八年级数学_平方根与立方根(1)
(人教版)2020八年级数学上册 第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根 1 平方根 第2课时 算术平方根教案
A.重点□B．难点□C．易错点□
这节课的重点是算术平方根的概念教学和正数的算术平方根的求法，在讲解概念时应注意概念的自然的引导和概念的解释，注意平方根与算术平方根的区别与联系，这里一定要强调清楚.
③[师生互动反思]
通过师生间频繁的互动，使学生深刻理解概念，准确表述，并通过练习巩固掌握.
例5若 ＝2，则(m＋2)2＝________．
例6算术平方根等于它本身的数有________．
例7若已知 ＋ ＝0，则x－y的算术平方根为________．
使学生通过所学的知识，在原来的基础上有拓宽、有提升，并能与过去的知识相结合，达到综合应用的目的.
活动
四：
课堂
总结
反思
当堂训练：
1．求下列各数的算术平方根：
例2[课本P3例2]将下列各数开平方：
(1)49(2)
例3[课本P4例3]用计算器求下列各数的算术平方根．
(1)529；(2)44.81(精确到0.01)．
体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是 .
旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程．练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识．
让学生知道平方的逆运算是开平方．
例2是由求算术平方根来得到一个数的平方根，是求平方根的另一种方法
例3是了解用计算器求算术平方根.
【拓展提升】
例4 的算术平方根为________； 的算术平方根是________．
问题解决
经历算术平方根激起性质的产生过程，能用概念及性质解决有关问题.
八年级数学数的开方
2、算术平方根
（1）算术平方根的意义：非负数a的正的平方根。
一个非负数a的平方根用符号表示为：“ a ”，
读作：“根号a”，其中a叫做被开方数
（2）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根
（3）重要性质： a2 a
2
a a(a 0)
3、立方根
（1）立方根的意义
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根 （也叫三次方根）。如果x3=a，则x叫做a的立方根。
记作： x 3 a ,读作“三次根号a” 。
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
（2）立方根的性质
①一个正数有一个正的立方根； ②一个负数有一个负的立方根； ③0的立方根是0。
例1、x为何值时，下列代数式有意义。
（1） 3 2x
（2） x 2 2 x
（3） x2 3
（4） （5）
1
3x 1
x 1 x 1
（6） (x 1)2
例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的
平方根是 4 ，
求a+2b的平方根。
例3、若x、y都是实数，且 y x 3 3 x 2 ， 求x+3y的平方根。
第12章 数的开方
－－（平方根与立方根）
知识点归纳：
1、平方根 （1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a ，这个数
就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 2 a或 a 。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0有一个平方根，它是0本身 ③负数没有平方根。
八年级数学平方根
( 3)2 9 7 49
3
3
9
∴ 和 － 都是 的平方根。
7
7
49
9 的平方根是 3
49
7
例2：求下列各数的平方根。
（1）100；（2）1.44；（3）16 ；（4） 2 7
49
9
解： （1） (10)2 100
∴100的平方根是±10
即 100 10
注意：不能写成 请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
§16.1平方根与立方根
1.平方根
我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、 除法、乘方这五种运算。
在这五种运算中： ★加法与减法互为逆运算； ★乘法与除法互为逆运算； ★那么乘方与谁互为逆运算呢？
本节课我们就来学习研究这个问题。
知识回顾： 指数
am N
底数
幂
要做一张边长是3分米的方桌面，它，你能回答吗？ 1.平方根的概念: 一个数的平方等于a,这个数叫做a的平方根. 2.平方根的性质: 一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0. 负数没有平方根. 3.平方根的表示法: a (a 0) 4.算术平方根的概念:
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
( )2 9
我们把括号里的±3叫做9的平方根（二次方根）。
一般地，如果 x2 a ，那么 x 叫 a 的 平方根， a 叫 x 的平方数。
说出刚才举例中什么数是什么数的平方根
例如：∵ 52 25 (5)2 25
∴5 和 －5 都是25的平方根。
25的平方根是±5
∵ (3)2 9 7 49
这个问题实际上就是求：
32 ?
答：9平方分米
乘方运算
3分米
这是已知底数和指数，求幂的运算
最新八年级上册数学精品课件第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
知识点 平方根
平方根节是数学爱好者的节日,这一天的月份和日期的数字正 好是当年年份最后两位数字的算术平方根,例如2009年的3月3 日,2016年的4月4日.
知识点 平方根
√ + a 是求非负数a的平方根,因为没有一个数的平方等于负数,所以负
数没有平方根.
知识点 实数的性质
存在两个和为零的无理数,所以互为相反数的两个实数可都为 无理数.
知识点 实数的大小比较
边长为a的正方形的面积是5,下图三个小伙伴的两次站队的位 置完美诠释了边长a的整数部分的确定方法. 第一次:
第二次:
知识点 实数的运算
某丝巾的形状是等腰钝角三角形.
知识点 实数的运算
某厂在下图所示的方格纸中设计出面积最大的丝巾,求出三边 的长的过程就是实数运算的过程.
知识点 利用计算器求一个数的立方根
利用科学计算器可以求出一个数的立方根.
第11章 数的开方
11.2 实 数
知识点 无理数的概念
公元前500年,希伯索斯发现了一个惊人的事实,一个正方形的 对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对 角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万 物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭.人们为了纪念希伯索斯 这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名“无理 数”——这就是无理数的由来.
知识点 开平方
开平方时,被开方数a必须是非负数.
知识点 利用计算器求一个正数的算术平方根(了解)
知识点 立方根
两个正方体的对话完美诠释了立方根的概念及其求法.
知识点 立方根
知识点 开立方
4阶魔方,又称“魔方的复仇”,由四层完全相同的64个小正方 体组成,求体积为64的4阶魔方的边长的过程就是开立方运算.
2022八年级数学上册第11章数的开方11.1平方根与立方根2算数平方根授课课件新版华东师大版61
感悟新知
总结
知3－讲
(1)算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是非负 数，即 a ≥0，a2≥0，|a|≥0；当几个非负数的和 为0时，其中每一个非负数都为0.
(2)只有非负数才有算术平方根，因此当出现 a ， a ，
即被开方数互为相反数时，a只有为0才都有意义．
感悟新知
1． 若 a2(b2)20，则ab的值等于( )
谢谢观赏
You made my day!
复习提问
引的出问一题个，那么立即可以得到另一个.
感悟新知
知识点 1 算数平方根的定义
知1－导
定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根． 规定：0的算术平方根是0.
表示方法：a的算术平方根记为 a ，读作“根号 a”； a叫做被开方数．
感悟新知
例 1 下列说法正确的是( A ) A．3是9的算术平方根 B．－2是4的算术平方根 C. (－ 2)²的算术平方根是－2 D．－9的算术平方根是3
知1－练
感悟新知
知1－练
导引：要正确把握算术平方根的定义．因为3的平方等于 9，所以3是9的算术平方根；因为－2不是正数， 所以－2不是4的算术平方根；因为(－2)²＝4，而 22＝4，所以2是(－2)2的算术平方根；负数没有算 术平方根．
感悟新知
归纳
知1－讲
算术平方根具有双重非负性，被开方数是非 负数，它的算术平方根也是非负数．
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月22日星期二2022/3/222022/3/222022/3/22 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/222022/3/222022/3/223/22/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/222022/3/22March 22, 2022
八年级上册数学《实数》平方根和立方根 知识点整理
加速度学习网 我的学习也要加速平方根和立方根有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网 整理一、本节学习指导平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一，此节我们要掌握平方根和立方根的概念。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
2、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
加速度学习网 我的学习也要加速例1 求下列各数的算术平方根 （1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误.例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9. （2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53.（4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.加速度学习网 我的学习也要加速例（1）64的立方根是（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
12.1 平方根与立方根(第1课时 平方根)
1.本节课引入了新的运算------开方运算， 1.本节课引入了新的运算------开方运算，开 本节课引入了新的运算------开方运算 方和乘方互为逆运算 互为逆运算， 方和乘方互为逆运算，从而完备了初等代数中 六种基本代数运算（加、减、乘、除、乘方、 六种基本代数运算（ 乘方、 开方），这对代数内容学习有着重要的意义。 ），这对代数内容学习有着重要的意义 开方），这对代数内容学习有着重要的意义。 2. 本节主要学习了：①平方根的概念； ②平方 本节主要学习了： 平方根的概念； 根的性质：一个正数有两个平方根， 根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数， 的平方根是0 负数没有平方根； 相反数，0的平方根是0，负数没有平方根；③ 平方根的表示方法； 平方根的表示方法；④求一个数的平方根的运 开平方， 算—开平方，应分清平方运算与开平方运算的 开平方 区别与联系。 区别与联系。
如果一个数的平方等于 a ，这 个数叫a的平方根 的平方根。 个数叫 的平方根。 的平方根。 若 x2 = a,则 x 叫做 a 的平方根。 则
4 说出9， 25 ，16 ，
1 4
， 0.49的平方根。
0的平方根是什么？有几个？ ﹣4有没有平方根？为什么？
平方根的性质：
①一个正数有两个平方根，这 一个正数有两个平方根， 两个平方根互为相反数； 两个平方根互为相反数； 只有一个平方根，它就是0 ②0只有一个平方根，它就是0 本身； 本身； 负数没有平方根。 ③负数没有平方根。
(1)5
2 2
(2)(−5)
2 2
(4)(±4)
(5)(±0.3)
归纳: 一个数的平方的值和它的相反数的平方值相等. 归纳: 一个数的平方的值和它的相反数的平方值相等. 2.求出下列各括号中的数 求出下列各括号中的数. 求出下列各括号中的数 49 2 2 (1)(_____) = (2)(_____) 64 2 15 2 (4)(_____) (3)(_____) = 1 49 2 2 2 (6)(_____) (5)(_____) = 35
青岛版数学八年级下册_平方根与立方根考点解析
平方根与立方根考点解析考点1：平方根概念如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根)．用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算．1.平方根的表示方法一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“-”表示，a的平方根合起来记作，其中读作“二次根号”，读作“二次根号下a”．根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.典例1下列各数的平方根：（1）81；（2）；（3）；（4）0.49.【解析】（1）∵(±9)2=81，∴81的平方根为±9．即：；（2），的平方根是，即；（3），的平方根是，即；（4）∵(±0.7)2=0.49，∴0.49的平方根为±0.7．.2.平方运算与开平方运算互为逆运算．根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根．与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算.考点2：平方根的性质1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数．2.0有一个平方根，它是0本身．3.负数没有平方根．数a是否有平方根，应根据a的取值而定，一般地，①当a是正数时，a有两个平方根，它们是互为相反数；②当a是0时，只有一个平方根是它本身；而当a为负数时，则没有平方根，所以判断一个数a是否有平方根一定要注意a的隐含条件，即a一定是非负数．典例2求下列各式中x的值：（1）；（2）.【解析】这里要求灵活运用开平方的知识来解方程，如果把方程左边展开，则走入误区，必须运用开平方的知识求解.解：（1），，，则（2），，则本题不要将原方程利用乘法公式变形展开，把括号里的看作整体处理，因此问题就转化为求平方根问题.但要注意一个正数的平方根有两个.考点3：算术平方根0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a≥0时，a表示对非负数a进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a的正的平方根．典例3求下列各数的算术平方根：【解析】(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即(4)因为(0.7)2=0.49，所以0.49的算术平方根是0.7，即考点4：平方根与算术平方根的区别及联系区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. （3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为. （4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数.联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种. （2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有.（3）0的平方根、算术平方根均为0.平方根的符号有三种形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根.要特别注意.典例4填空：（1）1的平方根是____；立方根为____；算术平方根为____．（2）平方根是它本身的数是____．（3）立方根是其本身的数是____．（4）算术平方根是其本身的数是________．（5）的立方根为________.（6）的平方根为________.（7）的立方根为________ .【解析】（1）±1；1；1．（2）0．(此题学生容易把1也算进去，注意纠正他们的错误．)（3）±1和0．(由此题，再复习一道立方根的性质．)（4）0，1．(此题有学生可能会忘掉0．)（5）-2（此题学生易得出-4的答案，应引导学生将翻译为-8，在求立方根，也有学生将看成得到，讲解时注意）（6）（此题首先让学生把计算出来，再求平方根，而且平方根有两个）（7）-2．考点5：立方根1.立方根的概念：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根．(也称数a的三次方根)用数学式表示为：若x3=a，则x叫做a的立方根，或称x叫做a的三次方根．2.求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方运算与立方运算互为逆运算．3.立方根的表示方法：类似于平方根德表示方法，数a的立方根我们用符号来表示.读作“三次根号下a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.4.立方根的性质：正数的两方法供是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. 方根概念的拓展概念：若x a n=，则x 叫a 的n 次方根表示为 x a n=，（n ≥2的整数）n 为偶数时，可对比平方根 a ≥0时，a 有n 次方根； a <0时，a 的n 次方根不存在. n 为奇数时，对任意的a 都有n 次方根. 归纳：A ：n 为偶数时，①a a n n =||，②()()a a a nn =≥0；B ：n 为奇数时：a a a n nn n ==(). 典例5 求下列各数的立方根：【解析】（1）∵(-2)3=-8，（2）∵23=8，（4）∵ (0.6)3=0.216，（5）∵03=0，小试牛刀下列说法对不对，为什么？ （1）64的立方根是； （2）无意义； （3）251的平方根是51； （4）和相等；（5）1258-的立方根是52-；（6）零的平方根、算术平方根、立方根都等于零．分析：立方根与平方根的性质有很大的区别，要特别注意两种方根的表示方法和叙述的不同.解：（1）不对．∵正数有一个正的立方根． ∴64的立方根是4，即；（2）不对．∵负数有一个负的立方根， ∴有意义，且；（3）不对．∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，∴的平方根是 ；（4）对．∵，，∴．（5）对．∵，∴的立方根是．（6）对．因为零的平方根、算术平方根、立方根都是零．。
八年级数学数的开方
见菜碟铜舌鬼扭动瘦瘦的犹如蒜头样的屁股，整个身体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的深灰色花蕾 一样绽开……五条暗灰色螃蟹模样的疯狂尾巴急速从里面伸出……接着，一颗浅灰色花生模样的阴暗巨大狐头快速探了出来……一簇簇暗灰色糖块模样的奇妙巨大翅 膀飘然向外伸展……突然！两只暗灰色足球模样的贪婪巨爪威武地伸了出来……随着亮白色白菜模样的奇特幽光的狂速飞舞，无数钢灰色马心模样的梦幻羽毛和亮灰 色鳞甲飞一样射出……突然，无数亮灰色飞盘模样的风光鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个鸡毛硬泪仙模样的武士……与此 同时壮扭公主朝鸡毛硬泪仙变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……鸡毛硬泪仙的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被 壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得稀烂，再看鸡毛硬泪仙的真身也被月光妹妹一顿飞拳 云腿，直玩得满 脸桃花开，浑身别样肿……“算你们狠，俺们不玩了！”女樵夫Ｍ． 翁贝叶娆仙女见无法取胜，急忙变成长着离奇大腿的亮白色古怪锁孔朝西南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！跟我玩换马甲，这回你们可撞鱼雷上了，我正愁找 不到对手呢……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异下巴的水红色超级小号追了上去……女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇犄角 的纯红色古怪小旗朝正南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我也把从远古时代积压下来卖不出去的存货拿出来让你们瞧瞧……”月光妹妹一边说 着一边变成长着怪异舌头的暗青色超级药片追了上去……只见Ｘ．妮什科招待和另外四个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的卵石刀肝仙！这个巨大的卵石刀肝 仙，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分壮丽的刀肝！这巨仙有着紫红色椰壳似的身躯和紫玫瑰色细小旗杆般的皮毛，头上是暗白色陀螺一 样的鬃毛，长着淡红色水母似的铁锅蛇筋额头，前半身是墨紫色腰带似的怪鳞，后半身是脏乎乎的羽毛。这巨仙长着淡灰色水母模样的脑袋和墨黑色海参似的脖子， 有着墨灰色陀螺样的脸和钢灰色扫帚模样的眉毛，配着浓黑色瓜子一样的鼻子。有着乳白色臂章样的眼睛，和纯红色牛肝似的耳朵，一张乳白色车厢似的嘴唇，怪叫 时露出碳黑色地灯模样的牙齿，变态的墨紫色樱桃般的舌头很是恐怖，紫玫瑰色小号般的下巴非常离奇。这巨仙有着很像牙签模样的肩胛和酷似粉条一样的翅膀，这 巨仙变异的紫宝石色猪肚般的胸脯闪着冷光，特像螃
初中数学知识归纳平方根和立方根的计算
