第一讲_全等三角形的提高拓展训练讲义(讲义)

第一讲 全等三角形的提高拓展训练讲义（讲义）

一、基础知识精讲

1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应

角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 2、全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

3、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．

二、典型例题精讲

板块一、截长补短

【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠= ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE

交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

D

O

E

C B A

4321

F

D

O

E C

B A

【解析】 BE CD BC +=，

理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，

∵60A ∠=︒，∴1

901202

BOC A ∠=+∠= ，∴120DOE ∠= ，

∴180A DOE ∠+∠=

，∴180AEO ADO ∠+∠= ，∴13180∠+∠= ， ∵24180∠+∠= ，∴12∠=∠，∴34∠=∠，

利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．

【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，

射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?

N E B M A D

G

N

E

B M A D

【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =

又∵120ADM DMA +∠= ∠，120DMA NMB += ∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN == ∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．

【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平

分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？

N C

D

E B M A N

C

D

E

B M A

【解析】 猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，

∴DG MB =，∴45AGM = ∠

∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．

【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .

F

E D

C

B

A

M F E

D

C

B A

【解析】 延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .

∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF

∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD

∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM ∴∠AMB =∠EAM

∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .

【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求

证：OA 平分DOE ∠．

F

A

B

C

D

E

O

O

E

D C

B

A

【解析】 因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=

，

则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，

则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．

在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；

由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠．

【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒

的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．

N

M D

C

B

A

E

A

B

C D

M N

【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.

在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠= ，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.

因为120BDC ∠= ，60MDN ∠= ，所以60BDM NDC ∠+∠= . 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠= .

在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠= ，DM DE =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.

【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，

求证：AD 平分∠CDE

C

E D

B A

A

B

D

E

F

C

【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .

∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF ∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF

∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF ∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF