，给出齐次热传导方程初值问题的解是解析函数的一种比较简单的
证明，给出了非齐次热传导方程初值问题的形式解是古典解和广义解的直接证明 .
关键词：热传导方程； 初值问题； 解析函数； 光滑性
中图分类号：O 175．29
文献标识码：A
文献［1-2］中给出了齐次热传导方程边值问题解是解析函数的证明，然而其中的证明方法过程较为复 杂，我们给出了一种直接且简单的证明方法 .
其中常数 a>0，则有 lim u（x，t）=φ（x0）；进一步若假设函数 （f x，t），φ（x）关于 x 都是解析的，则 u（x，t）可以写 x→x0 t→0+
成
Σ Σ 乙 u（x，t）= ∞ （a2t）n φ（2n）（x）+ ∞ t［a（2 t-t）］n f（x 2n）（x，t）dt，
n=0 n！
1 齐次热传导方程初值问题的形式解是古典解的一些充分条件
对齐次热传导方程的初值问题
∞
∞∞ut
-a2uxx
=0
（-∞<x<+∞，t>0），
∞
∞∞∞u（x，0）=φ（x） （-∞<x<+∞），
（1）
利用 Fourier 变换，可得到形式解
u（x，t）= 1 2a 姨πt
（x- ξ）2
乙+∞
-
φ（ξ）e 4a2t d ξ .
定理 9 设 φ（x）在（-∞，+∞）上连续，且满足条件（3），（f x，t）∈C2，（0（-∞，+∞）×［0，T］），且满足条件（13），
则由（5）式确定的函数 u（x，t）∈C（（-∞，+∞）×［0，T］），坠坠2xu2
，坠u 坠t
∈C（（-∞，+∞）×（0，T］），且
u（x，t）是问题（4）
的古典解 .
-∞
∞1 n=0 n！
1 2a2t
n
ξ（n x-x0）n d ξ=
Σ Σ Σ 乙 1
2a 姨πt
x2 -
e 4a2t
∞ n=0
1 n！
1 2a2t
n
+∞
- ξ 2+2x0 ξ
（x-x0）n φ（ξ）e 4a2t ξn d ξ，
-∞
乙+∞
- ξ 2+2x0 ξ
记 An = φ（ξ）e 4a2t ξn d ξ，
1 u（x，t）=
2a 姨πt
乙+∞
（x-
ξ）2
φ（ξ）e 4a2t d ξ=
1
-∞
2a 姨πt
- x2
e 4a2t
乙+∞
- ξ 2+2x0 ξ 2 ξ（x-x0）
φ（ξ）e 4a2t e 4a2t d ξ=
-∞
乙 Σ Σ Σ 1
2a 姨πt
x2 -
e 4a2t ×
+∞
- ξ 2+2x0 ξ
φ（ξ）e 4a2t
-∞
（2）
定理 1[1-5] 设 φ（x）在（-∞，+∞）上连续有界，则（2）式确定的函数 u（x，t）∈C（（-∞，+∞）×［0，+∞）），ut，uxx
在（-∞，+∞）×（0，+∞）上连续，且 u（x，t）是问题（1）的唯一有界的古典解 .
关于初值函数连续但可以为无界情形下，形式解是否为古典解的问题，我们可以给出一些充分条件，采
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邢家省等：热传导方程初值问题解的性质的证明
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对于齐次初值的非齐次方程
∞
∞∞ut
-a2uxx
=
（f x，t）
（-∞<x<+∞，0<t≤T），
∞
∞∞∞u（x，0）=0
（-∞<x<+∞），
（6）
根据齐次化原理，齐次化的初值问题
∞
∞∞wt
-a2wxx
=0
（-∞<x<+∞，t>0），
ຫໍສະໝຸດ Baidu
d ξ=
1
-∞
姨π
乙+∞ （f x+2a姨 t
y，t）e-y2dy，
-∞
有 坠w 坠t
，坠2w 坠x2
在（-∞，+∞）×［0，T］×［0，T］上连续 .
定理 8 设（f x，t）∈C2，（0（-∞，+∞）×［0，T］），且满足条件（13），
乙t
u（x，t）= w（x，t-t；t）dt， 0
（13） （14）
姨π 0
-∞
乙 收敛定理，得 lim u（x，t）= 1
+∞
φ（x0）e-η2 dη+0=φ（x0）.
x→x0 t→0+
姨π -∞
利用解析条件，经逐项积分计算，可得
乙 乙乙 u（x，t）= 1
+∞
φ（x+2 a 姨 t η）e-η2 dη+
1
t +∞
（f x+2 a姨t-t η，t）e-η2 dηdt =
u（x，t），有
坠u 坠t
，坠坠2xu2
在（-∞，+∞）×［0，+∞）上连续 .