初中数学知识归纳平方根和立方根的计算初中数学知识归纳：平方根和立方根的计算在初中数学中，平方根和立方根是重要的概念。
它们的计算方法在解决数学问题和实际应用中都发挥着重要作用。
本文将介绍平方根和立方根的定义、计算方法以及相关的性质。
一、平方根的计算平方根是一个数的平方的逆运算。
给定一个非负实数a，若存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则x称为a的平方根，记为√a。
计算平方根有多种方法，其中常用的有因数分解法和倒数开方法。
1.1 因数分解法对于一个非负整数a，可以将它分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b。
那么b就是a的平方根。
例如，对于16，可以将其分解为4 * 4，因此√16=4。
这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。
1.2 倒数开方法倒数开方法是一种近似计算方法，可以使用平方根表格或计算器进行操作。
对于一个非负实数a，首先将其化简为正的科学计数法形式，得到a = m * 10^n，其中1≤ m < 10。
然后，根据表格或计算器的指令查找m的平方根，记为b。
最后，将得到的b乘以10的n/2次方，即可得到a的近似平方根。
例如，对于225，化简为2.25 * 10^2，查表或计算器得到2的平方根为1.414，再乘以10^(2/2)=10，得到近似平方根为14.14。
这种方法适合于找到精确的平方根有困难的情况。
二、立方根的计算立方根是一个数的立方的逆运算。
给定一个实数a，若存在一个实数x，使得x的立方等于a，则x称为a的立方根，记为³√a。
计算立方根的方法与计算平方根的方法类似，可以应用因数分解法或倒数开方法。
2.1 因数分解法对于一个实数a，可以将其分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b * b。
那么b就是a的立方根。
例如，对于8，可以将其分解为2 * 2 * 2，因此³√8=2。
这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。
八年级平方根与立方根(教案)
八年级平方根与立方根（教案）平方根与立方根第一课时平方根教学目的：1、使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；2、掌握用平方运算求某些数的平方根的方法；教学重点和难点：重点：平方根的概念及求某些数的平方根的方法；难点：平方根的概念；关键：对符号“”意义的理解。
学法指导：根据教师为主导，学生为主体的原则，始终贯穿“激发情趣—手脑并用—启发诱导—反馈矫正”的教学方法。
教法指导：1、针对八年级学生的认知特点，体现“以学生发展为本”的教育理念，发展学生的个性特长，让学生学会学习。
本堂课主要采用引探式和启发式的教学方法，教师引导为辅，学生自主思考解决问题为主。
2、数学概念的学习比较抽象、枯燥，用多媒体辅助教学，增加课堂的趣味性，提高学生的学习积极性。
教学过程：一、引入新课：我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的。
例如已知正方形一边长是4厘米，那么它的一条对角线的长是多少厘米解决这个问题就要运用一种新的运算方法，这种运算叫做开方。
这节课我们就要学习开方运算和平方根。
可以先预练1—20的平方计算。
二、新课学习：1、知识设疑：（1）计算：4；(－4)；(23)；(0.8)；(－0.8)（2）如果已知一个数的平方等于16，怎样求这个数？22222因为开方与平方是互为逆运算，所以适当进行平方运算的复习是必须的上面例子可以看到求一个数的平方根，可经转化为通2、知识形成：知识点一：2过乘方运算来求。
我们可以设这个数为某，则某＝16，问题归结为求某。
这个问题可以通过乘方运算来解决。
因为4＝16所以某＝4；又因为(－4)＝16，所以某＝－4。
4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)＝16。
因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根。
概括1：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。
就是说，如果某＝a,那么某就叫做a的平方根。
华东师大版数学八年级上册教案-平方根与立方根-第1-3课时
11.1 平方根与立方根第1课时教学目标1．了解数的平方根的概念，会求某些非负数的平方根；2．会用根号表示一个数的平方根．教学重难点【教学重点】数的平方根的概念.【教学难点】求某些非负数的平方根.课前准备无教学过程一、复习引入1、我们已学过哪些数的运算?(加、减、乘、除、乘方5种)2、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)3、一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算?(面积25平方米，运算是乘方运算)二、创设问题情境，解决问题1、请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少?这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25、2.提出问题，探索解决问题的办法、(1)平方根的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根、问：有了这个规定以后，a是什么数?让学生思考、交流后回答：a是非负数、(2)在上述问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根、问：25的平方根只有一个吗?还有没有别的数的平方也等于25?(因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根)从上述解决问题过程中，你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?(根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根)三、范例例1、求100的平方根、提问：(1)你能仿照上述问题解决的方法，求出100的平方根吗?让学生讨论、交流后回答。
