专题训练乘法公式的变形

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乘法公式的拓展及常见题型

乘法公式的拓展及常见题型一．公式拓展:拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-拓展三:bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五: 立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-二．基本考点例1：已知:32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是．例2:化简与计算 221999922011（）；（）()()()()222x 3y 3m n 42x+32x 3-+----；（）；（）；（）。

练习：1、（a+b －1）（a －b+1）= 。

2．若x 2－y 2=30,且x －y=－5，则x+y 的值是（）A ．5B ．6C ．－6D ．－53、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值.4、试说明不论x ，y 取何值,代数式226415x y x y ++-+的值总是正数.5、(a －2b +3c ）2－(a +2b －3c )2= 。

6、已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数,求y x 的值.7、2200720092008⨯-（运用乘法公式）题型一：乘法公式在解方程和不等式组中的应用解方程：()()()()()()2x 12x 13x 2x 27x 1x 1+-+-+=+-题型二：应用完全平方公式求值设m+n=10,mn=24，求()222m n m n +-和的值。

乘法公式的变形和提公因式法

知识点一：添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都_______,如果括号前面是负号，括到括号里的各项都______（1）去括号 a+(b+c)=__________ a-(b+c)=_____________(2) 添括号a+b+c=a+(__________) a-b-c=a-(____________)例1.1：（a+b+c ）(a-b-c)=a 2-(b+c) 2(合并法：把每个括号内的两项合并，看作一个整体)变式:（-x+2y-3z ）(x+2y+3z)例1.2：(a-b+c) 2变式:（2a+3b-c ）2【练习】(1)(a+b)(-a-b)= (2)()()231123a b a b +---=(3)(23)(23)a b c a b c +--+= (4) (x+2y-32 )(x-2y+ 32 )=知识点二：乘法公式的变形类型一、乘法公式的逆运用例 2.1：已知a+b=4，a-b=3，则a 2-b 2=________变式：若m=2n+1，则m 2-4mn+4n 2=_________例2.2：已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．变式1：多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________.变式2：已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值变式3：已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。

例2.3：如果229x mx -+是一个完全平方式，那么m ＝______．变式1：【2012.黔东南州】二次三项式x 2-kx+9是一个完全平方公式，则k 的值是___________变式2：如果x 2-Nx+9是一个完全平方式,那么N 是____________变式3：如果m x x +-62恰好是一个整式的平方，那么m=_____________类型二、知二求二（1）（a+b ）2 -2ab = a 2 + b 2 （2）（a-b ）2 +2ab = a 2 + b 2（3）（a+b ）2 +（a-b ）2 =2a 2 + 2b 2 （4）（a+b ）2 -（a-b ）2 =4ab（5）（a+b ）2 （a-b ）2 =( a 2 - b 2 ) 2例2.4：已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值：(1) 22a ab b -+；(2) 2()a b -．变式1：已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值．变式2：已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。

【初高一衔接】专题02 乘法公式-走进新高一之2020年暑假初升高数学完美衔接课(解析版)

