西南财经大学天府学院微积分期末试题答案
西南财经大学天府学院09级期末测试题
考试科目： 概率与数理统计 本一、单项选择（5*4=20分）1、设X 服从标准正态分布N （0,1），则D （X+3）=（ ） A. 0 B.1 C.3 D.9分布律为：的元），统计表明，他们案的净利润（单位：万分别表示甲、乙投资方、分）二、（估计的无偏）为（的一个样本，下列各项为，，设总体）（）（）（）），则有（（，分布函数为的分布律为离散随机变量，，，已知）是统计量（下列四项中，哪一个不为未知，为已知，的一个样本，其中是来自总体，，设Y X X X D XX X C X B X X X A X X X X N X F D F C F B A x F X D C B A B A P A B P B P A P X X X D X X C XX X B X A N X X X 105.0.3321.2.32..321),2,((.57.02.8.02.12.7.0.3.01.0210.48.0.7.0.6.0.5.0.)()(8.06.0)(5.0)(.3)(21..3321.1.2)2,(321.232232123222132+++-+Θ====⎪⎪⎭⎫⎝⎛====++-+++μσμαασμσμσμ请选用适当的指标（即随机变量的数字特征），比较甲乙哪个方案更好？ 三、（20分）假定创新科技产品产量与成本的资料如下表所示：创新科技产品产量与成本的资料表月份123456X 50 20 -100Y 60 10 -80 P 0.6 0.3 0.1P0.5 0.4 0.1产量x （千件） 2 2.5 3 5 4 4 单位成本Y （元/件） 757372686970对其进行回归分析结果如下：Coefficients 标准误差 T Stat P-value Intercept 79.10067114 0.832931603 94.96658653 7.37135 X V ariable 1 -2.322147650.2336496-9.938590320.000575565根据上述结果：1) 确定单位成本Y 对产量x 的回归方程；（小数点后保留两位有效数字） 2) 判断线性回归效果的显著性，并给出理由； 3) 产量为8千件时，预测相应的单位成本。
《微积分》课程期末考试试卷(B)及参考答案
二.
单项选择题 （每题 2 分，共 12 分） 2. A 3. B 4. A 5. C 6C .
1. B 三. 1. 2.
求偏导数 （每题 6 分，共 24 分）
z 1 z 1 ; （6 分） ； x x y y z x 2z x 2y ln x y (6分) （3 分） ； 2 x x y x ( x y) 2 y x2 y2
六、求方程 y
y 1 的通解.（6 分） x
七、判别级数 2 n sin
n 1
33
的收敛性.（6 分）
《微积分》课程期末考试试卷（B）参考答案 一. 填空题. （每题 3 分，共 36 分） 1. x y 2 x y 2 2. 0 3. 2 4. 1 5. 1,1,2 6. x, y x y 2 0 7. 1 8. 2 9. e xy y 2 xy dx e xy x x 2 dy 10. 1 11. 发散 12. 10
1 1 ，则 f ( ,0) ______. cos xy 2
3. y '' ( y ' ) 3 2 xy 是______阶微分方程. 4. 方程 F ( x, y, y ' ) 0 的通解中含______个任意常数. 5. 点 (1,1,2) 关于 xoy 平面的对称点是______. 6. 函数 Z lnx y 2 的定义域是______. 7. 设 f ( x, y ) x 2 y 2 ，则 f x1 2,0 ______. 8. 设 f x, y x 2 y 2 ，则 f y1 1,1 ______. 9. 设 Z e xy yx 2 ，则 dz ______. 10. 11. 12. 设积分区域 D : 1 x 2,2 y 3 ，则 d ______.
经济数学--微积分期末测试及答案(A)
经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( A )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1.函数()f x =Ａ）； ()(1,1)(1,)()(1,)()(1,)()(1,1)A B C D -+∞-+∞+∞-2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（Ａ）；33()()()()A y B x C y x D x y ===-=-3.函数214y x=-的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）；32()()()()()()()()()A y f x B y x f x C y f x f x D y f x =--==+-=5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（Ｂ）()sin ()sin ()tan ()ln(1)A xB x xC xD x ++6.若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点7.当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；1sin 11()()sin()()tan 1xxA B x C D x xxe +8.极限0limln x →＝（C ）；()1()0()1()A B C D -不存在9.设函数()f x 在区间（１，２）内有二阶导数，且()()0xf x f x '''+>，若在（１，２）内()0f x '<,则函数()f x '在区间（１，２）内 （C ）()A 单调不增 ()B 单调不减 ()C 单调增加 ()D 单调减少10.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（D ）；2221()()()(3)()2A x B C x D x x +-11.若函数()f x 在点0x 处可导，则极限000(3)()lim2x xf x x f x x x→+∆--∆∆＝（D ）；00001()4()()3()()()()2()2A f xB f xC f xD f x ''''12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）；11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13.若ln xy x =，则dy ＝（Ｄ）； 222ln 11ln ln 11ln ()()()()x xx xA B C dx D dx x x xx----14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）．2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分）1. arccos y x x =，求y '解：122(arccos )[(1)]arccos arccos y x x x x x '''=--=+=2. 求2(cos sin 32)xx x x e dx -+++⎰６分７分解：原式＝3sin cos 2xx x x e x c +++++（其中c 是任意常数）3. 求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得4100599151000y x y x y y ''-++=，将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 求极限011lim()1x x x e →-- 解：原式＝000111lim()lim lim (1)12xxx x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---===--+++5. 设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==6. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x xx -'''''====±++令得７分５分 ２分５分７分３分６分７分３分６分 ７分0000列表讨论如下：7.求dx⎰1131222231221122112[(21)(21)(21)(21)][(21)(21)] 4431(21)(21)2dx dxx d x x d x x x c x x c-==+=+++++++++ ++++⎰⎰⎰⎰⎰解：＝２１＝６8.已知2xxe是(2)f x的一个原函数，求()2xxf e dx-⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x xxux x xx xx x x xx xf x xe e xe e xx xf u e u f ex x x xf e dx e e dx e dx dex x xe e d e e cxe c x e c----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+ =-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三．