圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程及其应用
分析 对于任意 Ｘ≥０，都有 ｆ（ｘ）≤０恒成立 兮 对于任
意 ｚ≥０，都有 ｌｎ（１＋ｚ）一
点开 口向左 的抛物线 、极点在左焦点 的双 曲线：
则 ｋ＝（ ）
（３）Ｐ： ＿ ！， 一 表示极点在下 焦点 的椭圆 、极点为焦
Ａ ． １
Ｂ ．
Ｃ．
Ｄ． ２
定 理 ４ 若 Ｆ （ｚ）、Ｆ （ ）、Ｆ （ ）在 【０，＋。。）都 有 意 恒成立，求 实数 的最小值 ．
义，Ｆ（ｏ）＝ ０，Ｆ ｘ）≤ ０，则 对 于 任 意 ≥ ０，都 有
≤０恒成立 兮 对于任
意 ≥０，都有 （１＋ｚ）Ｉｎ（１＋ ）一ｚ≤Ａｘ。恒成立 ．设 Ｆ（ｘ）＝
（１＋ ）ｌｎ（１＋ ）一ｘ（ｘ≥０），则 Ｆ（Ｏ）＝０，Ｆ ｘ）＝ ｌｎ（ｘ＋１），
（ ）
， ）
＜ ０， （０）＝ １，
Ｆ （０）＝ ，意识到先证 明：（１＋ ｚ）ｌｎ（１＋ｚ）一 ≤ ， 自然想 到构造 函数 Ｃ（ｘ）＝ （１＋ ）ｌｎ（１＋ ）一ｚ一 。．
表 示 极 点 在 上 焦 点 的 椭 圆 、极 点 为 焦
常常是设 出直 线方程，然后 与 圆锥 曲线方 程联立，或解 方程 点开 口向下 的抛物线 、极点在下焦点的双曲线．
组 ，或用 韦达定理或用 弦长公式 ，都会 带来 繁琐 的运算，致使
注 ｅ为圆锥曲线离心率，ｐ为焦点到相应准线 的距 离，ｐ
点开 口向右 的抛物线 、极点在右焦点的双 曲线；
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线是几何学中的重要曲线，它以同一个圆锥的多边形的几何图形表示某一曲线，由极坐标方程来定义。
一般来说，极坐标方程对于二次曲线是有效的，而对于圆锥曲线，它们也可以描述出圆锥曲线的准确形状。
圆锥曲线的极坐标方程定义如下：r=a/cos(Θ)，其中，r代表曲线的半径，a代表圆心到焦点的距离，Θ代表弧度。
简单来说，圆锥曲线的极坐标方程表示出曲线的圆心到焦点之间的距离，以及曲线经过某一点时，该曲线所弯曲角度的大小。
可以定义曲线形状：当a相同时，随着Θ的变化，距离圆心到焦点之间的关系呈现出一个固定形状，即曲线形状。
圆锥曲线是一种简洁的几何形状，同时它也是一种关联图形式。
一般地，它通常用于绘制球面和椭圆状的几何形状，它们的极坐标方程也十分的相同。
比如，绘制球面时，采用极坐标方程r=a/cos(Θ)，即可表示出曲线的形状，从而在平面图上描绘出球面。
同时，极坐标方程也可以用于绘制椭圆状的几何形状，采用极坐标方程r=a/sin(Θ)，从而在平面图上描绘出具有椭圆形状的几何图形。
另外，圆锥曲线的极坐标方程也可以用于表示正弦、余弦和正切函数，即它们的极坐标方程分别为：r=a sin(Θ)、r=a cos(Θ)和
r=a tan(Θ)。
此外，圆锥曲线的极坐标方程也可以应用于水动力学，用于描述
河流、湖泊等水体的变化。
和其他圆锥曲线应用类似，水体变化也可以表示为r=a/sin(Θ)或r=a/cos(Θ)，即以圆锥曲线的极坐标方程来描述河流、湖泊等水体的变化。
总的来说，圆锥曲线的极坐标方程是几何学中非常重要的概念，它可以用于描述球面、椭圆状几何图形，也可以用于正弦、余弦和正切函数及水动力学等领域。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线极坐标方程
圆锥曲线极坐标方程一、知识总结：1、标准形式：1cos epe ρθ=-，其中p 为焦准距（焦点到准线的距离），对于椭圆和双曲线2b p c=，对于抛物线就是那个p ，其实抛物线中p 也表示焦准距。
2、过程：取圆锥曲线的一个焦点（椭圆取左焦点，双曲线取右焦点，抛物线右焦点）为极点,极轴垂直于相应的准线,但与其不相交,建立极坐标系。
注意，该极坐标方程，仅表示双曲线的右支，如果允许0ρ<，则表示两支。
3、关于ρ的正负问题：通常情况下规定0ρ≥，首先，ρ是极径，是长度，小于0没意义，其次，当0ρ>，02θπ≤<时，除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系。
二、推广形式： 1、推广1：1cos epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在右焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向左的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在左焦点的抛物线。
2、推广2：1sin epe ρθ=-：1）当01e <<时，方程表示极点在下焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向上的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在上焦点的双曲线。
3、推广3：1sin epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在上焦点的椭圆；2）当1e =时，方程表示开口向下的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在下焦点的双曲线。