乘法公式主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式公式一、平方差公式公式二、完全平方公式在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：1.2.3.4.5.公式三、立方和公式公式四、立方差公式例1、计算例2例3、已知a、b是方程的两个根，求：（1）（2）；（3）；（4）【解答】（1）77；（2）；（3）112；（4）24【解析】∵a、b是方程a+b=7，ab＝11.（1）；（2）；（3）；乘法公式巩固练习一. 选择题1．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【解答】C【解析】A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．2．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）【解答】D【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），3．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．ab﹣b2＝b（a﹣b）【解答】A【解析】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.4．如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a【解答】A【解析】设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，S＝S1﹣S2＝AD•AB﹣5a•AD﹣3a•AB+15a2﹣[BC•AB﹣b（BC+AB）+b2]＝BC•AB﹣5a•BC﹣3a•AB+15a2﹣BC•AB+b（BC+AB）﹣b2＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，∴5a﹣b＝0，∴b＝5a．5．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36【解答】C【解析】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．二．填空题6．已知（a+b）2＝7，a2+b2＝5，则ab的值为．【解答】﹣1【解析】∵（a+b）2＝7，∴a2+2ab+b2＝7，∵a2+b2＝5，∴7+2ab＝5，∴ab＝﹣1．7．我们规定一种运算：，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，．按照这种运算规定，当x＝时，＝0．【解析】由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x+4）（x﹣3）＝0，x2﹣4﹣（x2+x﹣12）＝0，解得x＝8．8．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解析】连接EC，∵正方形ACDE和正方形CBFG，∴∠ACE＝∠ABG＝45°，∴EC∥BG，∴△BCG和△BEG是同底（BG）等高的三角形，即S△BCG＝S△BEG，∴当BC＝n时，S n＝2，∴S2020﹣S2019＝20202﹣201922020+2019）（2020﹣2019）＝；9．如果，那么a+2b﹣3c＝．【解析】原等式可变形为： a ﹣2+b+1+ ﹣5（a ﹣2）+（b+1）+ +5＝0（a ﹣2+4+（b+1）+1+（﹣2）2+（﹣1）2+ ＝0；即：﹣2＝0，﹣1＝0，﹣1＝0，∴＝2，＝1，＝1，∴a ﹣2＝4，b+1＝1，c ﹣1＝1，解得：a ＝6，b ＝0，c ＝2； ∴a+2b ﹣3c ＝6+0﹣3×2＝0．10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b ）n （n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b ）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b ）1＝a+b ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b ）3＝a 3+3a 2b+3ab 2+b 3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； …根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b ）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b ）n 展开式共有项，系数和为．【解答】（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n【解析】（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．三．解答题11．已知x+y＝﹣6，xy＝5，求下列代数式的值：（1）x+y（1﹣x）；（2）x2+y2．【解答】（1）﹣11；（2）26【解析】（1）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴原式＝x+y﹣xy＝﹣6﹣5＝﹣11；（2）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣6）2﹣2×5＝26．12．已知A＝2x+3，B＝x﹣2．化简A2﹣AB﹣2B2，并求当x＝时该代数式的值．【解答】1【解析】∵A＝2x+3，B＝x﹣2，∴A2﹣AB﹣2B2＝（2x+3）2﹣（2x+3）（x﹣2）﹣2（x﹣2）2＝4x2+12x+9﹣（2x2﹣4x+3x﹣6）﹣2（x2﹣4x+4）＝4x2+12x+9﹣2x2+4x﹣3x+6﹣2x2+8x﹣8＝21x+7，当x＝时，原式＝21×（）+7＝1．13．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2．【解答】﹣2【解析】原式＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2）÷y＝（﹣4xy+3y2）÷y＝﹣4x+3y，当x＝﹣1，y＝﹣2时，﹣4x+3y＝4﹣6＝﹣2．14. 已知，求的值.【解析】15. （1，求的值；（2）若，求的值.【解答】（1）40；（2）27【解析】（1）将代入得.16. 已知三角形的三条边分别是a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状.【解答】等边三角形【解析】由已知得，∵a、b、c为三角形的三边长，∴，∴，即，，，，，，即三角形为等边三角形.17．前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答问题：图①说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成；图②说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分．（1）请结合图①和图②分别写出学过的两个乘法公式：图①：；图②：．（2）请利用上面的乘法公式计算：①1002﹣99×101；②（602．【解答】（1）①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，②（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1，②3602【解析】（1）由图①可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；由图②可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1002﹣99×101＝1002﹣（100﹣1）×（100+1）＝1002﹣（1002﹣1）＝1002﹣1002+1＝1；②（602＝（60+）2＝＝．18．要说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立．【解答】见解析【解析】（1）小刚：（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）小王：（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+2（a+b）c+c2＝a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；（3）小丽：如图所示：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc，19．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．【解答】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；（2）①13；（2）﹣4036【解析】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．（2）①由题意得：把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，．②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×2020＝﹣4036．20．如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S阴影＝．方法2：S阴影＝．（2）写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系为．（3）①若（2m+n）2＝14，（2m﹣n）＝6，则mn的值为．②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．【解答】（1）4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①40，②x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6【解析】（1）方法1：图2的阴影部分面积等于图1的面积，即2a×2b＝4ab，方法2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，（2）由（1）可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）①由（2）得，4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2＝142﹣62＝（14+6）（14﹣6）＝20×8＝160，∴mn＝160÷4＝40，②由（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，把x+y＝10，xy＝16代入得，（x﹣y）2＝102﹣4×16＝36，∴x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6．21．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：；方法2：；（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若ab＝2，a+b＝4，求a2+b2的值．【解答】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）12【解析】（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即，a2+b2，方法2，阴影部分的面积等于总面积减去两个长方形的面积，即，（a+b）2﹣2ab，（2）两种方法求得的结果相等，因此有，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）由（2）得，ab＝2，a+b＝4，求a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12．22．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分面积为：（用a、b的代数式表示）；（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）利用（2）中的结论，若x+y＝5，xy，求（x﹣y）2的值；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式；（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解答】（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）16；（4）（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab；（5）2019.5【解析】（1）图2中，阴影部分的边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，也可以从边长为（a+b）的正方形面积减去图1的面积，即（a+b）2﹣4ab＝a2+b2﹣2ab，（2）通过（1）的计算可知，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝26﹣9＝16，（4）整体长方形的面积为（3a+b）（a+b），图中八个四边形的面积和为3a2+b2+4ab，因此有：（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab，（5）如图，连接EC，则EC∥BG，如图所示：∴S△BEG＝S△CBG＝2，∴S2020﹣S2019＝20202﹣20192，＝2020+2019）（2020﹣2019），＝2019.5，。

人教版初中数学乘法公式完整版课件

类型五巧用乘法公式定个位数字 8．求(2 －1)(2 ＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1 的个位数字．解：原式＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1＝(24－1)(24 ＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1＝264－1＋1＝264；∵21＝2，22＝4，23＝8， 24＝16，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64＝16×4，∴原式的个位数为6
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7.家具的主体建构中所占比例较大。建筑中的木构是梁柱系统，家具中的木构是框架系统，两个结构系统之间同样都靠榫卯来连接，构造原理相同。根据建筑物体积、材质、用途等方面的不同，榫卯呈现出不同的连接构建方式。
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8.正是在大米的哺育下，中国南方地区出现了加速度的文明发展轨迹。河姆渡文化之后，杭嘉湖地区兴盛起来的良渚文化，在东亚大陆率先迈上了文明社会的台阶，成熟发达的稻作农业是其依赖的社会经济基础。
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类型六巧用乘法公式解决实际问题 9．解放街幼儿园有一块游戏场和一个葡萄园，所占地的形状都是正方形，面积也相同，后来重新改建，扩大了游戏场，缩小了葡萄园，扩大的游戏场仍为正方形，边长比原来增多了3米，缩小后的葡萄园也为正方形，边长比原来减少了2米，设它们原来的边长均为x米，请表示出扩大后的游戏场比缩小后的葡萄园的面积多多少平方米，并计算当x＝12时的值．解：(x＋3)2－(x－2)2＝x2＋6x＋9－x2＋4x－4＝10x＋5，当x＝12 时，原式＝120＋5＝125
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9.考查对文章内容信息的筛选有效信息的能力。这类试题，首先要明确信息筛选的方向，即挑选的范围和标准，其次要对原文语句进行加工，用凝练的语言来作答。

