平面向量复习公开课
平面向量复习导学案公开课课件教案教学设计
平面向量复习导学案例1：如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（4，3），点B的坐标⊥，垂足为点D．为（－1，6），作BD OA(1)求OA，OB，AB；∠；(2)求cos AOBS．(3)求OAB例题2在等边ABC中，2=，点Q为AC的中点，BQ交AM于点N.CM MB（1）证明：点N为BQ的中点；（2）若6⋅=-，求ABC的面积.NA NM一、单选题1．设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 2．已知平行四边形ABCD 中，3AB CD ==，2BC DA ==，四边AB ，BC ，CD ，DA 上的点E ，F ，G ，H 分别使得2AE BF CG DH EB FC GD HA ====，则AF BG CH DE +++=（ ）A ．3BC ．2D ．0 3．已知(1,3),(2,2),(1,2)AB AC BD a a =-=-=+，若B 、C 、D 点共线，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．37C ．115D ．511- 4．已知向量()1,2a =，(),4b m =-，且()a b a +∥，则m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．45．已知非零向量a ，b 2a b =，且()b a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ）． A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．5π66．已知向量,,||6,(3,4)a b a b ==-，若a 在b 的投影为14-，则|32|a b -=（ ） A ．169B ．13C ．196D ．14 二、多选题 7．下列叙述中错误的是（ ） A ．若a b =，则32a b > B ．若//a b ，则a 与b 方的方向相同或相反 C ．若0b ≠且//a b ，//b c ，则//a cD ．对任一向量a ，||a a 是一个单位向量 8．(多选题)已知12,e e 是不共线的向量，下列向量,ab 共线的有（ ） A ．12,2a e b e ==-B ．12123,26a e e b e e =-=-+C ．1212313,242a e eb e e =-=- D ．1212,3a e e b e e =+=-9．如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．AB ＝EFB ．AB 与FH 共线C ．BD 与EH 共线D ．CD ＝FG10．已知M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA CD =+ D ．1233CM CA CD =+ 三、填空题11．已知向量(2,3),(3,1),(2,)a b c λ=-=-=，若(2)()a b a c +⊥-，则λ=________. 12．已知向量()1,2a =-，(),4b x =，且a b ∥，则b =______．13．在△OAB 中，已知3OA OC =，2OB OD =，且AD 与BC 的交点为M ，E 是OA 中点，又直线ME 与线段OB 交于点F ，若OF OB λ=，则实数λ的值为______． 14．已知平面向量a ，b 的夹角为60︒．则单位向量a 在b 上的投影为______．四、解答题15．已知点(1,0),(0,1)A B -，点(,)P x y 为一次函数1y x =-图象上的一个动点． （1）用含x 的代数式表示AP BP ⋅；（2）求证：APB ∠恒为锐角；（3）若四边形ABPQ 为菱形，求BQ AQ ⋅的值．16．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P .（1）若8AP AC ⋅=，求AP 的长；（2）设||3AB =，||4AC =，3BAC π∠=，AP xAB y AC =+，求x 和y 的值.参考答案：1．A【解析】【分析】由3BC CD =便可得到3()AC AB AD AC -=-，进行向量的数乘运算便可求出向量AD ，从而找出正确选项．【详解】 解：3BC CD =；∴3()AC AB AD AC -=-； ∴4133AD AC AB =-． 故选：A ．2．D【解析】【分析】根据已知条件，用,AB AD 表示目标向量，根据向量的线性运算求得结果，再求模长即可.【详解】由题意，得3AB EB =，3BC FC =，3CD GD =，3DA HA =．设AB a =，AD b =，则23AF AB BF a b =+=+，23BG BC CG a b =+=-+， 23CH CD DH a b =+=--，23DE DA AE a b =+=-，所以222203333AF BG CH DE a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++-++--+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以0AF BG CH DE +++=.故选：D ．3．D【解析】【分析】根据题意，求出向量BC 的坐标，分析可得BC BD ∥，由向量平行的坐标表示可得答案．【详解】根据题意，已知(1,3)AB =-，(2,2)AC =-，则(3,5)BC AC AB =-=-， 若B 、C 、D 点共线，则BC BD ∥，则有32(5)(1)a a ⨯=-⨯+，解得：511a =-， 故选：D ．4．A【解析】【分析】利用向量平行的坐标，即可求解.【详解】 ()1,2a b m +=+-，()1,2a =，()//a b a +，()212m ∴+=-，解得：2m =-.故选：A5．A【解析】【分析】 可设2,3(0)a m b m m ==>，且,a b θ=，根据()b a b ⊥-，求得223a b b m ⋅==，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意，非零向量a ，b 2a b =， 可设2,3(0)a m b m m ==>，且,a b θ=因为()b a b ⊥-，可得()20b a b a b b ⋅-=⋅-=，解得223a b b m ⋅==，则23cos 2a b m m a b θ⋅===⋅⋅ 又因为[0,]θπ∈，所以6πθ=，所以a 与b 的夹角为6π. 故选：A.6．B【解析】【分析】首先求出b 的模，再根据投影的定义求出a b ⋅，再根据()2|32|32a b a b -=-及平面向量数量积的运算律计算可得；【详解】 解：因为(3,4)b =-，所以()235b =-，因为a 在b 的投影为14-，所以14a b b ⋅=-，所以1544a b b ⋅=-=-，所以()222|32|329124a b a b a a b b -=-=-⋅+ 22124a a b b -⋅+13 故选：B7．ABD【解析】【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A ，向量不能比较大小，A 错误；对于B ，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B 错误； 对于C ，因为b 不为零向量，所以a 与c 是共线向量，故C 正确； 对于D ，当0a =时，a a 无意义，故D 错误.故选：ABD8．BC【解析】【分析】根据向量的共线条件，以及向量的共线定理，逐项判定，即可求解.【详解】因为12,e e 是不共线的向量，所以12,e e 都不是零向量，对于A 中，若a 与b 共线，则向量12,e e 为共线向量，与已知矛盾，所以a 与b 不共线；对于B 中，因为1212262(3)2b e e e e a =-+=--=-，所以a 与b 共线；对于C 中，因为121212322(3)2343b e e e e a =-=-=，所以a 与b 共线； 对于D 中，若a 与b 共线，则存在事实R λ∈，使得λa b ，即1212(3)e e e e λ+=-，所以12(1)(13)0e e λλ+++=，因为12,e e 是不共线的向量，所以10130λλ+=⎧⎨+=⎩，此时方程组无解， 即不存在λ使得a 与b 共线.故选：BC.9．ABD【解析】【分析】根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误.【详解】由四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，知：AB EF =，即A 正确； 由图形可知：AB 与FH 的方向相反，CD 与FG 方向相同且长度相同即CD ＝FG ， 故B 、D 正确；而BD 与EH 不一定共线，故C 不一定正确.故选：ABD.10．ABD【解析】【分析】 作出示意图，由点M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，得到,E F 是,AC AB 的中点，结合向量的线性运算法则和三角形重心的性质，逐项判定，即可求解.【详解】 如图所示，因为点M 是ABC 的重心，D 为BC 的中点，可得,E F 是,AC AB 的中点， 由1111()2222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以A 正确； 由D 为BC 的中点，根据向量的平行四边形法则，可得2MB MC MD +=， 又由M 是ABC 的重心，根据重心的性质，可得2MA MD =，所以20+=MA MD ， 即0MA MB MC ++=，所以B 正确；根据三角形重心的性质，可得221()332BM BE BA BC ==⨯+112(2)333BA CD BA CD =-=-，所以C 不正确； 由重心的性质，可得221112()(2)332333CM CF CA CB CA CD CA CD ==⨯+=+=+， 所以D 正确.故选：ABD.11．195【解析】【分析】利用两个向量垂直列方程，化简求得λ.【详解】()()21,5,4,3a b a c λ+=--=--，由于(2)()a b a c +⊥-，所以()()()()21,54,341550a b a c λλ+⋅-=-⋅--=+-=， 解得195λ=. 故答案为：19512．【解析】【分析】 根据平面向量平行的坐标表达公式求得x ，再根据坐标求b 即可.【详解】因为向量()1,2a =-，(),4b x =，且a b ∥故可得24x =-，则2x =-，即()2,4b =- 故b ==故答案为：13．23【解析】【分析】由向量共线定理的推论可知：(1)(1)(1)OE OF OA OD OB OC ααββμμ+-=+-=+-，,,(0,1)αβμ∈，根据已知条件及平面向量基本定理列方程组求参数值即可.【详解】由题设，可得如下示意图，(1)(1)2OE OF OA OB OM αααλα+-=+-=且(0,1)α∈，1(1)2OA OD OA OB OM ββββ-+-=+=且(0,1)β∈， 1(1)3OB OC OA OB OM μμμμ-+-=+=且(0,1)μ∈， 所以1312μββμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，可得1525βμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1255OA OB OM +=， 所以1252(1)5αλα⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得2523αλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为：23. 14．12##0.5【解析】【分析】运用向量的概念与计算方法，利用平面向量数量积的几何意义，即可得解【详解】单位向量a 在b 上的投影为cos a a b ，11cos602=⨯︒=． 故答案为：12．15．(1)5OA =，OB AB =(3)272. 【解析】【分析】（1）利用向量坐标模长公式进行求解；（2）利用向量坐标夹角公式求解；（3）根据第二问求出OD ，再使用勾股定理求出BD ，求出面积.(1)165OA OA ===，1OB OB ==+=()()()1,64,35,3AB =--=-，所以25AB AB ===(2)()()4,31,641814OA OB ⋅=⋅-=-+=，故14cos 5OA OB AOB OA OB ⋅∠===⋅⋅； (3)由（2）得：cos AOB ∠=14cos 5OD OB AOB =⋅∠==，由勾股定理得：275BD ===，所以11272752252OAB BD S OA =⋅=⨯⨯=.16．（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】 （1）设BN k BQ =，由平面向量的线性运算结合向量共线的推论求得12k =，即可求证； （2）由平面向量的共线定理，向量的数量积的运算性质，结合三角形面积公式即可求解【详解】（1）证明：设BN k BQ =，点Q 为AC 的中点，1122BQ BC BA ∴=+， 113222222k k k k BN k BC BA BC BA BM BA ⎛⎫∴=+=+=+ ⎪⎝⎭. N ，M ，A 三点共线，3122k k ∴+=， 12k ∴=， ∴点N 为BQ 的中点.（2）由（1）知，11112224AN AB AQ AB AC =+=+. 设24m m AM mAN AB AC ==+， M ，B ，C 三点共线124m m ∴+=， 43m ∴=， 3NA NM ∴=-，36NA NM NM NM ∴⋅=-⋅=-，22NM ∴=，||2NM ∴=||42AM ∴=2222221441732339999AM AB AC AB AB AC AC AB ⎛⎫==+=+⋅+= ⎪⎝⎭， 2288||7AB ∴=，2||ABC S AB ∴==△ 17．（1）2222AP BP x x ⋅=-+；（2）证明见解析；（3）2．