三、几点性质：1、当原点与极点重合，极轴与x 轴正半轴重合，单位长度相同时，对于圆锥曲线标准极坐标方程：1cos epe ρθ=-，与之对应的直角坐标方程为：1）当01e <<时，()22221x c y a b-+= ； 2）当1e =时，222p y p x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；3）当1e >时，()22221x c y a b+-= 。
2、记圆锥曲线的标准形式：1cos epe ρθ=-时：1）公式1：()()20a ρρπ=+；公式2：()()20c ρρπ=-；公式3：b =2）过圆锥曲线的标准极坐标方程易求得过焦点且倾斜角为θ的弦长AB ： 2221cos epAB e θ=-，特别地，对于抛物线，22sin p AB θ=. 四、焦半径公式：1、椭圆：已知(),P x y 在椭圆上，则：12,PF a ex PF a ex =+=-；2、双曲线：1）已知(),P x y 在双曲线右支上，则12,PF ex a PF ex a =+=-； 2）已知(),P x y 在双曲线左支上，则()()12,PF ex a PF ex a =-+=--； 综上，12,PF ex a PF ex a =+=-。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式good
圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A 、B 两点，求AB ｜｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 所以 又由得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
(三)圆锥曲线的极坐标方程
直线方程的极坐标形式
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
1、当直线l过极点，即0＝0时，直线l的方程 是什么？
2、当直线l过点M(b, )且平行于极轴时，直线的极 2 坐标方程是什么？ sin b
3、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程。 ρcosθ=a
圆锥曲线的极坐标形式
则有 表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)
y
F
x
再见
5 B 3、椭圆 的长轴长是____ 3 2 cos
A 3 B 6 C 9 D 12
另解：
O
x
极坐标小结
M ( , )
O
x
设M是平面内一点，极点O与点M的距离 OM 叫做点M的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的xOM叫做点 M的极角，记为。有序数对( , )叫做点 M的极坐标，记做M ( , )
三种圆锥曲线的统一定义为：
平面内，到一个定点（焦点F）和一条定直线 （准线L)的距离之比等于常数（离心率e）的点的轨迹。 若设定点F到定直线L的距离为p，则可求到定点F和定 直线L的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程: 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
的值，使|MN|等于短轴长．
解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系
椭圆的极坐标方程为 设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则
练习3
2 曲线 = 的一条准线方程是 cos 1, 3-2cos 其另一条准线方程是：
圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析
圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析极坐标方程与参数方程是圆锥曲线的两种常用表示形式。
在研究圆锥曲线时，利用这两种方程形式可以更加直观地描述曲线的特征与性质。
本文将详细介绍圆锥曲线的极坐标方程和参数方程的解析过程，并通过具体的例子来进一步说明。
一、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程可以用极坐标系中的极径r和极角θ来表示。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程的一般形式如下：r = f(θ)其中，函数f(θ)代表了曲线的性质与形状，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而异。
以下是几种常见的圆锥曲线的极坐标方程及其解析过程：（一）圆的极坐标方程圆是一种特殊的圆锥曲线，其极坐标方程可以表示为：r = a其中，a代表圆的半径。
（二）椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程形式如下：r = a(1 - ε²) / (1 - εcosθ)其中，a代表椭圆的半长轴长度，ε代表椭圆的离心率。