乘法公式变形及应用

乘法公式变形及应用1、2a b a b ab +222（）＝（＋）＋ 2a b a b ab 222（－）＝（＋）－2、4a b a b ab +22（）＝（－）＋ 4a b a b ab 22（－）＝（＋）－3．2a b a b ab +222＋＝（）－ 2a b a b ab 222＋＝（－）＋()()222a b a b a b ++-22＋＝4、4ab a b a b +22＝（）－（－） 4a b a b ab +22（）－（－）＝ 2ab a b a +222＝（）－（＋b ）2a b a b ab +222（）－（＋）＝5、a b b a --22（）＝（） a b b a --33（）＝－（）练习题：1、, ,a b a b +=22729＋＝ ______a b 2（－）＝。

2、,,a b a b +22436（）＝（－）＝求： ____________a b ab a b 2244＋＋＝。

＋＝。

3、22113,______m m mm＋＝则＋＝。

2211 ____________m m m m －＝。

－＝。

例1、若()215m n += ()25m n -=求mn ，22m n +的值。

变形1：若()2215m n += ()225m n -=求mn ，224m n +的值。

乘法公式变形及应用1、2a b a b ab +222（）＝（＋）＋ 2a b a b ab 222（－）＝（＋）－ 2、4a b a b ab +22（）＝（－）＋ 4a b a b ab 22（－）＝（＋）－ 3．2a b a b ab +222＋＝（）－ 2a b a b ab 222＋＝（－）＋ ()()222a b a b a b ++-22＋＝4、4ab a b a b +22＝（）－（－） 4a b a b ab +22（）－（－）＝ 2ab a b a +222＝（）－（＋b ）2a b a b ab +222（）－（＋）＝5、a b b a --22（）＝（） a b b a --33（）＝－（）练习题：1、, ,a b a b +=22729＋＝ ______a b 2（－）＝。

乘法公式变形题(含答案)

乘法公式变形与应用一、【和平方（差平方）、平方和、2倍积的关系如下：】1、（a+b）2＝（a2＋b2）＋2ab （a－b）2＝（a2＋b2）－2ab2、（a+b）2＝（a－b）2＋4ab （a－b）2＝（a＋b）2－4ab3、a2＋b2＝（a+b）2－2aba2＋b2＝（a－b）2＋2aba2＋b2＝()()222a b a b++-4、4ab＝（a+b）2－（a－b）22ab＝（a+b）2－（a2＋b2）5、（a-b）2＝（b-a）2（a-b）3＝－（b-a）3练习题：1、a+b=7, a2＋b2＝29,（a－b）2＝______ 。

2、（a+b）2＝4, （a－b）2＝36,求：a2＋b2＋ab＝______ 。

a4＋b4＝______ 。

3、m＋1m ＝3, 则m2＋21m＝______ 。

m－1m＝______。

m2－21m＝______。

4、x＋1x＝－3, 则x4＋41x＝______ 。

5、x＋1x则x－1x＝______。

6、（1－212）（1－213）（1－214）…（1－219）（1－2110）7、（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232＋1）＋18、x＝12a＋1，y ＝12a＋2 ，z＝12a＋3，求：x2＋y2＋z2－xy－yz－zx值。

9、12＋14＋18＋…＋12n10、201320122014222+二、常数项＝－次项系数一半的平方。

与（△＝0）【方程法】11、x2＋kxy＋9y2是x的完全平方式，k＝______ 。

12、4x2＋kxy＋9y2是x的完全平方式，k＝______13、16x2＋1添加__________________ 后，可构成整式的完全平方式。

14、x2－2（m－3）x＋16是x的完全平方式，m＝______ 。

15、4x2－（k＋2）x＋k－1是x 的完全平方式，k＝______ 16、x2－6x＋m2是x的完全平方式，m＝______ 。

完整版)乘法公式专项练习题

完整版)乘法公式专项练习题1.平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（）。

答案：D。

以上都可以。

2.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）。

答案：B。

（－a+b）（a－b）3.若x2－x－m=(x－m)(x+1)且x≠0，则m等于（）。

答案：C。

14.计算［(a－b)(a+b)］等于（）。

答案：A。

a2－b25.已知(a+b)2=11,ab=2，则(a－b)2的值是（）。

答案：B。

36.若x2－7xy+M是一个完全平方式，那么M是（）。

答案：D。

49y27.若x,y互为不等于的相反数，n为正整数，你认为正确的是（）。

答案：B。

xn、XXX一定是互为相反数。

8.下列计算中，错误的有（）。

答案：D。

4个。

①（3a+4）（3a－4）=9a2－16；②（2a2－b）（2a2+b）=4a4－b2；③（3－x）（x+3）=－x2+9；④（－x+y）·（x+y）=－x2+y2.9.若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）。