【解析】【分析】（1）先用坐标表示AP BP ，，再利用向量数量积的坐标表示，结合点(,)P x y 在直线1y x =-上，即得解；（2）由cos ,||||PA PB PA PB PA PB ⋅>=<，结合（1）证明22220PA PB x x ⋅=-+>，且三点不共线即可；（3）由||||AB BP =，可求得P 点坐标，再由PQ BA =可得Q 点坐标，再计算BQ AQ ⋅即可 【详解】（1）设(,)P x y ，所以(1,),(,1)AP x y BP x y =+=- 所以22(1)(1)BP x x y y x x y AP y ⋅=++-=++- 因为点(,)P x y 在直线1y x =-上，所以2222AP BP x x ⋅=-+（2）△2222PA PB AP BP x x ⋅=⋅=-+ △()22213222212024PA PB x x x x x ⎡⎤⎛⎫⋅=-+=-+=-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以cos ,0||||PA PBPA PB PA PB ⋅>=<>若A ，P ，B 三点在一条直线上，则//PA PB ， 得到(1)(2)(1)0x x x x +---=，方程无解，所以0APB ∠≠ 所以APB ∠恒为锐角．（3）因为四边形ABPQ 为菱形，所以||||AB BP ==化简得到2210x x -+=，所以1x =，所以(1,0)P 设(,)Q a b ，因为PQ BA =，所以(1,)(1,1)a b -=--，所以01a b =⎧⎨=-⎩(0,2)(1,1)2BQ AQ ⋅=-⋅-= 18．（1）||2AP =；（2）17x =，37y =.【解析】【分析】（1）化简得到228APAP AC AP AC AP AO ⋅=⋅==，得到答案. （2）2AP x AB y AO =+，根据,,B P O 三点共线，故21x y +=，0AP BO ⋅=，得到3y x =，解得答案.【详解】解：（1）||||cos AP AC AP AC PAC ⋅=⋅⋅∠2||||||2||8||AP AP AC AP AO =⋅==， 解得||2AP =.（2）因为2AP x AB y AC x AB y AO =+=+，设BP PO =λ ()11111AP AB BP AB BO AB AB AO AB AO =+=+=+-+=+++++λλλλλλλ 所以21x y +=△， 又因为||3AB =，||4AC =，3BAC π∠=，所以1||||cos 32AB AO AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠=， 由AP BD ⊥可知(2)()0AP BO xAB y AO AO AB ⋅=+⋅-=， 展开化简得到3y x =，△联立△△解得17x =，37y =.。
高考数学总复习专题28平面向量的数量积及应用理市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件
(C )
A.1
B.2
C. 2
2 D. 2
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【解析】(1)设 a 与 b 的夹角为 θ，由(a＋2b)·(a－
b)＝－2 得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝ －2，解得 cos θ＝12，∴θ＝π3 .故填π3 .
(2)由题意得，|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1， ∴sin θ＝21|β|≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈π6 ，5π6 .
＝ 22，所以 θ＝π4 ，故选 B.
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2.若等边△ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满
足：C→M＝16C→B＋23C→A，M→A·M→B＝( B ) A.－1 B.－2 C.2 D.3
【 解 析 】 因 为 M→A ·M→B ＝ C→A－C→M ·C→B－C→M ＝
13C→A－16C→B
(2) 因 为
a·b
＝
(e1
－
2e2)·(ke1
＋
e2)
＝
ke
2 1
＋
(1
－
2k)(e1·e2)－2e22，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－12，所以 k
＋(1－2k)·－12－2＝0，解得 k＝54.故填54.
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(3)∵向量A→B与A→C的夹角为 120°， 且|A→B|＝3，|A→C|＝2， ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|cos 120°＝2×3×－12＝－3， ∵ A→P ＝ λ A→B ＋ A→C ， 且 A→P ⊥ B→C ， ∴ A→P ·B→C ＝ λA→B＋A→C·B→C＝λA→B＋A→C·A→C－A→B＝0， 即 λA→B·A→C－A→B·A→C＋|A→C|2－λ|A→B|2＝0， ∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得 λ＝172， 故答案为172.
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向量的线性运算
向量的加法
满足平行四边形法则或三角形法 则，结果向量起点连接第一个向 量的起点，终点连接最后一个向
量的终点。
2024/1/28
向量的减法
减去一个向量相当于加上这个向量 的反向量，满足三角形法则。
向量的数乘
实数与向量的积是一个向量，它的 长度等于这个实数与原来向量长度 的乘积，方向由实数的正负决定。
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功的计算
2024/1/28
功的定义 功是力与物体在力的方向上移动的距离的乘积，即 $W=vec{F} cdot vec{s}$，其中$vec{F}$是力向量， $vec{s}$是位移向量。
正功与负功 当力与位移方向相同时，功为正；当力与位移方向相反时， 功为负。这可以通过数量积的正负来判断。
动量守恒定律
在没有外力作用的情况下，系统 内部各物体之间的相互作用力不 会改变系统的总动量，即系统的 总动量守恒。这可以通过计算系 统内部各物体动量的数量积来验 证。
碰撞问题
在碰撞问题中，可以通过动量守 恒定律来确定碰撞前后各物体的 速度变化。同时，结合能量守恒 定律和恢复系数等条件，可以进 一步求解碰撞过程中的其他物理 量。
在平面几何中，经常需要计算两 点之间的距离，例如在计算三角 形的边长、圆的半径等问题中都
会用到该公式。
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定比分点公式
公式表述
设点$P$分有向线段$overrightarrow{AB}$的比为$lambda$，则定比分点$P$的坐标为 $left(frac{x_1 + lambda x_2}{1 + lambda}, frac{y_1 + lambda y_2}{1 + lambda}right)$。
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∴ λ= 5 ，μ=-12 2
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三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量b 与非零向量 a 共线充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）重要措施。
2、平面向量基本定理
假如 e1, e2 是同一个平面内两个不共线向量，
（2）函数 y cos(x ) 2图象通过怎样
平移，可以得到函数 y 3cos x图象？
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六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
S ABC
1 bc sin 2
A
1 ca sin 2
B
1 2
ab sin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
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五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
（3）（a b） a b
2、平面向量数量积运算律
思索：你能将此 运算律用坐标表 达出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
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例1 判断如下命题及其逆命题真假：
1、若| a|= | b| ，则 a 与 b是共线向量； 2、若 a∥b ，则 a在 b方向上投影是 ；a 3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1 ； 4、若a 0，则 0且a 0
平面向量复习课公开课教学设计
2.4.3 平面向量复习课公开课教学设计教材说明人教B版必修4第二章第四节课型复习课课时1 课时学情分析学情分析是教学设计中重要因素之一 . 认真研究学生的实际需要、能力水平和认知倾向，可以优化教学过程，更有效地达成教学目标，提高教学效率. 我在教学中把了解学生的兴趣、动机作为分析学情切入点 .一、了解学生的兴趣、动机动机是激励人去行动，以达到一定目的的内在因素；而动机又产生于人的兴趣和需要 .课堂教学的对象是活生生的学生，学生是学习的主人，教会学生学习，是教学活动的核心，教学要获得成功，就要认真分析，了解学生的心理需求，想方设法启动学生的内驱力，并采取各种有力措施，把学生的兴趣和需求纳入合理的轨道，以调动学生的学习积极性，将外在的教学目标系统转换为学生的心理需要，成为学生的学习目标，使学生由“要我学”转变为“我要学”，只有当学生对所学的内容产生了兴趣，形成了内在的需要和动机，他才能具有达成目标的主动性，教学目标的实现才有保证 . 如对概念的复习有多种方法，让学生复述定义是常见的形式，不过这样做会使学生失去兴趣，把定义复述变为填空题，可以提高学生学习兴趣 .二、分析学生的知识能力水平本课是平面向量的复习课，学生应该掌握平面向量概念，三角形重要性质（重心，外心，内心，垂心性质）. 能够根据平面向量运算规律 .向量共线与分解知识 . 在教学中发现，学生对向量的基本概念掌握比较好，也能够正确应用公式进行运算，不过对向量共线以及向量分解把握不准 .三、认知倾向或认知风格分析高二 5 班大多数学生认知风格表现为场独立型；高二 6 班学生大多数认知风格属于场依存型，教学活动中，结合考虑两班学生不同的认知倾向，根据学生的认知差异改进教学法方法和教学策略，调整教学内容和教学目标，努力做到因材施教. 如对六班学生，注意培养其独立思考的能力；对五班学生，注意培养其有条理地、细心地分析问题、解决问题的能力等 . 在问题深化环节组织研究学习小组时，我根据学生情况，将具有不同认知倾向的学生组合在一起，让他们在小组学习中，依据各自不同的特点去研究分析问题，相互取长补短 . 以便于他们更深入、全面地分析问题、解决问题 . 同时，这样做，不同认知倾向的学生相互影响，也有助于对学生认知倾向的培养调整 .教学内容分析一、教学主要内容向量是代数研究对象，也是几何研究对象，因此它是沟通代数、几何、三角函数的一种工具 . 向量是既有大小又有方向，与数量不同的量，因而在解决有关向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等各种变换，正确进行向量各种运算；二是向量坐标运算体现了数与形互相转化的思想 . 本课主要内容为：三角形的“四心”与向量例1，例 2，例 3，例 4；向量与解析几何：例 5，例 6；利用向量的坐标运算，解决两直线夹角，判断两直线平行，垂直问题：例 7 ，例 8；利用向量的坐标运算解决有关线段的长度问题：例 9；利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量：例 10，例 11；利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离 . 例 12；向量与轨迹方程的综合例13；向量与数列的综合例 14二、教材编写特点教材的编写体现了知识形成的过程，目的是让学生经历将实际问题抽象成数学模型并予以解决和应用的过程，为学生能在探索、发现的活动中建构数学知识创造条件，所以教学中要充分发挥学生的主观能动性．三、教材内容的数学核心思想数形结合思想，化归转化思想教学目标知识与技能：向量概念与运算法则，向量的分解过程与方法：通过实例引导学生把向量作为沟通代数与几何的桥梁，培养学生分析问题，解决问题的能力 .情感态度与价值观：在向量综合运用的过程中，渗透数形结合与等价转化思想，培养学生思维的深刻性与广阔性 .教学的重点和难点重点：向量的综合应用难点：用向量知识进行代数几何转化教学策略选择与设计一、在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题 .二、二、向量是数形结合的载体，在本课中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题. 同时向量的坐标表示为用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了研究问题的范围和手段 .三、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题 .四、以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主 . 在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键 . 教学资源资源：三角板，圆规，粉笔，教材手段：多媒体辅助教学，形象直观教学过程设计例集锦1.关于重心G,有重心公式：彳OG = —（OA +0B +0C）3X A +X B +x c yA + y B +y c、G（ c ， c ），3 3并有性质GA + GB + GC = 0 ;2.关于垂心H,有性质HA HB = HB HC = HC HA ;3.关于外心0,有性质|OA|^OB|=|OC| ；结论：O H G三点共线且OH =30G ;此线称为欧拉（Euler ）线.（如何证明？）4.关于内心1，经常涉及内角平分线的研究，如—「AB 丄AC、Al _ 人（一+ —.）.