(完整版)立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习),推荐文档

立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是( )A.B．C．解析：如图，分别取CD、SC 的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC 与BD 的交点为O，连结SO，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB ∴EG⊥AC∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG，E∈平面EFG，∴AC⊥PE．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC；C 中P 点所在的轨π迹与CD 平行，它与CF 成4角，显然不满足PE ⊥AC；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】(1)如图，在正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，E、F、G、H 分别是CC1、C1D1、DD1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足时，有MN∥平面B1BDD1．(2)正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P 的轨迹是线段B1C ．(3)正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F 分别是棱A1B1，BC 上的动点，且A1E=BF，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是线段MN(M、N 分别为前右两面的中心)．(4)已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A 距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．A(1)C1AEC(2)1A1(3)1C1AC(4)若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A 距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为的点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．BP C B△ABC 组成图形可能是：( D ) 【例 3】 (1)(04 北京)在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，P 是侧面 BB 1C 1C 内一动点，若C 1P 到直线 BC 与直线 C 1D 1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A. A 直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线A 变式：若将“P 到直线 BC 与直线 C 1D 1 的距离相等”改为“P 到直线 BC 与直线 C 1D 1 的距离之比为 1：2(或 2：1)”， 则动点 P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)． (2)(06 北京)平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B ，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交 α 于点C ，则动点 C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支 解：设 l 与 l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线 AB 垂直 这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点 A 与 AB 垂直所 有直线都在这个平面内，故动点 C 都在这个平面与平面 α 的交线上，故选 A ．1(3) 已知正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，M 在棱 AB 上，且 AM =3，点 P 到直 A 1 线 A 1D 1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，则点 P 的轨迹为 抛物线 ．DD 1 (4) 已知正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱长为 3，长为 2 的线段 MN 点一个端点 M 在 上运动，另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 的中点 P 的轨迹与正方体的 π 面所围成的几何体的体积为 6 ． 棱 AB 【例 4】 (04 重庆)若三棱锥 A -BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到ABCD 【例 5】 四棱锥 P -ABCD ，AD ⊥面 PAB ，BC ⊥面 PAB ，底面 ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是( )A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面 PAB ，BC ⊥平面 PAB ∴AD ∥BC 且 AD ⊥PA ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPBAD CB∴PA =PB A D∴PB =2PA在平面 APB 内，以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A (-3，0)、B (3，0)， 设 P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )的 立体几何中的轨迹问题（教师版）1. 在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的侧面 AB 1 内有一点 P 到直线 AB 与到直线 B 1C 1 的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分简析 本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为 B 1C 1 ⊥ 面 AB 1，所以PB 1 就是 P 到直线 B 1C 1 的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选 D ． 