答案：A。

5.10.已知a1996x1995，b1996x1996，c1996x1997，那么a2b2c2ab bc ca的值为（）。

答案：C。

3.11.已知x0，且M(x22x1)(x22x1)，N(x2x1)(x2x1)，则M与N的大小关系为（）。

答案：A。

XXX。

12.设a、b、c是不全相等的任意有理数。

若x a2bc，y b2ca，z c2ab，则x、y、z（）。

答案：D。

至少有一个大于0，至少有一个小于0.1.$(-2x+y)(-2x-y)=4x^2-y^2$，$(-3x^2+2y^2)(3x^2+2y^2)=9x^4-4y^4$。

2.$(a+b-1)(a-b+1)=a^2+b^2-2b$，$(a+b-1)^2-(a-b+1)^2=4ab-2a$。

3.差为$(5-2)^2-(5-4)^2=9$。

4.$a^2+b^2-2a+2b+2=0$，$a^{2004}+b^{2005}=a^2+b^2-ab(a-b)^2=(a-b)^2$。

专题一--乘法公式及应用

专题一乘法公式的复习一、复习:（a+b)(a—b）=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2（a+b）(a2-ab+b2)=a3+b3（a—b）(a2+ab+b2）=a3－b3归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化,(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化,(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值.解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ,2=ab ，求2)(b a -的值.解:∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998例4:已知a+b=2，ab=1,求a 2+b 2和(a —b)2的值。

专题06乘法公式压轴题的四种考法(解析版)【压轴必考】八年级数学上册压轴题攻略(人教版)

专题06 乘法公式压轴题的四种考法类型一、平方差公式与几何图形综合例1．【探究】如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母a 、b 表示)；【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知2m ﹣n =3，2m +n =4，则4m 2﹣n 2的值为；②计算：(x ﹣3)(x +3)(x 2+9)．【拓展】计算()()()()()248322121212121+++++L 的结果为．【答案】探究：（1）22a b -，()()a b a b +-；（2）22()()a b a b a b +-=-；应用：①12；②481x -；拓展：6421-．【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即22a b -，图②的阴影部分为长为()a b +，宽为()-a b 的矩形，则其面积为()()a b a b +-，故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：22()()a b a b a b +-=-，故答案为：22()()a b a b a b +-=-；应用：①22()(422342)1m n m n m n -+=´=-=，故答案为：12；②原式22(9)(9)x x =-+，222()9x =-，481x =-；拓展：原式()()()()()()24832212121212211+++=-++L ，()()()()()2248322121212121++=-++L ，()()()()4348221212121=++-+L ，()()()8328212121=-++L ，()()32322121=-+，6421=-．故答案是：6421-．【变式训练1】如图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a b >），将余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题：（1）如图①所示，阴影部分的面积为（写成平方差形式）．（2）如图②所示，梯形的上底是，下底是，高是，根据梯形面积公式可以算出面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）根据前面两问，可以得到公式．（4）运用你所得到的公式计算：22252248- ．【答案】（1）22a b -；（2）()()a b a b +-；（3）22()()a b a b a b -=+-；（4）2000．【详解】解：（1）大正方形的面积为：2a ，小正方形的面积为：2b ，∴阴影部分的面积为：22a b -；故答案为：22a b -；（2）由梯形的定义可知：上底是：2b ，下底是：2a ，高是：-a b ，∴梯形的面积为：1(22)()()()2a b a b a b a b ´+-=+-；故答案为：()()a b a b +-；（3）由（1）（2）可知，22()()a b a b a b -=+-；故答案为：22()()a b a b a b -=+-；（4）22252248-=(252248)(252248)+-=5004´=2000；【变式训练2】从边长为a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．A ．()2222a ab b a b -+=-B ．()()22a b a b a b -=+-C ．()2a ab a a b +=+（2）若22912x y -=，34x y +=，求3x y -的值；（3）计算：22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）B ；（2）33x y -=；（3）10112021【详解】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：()()22a b a b a b -=+-，上述操作能验证的等式是B ，故答案为：B ；（2）∵()()2293312x y x y x y -=+-=，∵34x y +=∴33x y -=（3）22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111223320212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-⋅⋅⋅+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3142532022202022334420212021=´´´´´´⋅⋅⋅´´1202222021=´10112021=【变式训练3】工厂接到订单，需要边长为（a +3）和3的两种正方形卡纸．（1）仓库只有边长为（a+3）的正方形卡纸，现决定将部分边长为（a+3）的正方形纸片，按图甲所示裁剪得边长为3的正方形．①如图乙，求裁剪正方形后剩余部分的面积（用含a代数式来表示）；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图丙所示长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的边长多少？（用含a代数式来表示）；（2）若将裁得正方形与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），盒子底部中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2测得盒子底部长方形长比宽多3，则S2﹣S1的值为．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积＝a2+6a；②拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）9.【详解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面积=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的长方形的宽是：a+3﹣3=a，∴长为a+6，则拼成的长方形的边长分别为a和a+6；（2）设AB=x，则BC=x+3，∴图1中阴影部分的面积为S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），图2中阴影部分的面积为S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案为9．【变式训练4】（1）如图1所示，若大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则阴影部分的面积是______；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是_________；（2）由（1）可以得到一个乘法公式是________；（3）利用你得到的公式计算：2202120222020-´．【答案】（1）a 2-b 2，（a +b ）（a -b ）；（2）（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2；（3）1【详解】解：（1）图①阴影部分的面积为：a 2-b 2，图②长方形的长为a +b ，宽为a -b ，所以面积为：（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2，（a +b ）（a -b ）；（2）由（1）可得：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2，故答案为：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2；（3）20212-2022×2020=20212-（2021+1）（2021-1）=20212-20212+1=1．类型二、完全平方公式变形例1．已知22()25,()9x y x y +=-=，求xy 与22x y +的值．【答案】224,17xy x y =+=【详解】Q 22()25,()9x y x y +=-=，()()22425916x y x y xy \+--==-=,4xy \=，()()22222()25934x y x y x y ++-=+=+=Q ,2217x y \+=．例2已知222462140x y z x y z ++-+++=，则xyz =________.【答案】6【详解】解：∵x 2+y 2+z 2-4x +6y+2z +14=0，∴x 2-4x +4+y 2+6y +9+z 2+2z +1=0，∴(x -2)2+(y +3)2+(z +1)2=0，∴x -2=0，y +3=0，z+1=0，∴x =2，y =-3，z =-1，∴xyz =2×（-3）×（-1）=6．故答案为：6【变式训练1】已知2|5|(7)0xy x y -++-=，求22x x y y +-的值．【答案】34【详解】解：根据非负性，得：50xy -=，70x y +-=，5xy \=，7x y +=，222()3491534x y xy x y xy \+-=+-=-=，22y x y x +-\的值是34．【变式训练2】已知（x +2021）2+（x +2022）2=49，则（x +2021）（x +2022）的值为（）A ．20B ．24C ．994D ．532【答案】B【详解】解：[]222(2021)(2022)(2021)(2022)2(2021)(2022)x x x x x x +-+=+++-++Q 且[]22(2021)(2022)(1)1x x +-+=-=221(2021)(2022)2(2021)(2022)x x x x \=+++-++22(2021)(2022)49x x +++=Q (2021)(2022)24x x \++=故选：B【变式训练3】已知：2()34x y +=，2()14x y -=，分别求22x y +和xy 的值．【答案】24，5【详解】解：222()234x y x xy y +=++=Q ①，222()214x y x xy y -=-+=②，\①+②得222248x y +=，即2224x y +=；①-②得420xy =，即5xy =．【变式训练4】已知13x x +=，求下列各式的值：(1)221x x +；(2)21(x x-.【答案】(1)7；(2)5【解析】(1)解：∵13x x +=，∴21()9x x +=，即22129x x ++=，∴2217x x +=．(2)解：∵2217x x +=，∴22125x x +-=，∴21(5x x-=．【变式训练5】当x =______时，代数式8x 2-12x +5有最小值，最小值为______.【答案】 34 12【详解】解：28125x x -+2328()5x x -=+2998()5131626x x +--=+238(9452x --+=238()412x =-+23()04x -Q …，\当34x =时，28125x x -+有最小值，最小值为12．故答案为：34；12．类型三、完全平方公式字母的值例1．当k 取何值时，2210049x kxy y -+是一个完全平方式？【答案】140k =±【详解】解：∵100x 2﹣kxy +49y 2是一个完全平方式，∴﹣k ＝±2×10×7，∴k ＝±140，即当k ＝±140时，100x 2﹣kxy +49y 2是一个完全平方式．【变式训练1】如果226x x k ++是一个完全平方公式，求k 的值．【答案】3k =±．【详解】由题意得：222(63)x x k x =+++，即222669x x k x x =++++，则29k =解得3k =±．【变式训练2】若把代数式222x x --化成()2x m k ++的形式，其中m ，k 为常数，则m k +=______．【答案】4-【详解】解：∵222x x --＝x 2−2x ＋1−3＝（x −1）2−3，∴m ＝−1，k ＝−3，∴m ＋k ＝−4．故答案为：−4．【变式训练3】（1）设22351,257M x x N x x =--=--，则__________．A ． M N >B ． M N <C ． M N ³D ． M N£（2）当=a ________时，多项式2418a a -+有最小值___________．【答案】（1）A ；（2）2，14【详解】解：（1）∵22222(351)(257)3512576M N x x x x x x x x x -=-----=---++=+，20x ³ ，∴260M N x -=+>，∴M >N ，故选A ．（2）∵2224184414(2)14a a a a a -+=-++=-+，2(2)0a -³，∴当a =2时，2(2)14a -+有最小值为14，故答案为：2，14．【变式训练4】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．（1）若28+210+2n 是完全平方数，求n 的值．（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写所有符合的正整数．【答案】（1）n ＝4或n ＝10；（2）所有符合的正整数是20、60或300．