应用题（本题10分）某厂生产一种化工产品，每年生产x吨的总成本为2()4100000C x x=+百元，该产品的需求函数为2100050.001x x p+=+（其中x是需求量，单位：吨；p是价格，单位：百元）；(1)该产品产量为多少时工厂的利润最大？最大利润是多少？(2)该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少？解：(1)2100050.001p x x=+-２分７分4分6分7分６分32()()0.0011000100000L x x p c x x x x =-=-++-令 2()0.003210000L x x x '=-++=得驻点1000x =(1000)40L ''=-< 且驻点唯一又32(1000)(0.0011000100000)9000001000L x x x x =-++-== （百元）故产量为1000吨时工厂利润最大，且最大利润为9000万元；(2) 因产品获得最大利润时,边际成本和边际收入相等，又(1000)8000C '= （百元／吨）故获得最大利润时,该产品的边际成本和边际收入均为８０００（百元／吨）．四.证明题（本题4分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）证明：0a =时，(0)0f = ()()()()f a b f b f a f b ∴+==+时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-<故有 ()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）２分４分3分８分10分6分。
大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)
大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号：----------------------------密封--------------------------一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞=，则级数1nn a∞=∑（ ）；A.一定收敛，其和为零B. 一定收敛，但和不一定为零C. 一定发散D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）；A. 623(, , )777B. 623(, , )777-C. 623( ,, )777--D. 623(, , )777--3、设32()x x y f t dt =⎰，则dy dx=（ ）；A. ()f xB. 32()()f x f x +C. 32()()f x f x -D.2323()2()x f x xf x -4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在C. 必为初等函数D. 不一定存在二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数11n n n ∞=+∑必定____________（填收敛或者发散）。
2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。
3、定积分121sin x xdx -=⎰__________ _。
4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2()lim ()x a f x g x →=__________。
三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 )1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ⎰2、( 本小题7分 )若()0)f x x x =>，求2'()f x dx ⎰。
西南财经大学高等数学期末考卷及解答
西南财经大学高等数学期末考卷及解答一、选择题（每题5分，共25分）A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + xC. f(x) = x^3D. f(x) = x^2 x2. 设函数f(x) = e^x，则f'(x)在x=0处的值为（）A. 0B. 1C. eD. e^23. 下列极限中，收敛的是（）A. lim(x→∞) (sin x / x)B. lim(x→0) (1 / x^2)C. lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)D. lim(x→∞) (x^3 e^x)4. 不定积分∫(1 / (x^2 + 1)) dx的结果是（）A. arctan x + CB. ln(x^2 + 1) + CC. 1 / x + CD. e^x + C5. 设函数f(x) = x^3 3x，则f''(x)的零点个数为（）A. 0C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共25分）1. 设函数f(x) = x^2 + 2x，则f'(x) = _______。
2. 设函数f(x) = e^x，则f''(x) = _______。
3. 不定积分∫(cos x) dx = _______ + C。
4. 定积分∫(从0到π/2) (sin x) dx = _______。
5. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) = _______。
三、计算题（每题10分，共30分）1. 求极限lim(x→0) (sin x / x)。
2. 求不定积分∫(x^2 + 1) / (x^2 + 2) dx。
3. 求定积分∫(从1到e) (1 / x) dx。
四、解答题（每题20分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f'(x)和f''(x)，并判断f(x)在x=0处的凹凸性。
2. 设函数g(x) = e^x，求g'(x)和g''(x)，并讨论g(x)的单调性和极值。
微积分(二)期末闭卷考试题(A
西南财经大学2006——2007学年第二学期（除统计、信息外）各专业本科2006级（1年级2学期）《微积分（二）》期末闭卷考试题（A ）一、填空题（共8个 题，每空2分，共20分）1. 二元函数ln()z y x =-+的定义域是=D ______________________;3. 设D 为1x y +≤, 则Ddxdy =⎰⎰______________________________;4. 若(,,)0F x y z =, 且''',,x y z F F F 都存在但不等于零, 则x y zy z x∂∂∂⋅⋅=∂∂∂__________; 5. 已知(cos )(sin )dz ay by x dx x x dy =+++, 且22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂, 则a =_____________, b =_____________;6. 更换二次积分的次序1(,)dx f x y dy =⎰______________________________;7. 若级数1n n u ∞=∑的部分和数列为2{}{}1n nS n =+, 则n u =________________, 1nn u∞==∑__________;8. 若x 为任意实数, 则3lim!n nn x n →∞=______________________; 二、选择题（共8个 题，每小题2分，共16分）1. 对于函数(,)f x y xy =, 原点(0,0) ( ) (A) 不是驻点; (B) 是驻点但非极值点; (C) 是驻点且为极大值点; (D) 是驻点且为极小值点.2. 函数(,)f x y =在点(0,0)处对x 的偏导数为 ( )(A) '(0,0)0x f =; (B) '(0,0)1x f =; (C) '(0,0)1x f =-; (D) '(0,0)x f 不存在. 3. 二元函数(,)f x y 在00()P x y 处两个偏导数存在, 则 ( ) (A) (,)f x y 在00()P x y 处连续; (B) (,)f x y 在00()P x y 处可微;(C) 000lim (,),lim (,)x x y y f x y f x y →→都存在; (D) 00lim (,)x x y y f x y →→存在.4. 设(,)f x y 是连续函数, 则0(,)axdx f x y dy =⎰⎰ ( )(A) 00(,)aydy f x y dx ⎰⎰; (B)0(,)aaydy f x y dx ⎰⎰;(C)(,)ayady f x y dx ⎰⎰; (D)(,)aady f x y dx ⎰⎰.5. 设y 是方程0cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰所确定的x 的函数, 则dydx= ( ) (A)c o s 1s i n x x -; (B) c o s s i n 1xx -;(C) c o s 1y x e +; (D) 0.6. 设)2sin(),(y x ey x f x+=-，则=)2,0("πxyf ( ) (A) 4-; (B) 2-; (C) 4; (D) 2. 7. 