（三）双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程可以写为：r = a(1 + εcosθ) / (1 - εcosθ)其中，a代表双曲线的焦距，ε代表双曲线的离心率。
（四）抛物线的极坐标方程抛物线的极坐标方程可以表示为：r = a / (1 + cosθ)其中，a代表抛物线的焦点到准线的距离。
通过以上例子可以看出，圆锥曲线的极坐标方程形式多样，每一种形式代表了不同的曲线类型和特征。
研究圆锥曲线时，可以根据需要选择不同的极坐标方程进行分析。
二、圆锥曲线的参数方程除了极坐标方程外，参数方程也是描述圆锥曲线常用的一种形式。
在参数方程中，圆锥曲线的坐标可以通过参数t的取值得到。
一般来说，圆锥曲线的参数方程具有以下形式：x = f(t)y = g(t)其中，函数f(t)和g(t)分别表示曲线的x坐标与y坐标，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而定。
以下是几种常见圆锥曲线的参数方程及其解析过程：（一）圆的参数方程圆的参数方程可以表示为：x = acos(t)y = asin(t)其中，a代表圆的半径，t取值范围通常为0到2π。
圆锥曲线的极坐标方程与直角坐标方程的转换方法剖析
圆锥曲线的极坐标方程与直角坐标方程的转换方法剖析在数学领域中，圆锥曲线是一类经典的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们可以通过极坐标方程和直角坐标方程相互转换。
本文将对圆锥曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转换方法进行剖析。
一、圆锥曲线的极坐标方程在极坐标系中，一个点的位置是由其到极点的距离r和与极轴正方向的夹角θ所确定。
对于圆锥曲线，其极坐标方程可以表示为：1. 圆的极坐标方程：r = a其中a为圆的半径，表示从极点到圆心的距离。
2. 椭圆的极坐标方程：r = a(1−ε²)/(1−εcosθ)其中a为椭圆的半径，ε为偏心率，取值范围是0<ε<1，表示离心率。
该方程描述了极坐标系中椭圆的形状。
3. 双曲线的极坐标方程：r = a(1+εcosθ)其中a为双曲线的半径，ε为偏心率，取值范围是ε>1，描述了极坐标系中双曲线的形状。
4. 抛物线的极坐标方程：r = a/(1+cosθ)其中a为抛物线的焦距，描述了极坐标系中抛物线的形状。
通过以上极坐标方程，可以在极坐标系下方便地描述圆锥曲线的形状。
二、圆锥曲线的直角坐标方程直角坐标系是我们日常常用的坐标系，其中一个点的位置是由其在x轴和y轴上的坐标确定。
圆锥曲线的直角坐标方程可以表示为：1. 圆的直角坐标方程：(x−h)²+(y−k)² = a²其中(h, k)为圆心的坐标，a为半径。
2. 椭圆的直角坐标方程：(x−h)²/a²+(y−k)²/b² = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为x轴和y轴的半长轴。
3. 双曲线的直角坐标方程：(x−h)²/a²−(y−k)²/b² = 1其中(h, k)为双曲线的中心坐标，a和b分别为实轴和虚轴的半长轴。
4. 抛物线的直角坐标方程：(x−h)² = 4a(y−k)其中(h, k)为抛物线的焦点坐标，a为焦距的一半。
圆锥曲线极坐标方程
数学运用
例1、2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五 号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的 返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点 的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点 （离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km， 然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取 6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的 极坐标方程。
练习1
3 1、 已知抛物线的极坐标方程为 = ,则 1- cos 抛物线的准线的极坐标方程为：
cos 3
9 2、椭圆的长轴长为 10，短轴长为 6，
则椭圆的极坐标方程为：
=
5-4 cos
3、双曲线的实轴长为2 5，焦点到准线的
4 5 距离为4，则双曲线的极坐标方程为： 1 5 cos
在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的 几何定义，求出曲线的极坐标方程． 设到定点F到定直线l的距离为p，求到定 点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹 的极坐标方程。
F l
ep 对圆锥曲线的统一极坐标方程 = ， 1 e cos
