9.3《空间中的垂直关系和角》教案
高中三年级下学期数学《空间中的垂直关系》教学设计
《空间中的垂直关系》教学设计
一、教学目标
1、掌握直线与平面垂直的定义、断定定理和性质定理，并能运用它们进展论证和解决有关的问题；
2、掌握平面与平面垂直的概念和断定定理、性质定理，并能运用它们进展推理论证和解决有关问题；
二、教学重点、难点
在研究垂直问题时，要擅长应用“转化〞和“降维〞的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。
三、教学过程
环节一：思维构建
环节二：线线垂直
【21年全国甲卷第19题】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA BB 为正方形，2AB BC ==,,E F 分别是1,AC CC 的中点，D 为棱11A B 上的点
11BF A B ⊥.
证明：BF DE ⊥
环节三：线面垂直
【20年山东卷第20题】如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面PAD 与平面PBC 的交线为l . 证明：l ⊥平面PDC
环节四：面面垂直
【17年全国Ⅲ卷第19题】如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，AB BD =. 证明：平面ACD ⊥平面ABC。
空间中的垂直问题教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
《立体几何中的垂直问题》教学设计一、教材内容分析内容：空间直线、平面的垂直关系复习课内容解析：空间直线、平面的垂直关系是空间直线、平面位置关系中一种特殊情况。
它是继空间直线、平面平行关系后的又一重要位置关系。
本节课是在学习了空间直线与平面垂直的判定和性质、平面与平面垂直的判定和性质后所上的习题课.虽然学生已经学习了这些性质和定理,但是建立这些内容的内在联系,对空间各种垂直关系的相互转化,在规则课中很难得以充分体现,因此需要设计专门的习题课给予强化.从题的策略和规律。
基于以上分析，建立本节课的教学重点：建立“线线垂直"、“线面垂直”、“面面垂直”之间的联系,并能灵活运用这些定理解决有关空间垂直问题,进行相应的推理论证过程.二、教学目标分析目标：（1）建立“线线垂直”“线面垂直"“面面垂直”的知识网络，并能用以证明空间的垂直关系；（2）灵活运用定理并能够进行合理的转化，并掌握解题的一般思路和方法。
考查综合运用垂直知识解决实际问题的能力。
达成上述目标的标志是：（1）学生对于三种垂直关系之间的内在联系的理解到位，由已知想性质，由求证想判定，能够相互转化；（2）能够熟练应用垂直知识解决探索性问题，并能总结归纳解题的方法。
三、学生学情分析学生对于“线线垂直"与“线面垂直"之间的内在联系的理解比较透彻,也能比较熟练地运用它们解决有关问题.但对于“面面垂直"的判定和性质的理解会比较困难，因此，建立“线面垂直"和“面面垂直"之间的联系会有困难.此节课是习题课,前提是学生要熟悉前面所学的定理,这对大多数学生来说很难通过新课达到。
因此本节习题课的跨度会显得稍微大些,需要先对定理进行回顾和总结,以此为基础再层层递进，最终达到综合运用的目标.四、教学过程（一）复习巩固，引入问题前面学习了空间直线、平面的垂直关系，它是研究空间图形问题的重要位置关系。
回顾一下，我们学习哪些垂直关系？线线垂直、线面垂直、面面垂直。
空间中的垂直关系教案 -回复
空间中的垂直关系教案 -回复适用对象：中小学老师课时：1课时教学目标：1. 学生能够理解垂直关系的概念，并能准确使用相关的术语描述和解释。
2. 学生能够观察和辨别常见的垂直关系，并能在日常生活中找到实际的例子。
3. 学生能够通过小组合作，运用所学知识绘制和解读简单的垂直结构图。
教学准备：1. 黑板/白板和可擦笔2. 教学图片或实物，如墙壁、门、书架、长方体积木等3. 垂直结构图的示例教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入垂直关系的概念：让学生观察教室中的物体，例如桌子、椅子、黑板等，提问学生这些物体之间有什么关系。
2. 引导学生回答：这些物体之间存在一种特殊的关系，即垂直关系。
并解释垂直关系是指两个物体或平面相互正交或垂直交叉的关系。
二、学习和实践（15分钟）1. 呈现垂直关系的实例图片或实物，让学生观察并描述垂直关系。
2. 导入垂直术语：上下、左右、垂直、水平、垂直交叉等。
解释这些术语的意义和使用方法。
3. 学生小组活动：让学生分成小组，依次观察教室中的物体，找出并描述它们之间的垂直关系。
鼓励学生找到尽可能多的例子，并将其描述出来。
1. 引入垂直结构图：教师示范绘制一张简单的垂直结构图，解释结构图中的线段代表垂直关系。
然后让学生跟随示范练习绘图，并描述图中物体之间的垂直关系。
2. 学生个人活动：让学生自选一个日常生活场景，绘制一个垂直结构图，并描述图中物体之间的垂直关系。
3. 学生展示：让学生展示自己绘制的垂直结构图，并向同学们解释图中的垂直关系。
四、归纳总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，包括垂直关系的定义、相关术语和结构图的绘制。
2. 教师总结学生对垂直关系的理解和应用能力，并强调其在日常生活中的重要性。
五、课堂作业（5分钟）布置课后作业：让学生观察并记录家庭或学校中的垂直关系，了解更多的实际例子，并在下节课上分享。
教学反思与延伸：本节课通过观察、描述、绘图等多种方式帮助学生理解和运用空间中的垂直关系。
《空间中的垂直关系：直线与平面垂直》参考教案
βαm la αaα 1.2.3 直线与平面垂直教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。
2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。
