(完整版)立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习),推荐文档

立体几何中的轨迹问题

在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的

位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与

完备性．

立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：

1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；

2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数

的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．

轨迹问题

【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△

SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC．则动点P 的轨迹与△SCD 组

成的相关图形最有可能的是( )

A.B．C．

解析：如图，分别取CD、SC 的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC 与BD 的交点为O，连结SO，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB ∴EG⊥AC

∴AC⊥平面EFG，

∵P∈FG，E∈平面EFG，

∴AC⊥PE．

另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC；C 中P 点所在的轨π

迹与CD 平行，它与CF 成4角，显然不满足PE ⊥AC；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角

为锐角，显然也不满足PE ⊥AC．

评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处

设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为

活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的

平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．

【例2】(1)如图，在正四棱柱ABCD —A

1

B1C1D1中，E、F、G、H 分别是CC1、C1D1、DD1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足时，有MN∥平面B1BDD1．

(2)正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P 的轨迹是线段B1C ．

(3)正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F 分别是棱A1B1，BC 上的动点，且A1E=BF，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是线段MN(M、N 分别为前右两面的中心)．

(4)已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A 距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．

A

(1)

C1

A

E

C

(2)

1

A1

(3)

1

C1

A

C

(4)

若将“在正方体的侧面BCC

1

B1上到点A 距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为的

点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．

B

P C B

△ABC 组成图形可能是：( D ) 【例 3】 (1)(04 北京)在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，P 是侧面 BB 1C 1C 内一动点，若

C 1

P 到直线 BC 与直线 C 1D 1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ( D )

A. A 直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线

A 变式：若将“P 到直线 BC 与直线 C 1D 1 的距离相等”改为“P 到直线 BC 与直线 C 1D 1 的距离之比为 1：2(或 2：1)”， 则动点 P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)． (2)(06 北京)平面 α 的斜线 A

B 交 α 于点 B ，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交 α 于点

C ，则动点 C 的轨迹是 (A )

A ．一条直线

B ．一个圆

C ．一个椭圆

D ．双曲线的一支 解：设 l 与 l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线 AB 垂直 这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点 A 与 AB 垂直所 有直线都在这个平面内，故动点 C 都在这个平面与平面 α 的交线上，故选 A ．

1

(3) 已知正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，M 在棱 AB 上，且 AM =3，点 P 到直 A 1 线 A 1D 1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，则点 P 的轨迹为 抛物线 ．

DD 1 (4) 已知正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱长为 3，长为 2 的线段 MN 点一个端点 M 在 上运动，另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 的中点 P 的轨迹与正方体的 π 面所围成的几何体的体积为 6 ． 棱 AB 【例 4】 (04 重庆)若三棱锥 A -BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到

A

B

C

D 【例 5】 四棱锥 P -ABCD ，AD ⊥面 PAB ，BC ⊥面 PAB ，底面 ABCD 为梯形，

AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是( )

A ．圆

B ．不完整的圆

C ．抛物线

D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面 PAB ，BC ⊥平面 PAB ∴AD ∥BC 且 AD ⊥PA ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB

AD CB

∴PA =PB A D

∴PB =2PA

在平面 APB 内，以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A (-3，0)、B (3，0)， 设 P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)

即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )