量子力学第二章

四、平面波函数的归一化
i A e xp ( p r Et ) i i [ pr Et ] Et ( r , t ) Ae ( r )e p p
考虑一维积分
i [ p r ] p ( r ) Ae p x ( x ) p y ( y ) pz ( z ) i [ px x ] i [ py y] i [ pz z ]
2.波与粒子性的统一 在电子衍射实验中，照相底片上某点附近衍射花样的强度 ∝ 该点附近感光点的数目 ∝ 该点附近出现的电子数目 ∝ 电子出现在该点附近的几率
Born 1926年 波函数的统计解释
• 用波函数描述粒子波，并非真正的波,而是几率波。 • 粒子的运动不具有经典波的振动形式，没有经典波的物理图 像，只用于确定粒子到达空间各处的概率。 • 波与粒子性的统一
px ( x )



px ( x , t )px ( x , t )dx e
*
( px px ) ( px p x)
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知识点回顾
I Dirac
—函数
定义：
x x0 0 ( x x0 ) x x0 x0 ( x x0 )dx ( x x0 )dx 1
*


e
i [ p x px ] x


px ( x ) p x ( x )dx
i px x 1 e 2
*
dx A12 2 ( p x p x ) ( px px )
若取 A12 2 = 1，则
A1= [2]-1/2, 于是
2 p 2 i p [ x x ]t 2 2
• 平方可积
波函数可以不满足归一化条件，但应满足平方可
积条件

( r ,t ) d A （A有限正实数）
2

1 A
2

( r ,t ) d 1
3.波函数的标准条件 • 单值、有限、连续 • 单值，有限：给定时刻t，粒子在空间某点 出现的几率是唯一的，确定的数 连续：粒子在空间几率分布不会发生突变
Quantum Mechanics
量子力学
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第一章 第二章 第三章
量子力学产生的历史背景 波函数和薛定谔方程 一维定态问题
第四章
第五章 第六章 第七章
力学量与算符
态和力学量表象 三维定态问题 近似方法（微扰理论）
第二章 波函数和薛定谔方程
• §1 波函数 • §2 态叠加原理
• §3 薛定谔方程
§1 波函数——基本假定一
由于微观粒子运动时表现出波的性质，必须放弃牛顿力学中通过轨道 r(t)来描述粒子运动的方法，而采用类似电磁学中的波函数来描述粒子
的运动规律。
(r , t )
i A e xp ( p r Et )
描写自由粒子的 平 面 波
波与它描述的粒子间是什么关系呢？
x0
( 0)
( x x0 )
抽样性质：



f ( x ) ( x x0 )dx f ( x0 )
—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/, dk= dpx/, 则
0
性质：
( x ) ( x )
(ax )
1 ( x) |a|
*
2
三、波函数的性质
• 几率和几率密度 2 几率： ( r ,t ) d 表示t时刻粒子处于空间 r 处 ， d 体积元内的几率 • 几率密度： ( r ,t ) 2 t时刻粒子在空间 r 处单位体 积中出现的几率
• Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) （C 是常数）
所描写状态的相对几率是相同的
在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相 对几率之比是：
C ( r1 , t ) C ( r2 , t )
2
( r1 , t ) ( r2 , t )
2
• 归一化条件


( r ,t ) d 1
2
全空间找到粒子的几率为1，但注意由归一化条件不能完全确定波函数
x0
x
f ( x ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
三维情况：





* ( r ) ( r )d p p ( p x px ) ( p y py ) ( pz p z) ( p p)
1.电子衍射实验
P
O Q
感 光 屏
P O Q
电子源
大量电子短时间观察
少量电子（粒子流强度弱）长时间观察
• 实验相当于一个电子在许多次相同实验中 的统计结果 • 多个电子在一次实验中的统计结果，很难 确定单个电子某一次实验感光点的位置 结论： • 电子的波动性并不是许多电子聚在一起才 有的现象，单个电子也具有波动性
经典粒子
质量、电荷等“颗粒性”的属性; 确定的运动轨道，位置、速度、加速度；
经典波
实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 干涉、衍射现象
二、量子力学基本假定1—概率波 • 微观粒子运动状态 ( r ,t ) • t 时刻 r 处微粒出现的几率
( r ,t ) ( r ,t ) ( r ,t )
A1e
i [ E x E x ]t
A2 e
A3 e



px ( x, t )px ( x, t )dx e
*
e
2 px 2 i p x [ ]t 2 2



px ( x ) p x ( x )dx
*



px ( x ) px ( x )dx A12
1 ik ( x x0 ) ( x x0 ) dk e 2 i p x ( x x0 ) 1 ( x x0 ) e dp x 2 作代换：p x x，p x x 0，则
i ( p x p 1 x )x ( px px ) e dx 2