第二章弹性力学课件(1)
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2024版弹性力学ppt课件[1]
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弹性力学ppt课件•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧目录•一维问题分析与实例讲解•二维问题分析与实例讲解•三维问题分析与实例讲解•弹性力学在工程领域应用探讨01弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内力分布规律的科学。
研究对象弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。
单位面积上的内力，表示物体内部的受力状态。
应力物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体的变形状态。
应变物体上某一点在外力作用下的位置变化。
位移应力与应变之间存在线性关系，位移是应变的积分。
关系应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律在弹性限度内，物体的应力与应变成正比，即σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E为弹性模量。
适用范围适用于大多数金属材料在常温、静载条件下的力学行为。
对于非金属材料、高温或动载条件下的情况，需考虑其他因素或修正虎克定律。
02弹性力学分析方法与技巧0102建立弹性力学基本方程根据问题的具体条件和假设，建立平衡方程、几何方程和物理方程。
选择适当的坐标系和坐标…针对问题的特点，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或柱坐标系，并进行必要的坐标系转换。
求解基本方程采用分离变量法、积分变换法、复变函数法等方法求解基本方程，得到位移、应力和应变的解析表达式。
确定边界条件和初始条件根据问题的实际情况，确定位移边界条件、应力边界条件以及初始条件。
验证解析解的正确性通过与其他方法（如数值法、实验法）的结果进行比较，验证解析解的正确性和有效性。
030405解析法求解思路及步骤将连续体离散化为有限个单元，通过节点连接各单元，建立单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，求解节点位移和单元应力。
各向异性弹性力学(课堂PPT)
17
有的文献中定义应力“列矢量”为
1 11
2 22
3 33
4 23
5 31
6 12
应变“列矢量”为
1 11
4 223
2 22
5 231
3 33
6 212
注意： 4 ， 5 ， 6 就是剪切角 2 3 ， 3 1 ， 1 2 。 18
于是可以把弹性本构关系写成：
i Cij j
量，L理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式， ，
理解为应力列矢量和应变列矢量，[L]理解为弹性刚度矩
阵。L与M具有Voigt对称性，因此矩阵L与M为9列9行的
对称矩阵。
15
由于应力张量与应变张量都是对称张量。（2－2）式
中的列矢量 与 的第4行与第5行相同，第6行与第7行 相同，第8行与第9行相同。弹性刚度矩阵 L 与柔度矩阵 M
L1133 L2233 L3333 L2333 L3133 L1233
L1123 L2223 L3323 L2323 L3123 L1223
L1131 L2231 L3331 L2331 L3131 L1231
L1112
L2212
L3312 L2312
L3112
L1212
M1111
M2211
图2－1 25
斜面BCD的外法线为N，令N的方向余弦为：
则有
cos(N , x) 1
c
o
s
(
N
,
y)
m
c o s ( N , z ) n
(dF)x ldF (dF)y mdF (dF)z ndF
式中，( d F ) 、( d F ) x 、( d F ) y 、( d F ) z 依次为三角形BCD、ACD、 ABD、ABC的面积。令四面体微元的体积为dV，斜面 BCD上应力向量在坐标方向上的分量为P N x 、P N y 、P N z ，则
第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡
弹性力学与有限元完整版ppt课件
E 1 2 ,
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
. 1
平面应变
• 4 变形协调方程
平面应力
平面应变
调和方程
由6个简化为1个
平面问题
方程数量： 平衡方程——2个 物理方程——3个 几何方程——3个
合计 8
未知量：
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
第二章 弹性力学的基本方程和一般定理 1
第二章 弹性力学的基本方程和一般定理
§2-1 弹性力学中的几个基本概念 §2-2 平衡（运动）微分方程 §2-3 几何方程和连续性方程 §2-4 广义Hooke定律 §2-5 斜面应力公式与应力边界条件 §2-6 位移边界条件
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移。
1. 外力 体力、面力 （材力：集中力、分布力。）
PA dx PB dy
变形前
变形后
u
P
P
v
y
x
P u dx
v P A
dy
B
A
B
A
A
B
B
注：这里略去了二阶 以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
