spss主成分分析PCA

in cos
y1 cos sin x1 Ux y2 sin cos x2
U为旋转变换矩阵，它是正交矩阵，即有
U U1, UU I
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旋转变换的目的：为了使得n个样品点在Fl轴方向上的 离散程度最大，即Fl的方差最大。
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主成分分析得到的主成分与原始变量之间的关 系： 1、主成分保留了原始变量绝大多数信息。 2、主成分的个数大大少于原始变量的数目。 3、各个主成分之间互不相关。 4、每个主成分都是原始变量的线性组合。
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主成分分析的运用： 1、对一组内部相关的变量作简化的描述
2、用来削减回归分析或群集分析(Cluster)中 变量的数目
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5.2 数学模型与几何解释－几何解释
为了方便，我们在二维空间中讨论主成分的几 何意义： 设有n个样品，每个样品有两个观测变量xl和x2， 在由变量xl和x2 所确定的二维平面中，n个样本 点所散布的情况如椭圆状。由图可以看出这n个 样本点无论是沿着xl 轴方向或x2轴方向都具有 较大的离散性，其离散的程度可以分别用观测 变量xl 的方差和x2 的方差定量地表示。显然， 如果只考虑xl和x2 中的任何一个，那么包含在 原始数据中的经济信息将会有较大的损失。
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了解了主成分分析的基本思想、数学和几何意义后，问 题的关键：
1、如何进行主成分分析？（主成分分析的方法） 基于相关系数矩阵还是基于协方差矩阵做主成分分析。 当分析中所选择的变量具有不同的量纲，变量水平差异 很大，应该选择基于相关系数矩阵的主成分分析。 2、如何确定主成分个数？ 主成分分析的目的是简化变量，一般情况下主成分的个 数应该小于原始变量的个数。关于保留几个主成分，应 该权衡主成分个数和保留的信息。
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二、数学模型与几何解释－数学模型
假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我 们 把 这 p 个 指 标 看 作 p 个 随 机 变 量 ， 记 为 X1， X2，…，Xp， 主 成 分 分 析 就 是 要 把 这 p 个 指 标 的问题，转变为讨论p个指标的线性组合的问题， 而 这 些 新 的 指 标 F1，F2，…，Fk(k≤p）， 按 照 保留主要信息量的原则充分反映原指标的信息， 并且相互独立。
x 2
F 1
F2
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x 1
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平移、旋转坐标轴
x 2
F 1
F2 •••••••••
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x 1
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根据旋转变换的公式：

y1 y2

x1 cos x2 s x1 sin x2
(变量Fl代表了原始数据的绝大部分信息，在研究某问题 时，即使不考虑变量F2也无损大局)。经过上述旋转变 换原始数据的大部分信息集中到Fl轴上，对数据中包含 的信息起到了浓缩作用。
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Fl，F2除了可以对包含在Xl，X2中的信息起着浓 缩作用之外，还具有不相关的性质，这就使得
在研究复杂的问题时避免了信息重叠所带来的
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在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度，用三新变量 就取代了原17个变量。根据经济学知识，斯通给这三 个新变量分别命名为总收入F1、总收入变化率F2和经 济发展或衰退的趋势F3。
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主成分分析：将原来较多的指标简化为少数几个新的综 合指标的多元统计方法。
主成分：由原始指标综合形成的几个新指标。依据主成 分所含信息量的大小成为第一主成分，第二主成分等等。
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满足如下的条件：
1、每个主成分的系数平方和为1。即
2、主成分u12之i 间u22相i 互独立u2p，i 即1无重叠的信息。即 3、主Co成v（分F的i，方F差j）依 0次，递i 减，j，重i，要j性依1，次2递，减，，即p
F1、分F。2…V.aFrp（分F别1）称 为Va原r(变F2量) 的第一V、ar第(F二p )….第p个主成
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这种由讨论多个指标降为少数几个综合指 标的过程在数学上就叫做降维。主成分分 析通常的做法是，寻求原指标的线性组合
Fi。
F1 u11X1 u21X 2 u p1X p F2 u12 X1 u22 X 2 u p2 X p
Fp u1p X1 u2 p X 2 u pp X p
spss主成分分析PCA
zf
主成分分析的重点
1、掌握什么是主成分分析？ 2、理解主成分分析的基本思想和几何意义？ 3、理解主成分求解方法：协方差矩阵与相关系数矩阵
的差异？ 4、对结果进行正确分析
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5.1 主成分分析的基本思想
一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在 1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929一 1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出 的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯 公共支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。
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如果我们将xl 轴和x2轴先平移，再同时按逆时针方向 旋转角度，得到新坐标轴Fl和F2。Fl和F2是两个新变 量。
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平移、旋转坐标轴
x2
F1
F2
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Fra Baidu bibliotek
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x1
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平移、旋转坐标轴
虚假性。二维平面上的个点的方差大部分都归
结在Fl轴上，而F2轴上的方差很小。Fl和F2称为 原始变量x1和x2的综合变量。F简化了系统结构， 抓住了主要矛盾。
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由此可概括出主成分分析的几何意义：
主成分分析的过程也就是坐标旋转的过程，各主 成分表达式就是新坐标系与原坐标系的转换关 系，新坐标系中各坐标轴的方向就是原始数据 方差最大的方向。