空间中垂直关系的判定与性质教案
《空间中垂直关系的判定与性质》教案设计
一、考纲要求：
1、能够认识与理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
二、考情分析
垂直是空间几何体位置关系中非常重要的两种位置关系之一。
可以说是高考的必考内容，特别在解答题的第（18）题常以空间几何体为载体考察空间中平行于垂直的判定定理与垂直定理的掌握，考察学生的空间想象能力，以及利用分析-综合法解决问题的逻辑思维能力。
三、学情分析
对于高三文科学生来说学习空间立体几何普遍感到吃力，空间想象能力，严密的逻辑思维能力，综合分析解决问题的能力都有待于进一步的提升，在发下的导学案中大多数学生仅仅只能解决第一问的问题，第二问都是空白，在调查后得到的结论都是没有解题的思路，所以需要大量的练习来解决这个问题。
四、教学目标
知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解线面垂直、面面垂直的定义，归纳线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，并能运用定义和定理证明一些空
间位置关系的简单命题。
过程与方法：通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。
情感态度与价值观:通过线面垂直定义及定理的探究，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
五、教学重点：线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理
六、教学难点：运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题
七、教学方法：采用引导和探究式教学方法，以启发和引导为主，采用设疑的形式，
引导学生对解题思路进行探究，利用课件来辅助教学，通过一题多解的问题探究激发学生参与学习的积极性和主动性
八、教学过程。
人教B版高中数学必修二最新资料空间中的垂直关系教案
第一章立体几何初步第1.2.3节空间中的垂直关系教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。
（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。
然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。
如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对画示表示进行说明。
Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
《空间中的垂直关系》教学设计
教学设计表一、基本信息二、教学目标1.知识与技能目标：2. 过程与方法目标：在教学过程中体现的主要数学能力及数学思想方法。
在探索直线与平面垂直判定定理的过程中感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.3情感、态度与价值观目标：体验线面垂直的判定定理的发现过程和线面垂直的概念在实际问题中的应用，树立创新意识和数学应用意识，引发学习数学的兴趣.并重视在小组合作学习中的协作精神.三、学习者分析本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习了掌握了异面直线的证明，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识，因此学生对于线线垂直及线面垂直的判定定理的学习有良好的认知基础。
但是学生对于理解线面垂直的定义有一定的困难，受线面平行的影响，很容易由一直线垂直于一平面内一直线得出线面垂直，由于平面内看不到直线，要让学生去体会“与平面内所有直线垂直”就有一定困难；同时，线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性，学生不易想到。
四、教学重难分析及解决措施教学重难分析根据课时目标要求，理解一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与平面垂直。
能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
及高考命题走向确定本节课重点难点。
重点：直线与平面垂直的概念，直线和平面垂直的判定定理及应用。
难点：直线与平面垂直的判定定理证明思路的理解。
解决措施1.应用“问题探究式”教学法，采用层层递进探究的方式，既降低了起点又分散了难点，通过学生发现问题、分析问题和解决问题的过程，让学生主动参与到教学和学习活动中来，并且始终处于积极地动手操作、问题探究和辨析思考的学习气氛之中，形成以学生为中心的探究性学习活动。
通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。
2.以生活中实例引课，通过实物模型课件演示，以笔和书本及教室为学习工具直观认识概念，培养学生的善于观察、发现、归纳的能力。
人教B版高中数学必修二空间中的垂直关系教案(3)
空间中的垂直关系教学目标：1、直线与平面垂直的概念2、直线与平面垂直的判定与性质教学重点：直线与平面垂直的判定与性质教学过程：（一） 两条直线成的角为直角——两条直线垂直（二） 一直线与一平面内的所有与它相交的直线都垂直——直线与平面垂直（三） 一组概念：平面的垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离、点到平面的距离、直线的垂面（四） 直线与平面垂直的判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线、那么这条直线与这个平面垂直（五） 推论：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（六） 直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线（2）垂直于同一平面的两条直线平行（七） （1）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一个（八） 例子与练习例1 已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,求证：AB ⊥CD证明：如图9-15，设CD 中点为E ，连接AE 、BE ，因为ΔACD 为等腰三角形,所以AE ⊥CD ; 同理BE ⊥CD . 所以CD ⊥平面ABE ,所以CD ⊥AB .例2 已知VC 是ΔABC 所在平面的斜线，V 在平面ABC 上的射影为N ，N 在ΔABC 的高CD 上，M 是VC 上的一点，∠MDC =∠CVN ,求证：VC ⊥平面AMB证明:如图9-16，因为∠MDC =∠CVN ,且∠VNC =︒90, 所以∠DMC =︒90,即VC ⊥MD .又VN ⊥AB ,CD ⊥AB所以AB ⊥平面VCN 所以VC ⊥AB ， 所以VC ⊥平面AMB .例3 如图9-18,已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线,PO 是∠ABC 所在平面的垂线,垂足为O .(1)若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等，求证：AO 是∠BAC 的平分线.(2)若∠PAB =∠PAC ,求证：AO 是∠BAC 的平分线.证明：（1）连OE 、OF ，因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，AB CD E A B C D VN M ABC EFO P由三垂线定理的逆定理知：OE⊥AB，OF⊥AC，由已知：PE＝PF，故ΔPEO≌ΔPFO，所以EO＝FO 所以AO是∠BAC的平分线.（2）过P作PE⊥AB，PF⊥AC,垂足为E、F，因为∠PAB=∠PAC，所以易知ΔPEA≌ΔPFA，则PE＝PF.（以下同（1））。
空间中的垂直关系教案
空间中的垂直关系教案空间中的垂直关系一. 教学内容：空间中的垂直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。
三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理： .② b⊥α, a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a a⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
（a⊥α，b⊥α⇒a∥b）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。
特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。
5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。
记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（简称：面面垂直，线面垂直。
）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。
9.3 空间中的垂直关系和角-教学设计
9.3.4 平面与平面垂直【教学目标】1．理解两个相交平面互相垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．从学生身边的实例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．渗透把空间问题转换为平面问题进行解决的思想．【教学重点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由生活中常见实例，得出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，帮助学生理解定理．通过例题，明确应用定理时线线垂直到线面垂直再到面面垂直的证明思路．【教学过程】2829309.3.3 平面与平面所成的角【教学目标】1. 了解二面角、二面角的平面角的定义，会求二面角的大小．2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．培养学生把空间问题转化为平面问题进行解决的思想．【教学重点】二面角的定义．【教学难点】找出二面角的平面角．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由直观的生活实例抽象出二面角及其平面角的定义，通过题目练习其应用．31329.3.1 直线与平面垂直【教学目标】1. 了解空间直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2. 渗透由平面到空间的转换思想，培养学生学习的空间想象能力．【教学重点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．通过学生动手操作，由线段的一条垂直平分线在空间旋转成垂直平分面，在此基础上，定义直线与平面垂直．通过猜测，说理得出线面垂直的判定定理与性质定理，然后在例题中体验定理在实际生活中的应用．3334359.3.2 直线与平面所成的角【教学目标】1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．【教学重点】直线与平面所成的角．【教学难点】斜线与平面所成的角．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．【教学过程】3637第九章立体几何38。
人教版高二数学必修第四册《空间中的垂直关系》说课稿
人教版高二数学必修第四册《空间中的垂直关系》说课稿一、引言《空间中的垂直关系》是人教版高二数学必修第四册的一章内容，本章主要介绍了三维空间中的垂直关系的概念、性质以及应用，并通过丰富的例题让学生深入理解垂直关系的几何特征和运用方法。
本说课稿将重点介绍该章节的教学目标、教学重点和难点、教学方法和教学过程的设计。
二、教学目标1.理解垂直关系的概念，掌握判断两条直线或两个平面是否垂直的方法；2.掌握垂直关系的性质和判定定理，并能运用定理解决问题；3.在三维空间中，能够熟练应用垂直关系的概念和性质，分析解决相关几何问题。
三、教学重点和难点3.1 教学重点1.垂直关系的定义和性质；2.垂直关系的判定定理。
3.2 教学难点1.理解垂直关系的几何特征，能准确判断两直线或两平面是否垂直；2.运用垂直关系的判定定理解决实际问题。
四、教学内容和安排4.1 教学内容1.垂直关系的概念和性质；2.垂直关系的判定定理；3.垂直关系在三维空间中的应用。
4.2 教学安排1.师生互动，通过引导问题引发学生对垂直关系的思考；2.展示垂直关系的定义和性质，以图例和实例帮助学生理解；3.通过演示和讨论，引入垂直关系的判定定理；4.练习和实践，通过例题和习题的讲解，巩固学生对垂直关系的理解和应用；5.总结与反思，让学生回顾本节课的重要内容和自己的学习体会。
五、教学方法本节课将采用多种教学方法来促进学生的主动参与和深入理解垂直关系的概念和运用方法。
具体教学方法包括：1.启发式教学法：通过提出问题、让学生自主发现、分析和总结，引导学生理解垂直关系的几何特征和性质；2.归纳法：通过示例与练习，让学生掌握垂直关系的判定定理，培养学生逻辑思维和推理能力；3.演示法：用图表和实例展示垂直关系的概念和运用方法，加深学生对知识点的理解；4.口头解答和板书：通过口头解答来激发学生思考和讨论，同时将关键内容通过板书方式呈现，方便学生复习和记忆。
六、教学过程设计6.1 Step 1 引入通过举例引发学生对垂直关系的思考，比如问“墙面上两个相交的直线之间是否存在垂直关系？”等问题。
4空间中的垂直关系 教案
适用学科
高中数学
适用年级
高二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
线面垂直的判定与线面角，线面垂直的性质，面面垂直的性质
平行、垂直关系的综合问题单调性的概念
教学目标
1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
2.归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；
在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ，由三垂线定理得EF⊥GF.
2.【2017全国3卷文19】如图所示，四面体 中， 是正三角形， ．
（I）证明： ；
【答案】（I）详见证明
【解析】（I）设 中点为 ，联结 ， ， ， ，
平面 .
【总结与反思】以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考查、论证思想.
②垂足是△ABC的内心；
③垂足是△ABC的外心；
④垂足是△ABC的垂心．
其中正确命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
2、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．ACB．BDC．A1DD．A1D1
3、如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC= AD,E,F分别为线段AD，PC的中点.
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B.
（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求.
空间中的垂直关系(教学案)
高三数学一轮复习空间中的垂直关系【复习目标】1、能通过动手实践、简图或利用长方体等恰当的平台来判断关于空间线线、线面、面面关系命题的真假性；2、有明确的目标意识，根据目标分析论证思路，并熟练运用线线、线面、面面间垂直关系的判定定理及性质定理严谨证明目标，规范书写.【重点】性质定理及判定定理的应用【难点】性质定理及判定定理的应用【知识回顾】：1.直线与平面垂直（1）判定方法①判定定理：，，，，⇒；②性质定理：，⇒2..平面与平面垂直：（1）判定方法①定义法：即证是直二面角②判定定理：，⇒；（2）性质定理：，，，⇒【基础自测】1.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的________条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)．2.设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：(1)若m⊥n，m⊂α，则n⊥α；(2)若m ⊥α，n∥m，则n⊥α；(3)若n∥α，m⊂α，则n∥m；(4)若m∥α，n∥α，则m∥n.其中真命题是________(填序号)．3.给出下列命题：(1)若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m，则另一条直线也与直线m垂直；(4)若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中所有真命题的序号为________．4.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：(1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是________(填序号)．5.如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．【例题分析】 例1．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱C 1D 1的中点，F 为棱BC 的中点．(1)求证：AE ⊥DA 1；(2)在线段AA 1上求一点G ，使得直线AE ⊥平面DFG .例2. 如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .（1）请在木块的上底面作出过P 的锯线EF ，并说明理由；（2）若该四棱柱的底面为菱形，四边形11BB D D 是矩形，试证明：平面BDEF ^平面11AC CA .1例3. 在三棱锥P －ABC 中，D 为AB 的中点．（1）与BC 平行的平面PDE 交AC 于点E ，判断点E 在AC 上的位置，并说明理由； （2）若PA=PB ，且△PCD 为锐角三角形，又平面PCD ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥PC ．例4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点． （1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M ，求CM 的长．ACB MNC 1B 1A 1PACD例5. 如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1A C 中点．求证：（1）直线//FM 平面1A EB ；（2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．ＡＢＣＥＦ图①ＢＣＥＦ Ｍ1A图②。
《空间中的垂直关系》课件
垂直关系在空间中起着重要的作用。本PPT课件旨在介绍垂直关系的定义、 基本概念、应用和重要性，以及建筑结构中的具体应用。
引言
空间中的垂直关系是指物体在垂直方向上的位置和相互关系。垂直关系在建筑、城市规划等领域具有重 要作用，能够影响空间的布局和设计。
垂直方向的基本概念
2
垂直投影的定义和应用
垂直投影是指物体在某个垂直平面上的投影，可以用于建筑设计和工程测量等领 域。
3
垂直距离的测量方法
垂直距离是指两个物体之间在垂直方向上的距离，可以通过测量工具或基于三角 关系计算得出。
应用
1 垂直的重要性和应用
2 实例分析：建筑结构中的垂直关系
垂直关系在建筑结构、城市规划和室内设 计等领域中起着重要作用，能够优化空间 布局和提升空间感。
以高层建筑为例，垂直关系可以影响建筑 的稳定性、使用功能和美观性，是建筑设 计中不可忽视的因素。
总结
垂直关系在空间中具有重要性，能够决定空间的布局和设计。深入了解垂直 关系的定义、基本概念和应用，将有助于提升空间规划与设计的质量。
本PPT课件提供了垂直关系的基本知识和应用框架，以及建筑结构中的实例 分析，可根据实际需求进行具体运用。
垂线的定义
垂线是指与给定直线或平面垂直相交的直线。
垂直平面的定义
垂直平面是指与给定平面垂直相交的平面。
垂直角的定义
垂直角是指两条相交直线、弦或切线所夹的 角为90度。
空间中的垂直关系
1
不同垂直关系的分类
在空间中，垂直关系可以分为垂直与水平、垂直与斜面等不同类型。
参考文献
• 李宁，蔡明华. 理论建筑设计教程 [M]. 机械工业出版社，2015. • Thom as P.J. Architecture 101: From Frank Gehry to Ziggurats,
数学教案：空间中的垂直关系直线与平面垂直
示范教案错误!教学分析本节教材给出了两直线垂直和直线与平面垂直的定义，并讨论了判定定理和性质．在教学过程中，要注意调动学生的学习积极性,留出足够思考时间，培养学生的思维能力．值得注意的是尽量使用信息技术，以便突破难点．对于判定定理的证明不作要求，仅供学习有余力的同学参考．三维目标1．掌握两直线垂直和直线与平面垂直的定义，培养学生的空间想象能力．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及其推论，提高学生的应用能力．重点难点教学重点:直线与平面垂直的判定定理及其推论．教学难点：归纳判定定理,证明推论2。
课时安排1课时错误!导入新课设计1.(情境导入)日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识,比如,旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的印象．在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，尽管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的．设计2。
（实例导入）如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直?举例说明．如下图，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直．推进新课错误!错误!(1）阅读教材，说说空间中两直线垂直的定义．（2)想想看，如果A,B是空间中的两点，那么在空间中线段AB 的垂直平分线有多少条？AB的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形（如下图)?固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转，l的轨迹是怎样的图形?（3)归纳空间直线与平面垂直的定义．（4）直线l⊥平面α,直线m α，则l与m垂直吗?讨论结果：（1）如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点,并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．（2)容易发现，空间中线段AB的所有垂直平分线构成的集合是一个平面．(3）如果一条直线(AB）和一个平面(α）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(4)如下图，如果l⊥a,垂足为O，直线m是平面α内不过点O 的任意一条直线，那么在α内过点O，可引直线m∥a,根据空间直线与平面垂直的定义，由l⊥a可得l⊥m.这就是说：如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线和平面垂直时,通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如上下图所示．直线l和平面α互相垂直,记作l⊥α。