O
x
u
+
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
y
v
+
v y
dy
dy
v
v y
y
P点的剪应变：
P点两直角线段夹 角的变化
+
xy
z
2 2
yz
u x
同理：
y
yz
x
zx
y
+
xy
z
2
2 zx
v y
z
yz
x
+
zx
y
xy
z
2 2 xy
w z
P
(法线)
§2-1 弹性力学中的几个基本概念 §2-2 平衡（运动）微分方程 §2-3 几何方程和连续性方程 §2-4 广义Hooke定律 §2-5 斜面应力公式与应力边界条件 §2-6 位移边界条件
§1-2 弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、位移。
1. 外力 体力、面力 （材力：集中力、分布力。）
PA dx PB dy
变形前
变形后
u
P
P
v
y
x
P u dx
v P A
dy
B
A
B
A
A
B
B
注：这里略去了二阶 以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
O
x
u
+
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
y
v
+
v y
dy
dy
v
v y
y
P点的剪应变：
P点两直角线段夹 角的变化
+
xy
z
2 2
yz
u x
同理：
y
yz
x
zx
y
+
xy
z
2
2 zx
v y
z
yz
x
+
zx
y
xy
z
2 2 xy
w z
P
(法线)
第二章各向异性弹性力学 ppt课件
C34z
yz
C35z zx
C36z xy
12C44
2 yz
C45
yz zx
C46
yz xy
12C55
2 zx
C56 zx xy
12C66
2 zy
（2－6）
2.3 坐标转换(应力应变及弹性系数 转轴公式)
2.3.1 斜面应力
为了讨论过点A任意斜面 的应力，在点A附近取一 个四面体微元ABCD(图 2 －1 )。
U0
1 2
ij
ij
U0
ij
Lijkl kl
ij
其中
Lijkl Lklij Mijkl Mklij
(Voigt对称性) (Voigt对称性)
dWi di
Cij ji W ji 2 i W j W ij ij Cji 由线弹性可以得 W12ii 12Cijji
2.2 均质弹性体的弹性性质
可得
U 0 x
x
U 0 yz
yz
U 0 y
y
U 0 zx
zx
U 0 z
z
U 0 xy
xy
（2－5）
为了便于以后的讨论，给出 U 0 的展开式
U0 12C11x2 C12xy C13xz C14x yz C15xzx C16xxy
12C22y2 C23yz C24y yz C25yzx C26yxy 12C33z2
2M1112
2M2212
2M3312 4M2312
4M3112
4M1212
2.1.2 弹性应变能密度
固体变形时，加在它上面的外力要做功。完全弹性体 在等温条件下，当缓慢卸载后可以完全恢复其初始状态。 因此，可以认为，外力功全部以能量的形式储存在弹性体 内。这种能量称为应变能。
弹性力学基础教学课件PPT
弹性力学基础教学课 件
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
弹性力学课件
续，有
z 0
τzx 0
τzy 0
由切应力互等定理： τxz 0 τyz 0
只剩下平行于xy面的三个平面应力分量，即
x, y, xy= yx 所以这种问题称为平面应力问题。
2.由于物体形状和外力、约束沿z向均不变化, 故x, y, xy 只是x,y的函数, x, y, xy 也只是x,y的函数,但位移与z 有关。
© 2006.Wei Yuan. All rights reserved.
例如：
q
M(x) y
Iz q
材料力学:研究直梁在横向载荷作 用下的平面弯曲，引用了平面假 设，结果：横截面上的正应力按 直线分布。
弹性力学:梁的深度并不远小于 梁的跨度，而是同等大小的，那 么，横截面的正应力并不按直线 分布，而是按曲线变化的。
是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简 化为近似的平面问题。
一.第一种平面问题—平面应力问题
这类问题的条件是：弹性体是
等厚度(d)的薄板，体力、面力
和约束都只有xy平面的量 (fx , fy , fx , fy , u, v ),都不沿z向变化；
o
并且面力和约束只作用于板边
，在板面( z δ )上没有任何
y
面力和约束的作2 用。
d/2 d/2
x
z
y
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1.设薄板的厚度为d, xy 为中面,z
d/2 d/2
轴垂直于xy面.因为板面上
z δ 不受力， 所以
o
x
z
2
(z)zd 0 2
(τzx)zδ 0 2
(zy)zd 0 2
y
弹性力学课件第二章
定义
§2－2 平衡微分方程
平衡微分方程--表示物体内任一点的 微分体的平衡条件。
第二章 平面应力问题和平面应变问题
定义
在任一点（x，y）取出一微小的平行六面 体 dxd,y作1 用于微分体上的力：
体力： f x , 。f y
应力：作用于各边上， 并表示出正面上 由坐标增量引起 的应力增量。
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平面应变
简化为平面应变问题：
（1）截面、外力、约束沿z 向不变，外力、约束
平行xy面，柱体非常长；
故任何z 面（截面）均为对称面。
w 0, 只有u,v; （平面位移问题）
w 0 εz 0,
τ zx , τ zy 0 zx , zy 0,
只有 x , y , xy .
（平面应变问题）
第二章 平面应力问题和平面应变问题
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替变
形后的尺寸。
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平衡条件
列出平衡条件：
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出3个平衡条件。
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平衡条件
Fx 0,
(σ
表示，用于按位移求解。
第二章 平面应力问题和平面应变问题
平面应力
平面应力问题的物理方程：
代入 σz zx ，得zy ： 0
x
1 E
(σ x
σ y ),
xy
2(1 E
) xy.
y
1 E
(σ y
σ
x
),
(a)
在z方向 σ z 0,
第二章应力状态理论(弹性力学)
应力状态理论
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
弹性力学ppt课件
应变定义
物体在外力作用下产生的 形变，表示物体尺寸和形 状的变化。
应力与应变关系
应力与应变之间存在一一 对应关系，通过本构方程 来描述。
广义胡克定律及应用
1 2
广义胡克定律 又称作弹性本构关系，表示应力与应变之间的线 性关系。
广义胡克定律的应用 用于计算弹性体在复杂应力状态下的应力和应变， 是弹性力学中的重要基础。
弹性力学ppt课件
contents
目录
• 弹性力学概述 • 弹性力学基本原理 • 线性弹性力学问题求解方法 • 非线性弹性力学问题简介 • 弹性力学实验方法与技术应用 • 弹性力学在相关领域拓展应用
01 弹性力学概述
弹性力学定义与研究对象
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性体在外力和其他 外界因素作用下产生的变形和内力， 从而在变形与外力之间建立一定关系 的科学。
有限元法在弹性力学中应用
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通 过变分原理得到有限元方程。
有限元法求解过程
包括网格划分、单元分析、整体分析、边界条件处理和求解有限元方 程等步骤。
有限元法的优缺点
有限元法可以求解复杂几何形状、非均质材料和非线性问题，但存在 网格划分和计算精度等问题。
布。
弹性模量和泊松比测定实验
拉伸法
通过对标准试件进行拉伸实验，测量试件的应力和应变，从 而计算得到弹性模量和泊松比。
压缩法
通过对标准试件进行压缩实验，测量试件的应力和应变，进 而计算弹性模量和泊松比，适用于脆性材料的测量。
弯曲法
通过对梁式试件进行三点或四点弯曲实验，测量试件的挠度 和应力，从而推算出弹性模量，特别适用于细长构件的测量。
《弹性力学》第二章平面问题的基本理论
平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
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定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
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当ΔS很小时，这个集度的极限就称为应力，
表示为：
ΔF
fv
F lim s0 S
ΔS
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在给定的直角坐标系下，应力可沿3个坐标方向分 解，分别表示为：f xv, , f yv zv 。则有：
fv f xv e1 f yv e2 f zv e3
这里的 e1 ，e 2 ，e 3分别表示坐标单位矢量。
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如果仅考虑单元体的平衡，可以不考 虑单元体同一方向上相隔一定距离应 力的微小变化，前后两面的应力可认 为是大小相等、方向相反。
但是，在分析整体的平衡时，应力的 这个微小变化，各面的应力差就是造 成物体各处应力变化的原因，必须加 以考虑。
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xz
xz
x
d
x
z
oy x
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y
d
y
设Fbz 为物体的Z方向的体力分量。
总和后整理便得到z方向的静力平衡方程 ∑Z=0:
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同理得到x、y方向的静力（或运动）平衡微分方程:
或 2u
t2
或 2v
t2
其中Fbx, Fby, Fbz 为物体的体力分量。
或 2w
( ij ) =
xx yx
zx
xx yx
zx
yxx zx
xy yy
xz yz
zy zz
xy yy
xz yz
zy zz
xy y
xz yz
zy z
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2.2 应力和一点的应力状态
根据物体连续性的假设，可认为物体在微小 面上的ΔS力是连续分布的，内力ΔF则是这个分 布力的合力，于是分布集度为：即平均力。
标量与坐标轴的选取无关，但矢量分量和应力分 量和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满足 规定坐标变换公式的物理量称为张量。