【详解】（1）解：∵a 2+b 2+2ab ＝（a +b ）2，∴若28＝a 2，210＝b 2，则a ＝24，b ＝25，2n ＝2ab ＝210，解得：n ＝10若28＝a 2，210＝2ab ，所以b ＝25，则2n ＝b 2＝210，解得：n ＝10，若210＝a 2，28＝2ab ，所以b ＝22，则2n ＝b 2＝24，解得：n ＝4，所以n ＝4或n ＝10；（2）解：设正整数为x ，则x +61＝a 2，x ﹣11＝b 2（a ＞b ，且a ，b 是正整数），则a 2﹣b 2＝x +61﹣x +11＝72，故（a +b ）（a ﹣b ）＝72，由于a +b 与a ﹣b 同奇偶，故184a b a b +=ìí-=î或362a b a b +=ìí-=î或者126a b a b +=ìí-=î，当184a b a b +=ìí-=î时,解得：117a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝60；当362a b a b +=ìí-=î时，解得：1917a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝300；当126a b a b +=ìí-=î时，解得：93a b =ìí=î，∴x ＝b 2+11＝20．所以所有符合的正整数是20、60或300．类型四、完全平方公式与几何图形例.乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b 、宽为a 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．方法1：________；方法2：________；(2)观察图2，请你写出下列三个代数式：()2a b +，22+a b ，ab 之间的数量关系：_______；(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：+5a b =，22+21=a b ，求ab 的值；②已知()()222022202010-+-=a a ，求()()20222020--a a 的值．【答案】(1)（a +b ）2；a 2+2ab +b 2 (2)（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab (3)①ab ＝2；②-3【解析】(1)方法1：大正方形的边长为（a +b ），∴S ＝（a +b ）（a +b ）＝a 2+2ab +b 2．方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和，∴S ＝a 2+2ab +b 2．故答案为：a 2+2ab +b 2．(2)由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即（a +b ）2﹣2ab ＝a 2+b 2．故答案为：（a +b ）2﹣2ab ＝a 2+b 2．(3)①∵a +b ＝5，∴（a +b ）2＝25，a 2+b 2＝21，∴2ab ＝（a +b ）2﹣（a 2+b 2）＝25﹣21＝4，∴ab ＝2；②令2022,2020x a y a =-=-，∴2x y +=，由()()222022202010-+-=a a 可得2210x y +=，2xy ＝（x +y ）2﹣（x 2+y 2）＝4﹣10＝－6，∴()()20222020--a a ＝xy ＝-3.【变式训练1】如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a +b ）2、（a -b ）2、ab 之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x +y =5，xy =94，则x -y = ；（3）拓展应用：若（2021-m ）2+（m -2020）2=7，求（2021-m ）（m -2020）的值【答案】（1）()22()4+=-+a b a b ab ；（2）4或4-；（3）3-【详解】解：（1）由图知：()22()4+=-+a b a b ab（2）∵()22()4x y x y xy +=-+，∴()22()4x y x y xy-=+-∵9=5,4x y xy +=，∴()225916x y -=-=，∴=4x y -或=4x y --，故答案为：4或4-（3）∵()222(2021)+(2020)202120202(2021)(2020)m m m m m m --=-+---+且()222021(2020)7m m -+-=，∴(2021)(2020)=3m m -+-【变式训练2】如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．(1)图2中的阴影部分的面积为：____________（用a 、b 的代数式表示）；(2)观察图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系是____________；(3)利用（2）中的结论，若5x y +=，94x y ⋅=，求()2x y -的值____________；(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，请你写出这个等式____________．(5)如图4，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，连接EG 、BG 、BE ，当1BC =时，BEG D 的面积记为1S ，当2BC =时，BEG D 的面积记为2S ，…，以此类推，当BC n =时，BEG D 的面积记为n S ，计算202020192018201721S S S S S S -+-+⋅⋅⋅+-的值．【答案】(1)()2b a -；(2)()()224a b a b ab +--=；(3)16(4)()()22334a b a b a ab b ++=++；(5)1020605【解析】(1)()2b a -(2)()()224a b a b ab +--=(3)5x y +=，94x y ⋅=时，22()()425916x y x y xy -=+-=-=，故答案为：16(4)()()22334a b a b a ab b++=++(5)如图，连接EC ，在正方形ACDE 和正方形BCGF 中45ECD CGB Ð=Ð=°∴EC BG∥∴BGE BGCS S =△△当1BC =时，2112S =；当2BC =时，2222S =；……当BC n =时，22n n S =；∴202020192018201721S S S S S S -+-+⋅⋅⋅+-222222202020192018201721222222⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭()2020201920182017212+++⋅⋅⋅++=1020605=．【变式训练3】如图，将边长为()a b +的正方形剪出两个边长分别为a ，b 的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：______，方法2：________；（2）从中你发现什么结论呢？_________；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知6x y +=，122xy =，求22x y +的值；②已知()()22202120209-+-=x x ，求()()20212020--x x 的值．【答案】（1）22a b +，2()2a b ab +-；（2）222()2a b a b ab +=+-；（3）①28；②4-．【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即22a b +，方法2，从边长为()a b +的大正方形面积减去两个长为a ，宽为b 的长方形面积，即2()2a b ab +-，故答案为：22a b +，2()2a b ab +-；（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，222()2a b a b ab +=+-，故答案为：222()2a b a b ab +=+-；（3）①Q 122xy =，4xy \=，又6x y +=Q ，222()2x y x y xy\+=+-2624=-´368=-28=；②设2021a x =-，2020b x =-，则229a b +=，1a b +=，222()()(2021)(2020)2a b a b x x ab +-+\--==192-=4=-，答：(2021)(2020)x x --的值为4-．【变式训练4】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2根据图②能得到的数学公式是__________．（2）如图③，请写出（a ＋b ）、（a ﹣b ）、ab 之间的等量关系是__________（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x ＋y ＝8，xy ＝2，求（x ﹣y ）2的值．（4）根据图④，写出一个等式：__________．（5）小明同学用图⑤中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a ＋b ）（a ＋3b ）长方形，请画出图形，并指出x ＋y ＋z 的值．类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．【答案】（1）（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2；（2）（a ＋b ）2＝（a ﹣b ）2＋4ab ；（3）56；（4）（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（5）画图见解析，16；（6）（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2，故答案为：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab ＋b 2；（2）Q 图③中，大正方形的面积为（a ＋b ）2，小正方形的面积为（a ﹣b ）2，每个长方形的面积为ab ，()()224a b a b ab \+=-+，故答案为：()()224a b a b ab +=-+；（3）利用（2）的结论，可知()()224x y x y xy -=+-，Q x ＋y ＝8，xy ＝2，\（x ﹣y ）2＝（x ＋y ）2﹣4xy ＝64﹣8＝56；（4）根据图④，大正方形的面积可表示为（a ＋b ＋c ）2，Q 内部9块的面积分别为：222,,,,,,,,a b c ab ab ac ac bc bc ，\（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc故答案为：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ；（5）Q （3a ＋b ）（a ＋3b ）＝3a 2＋3b 2＋10ab ，3,3,10x y z \===，即需要3张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，10张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片，画图如下：∴x ＋y ＋z ＝16；（6）根据图⑥，大正方体的体积为（a ＋b ）3，分割成8个“小块”的体积分别为：33222222,,,,,,,a b a b a b a b ab ab ab ，\（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2故答案为：（a ＋b ）3＝a 2＋b 2＋3a 2b ＋3ab 2．【变式训练5】用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．（1）由图1可得乘法公式________；（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为()a b c ++的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为________；（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知13a b c ++=，52ab bc ac ++=，求222a b c ++的值；（4）如图3，由两个边长分别为m ，n 的正方形拼在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，连接BD ，BF ，若12m n +=，24mn =，求图3中阴影部分的面积．【答案】（1）（a +b 2）=a 2+2ab +b 2；（2）（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ；（3）65；（4）36【详解】解：（1）图1正方形的面积可以表示为：a 2+2ab +b 2．又可以表示为：（a +b ）2．∴（a +b 2）=a 2+2ab +b 2．故答案为：（a +b 2）=a 2+2ab +b 2．（2）图2中正方形的面积可以表示为：（a +b +c ）2．还可以表示为：a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．∴（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．故答案为：（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2b c ．（3）由（2）知：a 2+b 2+c 2=（a +b +c ）2-2ab -2ac -2bc=169-2（ab +ac +bc ）=169-104=65．（4）()221122S m n n m n =+-+阴影22111222m n mn =+-21[()3]2m n mn =+-21(1272)2=-36=．。

