线性规划常见题型大全

- - .
绝密★启用前
2014-2015学年度???学校8月月考卷
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）
1．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则z ＝4x ＋y 的最大值为( )
A 、10
B 、8
C 、
2 D 、0 【答案】B 【解析】
试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8
考点：线性规划.
2．若不等式组0220x y x y y x y a
-≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（）
B.01a <≤ D.01a <≤或D
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
【解析】根据0220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪⎩
画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，
纵截距为a ，
自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01a <≤时，0
220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域
是一个三角形区域（如图2所示）；当413a <<时，0220
x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一
个四边形区域（如图3所示），当43a ≥时，0
220x y x y y x y a
-≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形
区域（如图1所示），故选D.
图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划.
3．已知变量x,y 满足约束条件20170x y x x y -+≤,
⎧⎪
≥,⎨⎪+-≤,⎩
则y x 的取值范围是( ) A ．9[6]5, B ．9(][6)5
-∞,⋃,+∞ C ．(3][6)-∞,⋃,+∞ D ．(3,6]
【答案】A
- - . 【解析】
试题分析：画出可行域，y
x
可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可
行域的边界交点为临界点（59
,
22
），（1,6）则可知k＝
y
x
的范围是9[6]
5
,.
考点：线性规划，斜率.
4．（5分）（2011•）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若
M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）
A.3
B.4
C.3
D.4
【答案】B
【解析】
试题分析：首先做出可行域，将z=•的坐标代入变为z=，即y=﹣x+z，
此方程表示斜率是﹣的直线，当直线与可行域有公共点且在y轴上截距最大时，z 有最大值．
解：首先做出可行域，如图所示：
z=•=，即y=﹣x+z
做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．
因为B（，2），所以z的最大值为4
故选B
点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题．
5．已知不等式组
20
20
20
x y
x
ax y
+-
⎧
⎪
-
⎨
⎪-+
⎩
≥
≤
≥
表示的平面区域的面积等于3，则a的值为（）
﹙A﹚1-（B）5 2
﹙C﹚2（D）1 2
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要1a >-，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积1(22)232
S
a =⋅+⋅=，解得1
2a =，故选D.
考点：1.线性规划求参数的取值.
6．设x ，y 满足约束条件，若z=的最小值为，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 ∵=1+
而
表示点(x ，y)与点(－1，－1)连线的斜率．
由图知a>0，否则无可行域，且点(－1，－1)与点(3a ，0)的连线斜率最小，
即==a=1
- - . 7．已知实数x，y满足条件
22
(3)(2)1
10
x y
x y
⎧-+-≤
⎨
--≥
⎩
，则
2
y
z
x
=
-
的最小值为（）A．32
+B．22
+C．3
4
D．
4
3
【答案】C
【解析】
试题分析：如下图
可行区域为上图中的靠近x轴一侧的半圆，目标函数
22
y y
z
x x
-
==
--
，所表示在可行区域取一点到点（2,0
斜率
2
y
z
x
=
-
的最小值，设切线方程为y=k（x-2），则A到切线的距离为1，故2
23
1
4
1
k
k
k
-
=⇒=
+
.
考点：1.线性规划；2.直线与圆的位置关系.
8．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于1
2
的概率是( )
（A）9
16
（B）3
4
（C）15
16
（D）15
32
【答案】C
【解析】
试题分析：设这两个数为：,x y，则
02
02
x
y
≤≤
⎧
⎨
≤≤
⎩
.若两数中较大的数大于
1
2
，则还应满足：
1
2
x>或
1
2
y>（只需排除
1
2
1
2
x
y
⎧
≤
⎪⎪
⎨
⎪≤
⎪⎩
），作出以上不等式组表示的区域，由几何概型的概率公式得
1
15
4
1
416
p=-=.选C.
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
考点：1、几何概型；2、不等式组表示的区域.
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分
二、填空题（题型注释）
9．若实数x ，y 满足线性约束条件3122
x y x y x +≤⎧⎪
⎨≤≤⎪⎩，则z =2x y +的最大值为________．
【答案】5. 【解析】
试题分析：作出不等式组3
122
x y x y x +≤⎧⎪
⎨≤≤⎪⎩表示的平面区域，即可行域，则可知直线
03=-+y x 与直线x y 2
1
=
的交点)1,2(M ，作直线l ：02=+y x ，平移直线l ，可知当2=x ，1=y 时，5122max =+⋅=z . 考点：线性规划.
10．已知变量,x y 满足约束条件23110,480,20,x y x y x y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
若目标函数()0z x ay a =->的最大
值
为1，则a =. 【答案】3 【解析】
试题分析：约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B （4,1）点是取得最大值，所以141a =-⨯，所以3a =.
考点：线性规划.
11．设z=kx+y ，其中实数x ，y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
若z 的最大值为12，则实数k=．
- - .
【答案】2
【解析】
作出可行域(如图)，其中A(4，4)，B(0，2)，C(2，0)
过原点作出直线kx+y=0
k=0时，y=0，目标函数z=y在点A处取得最大值4，与题意不符
②
1
2
k
<-≤即
1
2
k
-≤<时，直线kx+y=0即y=－kx经过一、三象限，平移直线y=－kx可知，目标函数z=kx+y在点A处取得最大值，即，此时k=2与
1
2
k
-≤<不符;
③－k>
1
2
即k<－
1
2
时，直线kx+y=0即y=－kx经过一、三象限，平移直线y=－kx可知，
目标函数z=kx+y在点B处取得最大值，即
max
022
z=+=，此式不成立
④－k<0即k>0时，直线kx+y=0即y=－kx经过二、四象限，平移直线y=－kx可知，目
标函数z=kx+y在点A处取得最大值，即
max
4412
z k
=+=，此时k=2与k>0相符，所
以k=2
12．点(,)
M x y是不等式组
03
3
3
x
y
x y
⎧≤≤
⎪
≤
⎨
⎪
≤
⎩
表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20
x y m
-+≥总成立，则m的取值范围是________________.
【答案】3
m≥
【解析】
试题分析：将不等式化为2
m y x
≥-，只需求出2
y x
-的最大值即可，令2
z y x
=-，就是满足不等式
03
3
3
x
y
x y
⎧≤≤
⎪
≤
⎨
⎪
≤
⎩
的最大值，由简单的线性规划问题解法，可知在()
0,3处z 取最大值3，则m取值范围是3
m≥.
考点：简单的线性规划和转化思想.
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
13．设变量x ，y 满足|3|2,43:y x z x y x x y -=⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤+≥则的最大值为.
【答案】8 【解析】 试题分析：
这是如图可行域，
目标函数22
3⨯-=
y x z ,表示可行域内的点到直线03=-y x 的距离的2倍，很显然
点A 到直线的距离最大，点()22，-A ,将其代入点到直线的距离公式得到822
2
32max =⨯⨯--=
z 考点：1.线性规划；2.点到直线的距离公式.
14．已知实数x ，y 满足6003x y x y x ≥⎧⎪
≥⎨⎪≤⎩
－＋，＋，，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，
则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[－1，1]
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，
则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.
15．设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪
≤-⎨⎪≥⎩
向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m
的最大值为． 【答案】6； 【解析】
试题分析：因为//a b ，所以202x y m m y x -+=⇒=-,故根据线性规划的知识画出可行域如图,则目标函数在点（1，8）处取得最大值6.
- - . 考点：向量平行线性规划
16．已知点(3,3)
A，O为坐标原点，点(,)
P x y满足
30
320
x y
x y
y
⎧-≤
⎪⎪
-+≥
⎨
⎪≥
⎪⎩
,则
||
OA OP
Z
OA
⋅
=
的最大值是
【答案】3
【解析】
试题分析：作出可行域如图，则||
||
OA OP
OP cos AOP
OA
⋅
∠
＝,
又AOP
∠是,
OA OP的夹角,∴目标函数
||
OA OP
Z
OA
⋅
=表示OP在OA上的投影，过P作OA的垂线PH，垂足为H，
当P在可行域内移动到直线30
x y
-＝和直线320
x y
-+＝的交点3
(1)
B，时，
OP在OA上的投影OH最大，此时||||2
6
OP OB AOP AOB
π
∠=∠=
＝＝，，
∴
||
OA OP
Z
OA
⋅
=的最大值为|23
6
|cos AO
O c
B B os
π
∠＝＝,故答案为3．
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
考点：简单线性规划的应用，平面向量的数量积，平面向量的投影. 17．若实数x 、y 满足()222x y x y +=+,则x y +的最大值是_________. 【答案】4 【解析】
试题分析：将()222x y x y +=+变形为2
2
(1)(1)2x y -+-=，表示圆心为(1,1)，半
径为2的圆。