空间中的垂直关系教案
空间中的垂直关系教案一、教学目标1. 让学生理解垂直关系的概念，能够识别和描述物体之间的垂直关系。
2. 培养学生运用垂直关系解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、动手能力和合作意识。
二、教学内容1. 垂直关系的定义及识别2. 垂直关系的应用3. 实际问题解决三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生能够识别和描述物体之间的垂直关系，运用垂直关系解决实际问题。
2. 教学难点：培养学生运用垂直关系解决实际问题的能力。
四、教学方法1. 采用观察、讨论、实践、解决问题的教学方法。
2. 利用教具、模型等辅助教学。
五、教学准备1. 教具：垂直关系模型、实物图片等。
2. 学具：学生用书、练习本、画笔等。
六、教学过程1. 导入新课：通过展示实际生活中的垂直关系实例，引导学生发现和关注垂直关系。
2. 教学新课：讲解垂直关系的定义，让学生观察和描述实例中的垂直关系。
3. 实践操作：学生分组讨论，运用教具模型演示垂直关系，并互相评价。
4. 解决问题：引导学生运用垂直关系解决实际问题，如计算物体的高度、距离等。
5. 巩固拓展：出示不同类型的题目，让学生独立完成，提高运用垂直关系解决问题的能力。
七、课堂小结八、课后作业1. 完成学生用书上的练习题。
2. 观察生活中的垂直关系，拍照或绘图，下节课分享。
九、教学反思教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况调整教学策略。
十、章节测试设计一份章节测试题，检测学生对空间中垂直关系的掌握程度。
六、教学内容与活动1. 活动一：探索垂直关系的性质目的：让学生通过实践探索垂直关系的性质。
过程：学生分组，每组使用不同的材料（如直尺、三角板、绳子等）来构建垂直关系，并记录观察到的性质。
反馈：小组之间分享观察结果，讨论垂直关系的共同特点。
2. 活动二：垂直关系的应用游戏目的：培养学生将垂直关系应用于实际情境中。
过程：设计一个游戏，要求学生在游戏中识别和利用垂直关系，如在建筑游戏中使用垂直关系来构建稳定的结构。
空间中的垂直关系教案
∴AB1⊥平面C1DF.
【总结与反思】此题〔1〕的证明中，证得C1D⊥A1B1后，由ABC—A1B1C1是直三棱柱知平面C1A1B1⊥平面AA1B1B，立得C1D⊥平面AA1B1B.〔2〕是开放性探求效果，留意采用逆向思想的方法剖析效果.
类型三：面面垂直
求证：平面MND⊥平面PCD
答案与解析
1、【答案】A
【解析】PO⊥面ABC．
那么由可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，OA＝OB＝OC，
O为△ABC外心．
只要③正确
2、【答案】B
【解析】证B〔Ⅰ〕衔接AC交BE于点O，衔接OF，无妨设AB=BC=1,那么AD=2
【教学建议】⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线战争面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要思索a的位置，并留意两定理交替运用.
定义：假设一条直线l和一个平面α相交，并且战争面α内的恣意一条直线都垂直，我们就说直线l战争面α相互垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足.直线l与平面α垂直记作：l⊥α.
3.在探求直线与平面垂直判定定理的进程中开展合情推理才干，同时感悟和体验〝空间效果转化为平面效果〞、〝线面垂直转化为线线垂直〞、〝有限转化为有限〞等数学思想.
教学重点
经过直观感知、提出猜想进而操作确认，取得直线、平面与平面垂直的性质定理．
教学难点
综合运用线面平行的判定定理和性质定理停止线面垂直与面面垂直的相互转化．
∴四边形ABCE为菱形
又
【解析】经过线线垂直证明线面垂直，应用了菱形的性质.
4、【答案】取PD中点E，连结EN，EA，那么EN CD AM，
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能否少了“相交”这个条件？为什么？
能否将“两条”该为“一条”或者“三条”？为什么？
[例1]在立方体 中，说明① ；②求证BD’⊥AC
引导学生分析BB与平面AC内的那两条相交直线垂直？
[例2]正四面体各棱长都相等，E是CD的中点，求证：①CD⊥平面ABE.；②求证AB⊥CD
③还可以证明AC与立方体中的哪些线段垂直？
2、直线与平面垂直的性质定理及应用
3、直线与平面所成角
［例1］从中学习文字题的证明方法
［例2］--训练学生学习画分析思路图的方法并能举一反三，熟能生巧
五、反馈矫正：
2、我们已经讨论过哪种位置关系？定义是什么？判定定理和性质定理如何叙述的？
今天我们要讨论第二种位置关系，那就是直线与平面相交.并将重点学习线面相交的特例-线面垂直
二、尝试指导：
[问题1]比萨斜塔和苏州的北寺塔都可以看作是直线与平面（地面）相交，有和不同？
一个是倾斜的，一个是垂直的.