|AB| |AC|例1：已知O, N, P在AABC所在平面内，且OA =|OB = OC , NA + NB +NC =0 ,且PA・PB=PB・PC = PC・PA , 则点O, N,P依次是MBC的（A）重心外心垂心（B）重心夕卜心内心（C）外心重心垂心教师提出问题，学生回答，复习公式教师完善教师给出例题，学生回答，教师指导学生说出“四心”及相应特点，分析例题，小组间可以简单讨论通过复习公式，加深对公式的记忆，为下列例题做铺垫通过例题，让学生更好地理解三角形的“四心”与向量知识的综合应用，进步加深对相关公式的理解，灵活运用公式uL o 「；；a;，则P 的轨迹一定通过ABC 的（）A 、外心B 、内心C 、重心D 、垂心二、向量与解析几何例5:在解析几何中，熟练掌 握下列结论，有助于更好地运用向 量：（1） A 、B C 三点共线等价于存在 实数〉1 ,使得OCOA 「OB （：• ： =1）；（2） 厶ABC 的重心G 的坐标公式为1 JOG =—】OA OB OC •3（3） 直线的方向向量是什么？ 给AB =DC = (1, 1),1 —_■ 1 3 —_■ ■■■BA + “BC = ■兰〜BD ,则四边形ABCD 勺面积是例3:设斜△ ABC 的外接圆 圆心为O 两条边上的高的交点 为 H ，0H 二 m(OA OB OC)， 则实数m= _______________例4： 0是平面上一定点，A 、 B 、C 是平面上不共线的三个点， 动点P 满足复习向量在解析几何中常用的结论教师可以引导补充学生回顾，回答引入向量的坐标表示可以使向量完全代数 化,将数与形紧 密结合起来，这 就可以使很多几 何问题的解答转 化为学生熟知的 数量运算.而平面向量的坐标运 OP = 0A定两点：R (Xi, % ), P2 My )，那么RP2 = (x2 -凶，y2 - ％)，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：(1,tana )，也就是说：直线Ax +By +C =0的方向向量是(B,-A )，直线的法向量是(A,B).例:6 :已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为(-1,0)和(1,0), 点A、P、Q运动时，满足T T T TAE =2EF , AQ =QF ,PQ ”AF =0, AP// E P(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)设M、N是轨迹C上的两点，若OM +2ON =3OE，求直线MN的方程三、禾U用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例7：已知向量OP1,O R2,OR3满口一，「T T T T足条件OP1+OP2+OP^0，T T TOR = OP2 = OP3=1，求证：也PBB是正三角形教师给出例题，学生分析解答学生讨论、动手操作、思考问题并回答算是常考的知识点,运用向量方法解决解析几何的有关知识，有时候显的非常方便.通过平面向量的坐标运算，我们可以培养学生的归纳、猜想、演绎能力，通过代数方法解决几何问题,提高学生用数形结合思想解决问题的能力.x轴、y轴建立直角坐标系，设A2a,0,B 0,2a，则 D a,0,C0,a , 从而可求：AC = -2a,a ,BD = a,-2a ,co^ -2a，a久一羽=P5a 忑a—4a2 _ 45a2 5( 4)e = arccos - —.I 5丿四、利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例9：已知ABC，AD为中线，求证AD2=’(AB2+AC2)—f2 \2)证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图2直角坐标系培养学生的大胆猜想能力，逐步形成“观察——类比——猜想一一质疑一一验证一一应用”获取知识的手段和方法，体会数形结合和分类讨论的思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.观察图象写出点坐标并回忆相关公式设A(a，b)C(c，0), D〔2,0)则「C (2)=_ —a i +(0—b) J '2 2-ac a b2=a 2 +b 2-ac +乞4从而I AD |2二五、利用向量的坐标运算，用 已知向量表示未知向量例10:已知点O 是 ABC 内的一点， AOB =150°，BOC =90°，*■ T ■ T T — 设OA =a,OB=b,OC =c,且 a = 2,耳=1, c = 3,试用—f —*Ta,禾口 b 表示c解：以O 为原点，OC OB 所在的直 线为x 轴和y 轴建立如图所示的坐 标系.AD 2c斗2+b2+(c_a)"c 2l学生自习分析并 画出图形充分体现教 师主导作用和学 生主体作用相统 一，体现教学的 直观性和启发 性.l f I A B|2 +| AC I 2 J-I AC |21 2|AB I 2由 0A=2 Z AOx =120°，所以A2cos120°,2sin1200，即A -1, ,3 ,易求 B0,-1 , C3,0，设OA = • QB ，2 OC，即-1, 3 = \ 0,-1 '2 3,0：-1 =3妬<3 =-九<i13…3-A例11:如图，OATOB =1，:OA, OB 120，用 OA,OB 表示OC.解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则 A1,0，由COA =30引导学生思考后回答配合教师板演训练学生对图形的运用，渗透转化思想，培养学生严谨的思维品质，有利于学生对向量的理解.结合向量来解决课后教学反思一、优势在教学中，高二五、六这两个班学生，通过前面学习，大部分学生的知识基础和接受的能力还是可以的.20%的学生是很聪明的,通过自己看书,能够基本掌握本节内容，30%的学生在课堂上能够跟上我的思路，通过讲解,也能很快掌握，30% 的学生勉强能跟上我的思路，但需要时间消化，剩下20%勺学生,如果不预习课本基本上上课很难听懂，即使提前预习了，也不一定能跟的上.二、不足1.教学教法方面一方面学生在接受上有一定的困难，另一方面在细节问题上就很难把握的好一节课45分钟,在这么短的时间内让学生掌握住如此多的知识，难度很大，同时, 一味地赶进度，带来的直接后果就是学生学而不精，对深层的问题，没有实质性的认识,只会死记公式，做原题,对于变形题目，学生仍然无从下手•2.对学生能力估计不足在课堂教学之前，做为教师,我应该对学生有个充分的估量，在这些容易错的地方,学生会出现那些错误，学生会用什么方法解决此题，我应该事先有个充分的估量,不至于课堂教学中，出现我没预料到的情况，造成教学的被动•3.应鼓励学生自主探索、自主学习在问题深化过程，本意很想让学生自主探索，自主学习，但在实际操作过程中，由于师生配合不是特别的默契，没有完全把学生的意图彻底弄透，甚至最后时间都有紧张•虽然如此，但我想，教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，在今后的教学过程中要继续发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式.对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径.4.课堂语言还需要进一步提炼在教学中，提出的问题，分析引导的话应具体，明确，不能让学生不知道如何回答，当然有些问题我也考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，这方面的能力有待加强 .5.