(2)你能正确书写解题过程吗?请一位同学口述，教师板书。
(3)l0和－l0用±10表示可以吗?试一试(1)144的平方根是什么?(2)0的平方根是什么?(3)425的平方根是什么? (4)0.81的平方根是什么?(5)－4有没有平方根?为什么?请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答、总结四、课堂练习说出下列各数的平方根：1、642、0.253、4981五、小结1、一个正数如果有平方根，那么有几个，它们之间关系如何?2、如果我们知道了两个平方根中的一个，那么是否可以得到它的另一个平方根?为什么?3、0的平方根有几个?是什么数?4、负数有平方根吗?为什么?六、作业习题12.1第1题、11.1 平方根与立方根第2课时教学目标1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；2.了解开方运算与乘方运算是逆运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根；3.会利用开方运算求某些非负数的平方根.教学重难点【教学重点】数的算术平方根的概念，用根号表示一个数的算术平方根.【教学难点】利用开方运算求某些非负数的平方根.课前准备无教学过程一、创设问题情境1、什么是平方根?求出36，1.44，81625各数的平方根、2、一个正数如果有平方根，那么有几个?它们之间的关系如何?3、负数有平方根吗?为什么?二、算术平方根的概念及其应用1、算术平方根概念。
(完整版)华师大版八年级数学上册知识点总结
八年级数学上册复习提纲第11章数的开方§11.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。
它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。
二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：≥0。
a三、平方根和算术平方根是记号：平方根±（读作：正负根号a）；算术a平方根（读作根号a）a即：“±”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“”表示a的a a算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。
∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。
四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为3a根指数。
中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。
3a六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：1、“±”、“”、“”的实质意义：“±”→问：哪个数的平方是a a3a aa；“”→问：哪个非负数的平方是a；“”→问：哪个数的立方是a。
a3a2、注意和中的a的取值范围的应用。
a3a如：若有意义，则x取值范围是。
（∵x-3≥0，∴x≥3）x3（填：x ≥3）若有意义，则x 取值范围是 。
八年级数学上册 11.1 平方根与立方根（第1课时）教学课件 （新版）华东师大版
概括
（1）平方根的意义：如果一个数的平方 等于a ，这个数就叫做a 的平方根。a的平 方根记作: 2 a或 a 。 （2）求一个数a的平方根的运算叫做开平 方. （3）平方和开平方互为逆运算；
试一试
(1)144的平方根是什么? (2)0的平方根是什么? (3)-4的平方根是什么?为什么? 从上面的回答中,你发现了什么?
平方根与立方根
平方根
36 ?
平方根
x2=2
x=
如图中, 设面积为25cm2的正方形, 其边长为多少呢？
根据正方形的面积公式，
应该是, （ ）2 = 25 边长
所以, 其边长为 5cm
25cm2
5cm
概括
如果一个数 x 的平方等于 a,
那么这个数 x 叫做 a 的平方根. 就是说, 当 x2 =a(a≥0) 时, 称 x 是 a 的平方根.
归纳：1.一个正数有两个平方根，这两个 平方根互为相反数.
2.零的平方根是零.
3.负数没有平方根.
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
正数a的算术平方根记作： a 它的另一个平方根记作： a
一个正数a的平方根表示为： a
0的算术平方根还是0
说明：这样求一个正数的平方根，只要求出它的 算术平方根后，就可以写出它的平方根了。
即 100 10
注意：不能写成
请你妨照上面的例子完成其余三个小题。
学习小结
本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？ 1.平方根的概念方根的性质:
一个正数的平方根有两个,它们互为相反数. 0的平方根还是0. 负数没有平方根.