设a 为常数且0a >, 则级数21(1)nn a nn ∞=+-∑ ( ) (A) 发散; (B) 条件收敛; (C) 绝对收敛; (D) 收敛性与a 有关. 8. 给定两个正项级数1n n u ∞=∑及1n n v ∞=∑, 已知limnn nu v ρ→∞=, 当ρ=( )时, 不能判断这两个级数有相同的敛散性?(A) 0ρ=; (B) 12ρ=; (C) 1ρ=; (D) 2ρ=. 三、计算题（共6个 题，每小题8分，共48分）1.设函数z =求2222,z zx y∂∂∂∂.2. 设()y z xy xF x =+, 其中F 为可导函数, 求z z x y x y∂∂+∂∂; 3. 设()z f u =, 方程()()xyu u P t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数, 其中(),()f u u ϕ可微,'(),()P t u ϕ连续, 且'()1u ϕ≠, 求()()z zP y P x x y∂∂+∂∂. 4.计算二重积分1sin yx dy dx x⎰.5. 在极坐标系下计算二重积分22Dy dxdy x⎰⎰, 其中D 是222x y x +=所围成的平面区域. 6. 判别级数112(1)3n nn -∞=+-∑的敛散性. 四、应用题（10分）某工厂准备生产甲、乙两种产品, 已知甲、乙的产量分别为,x y 时, 总成本为22(,)400230.1(33)C x y x y x xy y =+++++(元)且售价分别为10元与9元.1. 两种产品各生产多少时, 该厂可获最大利润?2. 若由于设备的原因, 该厂的总产量最多达到100, 两种产品各生产多少时, 该厂可获最大利润?五、证明题（6分） 设级数21n n a ∞=∑收敛,则1(1)(0)nn λ∞=->∑绝对收敛.。
(精品)大学2022年期末考试题库(完整版含答案)3-微积分
（精品）大学2022年期末考试题库（完整版）微积分 知识要点一、单项选择1．函数4x f =)( B ）． A ．),(22- C ．)2,0( D ． ),(+∞22．当0→x 时，x x sin +2是关于x 的（ D ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量 2．='⎰dx x f 2)(（A ）．B ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． C x f ++)(ln 25．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-43．在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A ．2x e y -= B ．32x y =C ．211xy -=D ．xxy sin =4． 下列等式中正确的是（ D ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰ C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(5．由曲线21x y -=与直线x y =，y 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周生成的旋转体体积等于（ C ）． A ．dx x x 222021)(--⎰πB ．dx x x 222021)(⎰--πD ．dx x x ])([2222201--⎰π1．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ C ）．A ．无界奇函数B ．无界偶函数C ．有界奇函数D ．有界偶函数2．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ C ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量3．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()3(lim 000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2- D ．1-44． 下列命题中正确的是（ D ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x fD. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f5．=+'⎰dx x f 24)(（A ）．AB ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． C x f ++)(ln 21．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ C ）．A ．无界奇函数B ．无界偶函数C ．有界奇函数D ．有界偶函数2．设00=)(f ，10=')(f ，则=→x x f x 2)(lim 0（B ）．A ． 0 C ． 13．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ C ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量4．设x sin 是)(x f 一个原函数，则='⎰dx x f x )(（ A ）．A ．C x x x +-sin cosB ．C x x x +-sin cos C ．C x x x +-cos sinD ．C x x x +-cos sin5．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim000（ B ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-46． 下列命题中正确的是（ D ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x f D. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f7． 下列等式中正确的是（ D ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰ C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(8．=+'⎰dx x f 2)(（A ）．B ．C x f +441)(arctanC ．C x f ++)(ln 22D ． Cx f ++)(ln 2 9． 曲线x xe x f 2)(=在)1,2(--内（ B ）．A. 单减且凹B. 单减且凸C. 单增且凹D. 单增且凸10.在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ A ）． A ．2x e y -= B ．32x y =C ．211x y -= D ．xxy sin =二、判断题（每题3分，共30分）1．若k xx e x =-→201)(lim ，则=k 2． 答案：错2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0021x a x xe xf x , ,)(在点0=x 连续，则=a 1． 答案：错 3．微分方程y x e dxdy+=的通解是C e e y x =+- 答案：对4．曲线x xe y 2-=的拐点坐标是),(211e ． 答案：对5. 3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰ 答案：错6．设yxe z =，则=∂∂∂y x z2yxe y x y)(+-31． 答案：对7. 设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案：对8． 132 11(cos )2x x x dx -+=⎰． 答案：错9．更换积分次序，dy y x f dxdx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=1102),(),(． 答案：对10．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1． 答案：对1．若13lim(13)xx x e-→-=． 答案：对2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤-=10 20 3x axx x x e x f x ,tan sin ,cos )(在点0=x 连续，则0a =． 答案:错3．曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:错4．设)sin(2+=y x z ，则=∂∂∂yx z2)cos(2+y ． 答案:对5．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1 答案:对 6．3 1421sin 2()31x x x dx x -+=+⎰． 答案:错7．设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案:对8．若k xx e x =-→201)(lim ，则2k =. 答案:错9．微分方程y x e dxdy+=的通解是dx e dy e x y =-． 答案:对10. 曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e . 答案:对11. 若1lim()1n n n n e-→∞=-． 答案:对12. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤+=0 ,110,)(2x xx x x x a x f 在点0=x 连续，则1a =． 答案:错13. 设平面区域D 由直线x y =，1=y 与y 轴所围，则21Ddxdy =⎰⎰． 答案:对14. 曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e ． 答案:对15．13lim(13)xx x e-→-=答案:对 15. 设2y x e z +=，则=∂∂∂yx z 22x yye +． 答案:错16. 更换积分次序，dy y x f dx dx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=1012),(),(． 答案:对17. 3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰． 答案:错18. 微分方程y x y x '=-)(22的通解是222x e Cx y -=． 答案:对19. 曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:错三、解答题1．求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．.解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+' 此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(xx P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x xC dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y xdx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=2. 求极限.arctan lim2x tdt xx ⎰→ 解：.lim arctan lim arctan lim2121122002=+==→→→⎰x x x x tdt x x xx3.求曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程． 解： 方程)sin(xy e e y x =-两边同时对x 求导，可得))(cos(y x y xy y e e y x '+='⋅- 化简可得yx e xy x xy y e y +-='cos cos100000000=+-='e e y cos cos ),(故曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程为 )(010-=-x y即 x y =.1．设函数),(y x z z =由方程xyz z =sin 确定，求dz ．解：设xyz z z y x F -=sin ),,(,yz F x-='，,xz F y -=',cos xy z F z -=' xyz yz F F x zz x -=''-=∂∂cos ； xyz xzF F y z z y -=''-=∂∂cos ; 所以dy xyz xzdx xy z yz dz -+-=cos cos2．（本题7分）求微分方程x y xy =-'1的通解． 解：由题意知，,)(xx P 1-=x x Q =)(， 则)()())(()()()()(C x x C dx xe e C dx e x Q e y dx x dx x dxx P dxx P +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰----11所以原方程通解为：.Cx x y +=23．（本题8分）求函数x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值和最小值．解：求函数的一阶导数，得)()(3131311222x xxx f -=-='--因此x x x f 2332-=)(在),(21-内有不可导点01=x 和唯一的驻点12=x ， 比较下列值：044325111003>-==-==)( ,)( ,)( ,)(f f f f故x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值为,)(51=-f 最小值为00=)(f .4．（本题9分）计算.dx e x ⎰-1解：令,x t -=则,,tdt dx t x 22==且x 从10→时，t 从10-→.ee edt e te tde tdt e dx e tt tt t x 42122221110111-=--=-===------⎰⎰⎰⎰)()(7．（本题9分）计算dxdy y x D⎰⎰+22sin ，其中{}22224ππ≤+≤=y x y x D ),(．解：积分区域D 的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下 {}πππθθ220≤≤≤≤='r r D ,),(=+⎰⎰dxdy y x D22sin =⎰⎰'θdrd r r D sin ⎰⎰πππθ220rdr r d sin =.)cos (sin 2262ππππ-=-r r r三、解答题（共52分）1．求极限.limcos 2102x dte xt x ⎰-→解：.)sin (limlimcoscos ex x e x dt e xx xt x 2122221=-⋅-=-→-→⎰2．求曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程．解： 方程0=-+e e xy y 两边同时对x 求导，可得:0='+'+y e y x y y 化简可得yex yy +-='e e y 101110-=+-='),( 故曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程为：)0(11--=-x ey即 .exy -=13．设函数),(y x z z =由方程333a xyz z =-确定，求dz ．解：设333a xyz z z y x F --=),,(,yz F x3-='，,xz F y 3-=',xy z F z 332-=' xyz yz xy z yz F F x zz x -=---=''-=∂∂22333； xyz xzxy z xz F F y z z y -=---=''-=∂∂22333. 所以 )(xdy ydx xyz zdz +-=2.4．求微分方程xxx y y sin =+'满足初始条件1=)(πy 的特解． 解：由题意可知，所求微分方程变形为一阶非齐次线性微分方程，,)(xx P 1=,sin )(x xx Q =)cos ()sin ()sin ()sin ())((ln )()(C x xC xdx x C xdx x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx x dx x P dxx P +-=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰1111将初始条件1=)(πy 代入上式，得 1-=πC故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：)cos (x xy --=11π5．求函数1)(2+=x x x f 在]1,21[-的最大值和最小值．解：求函数的一阶导数，得22)1(2)(++='x x x x f 因此1)(2+=x x x f 在)1,21(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：21)1(,0)0(,21)21(===-f f f故1)(2+=x x x f 在]1,21[-上的最大值为,21)1()21(==-f f 最小值为.0)0(=f6．（本题9分）求dx x x ⎰-1023 .解：令x t 23-=，则232t x -=，.tdt dx -=0=x 时，3=t ；1=x 时，1=t ..5233102)3(21)(232331531331 42213210 -=-=-=--=-⎰⎰⎰t t dtt t dt t t dx x x7．计算D dxdy y yD其中,sin ⎰⎰由曲线x y x y ==,所围的闭区域. 解：积分区域为右图所示阴影部分，则 =⎰⎰dxdy y yD sin dyy y y dy y y y y dx y y dy y y ⎰⎰⎰⎰-=-==10 21 0 1 0 )sin (sin )(sin sin 21sin 1sin 1cos 1cos 1cos cos cos cos sin 10110101 01-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰y ydyy y y yyd ydy1．（本题5分）求极限.sin lim3xtdt t xx ⎰→解：=⎰→3sin limx tdt t xx .313sin lim 3sin lim020==→→x x x x x x x2．