北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.5相似三角形判定定理的证明同步练习及答案

相似三角形判定定理的证明（典型题）

知识点 1 证明相似三角形判定定理

图4－5－1

1．如图4－5－1，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则DE BC

的值为( )

2．如图4－5－2，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝( )

A ．1∶4

B ．1∶3

C ．2∶3

D ．1∶2

4－5－2

4－5－3

3．如图4－5－3，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( )

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

4．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

知识点 2 相似三角形判定的综合应用

5．如图4－5－4，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC 的延长线上找到一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB＝6 m，则池塘的宽DE为( )

A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m

4－5－4

4－5－5

6．如图4－5－5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚 m，梯上点D距墙 m，BD长m，该梯子的长是________．

7．如图4－5－6所示，已知AD⊥BD，AE⊥BE，求证：AD·BC＝AC·BE.

图4－5－6

8．如图4－5－7，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.

(1)求证：△ABM∽△EFA；

(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．

图4－5－7

9．如图4－5－8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有( )

A．DE2＝AD·AE B．AD2＝AF·AB

C．AE2＝AF·AD D．AD2＝AE·AC

4－5－8

4－5－9

10．如图4－5－9，在边长为9的等边三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为________．

11．如图4－5－10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由．

图4－5－10

12．教材习题第3题变式题如图4－5－11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB 上，∠ECF＝∠A.

(1)如图4－5－11①，点E，F在AB上时，求证：AC2＝AF·BE；

(2)如图4－5－11②，点E，F在AB及其延长线上，∠A＝60°，AB＝4，BE＝3，求BF 的长．

图4－5－11

13．如图4－5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在点P，使得△PCD与△PAB相似如果存在，请求出PD的长；如果不存在，请说明理由．

图4－5－12

14．如图4－5－13，已知直线l 的函数表达式为y ＝－4

3x ＋8，且l 与x 轴、y 轴分别

交于A ，B 两点，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，同时动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，设点Q ，P 移动的时间为t 秒．

(1)求点A ，B 的坐标；

(2)当t 为何值时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似

(3)求出(2)中当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似时线段PQ 的长度．

图4－5－13

详解

1．B

3．C [解析] 由DE ∥BC 可得出∠ADE ＝∠B ，结合∠ADE ＝∠EFC 可得出∠B ＝∠EFC ，进而可得出BD ∥EF ，结合DE ∥BC 可证出四边形BDEF 为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE ＝BF ，由DE ∥BC 可得出△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质可得出BC ＝8

5DE ，

再根据CF ＝BC －BF ＝3

5

DE ＝6，所以DE ＝10.

4．解：已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，并分别交AB ，AC 于点D ，E . 求证：△ADE 与△ABC 相似． 证明：∵DE ∥BC ，

∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C . 过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ， 又∵DE ∥BC ，

∴四边形DFCE 是平行四边形， ∴DE ＝FC ， ∴FC BC ＝DE BC ＝

AD

AB ，

∴AD AB ＝AE AC ＝

DE

BC

.

而∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC . 5．C. 6． m

7．证明：∵AD ⊥BD ，AE ⊥BE ， ∴∠ADC ＝90°，∠BEC ＝90°. 在△ACD 和△BCE 中，

∵∠ACD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠BEC ， ∴△ACD ∽△BCE ，∴AD BE ＝AC BC

， ∴AD ·BC ＝AC ·BE .

8．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝90°，AD ∥BC ， ∴∠AMB ＝∠EAF .

又∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°， ∴∠B ＝∠AFE ，∴△ABM ∽△EFA . (2)∵∠B ＝90°，AB ＝12，BM ＝5， ∴AM ＝122

＋52

＝13，AD ＝AB ＝12. ∵F 是AM 的中点，∴AF ＝1

2AM ＝.

∵△ABM ∽△EFA ，∴BM FA ＝AM EA

， 即错误!＝错误!，∴EA ＝， ∴DE ＝EA －AD ＝. 9．B 10．7.

11．解：∠ABD ＝∠ACE .理由如下： ∵AB ∶AD ＝BC ∶DE ＝AC ∶AE ， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，