流体力学：6-粘性流体流动

div 0
t
x t
x
x x
y
x y
z
x z
gx
1
x x
xy y
xz z
y t
x
y x
y
y y
z
y z
gy
1
yx x
y y
yz z
的、充分发展的等温层流，垂直管道轴 线方向没有流速
r 0
rR
0
z t
x
z x
y
z y
z
z z
gz
1
zx x
zy y
§4 相似和量纲分析
由于粘性流体微分方程的复杂性，纳维-斯托克斯 （Navier-Stokes）方程只在少数情况下有解析解，通常采 用建模型做实验的方法获得流动现象的信息，例如流速分布、 流型、压降等等。如果要得出精确的定量的实验结果，必须 满足一些相似定律。
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§4 相似和量纲分析 概念
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粘性伯努力方程
t
rot
grad
2
2
U
p
v
rotrot
rotrot grad
沿着流线或涡线的稳定流动
12
2g
h1
p1
g
2 2
2g
h2
p2
g
h12
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5.6 圆管中稳定不可压缩流动
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定常圆管层流
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定常圆管层流
1. 控制方程与边界条件 边界条件：流体为粘性不可压缩流体，流动是稳定
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§4 相似和量纲分析
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§4 相似和量纲分析 概念
定理内容：
在一个包含n个变量的量纲和谐的物理问题中：f 1,2 ,,m ,,n 0 若有m个基本量纲，则这些变量可以组成 n m 个独立的无量纲量满足：
f 1, 2 ,, nm 0
z z
2. 控制方程化简
0
gx
1
p x
0
gy
1
p y
H h p dH h2 h1 p2 p1 J
g dz L
gL
gJ 2 2 v x 2 y 2
x x
y y
z z
0
z
z z
0
gz
1
p v( 2z z x2
2z y 2
2z ) z 2
gz
dH dz
v
2 x2
x
x x
y
x y
z
x z
gx
1
x x
xy y
xz z
有流速
y0 yL
y t
x
y x
y
y y
z
y z
gy
1
yx x
y y
yz z
0 0
z t
x
z x
y
z y
z
z z
gz
1
zx x
zy y
z z
2. 控制方程化简
0
gx
1
p x
0
gy
1
p y
H h p dH h2 h1 p2 p1 J
h1
p1 g
Fra Baidu bibliotek
2 2
2g
h2
p2 g
h12
p12
8vL R2
d x dy
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定常平板平板层流
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定常圆管层流
1. 控制方程与边界条件
div 0 x y z 0
边界条件：流体为粘性不可压缩流体，流动是稳定
的、充分发展的等温层流，垂直方向没
t
x y z
x t
g dz L
gL
z
z z
0
gz
1
p z
v( 2z ) x 2
dH 2 gz dz v y2
0
1
p z
v(
2 z x 2
)
3. 微分方程求原函数
4. 流场分析
代边界条件
R
Q 2 rdr
0
Q R 2
max
p12 d x
dy
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5.4 相似理论和量纲分析
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5.1 广义牛顿内摩擦定律
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粘性流体本构关系提示
＝?
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粘性流体本构关系—广义牛顿内摩擦定律
＝
＋
＋
T pI 2S
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5.2 Navier-Stokes方程
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Navier-Stokes方程及一般流体方程组
N-S方程
d
g
1
div(T
)
g
1
div(
动力相似 指两个性质完全相同的几何相似流动中，所有时空相似点上受
力方向相同并且大小成比例。
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§4 相似和量纲分析 概念
量纲分析中常用到如下概念： （1）因次，是指一套用于描述物理量的单位制中相互独立的、不能 互换的基本单位；如长度单位：米，时间单位：秒都是基本单位。 （2）量纲，是指物理量的单位与基本单位之间的关系。一般地，常 用的基本因次有长度、质量、时间；其相应的单位是米、千克和秒。
几何相似 指一个流动系统的几何尺寸与另一个流动系统的几何尺寸对应成
线性比例。几何相似是两个物理过程相似的必要条件，但不是充分条件。
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§4 相似和量纲分析 概念
运动相似 指几何相似的两个流动系统，时空相似点上无量纲速度、加速度
等流动参数相等。运动相似的流场中对应流线是相似的。
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§4 相似和量纲分析 概念
2 y 2
(gz
1
p ) / v z
gJ v
1 r
d r dr
d dr
3. 微分方程求原函数
gJr 2 4v
K1 ln
r
K2
代边界条件 gJ R 2 r 2 4v
4. 流场分析
Q
2
R
rdr
gJR 4
0
8v
Q gJR2 max
R 2 8v
2
max
gJR 4v
12 2g
pI
div I
2S)
dt
质量方程
div 0
t
能量方程
d dt
2
2
g div
T div
q
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5.5 不可压缩粘性流体基本流动性质
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不可压缩粘性流体基本流动性质
粘性流体运动有三个基本性质： (1) 粘性流体运动的有旋性：在不可压缩粘性流体运动中，
除极个别的几个特殊情况外，运动都是有旋的，且涡量 一般在边界上产生；而对理想流体来说，若体积力有势 且流体是正压的，初始时刻运动无旋，则以后各时刻流 体运动都保持无旋；若体力无势，流体是斜压的，则理 想流体中可能产生涡流。 (2) 机械能的耗损性：由式(6.20)耗损函数的表达式可知，由 于粘性应力将一部分体积力和表面力所做的功不可逆地 以热能的形式耗损掉，因此粘性流体运动中总能量是减 少的。 (3) 涡旋的扩散性：由于流动边界处是生产涡旋的地方，涡 旋由强度大的地方向强度小的地方输送直至涡量相等为 止，也即涡旋由流动边界向内部扩散。
第六章 粘性流体流动
理想流体
自然界中的所有流体都是具有粘性的，粘度不为0的流体称 为粘性流体或者实际流体。但在有些研究中却要引入一种理想化 了的流体—没有粘性的流体，称为无粘流体或理想流体，尽管这 种流体实际上并不存在。
粘性流体
自然界中的各种流体都是粘性流体。由于流体中存在着粘性， 流体运动时要克服摩擦阻力，因此流体的一部分机械能将不可逆 地转化为热能，流动过程呈现出许多复杂现象。本章在介绍粘性 流体的基本运动规律。