（本题7分）求曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程．解： 方程021=+-y y x sin 两边同时对x 求导，可得:0211='⋅+'-y y y cos 化简可得yy cos -='22202200=-='cos ),(y故曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程为：)(020-=-x y 即 .x y 2=3．（本题7分）设函数),(y x z z =由方程y x e xyz -=确定，求.dz解：设y x e xyz z y x F --=),,(,y x xe yz F --='，,y x y e xz F -+=',xy F z =' xz xz xy yz xyz xy yz e xy e yz F F x z y x y x z x -=-=-=--=''-=∂∂--；y yz z xy xyz xz xy e xz F F y z yx z y +-=+-=+-=''-=∂∂-. 则 dy yz yz dx x z xz dz +--=.4．（本题7分）求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+' 此方程为一阶非齐次线性微分方程. ,)(x x P 2=,)(21xx x Q -= )())(()()())((ln )()(C x x x C dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx x dx x P dx x P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222 将初始条件11=)(y 代入上式，得 23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为： 223121x x y +-=5．（本题8分）求函数)1ln(2+=x y 在]3,1[-的最大值和最小值． 解：求函数的一阶导数，得12)(2+='x x x f 因此)1ln(2+=x y 在)3,1(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：10ln )3(,0)0(,2ln )1(===-f f f ,故)1ln(2+=x y 在]3,1[-上的最大值为,10ln )3(=f 最小值为0)0(=f .6．（本题9分）求dx x x ⎰-23 0231. 解： 令,sin t x = 则.cos tdt dx =0=x 时，0=t ；23=x 时，3π=t . 2453221241)cos 3cos (cos )1(cos cos )sin (cos cos sin 1303302302303230 23=+-=-=-=-==-⎰⎰⎰⎰ππππt t t d t t d t tdt t t dx x x7．计算,⎰⎰D dxdy xy 其中D 由21x ≤+2y 4≤，x x y ,=轴所围 解：积分区域如下图所示，在极坐标系下，122=+y x 的方程化为1=r ， 422=+y x 的方程化为2=r ，由图可知，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤='40 ,21 ),(πθθr r D =⎰⎰D dxdy x y ⎰⎰''D dr rd θθtan ⎰⎰⋅=4021tan πθθrdr d .2ln 43cos ln 23cos cos 232cos sin 404021240=-=-=⋅=⎰⎰πππθθθθθθd r d。
西南财经大学天府学院试卷(A卷)
密 2009-2010-1学期西南财经大学天府学院试卷(A 卷)考试科目：数据结构_本年级 层次 教学班 姓名： 学号：1、本次考试为A 卷考试，考试时间120分钟。
2、请将答案依次写在专用 答题纸 上。
3、全卷共一部分，满分为100分。
一、单项选择题（共15题，每题2分，共计30分）1、算法指的是（ ）。
A 、计算机程序B 、解决问题的计算方法C 、排序算法D 、解决问题的有限运算序列2、若进栈序列为1、2、3、4、5，若允许出栈操作可以在任意可能的时刻进行，则以下不可能的出栈序列是（ ）。
A 、3、4、2、5、1B 、2、5、4、1、3C 、2、3、1、5、4D 、3、5、4、2、13、在一个长度为n 的顺序表中向第i 个元素(0<i<n+1)之前插入一个新元素时，需要向后移动（ ）个元素。
A 、n-iB 、n-i+1C 、n-i-1D 、i4、假定一个链表队列的队首和队尾指针分别用front 和rear 表示，每个结点的结构为：当出队时所进行的指针操作为（）A 、front = front –> nextB 、rear = rear –>nextC 、front –>next = rear ; rear = rear –>nextD 、front = front –>next ; front –>next = rear5、向一个栈顶指针为hs 的链栈中插入一个s 结点时，应执行（ ）。
A 、hs->next=s;B 、s->next=hs; hs=s;C 、s->next=hs->next; hs->next=s;D 、s->next=hs; hs=hs->next;6、对于顺序存储的有序表 {5，12，20，26，37，42，46，50，64}，若采用折半查找，则查找元素26的比较次数为（ ）。
A 、2B 、3C 、4D 、57、线索二叉树中，结点p 没有左子数的充要条件是（ ）。
经济数学-微积分期末测试及答案(B)
粳稻籼稻出米率-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以这样编写：1.1 概述在农产品中，稻米是世界上最重要的粮食之一，而稻米的品质和产量直接影响着人们的日常生活和粮食供应。
而在稻米的种类中，粳稻和籼稻是最常见的两种。
粳稻和籼稻在外观、生长环境、产量和食用特点等方面存在一定的差异。
对于稻米生产者和消费者来说，了解和掌握两种稻米的特点以及它们的出米率是至关重要的。
出米率是指稻米加工过程中，从稻谷中获得的高质量稻米的比例。
它是一种评价稻米加工质量的重要指标。
直观地说，出米率高意味着从同样数量的稻谷中可以获得更多的稻米。
而了解出米率的计算方法和影响因素，可以帮助稻米种植者和加工者更好地控制和提高出米率，从而达到优化资源利用和提高经济效益的目的。
本文将深入探讨粳稻和籼稻的特点，并介绍出米率的定义和计算方法。
同时，我们还将比较粳稻和籼稻的出米率，分析影响出米率的因素，并提供提高粳稻和籼稻出米率的相关方法。
希望读者通过阅读本文，能够对粳稻和籼稻的出米率有更深入的了解，同时为相关从业人员提供一些有益的参考和建议。
【1.2 文章结构】本文主要通过对粳稻和籼稻出米率的研究，探讨了两者的特点、出米率的定义和计算方法，以及影响粳稻和籼稻出米率的因素和提高出米率的方法。
具体结构如下：1. 引言1.1 概述在这一部分，我们将简要介绍粳稻和籼稻以及出米率的概念。
1.2 文章结构此处我们将详细介绍本文的整体结构，以便读者更好地理解文章的内容。
1.3 目的我们将阐明本文的研究目的，以及为什么粳稻和籼稻出米率的研究是重要的。
1.4 总结引言部分的最后，我们将对本章的内容进行一个简要的总结。
2. 正文2.1 粳稻的特点在这一部分，我们将探讨粳稻的生长环境、生长周期和产量等特点，并分析其与出米率的关系。
2.2 籼稻的特点在本节中，我们将介绍籼稻的生产特点，如生长环境、品质特点和适应能力，并分析其与出米率的关系。
2.3 出米率的定义和计算方法此部分将详细定义出米率的概念，并提供不同计算方法的说明，以便读者更好地理解出米率的计算过程。
微积分基础期末试题及答案
微积分基础期末试题及答案[注意：本文按照期末试题的格式进行排版]试题一：函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。
证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。
证明：根据 Rolle 定理，已知在 [a, b] 区间上连续且在 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0，那么一定存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。
试题二：设函数 y = f(x) 满足条件：f(x + 2) = 3f(x) + 5。
证明 f'(x) = f'(x + 2)。
证明：将 f(x + 2) = 3f(x) + 5 两边对 x 求导，得到 f'(x + 2) = 3f'(x)。
根据等式两边的对称性，可以推导得到 f'(x) = f'(x + 2)。
试题三：设函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 内具有二阶连续导数，且对任意的 x ∈(a, b)，有 f(x) > 0，f''(x) > 0。
证明 f'(x) 在 (a, b) 上严格单调递增。
证明：根据题设条件可知，对任意的 x ∈ (a, b)，f''(x) > 0，即 f'(x) 的导数处处大于 0。
根据导数的定义，说明 f(x) 在 (a, b) 上严格单调递增。
答案一：证明思路：利用介值定理和导数的定义进行推导。