教师如何把握“收” 与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题 .总之，在本节课的教学反思中 , 我学到了很多东西 . 作为教师 , 我们只是组织者,推进者和指导者 , 我们应该把更多的主动权交给学生 ,让学生充分发挥自己的主观能动性 , 去创造奇迹 , 让他们的思维更灵活 ,情感升华更彻底 , 知识的获得将更完善.教研组点评一、教学目标切合实际，张弛有度教学目标是教学的立足点、出发点和归宿点 . 在本堂课中教师基本上做到了围绕拟定的教学目标组织教学 .在知识点梳理教学环节中师生共同回忆概念，梳理知识，其中的亮点是用题带知识点，把干巴巴的叙述概念变成填空题，从教学效果看反响很好 . 典例集锦教学环节中的例题的设计，虽受课时限制，不能面面俱到，但以点带面，重点突出，以向量应用为纲，纲举目张 .问题深化环节设计学生多层次、多角度分析向量性质与平面几何性质、实数性质的区别，优秀的学生条理清楚、思维敏杰，一般的学生也有自己的发现 . 在教师理性梳理学生的成果之后，引导同学自主探索向量在平面几何及解析几何中的应用. 综合应用题选择恰当，充分体现了向量作为代数与几何之间的桥梁作用，很好地渗透了数形结合思想，培养了学生思维的广阔性和深刻性，成功地完成了教学任务，实现了情感目标 .综上所述，本课教学目标贯彻到位，把握恰到好处 . ( 二、教学模式恰当，引人入胜“探究讨论式”是一种常用的教学方法 . 然而，本课探索“向量的应用”却颇有难度，尤其是几何与代数之间的问题转化 . 为了突破这一难点，首先复习旧知识，准备铺垫，接着设计简单的几何图形中的代数求值问题 . 教师在思想方法上的点拔，思维层次上的递进，让学生分享自己成果的乐趣，体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引领者与合作者 . ”的教学理念 . 整个教学设计，思路清晰，层次转换自然，点拨及时，自然流畅，引人入胜 .三、体现先进理念，合作探索建构主义认为：学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的学习，一种知识的重组或重新建构的过程 . 因此，学习方式的转变，对学生的学习至关重要，也是教学成败的关键 . 本课注重学生学习方式的转变，教者适时点拨，发现问题，培养探索精神 . 从容易混淆的性质入手，让学生发现问题，出现疑惑，接着，对向量平行充要条件的研究，培养了学生思维的深刻性，通过概念的辨析，使学生对向量有了更深的理解，此时推出综合应用题，过渡自然，符合认知规律 . 同学探究，思维得到进一步的升华，攻克难点，培养了合作精神 . 通过展示研究成果，让学生感到兴趣盎然而充满探索求知的愿望，学生的主体地位得到了淋漓尽致的发挥. 体验成功的喜悦，分享快乐，提高了学习的积极性 . 熟知，课堂教学“以教师为主导，以学生为主体”这句话好说难做 . 如何落在实处，本课做了有益的尝试 . 案例的设计，具有时代气息，以问题为先导，直接引导学生进入思考的境界 . 教案的设计说明，体现了教者“以学生发展为本的教学理念”. 该教案有些地方还需改进，但仍有很多可圈可点之处，不失为一份体现新的教学理念的教学案例 .。
数学平面向量的数量积复习公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
P150 复习参考题 A 19 21 B 3 4
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等离子切割机 等离子激光切割机 激光切割机如何使用 等离子切割机供应商 她消失没多久，我渐渐记起了往事，终于明白为何她总是出现在我无声梦境里。也明白，那并不是我第一次看见她笑。由于在两年前一天，我 和她发生了同样对话，那才是我第一次见她笑。 我也终于也离开了2046，可是我再也没有见过她。 我回到往日生活里，除了她一切都没有变。她仿佛没有出现过同样，没有留下任何痕迹。 他们都告诉我，从来没有过那样一个女人，我认为我记忆又出现了问题。 这时，有个人告诉我，去2046，那里能够找回失去记忆和一切。并且在那里时间永远不会流逝。 于是，为了找到她和我失去记忆，我又踏上2046，再也没有离开。
则 OB (x, y), AB (x 5, y 2)
OB AB
∴x（x-5）+y（y-2）=0
即 x2+y2 – 5x – 2y=0
①
又 OB AB
∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10x+4y=29 ②
由①、②解得：
x1
y1
7 2
3 2
或
x2 y2
3 2 7 2
a
b＝
1
2
cos
a
b
ab
1 2
[0 ,180 ] 120
a
b
2
a
2
2a b
b2
3
ab
3
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平面向量数量积（复习）
三、应用举例
例 2、以原点 O 和 A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， ∠B=90°，求点 B 和 AB 的坐标。
解：设点 B 的坐标为（x,y），
高一平面向量复习课件市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
λ1= λ2 μ 1=μ2
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数量积 1、平面向量数量积定义： a b | a | | b | cos
2、数量积坐标运算 a b x1x2 y1 y2
3、运算律:（1） a b ba
（2）（ a）b （a b） a（ b） （3）（a b）c a c b c
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4、向量垂直判定
6、向量夹角
cos a b
| a || b |
θ∈[0°, 180°]
cosθ=
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
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7、线段定比分点
点P（x，y）分有向线段P1P2所成定比为，其中P（1 x1，y1），P（2 x2，y2）
即P1P PP2 定比分点P坐标
中点坐标
x
（1） a b a b 0 向量表示 （2） a b x1x2 y1 y2 0 坐标表示
5、向量模
（1） a a | a |2 ，| a |
2
a
（2）设 a （x，y），则 | a | x2 y2
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则 | AB | （x1 x2）2 （y1 y2）2
则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3.加法减法运算率
1）交换律： a+b=b+a
2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
B A
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平面向量 复习
实数λ与向量 a 积
定义： λa是一个 向量.
