圆锥曲线的极坐标方程

圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。

今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又
设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而
θ
ρρ
cos +=
=
p DP
OP e ，即θρcos 1e ep -=
椭圆（双曲线）的焦参数c
b p 2
=（极和极线的距离）
椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θ
ρcos 1e ep
-=
（如右图）
其中02
>=c
b p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。

当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。

引论:（1）若θρcos 1e ep
+=
当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点
的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。

当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。

（2）若θρsin 1e ep
-=
10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲
线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。

（3）1sin ep e ρθ=
+
当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。

整体对比：
θ
ρcos 1e ep -=
θ
ρcos 1e ep +=
θ
ρsin 1e ep
-=
θ
ρsin 1e ep +=
例题：
一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θ
ρcos 3510
-=
表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。

(2) 圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦MN 经过交点F ，
α
αααα2
2222
22222222cos 1cos 12cos 12cos sin 2e H e a b e a b b a ab -=-=-=-=
变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右焦点，引倾斜角为6
π
的直线，交双曲线与A ，B 两点，求AB . 解：
ρ=
,
1(,)6A πρ，2(,)6B π
ρπ+124AB ρρ=+=
利用弦长公式求常量问题：
例：过椭圆122
22=+b
y a x ()0>>b a 的左焦点F ，作倾斜角为︒60的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，求离
心率。

解：由题：
,2
1221e ep
e ep +=-解得：32=e 。

解法二：
变式：求过椭圆θρcos 32-=的左焦点，且倾斜角为4
π
的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。

解：3
3
8=
⋅FQ FP 解法一：直角坐标系下弦长公式
346)347(2421++=
+x x 3463
326021++=
x x
解法二：极坐标系下弦长公式
方的部分交于点A(
)32,3，l
AK⊥，垂足为K()32,1-，所以C
.3
4
AKF
选
△
∴
=
S
方法二：
例3 中心在原点的椭圆焦点F（3,0），右准线l的方程为12
=
x.
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同的点,
,
,
3
2
1
P
P
P使得
1
3
3
2
2
1
FP
P
FP
P
FP
P∠
=
∠
=
∠，
证明：
3
2
1
1
1
1
FP
FP
FP
+
+为定值，并求出此定值。

解：法一：
法二：
从而
)cos 9(21i
i FP α-= ()3,2,1=i ，解得⎪⎭⎫
⎝⎛+=i i
FP αcos 211921 因此
)]34cos 32cos (cos 213[92111⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+++παπαα 0=
故
3
2111321=++FP FP FP 为定值 例1 （06湖南文第21题）已知椭圆13
4:221=+y x C ，抛物线2C ()px m y 22
=-，)0(>p ，且21,C C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点。

（1）当x AB ⊥轴时，求m p ,的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （2）若3
4
=
p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程。

因为抛物线2C 的焦点F ),32
(m 在直线)1(tan -⋅=x y α上，∴αtan 31-=m ，从而3
6±
=m 当36=
m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ；当3
6-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x 例2（07全国文科22题）已知椭圆12
32
2=+y x 的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B,D 两点，过2F 的直线交椭圆于A,C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P.
（1）设P 点的坐标为),(00y x ，证明：12
32
020<+y
x .
（2）求四边形ABCD 的面积的最小值。

解：（1）证明：在12
32
2=+y x 中， 3=a ，2=b ，c=1.∵︒=∠9021PF F ,O 是21F F 的中点，∴OP =
12
121==c F F ，得12
020=+y x 。

∴点P 在圆12
2
=+y x 上。

显然，圆12
2
=+y x 在椭圆12
32
2=+y x 的内部。

故1232
02
0<+y x 。

（2）如图，设直线BD 的倾斜角为α，由AC ⊥BD 、可知，直线AC 的倾斜角为2
π
α+。

∴]4,2596[∈S 。

故四边形ABCD 的面积的最小值为25
96
例3 （08全国理21）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为21,l l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线BF 与FA 同向.
分别交21,l l 于AB 两点，已知OA ,AB ,OB 成等差数列，且（1）求双曲线的离心率；
（2）设AB 被双曲线所得的线段的长为4，求双曲线的方程。

解：（1）设双曲线的方程为122
22=-b
y a x ()0,0>>b a .
5
1
cos2=
θ。

通径H=b
又设直线AB与双曲线的交点为M，N.于是有4
cos
12
2
=
-
=
θ
e
H
MN。

即4
5
1
2
5
1
2
=
⨯
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
b
MN解得：b=2,从而6
=
a∴所求的双曲线方程为1
9
36
2
2
=
-
y
x。

练习：1.已知斜率为1的直线l过椭圆1
4
2
2
=
+x
y
的上焦点F交椭圆于A,B两点，则AB= .
2.过双曲线1
3
2
2=
-
y
x的左焦点F作为倾斜角
6
π
的直线l交双曲线A，B两点，则AB= .
3.已知椭圆0
2
22
2=
-
+y
x，过左焦点F作直线l交于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积。

解：1
2
2
2
=
+y
x
，2
=
a，b=c=1,左焦点F（-1,0），
离心率
2
2
=
e，通径2
=
H。

当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴，2
=
=H
AB，高1
=
=c
OF，
2
2
=
S。

当直线l的斜率存在时，设其倾斜角为α,则其方程为)1
(
tan+
⋅
=x
yα，即
0tan tan =+-⋅ααy x ，原点到直线AB 的距离为
2tan tan d αα
=
α
θθ
2
22
2
2sin 12
2cos 2212
cos 1+=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-=
e H
AB 所以△AOB 的面积α
α2sin 1sin 221+=⨯⨯=
d AB S ∵πα<<0，∴0sin >α，从而ααsin 2sin 12
>+. 所以2
2
sin sin 1
2≤
+=
αα
S ，当且仅当1sin =α时等号成立。

故△AOB 的最大面积为22.
4.已知抛物线px y 42
=（0>p ），弦AB 过焦点F ，设m AB =，△AOB 的面积为S ，求证：m
S 2
为定值。

5.（05全国卷文22）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12
2
2
=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共
线,MF 和FN 共线，PF 0=⋅MF ，求四边形PQMN 的面积的最值。

解：在椭圆12
2
2
=+y x 中，2=a ，b=c=1,MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （0,1），且MN ⊥PQ 。

如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角为2
π
α+。

通径2=H ，离心率22=
e 。

于是有α2cos 222-=MN ，α
2
sin 22
2-=PQ ， 四边形PQMN 的面积α
2sin 816
PQ MN 212
+=⋅=
S ∵),0[πα∈，∴]1,0[2sin 2
∈α，∴]2,9
16[∈S 。

6. （07重庆文22题）如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82
=的焦点F ，且与抛物线交于A,B 。

（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；
（2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明：α2cos FP FP -为定值，并求此定值。

解：（1）4=p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为（2,0），准线l 方程为2-=x 。

8. 已知双曲线的左右焦点21,F F 与椭圆15
22
=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线。

（1）求双曲线的方程；
（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A ，B ；C ，D 。

求四边形ABCD 的面积的最小值。

∴所求的双曲线的方程为13
2
2
=-y x。