第二讲 几何综合题的思维方式

图1-1
N
M
图1-2C
图1-3C
几何综合题的思维方式
1.已知等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边的中点，M 为直线BC 上
一动点，DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时，DMN 也随之整体移动）. (1) 如图1-1,当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？请直接写出结论，
不必证明或说明理由;
(2) 如图1-2，当点M 在BC 边上，其它条件不变时，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否依然
成立？若成立，请利用图1-2证明；若不成立，请说明理由；
(3) 若点M 在点C 右侧时，请你在图1-3中作出相应的图形（不写作法）,(1)结论中EN 与MF 的数
量关系是否仍然成立？请直接写出结论，不必证明或说明理由.
2.如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，2tan =B .
（1）求证：AD =AE ；
（2）如图2，点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF .
求证：AF EF DF 2=-；
（3）请你在图3中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作
EF ⊥DP 于点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.
图1
E
B
C
A
D
图3
B A D
图2
C
B A
F
P
（如图2）
C （如图3）
C
（如图1)
B
3.点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．
（1）若A B E ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且0
90=∠=∠FBC ABE (如图1)，则M B N ∆ 是 三角形．
（2）在ABE ∆和BCF ∆中，若BA=BE,BC=BF,且α=∠=∠FBC ABE ，（如图2），则
MBN ∆是 三角形，且=∠MBN .
（3）若将（2）中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
4.已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，
连接BM .
（1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与
BM 的数量关系为 ；
（2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成
立，说明理由.
图①
图②
5.请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，
P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=
，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC
的
值．
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及
PG
PC
的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到
的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<< ，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
PG
PC
的值（用含α的式子表示）．
练习. 已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，
连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． （1）求证：EG=CG ； （2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
D
A
B
E
F C
P
G
图1
D
C
G P A
B E
F
图2
D 图①
D 图②
图③。