令z x y =+，即0x y z +-=。

由图像分析可知圆心到直线0x y z +-=距离2
2
11222
11
z z d +--=
=
≤+，解得04z ≤≤，所以x y +的最大值是4。

考点：1线性规划、数形结合思想；2点到线的距离；
18．已知O 为坐标原点，2(A ，)1，x P (，)y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤+≤+-0125530
34x y x y x ，则AOP
OP ∠⋅cos 的最大值等于.
【答案】
5
5
12 【解析】
试题分析：5
2cos y x OA
AOP OP +=
=
∠⋅，设y x z +=2,如图：做出可行域
当目标函数平移到C 点取得最大值，⎩⎨
⎧=-+=+-02553034y x y x 解得⎩⎨⎧==2
5
y x ,()25，
C ,代入目标函数12252max =+⨯=z AOP OP ∠⋅cos 的最大值为5
5
12. 考点：1.向量的数量积的坐标表示；2.线性规划.
- - .
- - 考试资料.
19．已知实数x ，y 满足222242(1)(1),(0)
y x x y y x y r r ≤⎧⎪≤⎪
⎨≥⎪
⎪>⎩，＋，－，＋＋－＝
则r 的最小值为________． 【答案】2
【解析】作出约束条件242y x x y y ≤⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
，
＋，－，表示的可行域，如图中的三角形，
三角形内(包括边)到圆心的最短距离即为r 的值，所以r 的最小值为圆心到直线y ＝x 的距离，所以r 的最小值为2. 20．已知P (x ，y )满足01
02
x x y ≤≤⎧⎨
≤+≤⎩则点Q (x ＋y ，y )构成的图形的面积为_____．
【答案】2
【解析】令x ＋y ＝u ，y ＝v ，则点Q (u ，v )满足01
02u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩
，在uOv 平面内画出点Q (u ，
v )所构成的平面区域如图，易得其面积为2.
21．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪
⎨⎪⎩
≥≤≤，
，，则225z x y =--的最大值为．
【答案】
12
【解析】
试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形
,((0,3),(3,0),(3,3))ABC A B C 及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中22
x y
+可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求22x y +的
试卷第12页，总16页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
最小值，即坐标原点到直线3x y +=的距离的平方，为2315()22
-=.
22．曲线y ＝
sin x
x
在点M(π，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D （包含三P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋4y 的最大值为． 【答案】4 【解析】
试题分析：
sin x y x =
，2cos sin x x x y x -'∴=，2
cos sin 1
|x y ππππππ=-'==-， 所以曲线sin x y x =在点(),0M π处的切线方程为：()1
y x ππ
=--，即：
0x y ππ+-=，它与两坐标轴所围成的三角形区域如下图所示：
令4z x y =+，将其变形为144
z y x =-+，当z 变化时，它表示一组斜率为1
4-，在y
轴上的截距为
4
z
的平行直线，并且该截距越在，z 就越大，由图可知，当直线经过()
0,1A 所以max z ＝0414+⨯=，故答案为：4.
考点：1、导数的几何意义；2、求导公式；3、线必规划.
23．已知实数x ，y 满足302500x y x y y +-+-⎧⎪⎨⎪⎩
≥≤≥，则()2
21z x y =-+的最小值是.
【答案】2 【解析】
试题分析：线性不等式组表示的可行域如图：
- - .
- - 考试资料.
300(3,0)x y y A +-==⎧⇒⎨
⎩，250(5,0)0x y B y +-=⎧⇒⎨=⎩，30
250
(1,2)x y x y C +-=+-=⎧⇒⎨⎩。