（9）
证明
乙 u（x，t）= 1
+∞
φ（x+2a姨 t
y）e-y2dy，
姨π -∞
（10）
乙 1
+∞
φ（′ x+2a姨 t
y）e-y2dy，
姨π -∞
（11）
乙 1
+∞
φ（″ x+2a姨 t
y）e-y2dy，
姨π -∞
（12）
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第 29 卷 第 11 期
2 齐次热传导方程初值问题的解是解析函数的证明
定理 4 设 φ（x）∈C（-∞，+∞），且 φ（x）有界，则对每一个 t>0，由（2）式所确定的函数 u（x，t）是 x 的整解
析函数 .
证明
设│φ（x）│≤M，对任意 t>0 固定，存在 δ >0，T >0，使得 δ<t<T，任意 x0∈（-∞，+∞），
2Me 2a2t
姨 姨 e +∞ -y2
0
8a2T
n+1
x20
Σ yn d y=2Me 2a2t
Σ姨8a2T
n+1
ΣΓ
n+1 2
，
Σ Σ Σ ∞
由此得，对任意 N>0，当│x-x0│<N 时，级数
n=0
1 n！
1 2a2t
n
（x-x0）n An 一致收敛，
- x2
显然 e 4a2t 可以展成（x-x0）的收敛半径为无穷大的幂级数，于是 u（x，t）可以展成关于（x-x0）的收敛半径
为无穷大的幂级数，即 u（x，t）关于 x 是整解析的 .
定理 5 设 φ（x）∈C（-∞，+∞），且满足
│φ（x）│≤A+Ber│x│ （-∞<x<+∞），
其中常数 A，B，r >0，则对每一个 t>0，由（2）式所确定的函数 u（x，t）是问题（1）的古典解，且对每一个 t>0，齐
次热传导方程初值问题的解 u（x，t）是 x 的整解析函数 .
对任意
N>0，T
>0，（10），（11），（12）式的积分在│x│≤N，0<t≤T
上都是一致收敛的，从而
坠2u 坠x2
在（-∞，+∞）×
［0，+∞）上连续，且成立
乙 坠2u
坠x2
=
1 姨π
+∞
φ（″ x+2a姨 t
y）e-y2dy，
-∞
由 坠u 坠t
=a2
坠2u 坠x2
，得 坠u 坠t
在（-∞，+∞）×［0，+∞）上连续 .
-∞
│An│=
乙+∞
- ξ 2+2x0 ξ
φ（ξ）e 4a2t ξn d ξ
-∞
ξ 2 -2x20
乙+∞ - 2
≤M e 4a2t │ξ│n d ξ≤ -∞
x20
Me 2a2t
ξ2
乙+∞ - 2
x20
e 4a2T │ξ│n d ξ=2Me 2a2t
-∞
ξ2
乙+∞ e 8a2T ξn d ξ=
0
乙 Σ Σ x20
n=0 0
n！
其中 φ（2n）（x）和 f（x 2n）（x，t）分别是 φ（x）和 （f x，t）关于 x 的 2n 阶导数 .
乙 乙 乙 证明 由于 u（x，t）= 1
+∞
φ（x+2 a 姨 t η）e-η2 dη+
1
t
+∞
dt （f x+2 a 姨t-t η，t）e-η2 dη，利用控制
姨π -∞
用文献［4-5］中的证明方法，亦能证明由（2）给出的函数是古典解 .
定理 2 设 φ（x）在（-∞，+∞）上连续，且满足
│φ（x）│≤A+Ber│x│，（-∞<x<+∞），
（3）
其中常数 A，B，r >0，则（2）式确定的函数 u（x，t）∈C（（-∞，+∞）×［0，+∞）），u（x，t）∈C∞（R×（0，+∞）），且 u（x，t）
定理 7 设（f x，t）∈C2，（0（-∞，+∞）×［0，T］）且
│（f x，t）│+│f（x x，t）│+│fx（x x，t）│≤A+Ber│x│， （x，t）∈（-∞，+∞）×［0，T］，
其中常数 A，B，r >0，则问题（7）的解
1 w（x，t；t）=
2a 姨πt
（x- ξ）2
乙+∞
-
（f ξ，t）e 4a2t
利用热传导方程的求解公式，在初值函数连续有界的情形下，齐次热传导方程初值问题的形式解是形 式解是古典解的验证是熟知的[3-5]，我们给出了关于初值函数连续但可以为无界情形的一些充分条件 . 对于 非齐次热传导方程初值问题的形式解是古典解，仅仅指出非齐次项连续有界的条件是不够的，文献［1］中给 出了在非齐次项具一阶连续偏导数的条件下的证明，我们给出了另外的充分条件及证明过程 . 在非齐次项 连续有界的条件下，证明了形式解是连续的广义解 .