请思考讨论并深入了解下述几个要点： 1、该方程是以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点建 立的，若以双曲线的左焦点和椭圆的右焦点建立极 坐标系，它们的统一方程什么？ ep = 1 e cos 2、统一方程中的p、e分别是什么？ p表示焦准距；e表示离心率。
1517日我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全准确的返回地球它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆椭圆的近地点离地面最近的点和远地点离地面最远的点距离地面分别为200km然后进入距地面约343km的圆形轨道
常用曲线的极坐标方程 ----圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程是一种用极坐标表示的曲线形式。
它是由一条椭圆和一条圆组成，它们之间有一个共同点，就是这一点处曲线可以分成左右两部分，而这一点也是圆锥曲线的焦点。
圆锥曲线的极坐标方程可以用如下的公式表示：
r = a*secθ
其中，a 为椭圆的长轴，θ 为极坐标里的角度，r 为曲线上每一点的半径。
圆锥曲线的极坐标方程的特点是，它的图形可以从椭圆和圆的并集看出来，它的性质可以从极坐标中的变量及其依赖关系看出来。
圆锥曲线的极坐标方程是数学中一类相对简单的曲线形式，它在计算中有着重要的作用，比如可以用它来表示二次抛物线、双曲线、等等。
圆锥曲线的极坐标方程是一种通用的曲线形式，它在计算中有着广泛的应用，比如在空间几何中，可以用它来表示某一个曲面，而在天文学中，则可以用它来表示某一个星系的形状等。
圆锥曲线的极坐标方程的优点是，它能够将一个数学问题转化成一种更加容易理解的形式，并且它的计算比较简单，从而大大简化了计算的过程。
总的来说，圆锥曲线的极坐标方程是一种比较常用的曲线形式，它在数学计算中有着重要的应用，而且因为它的简单性，所以比较容易理解和计算。
数学圆锥曲线二级结论
数学圆锥曲线二级结论
数学圆锥曲线的二级结论主要包括以下几个内容：
1. 曲线相关定理：包括焦点、准线、直角等定理。
例如，椭圆的焦点定理指出，椭圆上任意一点到焦点的距离之和是一个定值。
2. 极坐标方程：用极坐标方程表示圆锥曲线。
例如，椭圆的极坐标方程为$r = \frac{p}{1-e\cdot\cos\theta}$，其中$r$为极径，$p$为半焦距，$e$为离心率。
3. 集中思路：圆锥曲线的性质与方程的意义。
例如，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$为横轴
半径，$b$为纵轴半径。
根据这个方程可以得到双曲线的离心
率$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，并且根据离心率可以确定双
曲线的形状。
4. 曲线的性质：包括切线、法线、渐近线、对称性等。
例如，椭圆的切线与法线切点形成的角度为直角；双曲线的两支曲线的渐近线方程为$y=\frac{\pm b}{a}x$。
5. 常见问题：周长、面积、焦距、离心率等计算问题。
例如，椭圆的面积为$S=\pi a b$，焦距为$f=\sqrt{a^2-b^2}$。
总的来说，数学圆锥曲线二级结论是指对圆锥曲线的进一步研究，包括基本定理的推导、曲线的性质和相关问题的解答等。
这些二级结论可以帮助我们更深入地理解和运用圆锥曲线。
圆锥曲线的极坐标方程 焦半径公式 焦点弦公式
椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为
ρ = ep . 1 − e cosθ
其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞0 ．
当 0 e 1 时，方程表示椭圆
当 e＞1 时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允
许ρ 0，方程就表示整个 曲线
当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.
二、圆锥曲线的焦半径公式
推论 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，则有 1 + 1 = 2 . MF NF ep
、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 过焦点 F，
1、椭圆中， p = a 2 − c = b2 ， MN = ep +
ep
= 2ab2 .
c
c
1− ecosθ 1− ecos(π −θ) a2 − c2 cos2 θ
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
湖北省天门中学 薛德斌
一、圆锥曲线的极坐标方程
椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定
直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相
应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．
3、抛物线中， MN = p +
p
= 2p .