()2
2
1z x y =-+表示点(1,0)M 与可行域内的点间的距离的平方。

2,1MA MC ==，
点(1,0)M 到直线30x y +-=的距离为2
2
103211
d +-==+，因为d MC MA <<，
所以2
min 2z d ==。

考点：线性规划。

24．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪
⎨⎪⎩
≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为．
【答案】
12
【解析】
试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形
,((0,3),(3,0),(3,3))ABC A B C 及其内部,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中22
x y
+可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求22x y +的最小值，即坐标原点到直线3x y +=的距离的平方，为2315()22
-=.
考点：线性规划求最值
25．在平面直角坐标系中，不等式组⎩
⎨⎧≤-≤x y a x 2,
表示的平面区域的面积为4，则实数a
的值是.
【答案】2 【解析】
试题2y x -≤于2x y x -≤-≤，即直线20x y -+=的下方和直线
试卷第14页，总16页
20x y +-=的上方，而与直线x a =围成三角形区域，当2a =时，不等式
组
⎩⎨
⎧≤-≤x
y a x 2,
表示的平面区域的面积为
4. 考点：不等式中的线性规划问题.
26．已知实数,x y 满足0
200,0
y x x y x y -≥⎧⎪
++≥⎨⎪≤≤⎩
则
_________.
x
【答案】16 【解析】
试题分析：如图实数,x y 满足0200,0y x x
y x y -≥⎧⎪
++≥⎨⎪≤≤⎩
满足的可行域是三角形OAB 的阴影部分.
所以求z 的最大值即求出
2m x y =+的最小值.目标
函数2m x y =+，如图所示.过点B 即为m 所求的最小值.因为B
（-2,0）所以m=-4.所
故填16.
.2.指数函数的运算. 三、解答题（题型注释）
27．已知x ，y 满足约束条件4335251x y x y x ≤⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
－－＋，试求解下列问题．
(1)z (2)z (3)z ＋3| 【答案】（1）z max z min （2）z max ＝1，z min 3）z max ＝14，z min ＝5.
- - .
- - 考试资
料.
【解析】(1)z ＝22x y +表示的几何意义是区域中的点(x ，y)到原点(0，0)的距离，则z max ＝5，z min ＝12
. (2)z ＝
2y x +表示区域中的点(x ，y)与点(－2，0)连线的斜率，则z max ＝1，z min ＝14
. (3)z ＝|3x ＋4y ＋3|＝5·|343|5x y ＋＋，而|343|
5
x y ＋＋表示区域中的点(x ，y)到直线3x
＋4y ＋3＝0的距离，则z max ＝14，z min ＝5
28．设x,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
,
（1）画出不等式表示的平面区域，并求该平面区域的面积； （2）若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为4,求b
a 32
1+的最小值. 【答案】（1）10；（2）4 【解析】 试题分析：（1）如图
先在直角坐标系中画出各直线方程，再用特殊点代入法判断各不等式表示的平面区域，其公共部分即为不等式组表示的平面区域，用分割法即可求出其面积。

（2）画出目标函数线，平移使其经过可行域当目标函数线的纵截距最大时，z 取得最大值，求出满足条
件的此点坐标代入目标函数。

用基本不等式求
b
a 32
1+的最小值。

试题解析：解：（1）不等式表示的平面区域如图所示阴影部分.3分
联立⎩
⎨⎧=--=+-06302y x y x 得点C 坐标为(4,6)
平面区域的面积11
26241022
S =
⨯⨯+⨯⨯=. 6分 （2）当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点C(4,6)时,
目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值4,即4a+6b=4, 即3
12
a b +=. 9分 所以
43223223321321≥++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b
a a
b b a b a a a 等号成立当且仅当3
1
,21==
b a 时取到.
试卷第16页，总16页
故
b
a 32
1 的最小值为4. 12分 考点：1线性规划；2基本不等式。