如图所示：直线与平面相交有两种情况，一种叫斜交，另一种叫垂直.
4.培养学生空间想象能力及逻辑思维能力
教学重点
直线与平面垂直的判定定理和性质定理的理解及运用
教学难点
对线面垂直性质定理的理解，即“线面垂直，则线线垂直”，如何熟练应用
更新补充
删节内容
课外作业
教学后记
学生能力分化加大，要随时设计变式训练以减低难度，是全体学生有效学习
授课主要内容或板书设计
一、直线与平面垂直的定义
课题序号
授课班级
授课课时
2
授课形式
新课
授课章节
名称
§9-3直线与平面的位置关系（二）
使用教具
多媒体课件
教学目的
1.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理的内容并能简单应用—基础模块
2.明确点到平面的距离的定义会求点到平面的距离.—基础模块
3.了解平面的斜线、斜足、射影、斜线段等概念，能找出斜线与平面所成角—基础模块
②线线垂直可以是相交的也可以是异面的，只要两条直线所成角是90º；
③利用定义判定直线与平面垂直比较困难，因为需要证明它与平面内的任意直线都垂直都垂直.为此要探讨简单易行的判断方法
2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.
即“线线垂直（两次），则线面垂直”。
（一）、直线与平面垂直
1、定义：如果一条直线与平面相交，并且与这个平面内的任何直线都垂直，就说这条直线与平面垂直，记作 .
其中直线叫做这个平面的垂线，平面叫做这条直线的垂面，交点叫垂足.
变式练习1：补充
过平面外一点可以作条直线与已知平面垂直；
过平面外一点可以作条直线与已知平面平行.
几点说明：
①定义的两边是等价，可以由线线垂直得到线面垂直，也可以由线面垂直得到线线垂直.
当直线与平面所成角 时，直线与平面平行或直线在平面内；
当直线与平面所成角 时，直线与平面平行垂直；
变式练习1：
如图，已知 PA、PB分别是平面 两条斜线， 则PA在平面 的射影是，PA与平面 的所成角是，为度；则PB在平面 的射影是，PB与平面 的所成角是，为度；
四、课堂小结：直线与平面垂直的定义
1、直线与平面垂直的判定定理及应用
分析：AE⊥CD? ;BE⊥CD?(学生回答)
变式练习2：课本第212页，练习2，其中第二题要引导学生自己写出已知、求证并完成证明
3、直线与平面垂直的性质定理
性质1：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直.
即“线面垂直，则线线垂直”.
（学生完成并背诵下来）
[例3]求证：两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一条也垂直与这个平面.
已知：
求证： （教师启发学生完成）
[例4]已知：直线PO⊥平面 ，垂足为O，直线PA平面 相交于点A，
直线
求证： （引导学生分析证明方法，并告诉学生这就是三垂线定理）
性质2：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行.
（学生完成）
以立方体或长方体为例，说明性质2的作用.
二、直线与平面所成角
1、斜线：与平面相交但不垂直的直线称作这个平面的斜线.
斜足：斜线与平面的交点称作斜足.
2、直线与平面所成角
如图，PA、PO分别是从平面 外一点P向平面 所引的斜线段和垂线段，A为斜足，O为垂足.垂线段PO的长称作点P到平面 的距离；垂足与斜足的连线OA称作斜线段PA在平面 内的射影；斜线段PA与其射影OA的夹角θ称作斜线段PA与平面 的所成角.
直线与平面所成角
1、直线与平面垂直的判定定理及应用
2、直线与平面垂直的性质定理及应用
二、直线与平面所成角
1、斜线、斜足、斜线段
2、直线与平面所成角
［例2］--训练学生学习文字题的证明方法
［例4］--训练学生学习画分析思路图的方法并能举一反三，熟能生巧
课堂教学安排
教学过程பைடு நூலகம்
主要教学内容及步骤
一、问题引入：
1、请同学们回顾一下在空间直线与平面有几种位置关系，分别是什么？