由于 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，根据介值定理可知，对任意介于 f(a) 和 f(b) 之间的数值 c（c ≠ 0），存在ξ ∈ (a, b) 使得f(ξ) = c。
由于 f(a)= f(b) = 0，所以 c = 0。
即存在ξ ∈ (a, b)，使得f(ξ) = 0。
又因为 f(x) 在开区间 (a, b) 内可导，根据导数的定义，有f'(ξ) =lim┬(h→0)〖(f(ξ+h)-f(ξ))/h〗。
《微积分II》判断题 西南财经大学天府学院 考试原题
判断题下列各命题，如果正确，请在后面的括号内画“√”，如果错误，请在后面的括号内画“×”多元函数微分1．球心在（1,2,3），半径为4的球面方程为4)3()2()1(222=-+-+-z y x 。
（ ） 2．3=x 代表空间平行于x 轴的平面。
( )3．点集 })()(|),{(2020δ<-+-y y x x y x 为),(000y x P 的δ邻域。
（ ） 4．函数 )sin(122y x z +=定义域是}}0{,2|),{(22 +∈≠+=Z k k y x y x D π。
( )5．1sin lim50=→→xy xy x 。
( )6．设),(y x f z =当令kx y =时有3),(lim )1,1(),(=→kx x f kx x ，则()()3),(lim1,1,=→y x f y x 。
( )7．若),(),(lim 000y x f y x f y y x x =→→，则称),(y x f z =在),(00y x 点连续。
（ ）8．若),(lim 0y x f y y x x →→不存在。
则),(y x f z =在点),(00y x 间断。
（ ）9．若函数 ),(y x f z =在),(00y x 有定义，且),(lim 00y x f y y x x →→存在，则),(y x f z =在),(00y x 点连续。
( )10．有界闭区域D 上的二元函数),(y x f z =一定有最大值和最小值。
( )11．xy x f y x x f xz x y y x x ∆∆∆),(),(lim000000-+=∂∂→==。
（ ）12．3),(00=y x f x ，则曲线),(y x f z =在),(000y x P 处的法线斜率为31-。
( ) 13．若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f z =在),(000y x P 点连续。
微积分下学期末试卷及答案
微积分下期末试题一一、填空题每小题3分,共15分1、 已知22(,)y f x y x yx +=-,则=),(y x f ___2(1)1x y y -+__________.2、 已知, π=⎰∞+∞--dx ex 2则=⎰∞+--dx e x x213、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在 点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f __1______.5、以x e x C C y 321)(+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是 ____________________."6'0y y y -+= 二、选择题每小题3分,共15分6知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 C .A 1p >B 1p <C 12p <<D 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数 B .A 在原点无定义B 在原点二重极限不存在C 在原点有二重极限,但无定义D 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是 A.A 123I I I >> B213I I I >> C123I I I <<D213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解 D .A b ax y +=B xe b ax y 3)(+=C x e bx ax y 32)(+=D x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna D .A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 不定11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x=的函数为23,0x y y =>;且4=x 时,8=y ;于是)6()3(分分24882233837730(4)16(80)33128128(80)775127V y dy y dyy ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰12、求二重极限11lim22220-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x 3分2)11(lim 220=+++=→→y x y x 6分13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2.解：设(,,)zF x y z z e xy =+-,则x F y=-,y F x=- ,1zz F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++, 11y z z z F z x x y F e e ∂-=-=-=∂++ 3分222111(1)1(1)z z z zz z z ze y e z ye xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===-⎪∂∂∂++++⎝⎭6分14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. 3分故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为326分 15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182xyyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ 6分 16、计算二重积分22()Dxy dxdy+⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.解：22()Dx y dxdy +⎰⎰＝1320d r drπθ⎰⎰＝8π6分17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= 3分 ⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ 6分18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：=3分因为lim 11n n →∞==19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , 3分 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n xx x ,33<<-x . 6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略 解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--= 令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 3分0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C , 064802>-=-=B AC D ,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0万元,报纸广告费用25.1万元. 6分 四、证明题每小题5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, 3分 并由题设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n n nv u收敛; 6分微积分下期末试题二一、填空题每小题3分,共15分1、设)(y x f y x z -++=,且当0=y 时,2x z =,则=z ;答案2222x xy y y -++2、计算广义积分⎰+∞13x dx = ;答案12 3、设xye z =,则=)1,1(dz ;答案)(dy dx e +4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解. 答案xe bx ax 22)(+5、设14n n u ∞==∑,则11122n n n u ∞=⎛⎫-=⎪⎝⎭∑_________;答案1二、选择题每小题3分,共15分1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 A.0 C D.