圆锥曲线的极坐标方程

圆锥曲线的极坐标方程

圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。

今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又

设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而

θ

ρρ

cos +=

=

p DP

OP e ，即θρcos 1e ep -=

椭圆（双曲线）的焦参数c

b p 2

=（极和极线的距离）

椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θ

ρcos 1e ep

-=

（如右图）

其中02

>=c

b p 是定点F 到定直线的距离， 当10<e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。 引论:（1）若θρcos 1e ep

+=

当10<e 时，方程表示极点在左焦点

的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。 （2）若θρsin 1e ep

-=

10<e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲

线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。

（3）1sin ep e ρθ=

+

当10<e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。

整体对比：

θ

ρcos 1e ep -=

θ

ρcos 1e ep +=

θ

ρsin 1e ep

-=

θ

ρsin 1e ep +=

例题：

一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θ

ρcos 3510

-=

表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。

(2) 圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦MN 经过交点F ，

α

αααα2

2222

22222222cos 1cos 12cos 12cos sin 2e H e a b e a b b a ab -=-=-=-=

变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右焦点，引倾斜角为6

π

的直线，交双曲线与A ，B 两点，求AB . 解：

ρ=

,

1(,)6A πρ，2(,)6B π

ρπ+124AB ρρ=+=

利用弦长公式求常量问题：

例：过椭圆122

22=+b

y a x ()0>>b a 的左焦点F ，作倾斜角为︒60的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，求离

心率。 解：由题：

,2

1221e ep

e ep +=-解得：32=e 。 解法二：

变式：求过椭圆θρcos 32-=的左焦点，且倾斜角为4

π

的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。

解：3

3

8=

⋅FQ FP 解法一：直角坐标系下弦长公式

346)347(2421++=

+x x 3463

326021++=

x x

解法二：极坐标系下弦长公式

方的部分交于点A(

)32,3，l

AK⊥，垂足为K()32,1-，所以C

.3

4

AKF

选

△

∴

=

S

方法二：

例3 中心在原点的椭圆焦点F（3,0），右准线l的方程为12

=

x.

(1)求椭圆的方程；

(2)在椭圆上任取三个不同的点,

,

,

3

2

1

P

P

P使得

1

3

3

2

2

1

FP

P

FP

P

FP

P∠

=

∠

=

∠，

证明：

3

2

1

1

1

1

FP

FP

FP

+

+为定值，并求出此定值。

解：法一：

法二：

从而

)cos 9(21i

i FP α-= ()3,2,1=i ，解得⎪⎭⎫

⎝⎛+=i i

FP αcos 211921 因此

)]34cos 32cos (cos 213[92111⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

+

+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+++παπαα 0=

故

3

2111321=++FP FP FP 为定值 例1 （06湖南文第21题）已知椭圆13

4:221=+y x C ，抛物线2C ()px m y 22

=-，)0(>p ，且21,C C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点。

（1）当x AB ⊥轴时，求m p ,的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （2）若3

4

=

p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程。