1 − cosθ 1 − cos(π − θ ) sin 2 θ
四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P x,y 是圆锥曲线 的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 = a + ex ，、 F2 分别是 曲线的左、右焦点，
设 F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线 的右支、抛物线) 任一点，则
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、 曲线、抛物线可以统一定义为 一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K，以FK 的 向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、 曲线、抛物线统一的极坐标方程为 θρcos 1e ep −=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p＞0 ．当0 e 1时，方程表示椭圆当e＞1时，方程表示 曲线，若ρ＞0，方程只表示 曲线右支，若允许ρ 0，方程就表示整个 曲线当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.二、圆锥曲线的焦半径公式设F 为椭圆的左焦点( 曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆( 曲线的右支、抛物线) 任一点，则 PQ e PF =， )cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ x 轴，FP 焦半径θcos 1e ep PF −=． 当P 在 曲线的左支 时，θcos 1e ep PF +−=. 推论 若圆锥曲线的弦MN 过焦点F，则有epNF MF 211=+.、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN 过焦点F， 1、椭圆中，cb c c a p 22=−=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−=. 2、 曲线中，若M、N 在 曲线同一支 ，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN −=−−+−= 若M、N 在 曲线 同支 ，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN −=−−+−=θθθ. 3、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =−−+−=. 四、直角坐标系中的焦半径公式设P x,y 是圆锥曲线 的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF −=22、若1F 、2F 分别是 曲线的左、右焦点，当点P 在 曲线右支 时，a ex PF +=1，a ex PF −=2 当点P 在 曲线左支 时，ex a PF −−=1，ex a PF −=23、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.。
圆锥曲线极坐标方程
圆锥曲线极坐标方程
圆锥曲线极坐标方程是一种很实用的数学工具，它可以帮助我们快速地对一个
特定曲线的形状进行描述。
圆锥曲线极坐标方程是一种利用极坐标来定义曲线的几何方程，它的一般形式是r = f (θ)，其中“r”是曲线上任意一点到原点的距离，“θ”是从曲线上任意一点到原点的直线与X轴正半轴之间的夹角，而“f”就是
只有角度θ一个变量的某种函数。
圆锥曲线极坐标方程是由多个椭圆组成的，称之为椭圆极坐标系。
椭圆极坐标
系是由椭圆的两个焦点的位置及椭圆的一部分定义的，其中一部分被称为圆锥曲线、极形曲线或极线。
圆锥曲线极坐标方程由两个参数α和β构成，当α和β的值改变时，相应的曲线形状也会发生不同的变化。
圆锥曲线极坐标方程可以用来表示电力线、太阳能系统、气象系统等外部环境
与人们日常生活紧密相连的系统。
它也可以用来表示社会资源管理、财政、经济方面的投资决策，解决企业战略规划与实施、运营管理等重要问题。
这种用极坐标来描述曲线的几何模型虽然简单，但却可以有效地表达一种复杂
的现象，也可以提供有关形状的全面信息。
因此，圆锥曲线极坐标方程在实际应用中得到非常广泛的使用，其精确的数学模型可以帮助我们更加准确的捕捉客观现实的曲线特征，从而得到更好的解释与预测。
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圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。
今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。
引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。
（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。
（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。
整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。
(2) 圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过交点F ，ααααα2222222222222cos 1cos 12cos 12cos sin 2e H e a b e a b b a ab -=-=-=-=变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右焦点，引倾斜角为6π的直线，交双曲线与A ，B 两点，求AB . 解：ρ=,1(,)6A πρ，2(,)6B πρπ+124AB ρρ=+=利用弦长公式求常量问题：例：过椭圆12222=+by a x ()0>>b a 的左焦点F ，作倾斜角为︒60的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，求离心率。
解：由题：,21221e epe ep +=-解得：32=e 。
解法二：变式：求过椭圆θρcos 32-=的左焦点，且倾斜角为4π的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。
解：338=⋅FQ FP 解法一：直角坐标系下弦长公式346)347(2421++=+x x 3463326021++=x x解法二：极坐标系下弦长公式方的部分交于点A()32,3，lAK⊥，垂足为K()32,1-，所以C.34AKF选△∴=S方法二：例3 中心在原点的椭圆焦点F（3,0），右准线l的方程为12=x.(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同的点,,,321PPP使得133221FPPFPPFPP∠=∠=∠，证明：321111FPFPFP++为定值，并求出此定值。