3.平方根的表示法: a (a 0)
4.算术平方根的概念:
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根 a
数学初中八年级教案：平方根和立方根
数学初中八年级教案：平方根和立方根一、平方根的引入与概念解释在初中数学的学习过程中，我们不可避免地会接触到数的运算。
而平方根作为一种重要的数学概念，是解决一类与二次运算相关问题时必不可少的工具和方法之一。
1. 平方根的引入在初中八年级数学课本中，平方根通常是通过求解二次方程来引入的。
当我们遇到一个已知数值x的平方等于一个给定数值A时，我们就称x是A的平方根。
2. 平方根定义对于一个非负实数A来说，如果存在一个非负实数x使得x²=A成立，则称这个非负实数x为A的平方根。
其中，非负实数指大于或等于零的实数。
3. 平方根表达式若A≥0且a²=A，则称a为非负平方根表达式，并记作√A=a。
二、求解平方根及其性质讲解了解了平方根的基本概念后，我们需要学习如何求解平方根以及它们所具有的常用性质。
1. 求解正整数和分数之平方根（化简法）当待求解的值可以被表示为一个正整数或者一个分数的平方时，我们可以采用化简法来求解。
具体步骤是将待求解的数写成能够整除的两个因数的乘积形式，然后对每个因数进行平方根运算。
2. 无理数近似值（估算法）对于那些不能用有限位小数表示的数字，我们可以使用估算法来得到其一个近似值。
通过多次迭代计算得到更为精确的结果。
3. 平方根的性质- 如果a≥0和b≥0，则√(ab)=√a × √b。
- 如果a≥0，则√(a²)=|a|，也就是说，一个非负实数的平方根结果取绝对值。
- 对于任意实数x ≥ 0，都有x² ≥ 0；而且如果x ≠ 0，则x² > 0。
三、立方根与求解方法在初中八年级数学课程中，我们还将接触一种更高阶次的根——立方根。
立方根是指给定一个非负实数A后，求解满足x³=A的非负实数x。
与平方根相似，在解决与三次运算相关问题时，立方根也起着重要作用。
1. 求解立方根我们可以通过以下两种方法来求解立方根：- 使用开三次方根的运算（记为∛A）进行计算。
八年级数学上册综合算式专项练习题平方根与立方根运算
八年级数学上册综合算式专项练习题平方根与立方根运算在八年级数学上册的综合算式专项练习题中，平方根与立方根运算是重要的知识点之一。
本文将针对平方根与立方根运算进行详细的讲解和练习，帮助同学们更好地掌握相关知识。
一、平方根运算平方根是数学中的一个重要概念，表示一个数的平方等于另一个数。
在平方根的运算中，我们需要掌握以下几个要点。
1. 平方根的定义对于一个非负实数a，若存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则称x为a的平方根，记作√a。
其中，a称为被开方数，x称为平方根。
2. 平方根的性质（1）非负数的平方根为非负数，即对于非负数a，√a≥0。
（2）平方根运算满足开方运算的可加性，即对于非负数a和b，有√(a*b)=√a * √b。
3. 平方根的计算对于一个非负数的平方根计算，我们可以通过数学运算或借助计算器来得到结果。
特别地，对于一些特殊的平方根，我们可以通过一些记忆方法来简化计算。
例题1：计算√16的值。
解：由于16可以表示为4的平方，所以√16=4。
例题2：计算√3的近似值（保留两位小数）。
解：通过计算器，可得√3 ≈ 1.73。
二、立方根运算立方根是数学中另一个重要概念，表示一个数的立方等于另一个数。
在立方根的运算中，我们也需要掌握以下几个要点。
1. 立方根的定义对于一个实数a，若存在一个实数x，使得x的立方等于a，则称x为a的立方根，记作³√a。
其中，a称为被开方数，x称为立方根。
2. 立方根的性质（1）任意实数的立方根都存在，即对于任意实数a，必然存在一个实数x，使得x的立方等于a。
（2）立方根运算满足开方运算的可加性，即对于实数a和b，有³√(a*b)=³√a * ³√b。
3. 立方根的计算对于一个实数的立方根计算，我们可以通过数学运算或借助计算器来得到结果。
例题3：计算³√8的值。
解：由于8可以表示为2的立方，所以³√8=2。
八年级数学上册第11章数的开方11.1平方根与立方根1平方根第2课时算术平方根教案华东师大版(20
八年级数学上册第11章数的开方11.1 平方根与立方根1 平方根第2课时算术平方根教案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第11章数的开方11.1 平方根与立方根1 平方根第2课时算术平方根教案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学上册第11章数的开方11.1 平方根与立方根1 平方根第2课时算术平方根教案（新版）华东师大版的全部内容。
第2课时算术平方根【拓展提升】例4 错误!的算术平方根为________；错误!的算术平方根是________．例5 若错误!＝2，则（m＋2)2＝________．例6 算术平方根等于它本身的数有________．例7 若已知错误!＋错误!＝0,则x－y的算术平方根为________．使学生通过所学的知识,在原来的基础上有拓宽、有提升，并能与过去的知识相结合，达到综合应用的目的。
活动四：课堂总结反思当堂训练:1．求下列各数的算术平方根：36，错误!,15，0.64，错误!。
2．已知错误!＋错误!＝0，求y x的算术平方根．当堂检测,及时反馈学习效果。
【知识网络】提纲挈领,重点突出。
【教学反思】①[授课流程反思］A.新课导入□B．情景导入□要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概反思，更进一步提升。
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八年级数学平方根与立方根试题
一 选择