不存在2、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 A ;A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件; 3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是 D ;A.d d θπr r r4222-⎰⎰；B.204d rπθ⎰⎰；C、20d rπθ⎰⎰； D.442012d d θπr r r-⎰⎰4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1,xe y =2,x e y 23=,则其通解为 C ;A.xx e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C xx x -+-5、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n p 为任意实数 D A 、收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、无法判断三、计算题每小题6分,共60分1、求下列极限：00x y →→;解：0x y →→00x y →→= …3分1)112x y →→==+= …6分2、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积;解：421d x V xπ=⎰ …4分7.5π= …6分3、求由xyz e z=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂; 解：方程两边对x 求导得:x z xyyz x z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z x z xy e yz x z z …3分方程两边对y 求导得:y z xy xz y z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z y z xy e xz y z z …6分4、求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值;解：322(,)42f x y x x xy y =-+-,则2(,)382x f x y x x y=-+,(,)22y f x y x y=-,(,)68xx f x y x =-,(,)2xy f x y =,(,)2yy f x y =-，求驻点,解方程组23820220x x y x y ⎧-+=⎨-=⎩，，得)0,0(和(2,2). …2分对)0,0(有(0,0)80xx f =-<,(0,0)2xy f =,(0,0)2yy f =-,于是2120B AC -=-<,所以)0,0(是函数的极大值点,且(0,0)0f = …4分对(2,2)有(2,2)4xx f =,(2,2)2xy f =,(2,2)2yy f =-,于是2120B AC -=>, (2,2)不是函数的极值点;6、计算积分⎰⎰D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；解：221x x Dyy d dx dyx x σ=⎰⎰⎰⎰. (4)分213924xdx ==⎰ …6分7、已知连续函数)(x f 满足⎰+=xx x xf dt t f 0)(2)(,且0)1(=f ,求)(x f ;解：关系式两端关于x 求导得：1)(2)(2)(+'+=x f x x f x f 即x x f x x f 21)(21)(-=+' …2分这是关于f )(x 的一阶线性微分方程,其通解为：=1)(1-=+-x c c x x…5分又0)1(=f ,即01=-c ,故1=c ,所以11)(-=xx f …6分8、求解微分方程212y y y '-+''=0 ;解：令y p '=,则dp y pdy ''=,于是原方程可化为：221dp p p dy y +=- …3分即201dp p dy y +=-,其通解为22111(1)dy yp c e c y --⎰==- …5分21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12)1(=-故原方程通解为：2111c x c y +-= …6分9、求级数1n n ∞=的收敛区间; 解：令2t x =-,幂级数变形为1n n ∞=1lim 1n t n n n a R a →∞+===. …3分当1-=t 时,级数为0(1)nn ∞=-∑收敛；当1=t 时,级数为1n ∞=.故1n n ∞=)1,1[-=t I , (5)分那么1n n ∞=的收敛区间为[1,3)x I =. …6分10、 判定级数∑∞=⋅1!)2sin(n n n x 是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛;解：因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤ (2)分由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛1(1)!lim 01!n n n →∞+=, …4分从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …6分四、证明题每小题5分,共10分1、设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明级数1n ∞=也收敛;证：)(2111+++≤n n n n u u u u , …3分 而由已知∑++)(211n n u u 收敛,故由比较原则,∑+1n n u u 也收敛; …5分2、设)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明：因为22f f xy xz '-=∂∂, …2分222f f y f y z '+=∂∂ (4)分所以222212211y zyf yf f y f f f y y z y x z x =='++'-=∂∂+∂∂. …5分微积分下期末试题三一、填空题每小题3分,共15分1、设()z x y f y x =++-,且当0x =时,2z y =,则=z ;答案2222x xy x y -++2、计算广义积分21dxx +∞⎰= ;答案13、设)1ln(22y x z ++=,则(1,2)dz=;答案1233dx dy +4、微分方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有 形式的特解.xe bx ax 323)(+ 5、级数∑∞=+1913n nn 的和为 ;答案58二、选择题每小题3分,共15分1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 BA 、0B 、3C 、2D 、不存在2、),(y x f x 和),(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 BA.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件; 3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面224x y +=所围的体积是 BA. 240d rπθ⎰⎰；B.2204d rπθ⎰⎰；C、20d rπθ⎰⎰；D.204d rπθ⎰⎰4、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =,x e y =2,x e y 23=,则其通解为 D A 、22212()()x x x C e e C e x -+-； B 、22123x xC x C e C e ++；C 、2212x xx C e C e ++； D 、)()(22212xx x e x C e e C x -+-+ 5、无穷级数121(1)n pn n -∞=-∑p 为任意实数 A A 、无法判断 B 、绝对收敛 C 、收敛 D 、发散 三、计算题每小题6分,共60分1、求下列极限：00x y →→;解：0000x x y y →→→→=…3分0011224x y →→-===-+ …6分2、求由在区间]2,0[π上,曲线x y sin =与直线2π=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积;解：220sin d x V x xππ=⎰ …4分214π= …6分3、求由xy xyz z=-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂;解：一令=),,(z y x F xy xyz z--e 则 y yz x F --=∂∂, x xz y F --=∂∂, xy z F z -=∂∂e利用公式,得xy y yz xy y yz z F x Fx z zz -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …3分 xy x xz xy x xz z F y Fy z zz -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …6分二在方程两边同时对x 求导,得解出xy y yz x z z-+=∂∂e , …3分同理解出xy x xz y z z-+=∂∂e …6分4、求函数33812),(y xy x y x f +-=的极值;解：33812),(y xy x y x f +-=,则yx y x f x 123),(2-=,xy y x f y 1224),(2-=,x y x f xx 6),(=,12),(-=y x f xy ,，y y x f yy 48),(=求驻点,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-，，01224012322x y y x 得)0,0(和)1,2(. …2分对)0,0(有0)0,0(=xx f ,12)0,0(-=xy f ,0)0,0(=yy f ,于是01442>=-AC B ,所以)0,0(点不是函数的极值点. …4分对)1,2(有12)1,2(=xx f ,12)1,2(-=xy f ,48)1,2(=yy f ,于是048121442<⨯-=-AC B ,且012>=A ,所以函数在)1,2(点取得极小值,33(2,1)21221818f =-⨯⨯+⨯=- …6分 …5分6、计算二重积分⎰⎰+D d y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域； 解：211(2)(2)yyDx y d dy x y dxσ+=+⎰⎰⎰⎰ …4分2221119(21)6y dy y =--=⎰ …6分7、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0=++⎰xx x f dt t f ,求)(x f ;解：关系式两端关于x 求导得：01)(2)(=+'+x f x f 即21)(21)(-=+'x f x f …2分这是关于f )(x 的一阶线性微分方程,其通解为：2221)(x x xce c e e --+-=+-= …5分又0)0(=f ,即c +-=10,故1=c ,所以1)(2-=-xex f …6分8、求微分方程02)1(2='-''+y x y x 的通解;解 这是一个不明显含有未知函数y 的方程作变换 令 dyp dx =,则22d y dp dx dx =,于是原方程降阶为2(1)20dpx px dx +-=…3分, 分离变量221dp xdx p x =+,积分得21ln ln(1)ln p x C =++即 21(1)p C x =+,从而 21(1)dyC x dx =+ …5分再积分一次得原方程的通解y ＝312()3x C x C ++ …6分9、求级数∑∞=-1)3(n nn x 的收敛区间; 解：令3-=x t ,幂级数变形为∑∞=1n n n t ,11lim 1n tn n n a n R a n →∞++===. …3分当1-=t 时,级数为∑∞=-01)1(n nn 收敛；当1=t 时,级数为∑∞=11n n 发散.故∑∞=1n nn t 的收敛区间是)1,1[-=t I , (5)分那么∑∞=-1)3(n n n x 的收敛区间为)4,2[=x I . …6分 10、 判定级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛：解：因为cos()1!!n x n n ⋅≤ …2分 由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛1(1)!lim 01!n n n →∞+=, …4分从而由比较判别法知1cos()!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …6分四、证明题每小题5分,共10分1、设级数21nn a∞=∑收敛,证明1(0)nn n a a n ∞=>∑也收敛;证：由于)1(21||22n a n a n n +≤, …3分 而∑2na ,∑21n 都收敛,故∑+)1(2122n a n 收敛,由比较原则知 n a n ∑收敛.;…5分 2、设)2(cos 22tx z -=,证明:02222=∂∂∂+∂∂t x z t z ;证明： 因为)2sin()21()2sin()2cos(22t x t x t x t z -=-⋅--⋅-=∂∂, …2分)2cos(22t x t z --=∂∂,22222)2cos(2t zt x x t z t x z ∂∂-=-=∂∂∂=∂∂∂, …4分所以02222=∂∂∂+∂∂t x z t z (5)分微积分下期末试题及答案四一、选择题每题2分1、设x ƒ()定义域为1,2,则lg x ƒ()的定义域为 A 、0,lg2 B 、0,lg2] C 、10,100 D 、1,22、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的 A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求0x →A 、-14 B 、0 C 、1 D 、∞4、若1y xx y +=,求y '等于A 、22x y y x --B 、22y x y x --C 、22y x x y-- D 、22x y x y +-5、曲线221xy x=-的渐近线条数为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中,那个不是映射A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈B 、221y x =-+C 、2y x =D 、ln y x = (0)x > 二、填空题每题2分1、__________ 2、、2(1))lim ()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题每题2分1、221x y x=+函数是有界函数 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小4、可导函数的极值点未必是它的驻点5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 四、计算题每题6分 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求4、20tan sin lim sin x x xx x→-求 5、计算6、210lim(cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100Rx x x =-（,总成本函数为2()20050C x x x =++,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大8分2、描绘函数21y x x=+的图形12分六、证明题每题6分1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则2、证明方程10,1xxe =在区间（）内有且仅有一个实数 试题四答案 一、 选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、 2、 3、 解： 4、解： 5、 解：6、解： 五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ,利润为()L x2、 解：图象六、证明题1、证明：2、证明：。
微积分下期末试题及答案
微积分下期末试题及答案下面是微积分下期末试题及答案的内容：一、单选题（每题2分，共20分）1. 在一个封闭的矩形区域内，下列函数中一定存在一个绝对值最大的点的是：A. f(x) = 2x + 3B. f(x) = -x^2 + 5x + 1C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x答案：B2. 设函数f(x) = x^3，则f'(x) = ？A. 3x^2B. 4x^3C. 2x^3D. x^2答案：A3. 曲线y = 2x^2 - 3x + 1的切线斜率为：A. 2B. -2C. 3D. -3答案：C4. 若f(x) = x^2 + 2x，则f''(x) = ？A. 2B. 4C. 0D. 6答案：A5. 设y = 3x - 1为直线L1上一点，曲线y = 2x^2 + 1上一点为(x0, y0)，则L1与曲线的切线平行于x轴的条件是：A. x0 = -1B. x0 = 0C. x0 = 1D. y0 = -1答案：D6. 函数f(x) = ln(x)的反函数为：A. f(x) = e^xB. f(x) = xC. f(x) = e^(-x)D. f(x) = x^2答案：A7. 函数f(x) = 3x^2 + 2在区间[1, 2]上的平均值为：A. 4B. 5C. 8/3D. 10/3答案：C8. 若f(x) = sin(x)，则f''(x) = ？A. -cos(x)B. cos(x)C. -sin(x)D. sin(x)答案：D9. 由函数f(x) = x^3 - 3x求得的原函数为：A. x^4/4 - 3x^2/2 + CB. x^4 + 3x^2 + CC. x^3 - 3x + CD. x^4 - x^2 + C答案：A10. 函数y = ax^2 (a ≠ 0)与直线y = 2x - 3相切的条件是：A. a = 4B. a = 2C. a = 1D. a = 3答案：B二、计算题（每题10分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1，求f'(2)的值。