解：法一：法二：从而)cos 9(21ii FP α-= ()3,2,1=i ，解得⎪⎭⎫⎝⎛+=i iFP αcos 211921 因此)]34cos 32cos (cos 213[92111⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++παπαα 0=故32111321=++FP FP FP 为定值 例1 （06湖南文第21题）已知椭圆134:221=+y x C ，抛物线2C ()px m y 22=-，)0(>p ，且21,C C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点。
（1）当x AB ⊥轴时，求m p ,的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （2）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程。
因为抛物线2C 的焦点F ),32(m 在直线)1(tan -⋅=x y α上，∴αtan 31-=m ，从而36±=m 当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ；当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x 例2（07全国文科22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B,D 两点，过2F 的直线交椭圆于A,C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P.（1）设P 点的坐标为),(00y x ，证明：1232020<+yx .（2）求四边形ABCD 的面积的最小值。
解：（1）证明：在12322=+y x 中， 3=a ，2=b ，c=1.∵︒=∠9021PF F ,O 是21F F 的中点，∴OP =12121==c F F ，得12020=+y x 。
∴点P 在圆122=+y x 上。
显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部。
故1232020<+y x 。
（2）如图，设直线BD 的倾斜角为α，由AC ⊥BD 、可知，直线AC 的倾斜角为2πα+。
∴]4,2596[∈S 。
故四边形ABCD 的面积的最小值为2596例3 （08全国理21）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为21,l l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线BF 与FA 同向.分别交21,l l 于AB 两点，已知OA ,AB ,OB 成等差数列，且（1）求双曲线的离心率；（2）设AB 被双曲线所得的线段的长为4，求双曲线的方程。
解：（1）设双曲线的方程为12222=-by a x ()0,0>>b a .51cos2=θ。
通径H=b又设直线AB与双曲线的交点为M，N.于是有4cos122=-=θeHMN。
即4512512=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=bMN解得：b=2,从而6=a∴所求的双曲线方程为193622=-yx。
练习：1.已知斜率为1的直线l过椭圆1422=+xy的上焦点F交椭圆于A,B两点，则AB= .2.过双曲线1322=-yx的左焦点F作为倾斜角6π的直线l交双曲线A，B两点，则AB= .3.已知椭圆02222=-+yx，过左焦点F作直线l交于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积。
解：1222=+yx，2=a，b=c=1,左焦点F（-1,0），离心率22=e，通径2=H。
当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴，2==HAB，高1==cOF，22=S。
当直线l的斜率存在时，设其倾斜角为α,则其方程为)1(tan+⋅=xyα，即0tan tan =+-⋅ααy x ，原点到直线AB 的距离为2tan tan d αα=αθθ22222sin 122cos 2212cos 1+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=e HAB 所以△AOB 的面积αα2sin 1sin 221+=⨯⨯=d AB S ∵πα<<0，∴0sin >α，从而ααsin 2sin 12>+. 所以22sin sin 12≤+=ααS ，当且仅当1sin =α时等号成立。
故△AOB 的最大面积为22.4.已知抛物线px y 42=（0>p ），弦AB 过焦点F ，设m AB =，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值。
5.（05全国卷文22）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点，已知PF 与FQ 共线,MF 和FN 共线，PF 0=⋅MF ，求四边形PQMN 的面积的最值。
解：在椭圆1222=+y x 中，2=a ，b=c=1,MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （0,1），且MN ⊥PQ 。
如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角为2πα+。
通径2=H ，离心率22=e 。
于是有α2cos 222-=MN ，α2sin 222-=PQ ， 四边形PQMN 的面积α2sin 816PQ MN 212+=⋅=S ∵),0[πα∈，∴]1,0[2sin 2∈α，∴]2,916[∈S 。
6. （07重庆文22题）如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A,B 。
（1）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（2）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明：α2cos FP FP -为定值，并求此定值。
解：（1）4=p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为（2,0），准线l 方程为2-=x 。
8. 已知双曲线的左右焦点21,F F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线。
（1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A ，B ；C ，D 。
求四边形ABCD 的面积的最小值。
∴所求的双曲线的方程为1322=-y x。