1、若a x =2，则（ ）
A 、x>0
B 、x ≥0
C 、a>0
D 、a ≥0
2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ）
A 、大于0
B 、等于0
C 、小于0
D 、不能确定
3、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ）
A 、a 是b 的平方根
B 、a 是b 的的算术平方根
C 、b a ±=
D 、a b =
4、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ）
A 、2a
B 、±2a
C 、a 2
D 、| 2a |
5、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）
A 、0<a<1
B 、a>0
C 、a<1
D 、a>1
6、若n 为正整数，则121+-n 等于（ ）
A 、-1
B 、1
C 、±1
D 、2n+1
7、若a<0，则
a a 22等于（ ） A 、21 B 、21- C 、±2
1
D 、0 8、若x-5能开平方，则x 的取值范围是（ ）
A 、x ≥0
B 、x>5
C 、x ≥5
D 、x ≤5
9下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（）
A ， 0个
B ，1个
C ，2个
D ，3个
10若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（）
A ， 1
B ， －1
C ， 0
D ，±1, 0
11，若ｘ使（ｘ－1）2＝4成立，则ｘ的值是（ ）
A ，3
B ，－1
C ，3或－1
D ，±2
12．如果a 是负数，那么2a 的平方根是（ ）．A ．a B ．a - C ．a ± D ．a ± 13．使得2
a -有意义的a 有（ ）．A ．0个 B ．1个 C ．无数个 D ．以上都不对
14．下列说法中正确的是（ ）．
A ．若0a <，则20a <
B ．x 是实数，且2x a =，则0a >
C ．x -有意义时，0x ≤
D ．0.1的平方根是0.01±
15．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．
A ．2
B ．±2
C ．4
D ．±4
16．若22(5)a =-，33(5)b =-，则a b +的所有可能值为（ ）．
A ．0
B ．-10
C ．0或-10
D ．0或±10
17．若10m -<<，且3n m =，则m 、n 的大小关系是（ ）．
A ．m n >
B ．m n <
C ．m n =
D ．不能确定
18．27-的立方根与81的平方根之和是（ ）．
A ．0
B ．6
C ．－12或6
D ．0或－6
19．若a ，b 满足23|1|(2)0a b ++-=，则a b 等于（ ）
． A ．2 B ．1
2 C ．-2 D ．-1
2
20．下列各式中无论x 为任何数都没有意义的是（ ）．
A ． 7x -
B ．31999x -
C ．20.11x --
D ．3265x --
二，填空
1．2(4)-的平方根是 ，3
5
±是 的平方根． 2．在下列各数中0，254，21a +，31()3
--，2(5)--，222x x ++，|1|a -，||1a -，16有平方根的个数是 个．
3， 144的算术平方根是 ，16的平方根是 ；
4、327= ， 64-的立方根是 ；
5、7的平方根为 ，21.1= ；
6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；
7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；
8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；
9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；
10、若
3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 11、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ；
12、计算：3812642732
92531
+-+= ；
13．代数式3a b --
+的最大值为 ，这是,a b 的关系是 ． 14．若335x =-
，则x = ，若3||6x =，则x = ． 15．若101n n <<+，81m m <-<+，其中m 、n 为整数，则m n += ．
16．若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ．
三，解答题
1、解方程：0324)1(2=--x （2） 125－8ｘ3
＝0
（3 ） 264(3)90x --= （4） 2(41)225x -=
（5 ）
31(1)802x -+= （ 6 ） 3125(2)343x -=-
（7） 233(1)8|13|-+
--- （8）23151()(1)(1)393----
（9） 3
712 1.758-÷- （10） 3331513432782125--+--
2．已知312x -，332y -互为相反数，求代数式12x
y +的值．
3．若
22
44
2
x x
y
x
-+-
=
+
，求2x y
+的值．
4．已知34
x=，且2
(21)30
y x z
-++-=，求x y z
++的值．
5，已知：ｘ－2的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．6、若1
2
1
1
2-
-
+
-
=x
x
y，求x y的值。