2．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的侧面 AB 1 内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B 1C 1 的距离之比为 2：1，则动点 P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3. 在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的侧面 AB 1 内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B 1C 1 的距离之比为 1：2，则动点 P 所在曲线的形状为（C ）．A. 线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4. 在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AA 1 的中点，点 P 在其对角面 BB 1D 1D 内运动，若 EP 总与直线 AC 成等角，则点 P 的轨迹有可能是（A ）．简析 由条件易知：AC 是平面 BB 1D 1D 的法向量，所以 EP 与直线 AC 成等角，得到 EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点 P 轨迹有可能是圆或圆的一部分．5. 已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为 a ，定点 M 在棱 AB 上（但不在端点 A ，B 上），点 P 是平面ABCD 内的动点，且点 P 到直线 A 1 D 1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 a 2，则点 P 的轨迹所在曲线为 （A ）．A. 抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，过 P 作 PF ⊥ AD ，过 F 作 FE ⊥ A 1D 1，垂足分别为 F 、E ，连结 PE ．则 PE 2=a 2+PF 2，又 PE 2-PM 2=a 2，所以 PM 2=PF 2，从而 PM ＝PF ，故点 P 到直线 AD 与到点 M 的距离相等，故点 P 的轨迹是以 M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1 D 1 中，点 P 在侧面 BCC 1B 1 及其边界上运动，总有 AP ⊥ BD 1，则动点 P 的轨迹为 ．简析 在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证 BD 1 ⊥ 面 ACB 1，所以满足 BD 1 ⊥ AP 的所有点 P 都在一个平面 ACB 1 上．而已知条件中的点 P 是在侧面 BCC 1B 1 及其边界上运动，因此，符合条件的点 P 在平面 ACB 1 与平面 BCC 1B 1 交线上，故所求的轨迹为线段 B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹． 7．在正四棱锥 S-ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 P 在侧面∆ SCD 内及其边界上运动，总有 PE ⊥ AC ，则动点P 的轨迹为 ．答案 线段 MN （M 、N 分别为 SC 、CD 的中点） 8. 若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ⊥，动点C （不同于A 、B ）在内，且 PC ⊥ A C ，则动点 C 在平面内的轨迹是 ．（除去两点的圆）9. 若三棱锥 A —BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与∆ ABC 组成的图形可能是：（D ）PPP2 3 3 3A AA APB C B C B C B CABCD简析 动点 P 在侧面 ABC 内，若点 P 到 AB 的距离等于到棱 BC 的距离，则点 P 在∠ABC 的内角平分线上．现在 P 到平面 BCD 的距离等于到棱 AB 的距离，而 P 到棱 BC 的距离大于 P 到底面 BCD 的距离，于是， P 到棱 AB 的距离小于 P 到棱 BC 的距离，故动点 P 只能在∠ABC 的内角平分线与 AB 之间的区域 内．只能选 D ．10. 已知 P 是正四面体 S-ABC 的面 SBC 上一点，P 到面 ABC 的距离与到点 S 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（B ）．A. 圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11. 已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1 D 1 的棱长为 1，在正方体的侧面 BCC 1 B 1 上到点 A 距离为成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度为 ．简析以B 为圆心，半径为 且圆心角为 的圆弧，长度为 ． 3 2 6的点的轨迹形312. 已知长方体 ABCD - A 1B 1C 1 D 1 中， AB = 6, BC = 3 ，在线段 BD 、 A 1C 1 上各有一点 P 、Q ，PQ 上有一点M ，且 PM = 2 MQ ，则 M 点轨迹图形的面积是．提示 轨迹的图形是一个平行四边形．13. 已知棱长为 3 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，长为 2 的线段 MN 的一个端点在 DD 1 上运动，另一个端点N 在底面 ABCD 上运动，求 MN 中点 P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析 由于 M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点 P 的几何性质，连结 DP ，因为 PD=1，因此点 P 的轨迹是一个以为半径的球面在正方体内的部分，所 11 4 3以点 P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的 ，即 ⨯ ⨯1 = ．8 8 3 614. 已知平面α // 平面β ，直线l ⊂ α ， 点P ∈ l ，平面α 、β 间的距离为 4，则在β 内到点 P 的距离为 5 且到直线l 的距离为 9的点的轨迹是（ ）2A. 一个圆 B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点简析：如图，设点P 在平面β 内的射影是O ，则OP 是α 、β 的公垂线，OP=4．在β 内到点 P 的距离等于 5 O 为圆 心，3 为半径的圆上．