球面平均法和泊松公式

§7.2 球面平均法和泊松公式

一 本节主要思想

（1）对三维波动方程的初值问题，先假设已知空间某一点(,,)M x y z 的振动(,,,)u x y z t ，然后以M 点为发射子波的波源，根据球面波的对称性，可根据加权平均的思想来考察球面M r S 的平均振动(,)u r t ，从而将问题归结为两个自变量的一维波动方程，最后采用极限的思想，令0r =，即可得到M 点的振动(,,,)u x y z t ．

（2）对二维波动方程的初值问题，采用将其上升到三维空间的思想，根据已有的三维波动方程的泊松公式，获得此问题的三维解，再采用降维法，最终获得二维解．

二 三维波动方程的初值问题，泊松公式

１三维波动方程初值问题解的泊松公式

考察三维波动方程的初值问题：

200(,,),(,,)tt t t t u a u u x y z u x y z ϕψ==⎧=∆⎪⎨==⎪⎩ 0,,,(1),,(2)

t x y z x y z >-∞<<∞-∞<<∞ 以M r S 表示以点(,,)M x y z 为心，半径为r 的球面，以d ω表示1S 的面元，则r S 的面元2dS r d ω=．

注：22sin sin d d d dS r d dS r d d ωθθϕ

ωθθϕ=⎧⇒=⎨=⎩

下面用加权平均的思想（即球面平均法）求函数(,,,)u x y z t 在球面M r S 上的平均值(,)u r t ：

21

(,)(,,,)(3)4M r s u r t u t dS r ξηζπ=⎰⎰

123123(,,),,,,(4)

sin cos ,sin sin ,cos (5)

M r S x r y r z r ξηζξαηαζααθϕαθϕαθ∈=+=+=+===． 注：（4）、（5）实际上是球的参数方程的表达式

（3）式也可写成

1231(,)(,,,)4M r s u r t u x r y r z r t d αααωπ=

+++⎰⎰， 注：由于2221sin ,dS r d d r d dr r θθϕω==不含故可将

放入积分号中，与2r 正好约掉． 由此可知0(,,,)r u u x y z t ==，所以，为了求u 可以先求u 下面就来讨论如何求u ：

注意到r =

u u r u x x r x r r

ξ∂∂∂∂-==∂∂∂∂ 222222322()()u r x u x u x r r r r

ξξ∂--∂-∂=+∂∂∂． 同理，可求出2222u u y z

∂∂∂∂和，将他们相加，得到 22

22

21()u u u ru r r r r r ∂∂∂∆=+=∂∂∂． 注： 22222222

()()()212()u ru r u r r

u u u ru r u r r r r r r

u u ru r r r r r ∂∂=+∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂所以， 将方程（1）两端取球面平均，即得

22

2

2()tt a u a u ru r r ∂=∆=∂ 等式两边同乘以r 得

222

()()0ru a ru t r ∂∂-=∂∂ （6） 注：r 与时间t 无关，所以可将r 放入算子2

2t

∂∂中 这是关于ru 的一维波动方程，其通解为

12()()ru f r at f r at =-++ （7）

令0r =，得

120()()f at f at =-+

从而知12()()f f αα=--，故有

12()()ru f r at f at r =+-- （8）

注：① α的取值范围应是(,0)-∞

② 我们所关心的是0r a t -<的情况，因为此时表明振动已传至所考察的球面，若

0r at ->，表明振动还未传至所考察的球面，这样就无法考察M 点的振动． 为求0r u =，将上式对r 求导，得

''22()()()u ru u r f r at f at r r r

∂∂=+=++-∂∂ （9）

令0r =，即得

'20(,,,)2()r u x y z t u f at ===． （10）

所以，为求u ，只需求'2f ．为此将（8）式再对t 求导，得

''22()()()ru a f r at f at r r

∂⎡⎤=+--⎣⎦∂． （11） 由（9）、（11）两式得

'21()()2().r u r u f r a t r a t

∂∂+=+∂∂ （12） 在上式中令0t =，并注意到（3）式和初始条件（2）式，即得 '20

12()()()11411=4M M r r M M r r t S S t S S f r ru ru r a t u u dS dS r r a t r dS dS r r a t r πϕψπ

==∂∂⎡⎤=+⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂⎡⎤=+⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂⎡⎤+⎢⎥∂∂⎣⎦

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 注意到（10）式，在上式中令r at =，即得三维波动方程初值问题（1）、（2）的解为 (,,,)u x y z t 1

(,,)(,,)=4M M r r S S dS dS t at at ϕξηζψξηζπ∂⎡⎤+⎢⎥∂⎣⎦

⎰⎰⎰⎰． （13） （13）式称为泊松公式．