高中数学：四大类弦长公式

高中数学中的四大类弦长公式
一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式
1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()2
21221y y x x AB -+-=
2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则
a
k x x k AB ∆
+=-+=2
21211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） a
k y y k AB ∆+=-+
=22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式）
注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）
二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式
1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()22
2
:r b y a x M =-+-相交于B A ,，则
2
2
2d r AB -=（其中2
2
B
A C Bb Aa d +++=
为圆心),(b a M 到直线l 的距离）
注：此公式证明需用垂径定理
2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,
BF AF AB += ①α
2
21sin 2p
x x p AB =
++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=）
②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.
3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=
①过椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于
()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=.
②过椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于
()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=.
③过椭圆)0(122
22>>=+b a b x a y 的左焦点)0(1c F -，
的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=.
④过椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于
()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=.
注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.
三、直线标准参数方程下的弦长公式
过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程
⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .
设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有： ①2121,,t t AB t PB t PA -=== ②AB 中点M 对应的参数为
2
2
1t t +，则.221t t PM += 证明：∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++, ∴ ()()()()12
1212
0102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=
-++-+=
αααα
同理2t PB =,21t t AB -=
还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得：
例如：
③⎩⎨⎧<->+=+=+0,
,
212121212
1t t t t t t t t t t PB PA ;
⎩⎨
⎧<+>-=-=-0
,
,
2121212121t t t t t t t t t t PB PA
④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .
（∵AB 中点对应的参数为2
2
1t t +,P 对应的参数为0）
过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y at
x x 00
(b a ,是常数,t 为参数).
设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有：
①122t b a PM +=，222t b a PN +=，()
212
2t t b a PN PM +=⋅
②A
b
a t t
b a MN ∆
+=-+=2
22122（其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根）
③⎩⎨⎧<->+=+=+0
,
,
212121212
1t t t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩
⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0
,0,
21212
2
212122212
2
t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM
④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .
（∵MN 中点对应的参数为2
2
1t t +,P 对应的参数为0）
四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,,,θρθρB A
①若21θθ=，则21ρρ-=AB
②若21θθ≠，则()21212
221cos 2θθρρρρ--+=AB ，()2121sin 2
1
θθρρ-=
∆OAB S。