又在β 内到直线l 的距离等于 9的点的集合是两条平行直线 2m 、n ，为球心，1 D MN=2，所以 的点到O 的距离等于 3，可知所求点的轨迹是β 内在以O 中点 所在直线为 x 轴，AB AB PAB 内，以 可得tan ∠APD =AD = CB = tan ∠CPB ，✃得 PB = CB= 2 PA PB PA AD点的轨迹是四个点，故选 C ．16. 在四棱锥P - ABCD 中， AD ⊥ 面 PAB ， BC ⊥ 面 PAB ，底面 ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6， ∠APD = ∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为AD ⊥ 面 PAB ， BC ⊥ 面 PAB ，所以 AD//BC ，且∠DAP = ∠CBP = 90︒ ．又∠APD = ∠CPB, AD = 4, BC = 8 ，在平面 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 A （-3，0）、由于点 P 不在直线 AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ． 17．如图，定点 A 和 B 都在平面α 内，定点 P ∉ α, PB ⊥ α,C 是α 内异于 A 和 B的动点．且PC ⊥ AC ，那么动点 C 在平面α 内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为AC ⊥ PC ，且 PC 在α 内的射影为 BC ，所以AC ⊥ BC ，即∠ACB = 90︒ ．所以点 C 的轨迹是AB 为直径的圆且去掉 A 、B 两点，故选 B ．18. 如图，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，P 是侧面BC 1 内一动点，若 P 到直线BC 与直线C 1D 1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（） A. 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为 P 到C 1D 1 的距离即为 P 到C 1 的距离，所以在面BC 1 内，P 到定点C 1 的距离与 P 到定直线 BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点 P 的轨迹为抛物线，故选D ．19. 已知正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点，若点 P 到直线A 1D 1 的距离等于点P 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（）A. 抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图 4，以 A 为原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴，建立平面直角坐标系．设 P （x ，y ）， 作PE ⊥ AD 于 E 、 PF ⊥ A 1D 1 于 F ，连结 EF ，易知x 2 2= 2 ，整理得 + y + 10x + 9 = 0 2 2(x - 3) + y = (x + 3)2 + y 2| PB | P （x ，y ），则有 | PA |B （3，0）．设点 m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求2 2 它们到点O 的距离都等于 ( 9 )2 - 42 = 17< 3 ，所以直线3 C 即 x 2 + 1 =| y - 1 | ，化简得x 2 - y 2 + 2y = 0 | PF |2 =| PE |2 + | EF |2 = x 2 + 1又作PN ⊥ CD 于 N ，则| PN |=| y - 1 |．依题意| PF |=| PN | ，故动点 P 的轨迹为双曲线，选 B ．20. 如图，AB 是平面 a 的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面 a 内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点 P 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线分析：由于线段 AB 是定长线段，而△ABP 的面积为定值，所以动点 P 到线段 AB 的距离也是定值．由此可知空间点 P 在斜线段 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的迹就是圆柱侧面与平面 a 的交线 ．21. 如图，动点 P 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的对角线 BD 1 上．过点 P 作垂直于平面 BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于 M ，N ．设 BP = x ， MN = y ，则函数 y = f (x ) 的图象大致是（ ）D 1C 1yA 1B 1yyyNDM OxABOxOxOxB ．C ．D ．分析：将线段 MN 投影到平面 ABCD 内，易得 y 为 x 一次函数．22. 已知异面直线 a ，b 成60︒ 角，公垂线段 MN 的长等于 2，线段 AB 两个端点 A 、B 分别在 a ，b 上移动，且线段 AB 长等于 4，求线段 AB 中点的轨迹方程．图 5简析：如图 5，易知线段 AB 的中点 P 在公垂线段 MN 的中垂面α 上，直线a' 、 b' 为平面α 内过 MN 的中点 O 分别平行于 a 、b 的直线， AA' ⊥ a' 于A' ， BB' ⊥ b' 于B' ， 则AB ⋂ A' B' = P ，且 P 也为A' B' 的中点．由已知 MN=2，AB=4，易知AA' = 1, A P = 2, 得A' B' = 2 ．P 以AB 为 轴的圆柱侧面上．又 P )，得到的切痕是椭圆．P 的轨3则问题转化为求长等于2 的线段A' B' 的两个端点A' 、B' 分别在a' 、b' 上移动时其中点P 的轨迹．现以∠A'OB' 的角平分线为x 轴，O 为原点建立如图6 所示的平面直角坐标系．图 6设P(x, y) ，| OA'|= m,| OB'|= n ，则A'(3 m, 1m) , B'( 3 n,-1n) 2 2 2 2x =3(m + n), y =1(m - n) 4 43(m - n)2 +1(m + n)2 = (2 3)24 4消去m、n，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为x 2 + y2 = 19点评：例5 和例6 分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．．立体几何中的轨迹问题1. 在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的侧面 AB 1 内有一点 P 到直线 AB 与到直线 B 1C 1 的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为 （）A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 2．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的侧面 AB 1 内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B 1C 1 的距离之比为 2：1，则动点 P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的侧面 AB 1 内有一点 P 到直线 AB 的距离与到直线 B 1C 1 的距离之比为 1：2，则动点 P 所在曲线的形状为 （ ）A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 4．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AA 1 的中点，点 P 在其对角面 BB 1D 1D 内运动，若 EP 总与直线 AC 成等角，则点 P 的轨迹有可能是（ ）A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分5．已知正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的棱长为 a ，定点 M 在棱 AB 上（但不在端点 A ，B 上），点 P 是平面ABCD 内的动点，且点 P 到直线 A 1 D 1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 a 2，则点 P 的轨迹所在曲线为（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6. 若三棱锥 A —BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与∆ ABC 组成的图形可能是（）AAAAPBC B CBCBCAB C D7. 已知 P 是正四面体 S-ABC 的面 SBC 上一点，P 到面 ABC 的距离与到点 S 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（ ）A. 圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线8.已知平面α // 平面β ，直线l ⊂ α ，点 P ∈ l ，平面α 、β 间的距离为 4，则在β 内到点 P 的距离为 5 且到直PPPC线l 的距离为 9的点的轨迹是（2）A. 一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9. 在四棱锥P - ABCD 中， AD ⊥ 面 PAB ， BC ⊥ 面 PAB ，底面 ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6， ∠APD = ∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点 P 的轨迹是 （ ）A. 圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．如图，定点 A 和 B 都在平面α 内，定点 P ∉ α, PB ⊥ α, C 是α 内异于 A 和 B 的动点．且PC ⊥ AC ，那么动点 C 在平面α 内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11. 已知正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点，若点 P 到直线A 1D 1 的距离等于点P 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 （）A. 抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12. 如图，AB 是平面 a 的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面 a 内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点 P 的轨迹是（ ）A. 圆 B ．椭圆 C ．一条直线D ．两条平行直线13. 如图，动点 P 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的对角线 BD 1 上．过点 P 作垂直于平面 BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于 M ，N ．设 BP = x ， MN = y ，则函数 y = f (x ) 的图象大致是（ ）D 1 C 1yA 1B 1yyyN DM OxA BA ．OxOxOxB ．C ．D ．14. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1 D 1 中，点 P 在侧面 BCC 1B 1 及其边界上运动，总有 AP ⊥ BD 1，则动点 P 的轨迹为．15. 在正四棱锥 S-ABCD 中，E 是 BC 的中点，点 P 在侧面∆ SCD 内及其边界上运动，总有 PE ⊥ AC ，则动点P 的轨迹为 ．16. 若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ⊥，动点C （不同于A 、B ）在内，且 PC ⊥ AC ，则动点 C 在平面内的轨迹是 ．17. 已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1 D 1 的棱长为 1，在正方体的侧面 BCC 1 B 1 上到点 A 距离为成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度为．的点的轨迹形 18. 已知长方体 ABCD - A 1B 1C 1 D 1 中， AB = 6, BC = 3 ，在线段 BD 、 A 1C 1 上各有一点 P 、Q ，PQ 上有一点2 33PM，且PM = 2 MQ ，则M 点轨迹图形的面积是．19.已知棱长为3 的正方体ABCD -A1B1C1D1中，长为2 的线段MN 的一个端点在DD1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是．20.已知异面直线a，b 成60︒角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A、B 分别在a，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。