它长度 |λa| = |λ| |a|；
它方向 (1) 当λ≥0时,λa 方向 (2) 当λ＜0时,λa 方向
a∥b
x1y2－x2y1=0
平面向量的数量积复习课公开课优质课件
1．平面向量的数量积 （1）定义：
（2）几何意义：
2设. 两平非面零向向量量数量a＝积(的x2，性y质2)，及b其＝坐(x1标，表y1示)，a与b的夹角为θ
(1) 数量积： (2)模：
((43))夹a 角b：的充要条件： 3. 平面向量数量积的运算律
（1）交换律：
（2）数乘结合律：
（3）分配律：
三、导学释疑
b
(4,-2)，a
b与a垂直，则
（ ）
A.-1
B.1
.C.-2 D. 2
五、课时小结
1．平面向量的数量积
2.平面向量数量积的性质 本节课主要学习的知识点有 及其坐标表示
3. 平面向量数量积的运算律
向量数量积的运算
利用知识点可以解决的问题有 向量夹角及垂直问题
与向量模有关的问题
六、课后作业
课本P108、A组1,2,3
A.
6
B.
4
C.
3
5
D. 12
【思路点拨】利用已知条件中的垂直关系求出
a
b
，
再利用
cos
a
b
a
b
求解.
【点评】(1)两向量的夹角公式
cos
a
b
a
b
所以要找准
a
b及
a与
b
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
(2)
两向量a
b的充要条件：a
b =0
x1
x2
y1 y2
，则
A. (2,4) B. (3,6) C.(4,8) D. (5,10)
2.目标展示
(1).掌握平面向量数量积的定义及其几何意义；掌 握平面向量数量积的重要性质及运算律.
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
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2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
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题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材 强基固本
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一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
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解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
平面向量基本定理公开课省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件
1不e2 ,共线，
11
a b
221Biblioteka 2则a且 =b
1
2
e （3） 设 1e2,
是平面内一组基底，当 1e1 2e2 0
恒有1 2 0,
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2024年8月20日星期二
思考1 平面内用来表示一个向量的基底有
多少组? （有没有数组）
B
a
e1 O e2
M A
B
a x
Oy
M A
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思考2、若基底选取不同, 则表示同一向量 2024年8月20日星期二
的实数1, 2是否相同?
MB B
a
x
e1
O e2
A
mO
a
yn
M A
a 3e1 2e2
a 3 x4y 2
a 3m 2n
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知识小结:
(1).基底选择是不唯一；
(2).同一向量在选定基底后,
,
1
2
是唯一存在
(3).同一向量在选择不一样基底时,1, 2 可能相同也可能不一
样
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例1.如图梯形ABCD中，AB / /CD，AB 2CD， E、F是DC，BA中点，AD a，AB b, 试以a , b为基底表示DC, BC, EF
DEC
a
A
Fb B
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知识点二、向量夹角与垂直:
两个非零向量 a 和 b ,作OA a ，
B
b
OB b ,则AOB
O
a
A
叫做向量 a 和 b 夹角．
注意:两向量必须 是同起点
尤其：
a
a
B
ObB
0
平面向量复习公开课
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量)
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
5.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等
任一组平行向量都可平移到同一直线上
6.相反向量 (a) a,a (a) 0
3) a (x1, y1 ) 4)a b x1 x2 y1 y2
5) | a | a a x12 y12
6) cos a b
|a||b|
x1 x2 y1 y2
x y x y 2
2
1
1
2
2
2
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三.两个等价条件
若a (x1 , y1 ), b (x2 , y2 ), 则
1.向量a和非零向量b
a // b 有唯一的实数，使a b
x1 y2 x2 y1 0
2.非零向量a和b
a b ab 0
x x y y 0 1 2
12
当前您浏览的位置是第十页，共二十四页。
四.一个基本定理
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 1 , 2 , 使a 1e1 2 e2 把不共线的向量 e1、e2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.
[0, ]
θ O
向量夹角：首要的是通过向量
a
B1
A
平移,使两个向量共起点。
向量数量积的几何意义
| b | cos 叫做向量b在a方向上的投影
ab |a|
可正可负可为零
专题四+平面向量2024届高考数学二轮专题复习课件
10.平面向量中有关最值（或取值范围）问题的求解思路 （1）“形化”即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何 中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； （2）“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中 的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、 不等式、方程的有关知识来解决.
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路 （1）先选择一组基底，并运用该基底将相关向量表示出来，再 通过向量的运算来解决. （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方 便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
2.向量线性运算的解题策略 （1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点 的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相 连向量的和用三角形法则. （2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路 （1）先选择一组基底，并运用该基底将相关向量表示出来， 再通过向量的运算来解决. （2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带 来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
2.向量线性运算的解题策略 （1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共 起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求 首尾相连向量的和用三角形法则. （2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已 知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
3.已知平面向量的坐标求解相关问题的技巧 （1）利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有 向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. （2）利用相等向量的坐标相同以及共线向量的坐标表示列方 程（组）进行求解.
人教B版高中数学必修第二册精品课件 复习课 第3课时 平面向量初步
∵CE⊥AB,而AD=DC,
∴四边形AECD为正方形.
∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).
连接MB,MD.
∵M 为 EC 的中点,
1
∴M 0, 2 ,
1
1
∴ =(-1,1)- 0, 2 = -1, 2 ,
1
1
=(1,0)- 0, 2 = 1,- 2 =- .
1
由 c∥(2a+b),得 4λ-2=0,得 λ= .
2
1
答案:
2
5.(2021·全国乙高考)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=
4
8
解析:由 a∥b,可得 = ,解得 λ= .
2 5
5
8
答案:
5
.
6.(2015·全国Ⅱ高考)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数
4
4
1
1
1
1
1
解析:如图, =-=- ( + )= − = − ( − )
2
2
4
2
4
3
1
= − .
4
4
答案:A
2.(2015·全国Ⅰ高考)设 D 为△ABC 所在平面内一点, =3 ,则(
1
4
A.=- +
3
3
1
4
B. = −
减法:三角形法则
数乘向量: ∥ 且|| = ||||
共线向量基本定理: ≠ 0,则 ∥ ⇔存在唯一实数,使 =
定理 平面向量基本定理:如果平面内两个向量与不共线,则对该平面内
人教高中数学必修二A版《平面向量的运算》平面向量及其应用教学说课复习课件(向量的数量积)
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知识梳理
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向量数量积的运算律 交换律
a·b＝ b·a
结合律 分配律
(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (a＋b)·c＝ a·c＋b·c
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(2)设直线 AB 与直线 l 的夹角为 θ，那么|A1B1|与|AB|，θ 之间有怎样的关系？
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角 θ 决定：当 θ 是锐角时，数量积为正；当 θ
是钝角时，数量积为负；当 θ 是直角时，数量积等于零．
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知识点三 投影向量
预习教材，思考问题
(1)如图，已知线段 AB 和直线 l，过线段 AB 的两个端点 A，B，分别作直线 l 的垂线，
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.
③当 a 与 b 同向时，a·b＝ |a||b| ； 当 a 与 b 反向时，a·b＝ －|a||b| .
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④cosθ= a b
|a ||b |
⑤|a·b|≤|a|·|b|
二.基本运算（坐标途径）
若 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 则
1) a b (x1x2,y1y2)
2 ) a b (x1x2,y1y2)
3 ) a (x1,y1) 4 ) a b x1x2y1y2 5 ) | a | a a x12 y12
大家好
第二章 平面向量复习课
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A 有向线段AB
2)字母表示 3)坐标表示
a AB
向 量 的 模 :|a| |A B |
axiyj(x,y)
a O A ( x ,y ) 点 A ( x ,y )
a M N ( x N x M ,y N y M )
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向(任 2)0/意 /a(3)00(4)00
(5)0aa0a
(6) 0 0 (7)0 a 0
3.单位向量
a 与非零向a共 量线的单位a向 0 量
|a |
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
例5 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ ∴λ=-1
k=-λ k=-1 ∴k=-1
例6. 已知平行四边形ABCD的三顶点 A(－1,
（2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA） = 0－BA = AB
五.应用举例 平面向量基本定理
例3.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 点N满足CD=3CN,
设 O A a ,O B b ,试 用 a ,b 表 示 M N
例 1 给出下列命题：
①若 a·b = 0 ，则 a、b 中至少有一个为 0 .
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确的序号是___②__③___．
分析：先O求M、ON.
五.应用举例 平面向量的数量积
例4、如图，在平行四边形ABCD中，已知 | AB| 4，| AD| 3 ，
DAB60 ， 求：
D
F
C
（1）ADBC； （2）ABDA；
E
解： （1）因为 A D ∥ B C 且方向相同， A
B
所以 A D 与 B C 夹角是 0
所以 A D B C |A D | |B C | c o s 0 3 3 1 9
5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上
6.相反向量 (a)a,a(a)0
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.
二.基本运算（向量途径）
C
1.向量加法的三角形法则
a +b b
Байду номын сангаас
a b A B B C A C A首a尾相连B 首尾连
其方向：若
a 0 , 则 共线的向量
当 0 时， a 与 a 同向；
当 0 时 , a 与 a 反向；
当 0 时 a 0 方向任意
若 a 0 , 则对于任意的实数
，
都有 a 0
二.基本运算（向量途径）
5.两个非零向量 a与 b 的数量积 B
a b |a||b|cos b
－3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四个顶点D和
中心M的坐标 D(1，－2) M ( 2 , 1 )
五.应用举例 向量加减法则
例2 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM （2） AB + DA + BD －BC－CA 利用加法减法运算法则，借助结论
AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0
进行变形.
解：（1）原式= AB +（BO + OM + MB） = AB + 0 = AB
（2）因为 A B 与 A D 的夹角是6 0 ，所以 A B 与 D A 的夹角为1 2 0 所以 A B D A |A B ||D A |c o s 1 2 0 4 3 ( 1 ) 6 2
思考： E、F若 分别B是 C ，DC 的中点，
试求 AE A的 F 值2。 0
五.应用举例 向量共线定理
四.一个基本定理
平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个共不线的 向量, 那么对于这一平面内任的一向量a, 有且只有一对实数1,2,使a 1e1 2e2 把不共线的向量 e1、e2叫做表示这一 平面内所有向量的一基组底.
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
五.应用举例
向量的有关概念
6) cos a b
|a ||b |
x1x2 y1y2 x12 y12 x22 y22
三.两个等价条件
若 a(x1,y1)b ,(x2,y2)则 , 1.向量a和非零向量b
a//b有 唯 一 的 实 数 ， 使 a b
x1y2x2y10
2.非零向量a和b
a b ab0
x1x2y1y20
2.向量加法的平行四边形法则 D
C
B C D 中 ， a b A B A D A C b A a
+b
a
B
3.向量减法的三角形法则
共起点
a b A B A D D B 首同尾连向被减
二.基本运算（向量途径） 4.实数与向量的积 a 是一个向量
其长度： | a | | | | a | a是一个与a
[0,]
θ O
向量夹角：首要的是通过向
a
B1
A
量平移,使两个向量共起点。
向量数量积的几何意义
| b| cos 叫 做 向 量 b 在 a 方 向 上 的 投 影
a b |a |
可正可负可为零
平面向量的数量积a·b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a·b=0
③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|