标量称为零张量，矢量为一阶张量，矩阵（方阵） 是二阶张量。
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应力张量：一点的应力状态，它具有二重方向性， 即应力分量的值既与截面法线的方向有关又与应力 分量本身的方向有关，是二阶张量，可记为( ij ) 。
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9个应力分量可以完全确定一点的应力状态。
x xy xz
ij yx y yz
zx
zy
z
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2.3 平衡微分方程
在外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部 分也将保持平衡。我们从中取出一个单元体
dv=dxdydz加以分析,物体内某点的正应力为σi。
应力矢量又可分别沿微分面的法向和切向方向分
解，分别表示为正应力 v和切应力 v 。
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一点的应力状态
通过物体内一点可以作无数个方位不同的微 分面，各微分面上的应力一般各不同，我们把物 体内同一点各微分面上的应力情况，称为一点的 应力状态。
在笛卡尔坐标系下，我们分别沿平行于坐标 平面的3个微分面方向进行应力分解后，可得到9 个应力分量，我们将他们整体称为应力张量，其 中的每一个量称为应力分量。应力张量表示为：
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2.1 张量的概念与坐标变换
一 指标符号 (1)量与数：任何一个量都是客观对象的数学表征，
通常是由若干个数字给出的，最简单的量称为 标量，由一个数字确定。矢量有大小、方向， 就不能只用一个数值表示，由若干分量组成， 引入下标记号法。
可以将坐标x, y , z 轴，记为x1, x2, x3, 通常可简 记为xi,各轴的基矢记为e1,e2,e3,可简记为ei, 在此坐标 系中的矢量v的分量记为v1, v2, v3, 可简记为vi。
该定义表明它有 对称性，与指标 排列顺序无关，
即：δij＝ δji
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记基矢的混合积
(e i ×e j ）·e k = e ijk
其中
当i, j, k为偶置换
当i, j, k为奇置换 当i，j，k有两个或三个相同
称为置换符号。利用置换符号，两个 矢量的矢积可记为
a i ×b j = e ijk ai bjek
V v1e1 v2e2 v3e3 viei
矢量的点积: 一个矢量和另一个矢量的点积可 以决定一个标量，用指标符号可记为:
W F • S f1s1 f2s2 f3s3 fisi
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f 3 s3
(2) Einstein求和约定：最后一个等式在符号∑ 下fi si 有两个同样的指标i。约定凡在同一项中有一对相 同的指标（也就是一个指标出现两次时），就认 为是对这一指标从1到3全程求和，并限定在同一 项中不能有同一下标出现3次或3次以上，求和符 号略去不写，记为：
第二章 应力状态理论
应力的概念是固体力学的最重要的概 念之一,应力分量具有张量的性质，符 合张量的坐标变换规律。
考虑单元体的平衡，得到平衡微分方 程，在边界上得到边界条件，边界条 件在弹性力学问题的求解中占有重要 的地位。
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2.1 张量的概念与坐标变换 2.2 应力和一点的应力状态 2.3 平衡微分方程 2.4 边界条件 2.5 主应力和应力张量不变量 2.6 转轴时应力张量的变换 2.7 圣维南原理 2.8 例题
w fi si
求和所得到的结果，不再含有这一指标，这 一指标换为其它的指标也不会影响其结果，这 一指标称为哑标。
不求和的指标称为自由指标。一项中有相它 符号的指标，通常有泛指的意义。
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记基矢的点积
e i ·e j = δij 其中
称为克罗内克尔 代尔塔符号 (Kronecker delta)。
图示单元体z轴方 向的平衡，在z面的负 面z处，正应力记为σz,
z正面z+dz处应力为
τxz
z
z
z
d
z
在x面的负面处，切应力
记为τxz；
x正面x+dx处切应力为
xz
xz
x
d
x
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τyz
z oy
x
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在y面的负面y处，切应 力记为τyz,
y正面y+dy处应力为
yz
yz
y
d
y
yz
yz
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将求导符号简记为：
( ) xi
(
),i
梯度可记为：
e1
x1
e2
x2
e3
x3
,iei
则散度可记为：
•v
v1 x1
v2 x2
v3 x3
vi,i
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二 张量的定义
在力学中常用的物理量（或几何量）可分为几 类：标量（只有大小没有方向）；矢量（既有大小 又有方向）；张量（具有多重方向性的更为复杂的 物理量）