第2讲：乘法公式与恒等变形

第2讲乘法公式与恒等变形作业单：1．已知x ﹣y ＝5，x 2+y 2＝51，则代数式（x +y ）2= ．2．若a ﹣b ＝，ab ＝﹣2，则代数式a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3的值为．3．若a ，b ，c 分别是△ABC 的三条边，a 2+c 2+2b 2﹣2ab ﹣2bc ＝0．则△ABC 的形状是．4．运用因式分解简便计算2×2022+4×202×98+2×982＝5 ．已知a 为实数，且a 2﹣2020a +1＝0，则a 2﹣2019a +220201a += ． 6．化简：7．已知x ≠1，计算：（1﹣x ）（1+x ）＝1﹣x 2，（1﹣x ）（1+x +x 2）＝1﹣x 3．（1）观察以上各式并猜想：（1﹣x ）（1+x +x 2+……+x n ）＝（n 为正整数）．（2）根据你的猜想计算：△（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝；△2+22+23+…+2n ＝（n 为正整数）．8．已知x 2﹣3x ﹣1＝0，求（1）221()x x +；（2）441()x x + 的值．9阅读下面的文字再回答问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：+，其中a＝”有不同的解答．甲的解答是：+＝+＝+﹣a＝﹣a＝；乙的解答是+＝+＝+a﹣＝a+＝（1）填空：的解答是错误的；（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质，请用含字母a的式子表示这个性质；（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简+。

答案：1 △x ﹣y ＝5，△（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ＝25，又△x 2+y 2＝51，△2xy ＝26，△（x +y ）2＝x 2+y 2+2xy ＝51+26＝77。

2 a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3＝ab （a 2﹣2ab +b 2）＝ab （a ﹣b ）22210=-⨯=-。

3 △a 2+c 2+2b 2﹣2ab ﹣2bc=（a 2﹣2ab +b 2）+（b 2﹣2bc +c 2）＝0。

(完整版)专题训练乘法公式的变形

专题训练(八) 乘法公式的变形专题引语：乘法公式在整式运算中非常重要，我们除了要熟悉公式的基本特征，掌握其基本运用外，还要关注公式的变形使用，近几年的中考中常有这方面的试题．基本公式：(1)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2；(2)(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2.利用乘法公式进行计算时，常把a 2＋b 2，ab ，a ±b 等作为整体．因此，对乘法公式常作以下变形：1．a 2＋b 2的变形：(1)a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ；(2)a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab ；(3)a 2＋b 2＝12[(a ＋b)2＋(a －b)2]． 2．ab 的变形：(1)ab ＝12[(a ＋b)2－(a 2＋b 2)]； (2)ab ＝12[(a 2＋b 2)－(a －b)2]； (3)ab ＝14[(a ＋b)2－(a －b)2]． 3．a ±b 的变形：(1)a±b＝(a 2－b 2)÷(a ∓b)；(2)a ＋b ＝±（a －b ）2＋4ab ；(3)a －b ＝±（a ＋b ）2－4ab.► 类型一求两数的平方和1．若m ＋n ＝2，mn ＝1，则m 2＋n 2＝________．2．已知x －y ＝3，xy ＝8，则x 2＋y 2＝________.3．已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求x2＋y2的值．4．已知a＋b＝3，ab＝－12, 求下列各式的值：(1)a2＋b2；(2)a2－ab＋b2.►类型二求两数的积5．若(m－n)2＝16，(m＋n)2＝4，则mn的值为( )A．6 B．3 C．－6 D．－36．如图8－ZT－1，长方形ABCD的周长是20 cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH.若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68 cm2，则长方形ABCD的面积是________cm2.图8－ZT－1►类型三求两数的和或差7．若(2a＋3b)2＝(2a－3b)2＋A，则A为( )A．24ab B．－24ab C．12ab D．－12ab8．若a，b是正数，a－b＝1，ab＝2，则a＋b的值为( ) A．－3 B．3 C．±3 D．99．已知a2－b2＝16，a＋b＝8，则a－b＝________．10．已知a＋b＝3，ab＝－12，求(a－b)2的值．详解详析1．22．[答案] 25[解析] x 2＋y 2＝()x －y 2＋2xy ＝32＋16＝25. 3．解：x 2＋y 2＝12[(x ＋y )2＋(x －y )2]＝12×(25＋9)＝17. 4．[解析] 第(1)小题可以采取添加2ab 项，构造完全平方式的方法，a 2＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2－2ab ＝(a ＋b )2－2ab ，从而整体代入求值；第(2)小题可利用第(1)小题的结论解题．解：(1)a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝32－2×(－12)＝9＋24＝33.(2)a 2－ab ＋b 2＝(a 2＋b 2)－ab ＝33－(－12)＝33＋12＝45.5．[解析] D mn ＝14[(m ＋n )2－(m －n )2]＝14×(4－16)＝－3.故选D. 6．[答案] 16[解析] 设AB ＝a ，BC ＝b ，则a ＋b ＝10，a 2＋b 2＝68，所以ab ＝12[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)]＝12×(102－68)＝16. 7．A8．[解析] B 由a －b ＝1得(a －b )2＝1①，又由ab ＝2得(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ＝9②，所以a ＋b ＝±3.因为a ，b 是正数，所以a ＋b ＝3.故选B.9．210．[解析] 可将(a －b )2展开为a 2－2ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2－4ab ＝(a ＋b )2－4ab ，然后整体代入求值．解：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2＝(a ＋b )2－4ab＝32－4×(－12)＝57.。

第6章乘法公式及变形

第六章乘法公式及变形第一部分：补救练习第一关：乘法公式关卡1-1 间接运用乘法公式的计算1. 下列计算正确的是( )A. (-4x)·(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4xB. (x+y)(x2+y2)=x3+y3C. (-4a-1)(4a-1)=1-16a2D. (x-2y)2=x2-2xy+4y22. 19922-1991×1993的计算结果是( )A.1B.-1C.2D.-23. 对于任意的整数n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )A.4B.3C.5D.24. 多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .5. 计算.(1) 1.23452+0.76552+2.469×0.7655 (2) (x+2y)(x-y)-(x+y)2.6. 观察下面各式：12+(1×2)2+22=(1×2+1)222+(2×2)2+32=(2×3+1)232+(3×4)2+42=(3×4+1)2……(1)写出第2005个式子；(2)写出第n个式子，并说明你的结论.第二关：完全平方公式1. 设（5a+3b）2=（5a﹣3b）2+A，则A=（）A．30ab B．15ab C． 60ab D． 12ab2. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（）A．12 B．﹣12 C． 12或﹣12 D． 363. 下列式子加上a2﹣3ab+b2可以得到（a+b）2的是（）A．ab B．3ab C． 5ab D． 7ab4. 对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b=a2﹣b2，根据这个定义，代数式（x+y）☆y可以化简为（）A．xy+y2B．xy﹣y2 C．x2+2xy D．x25. 填空：x2﹣10x+_____________=（x﹣_____________）2．6. 课本上，公式（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2=a2+2ab+b2推导得出的．已知（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，则（a﹣b）4=________________________________．7. 下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如：（a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中所缺的系数．（a+b）=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+_______a3b+_______a2b2+_______ab3+b4．8. 已知1aa=4，求a2+21a和a4+41a的值.9. 已知4m+n=90，2m﹣3n=10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．10. 已知a=2017x+2016，b=2017x+2017，c=2017x+2018，求多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 的值.第二部分超级挑战1. 设a=x1+x2，b=x1•x2，那么|x1﹣x2|可以表示为（）A B C D．2. 已知a﹣b=3，b﹣c=1，a2+b2+c2=30，求ab+bc+ac的值．3．若f(x)=2x-1（例如f(-2)=2×(-2)-1，f(3)=2×3-1），求2003) 2003 ()2()1(fff+++.。

乘法公式的拓展及常见题型整理

乘法公式的拓展及常见题型整理例题：已知=4，求。

⑴如果，那么的值是⑵，则= ⑶已知=⑴若则____________，_________⑵设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A= ⑶若，则a为 ⑷如果，那么M等于 ⑸已知(a+b)2=m，(a—b)2=n，则ab等于⑹若，则N的代数式是⑺已知求的值为。

⑻已知实数a,b,c,d满足，求例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a2+b2 (2)ab例2：已知a= x＋20，b=x＋19，c=x＋21，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值⑴若，则=⑵若，则= 若，则=⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0，求的值为⑷已知，，，则代数式的值是．（四）步步为营例题：3(2+1)(2+1)(2+1)(+1)6(7+1)(7+1)(7+1)+1 …（五）分类配方例题：已知，求的值。

⑴已知：x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值为。

⑵已知x²+y²-6x-2y+10=0，则的值为。

⑶已知x2+y2-2x+2y+2=0,求代数式的值为 .⑷若，x，y均为有理数，求的值为。

⑸已知a2+b2+6a-4b+13=0，求(a+b)2的值为⑹说理:试说明不论x,y取什么有理数,多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数.（六）首尾互倒例1：已知例2：已知a2－7a＋1＝0．求、和的值；⑴已知，求①= ②=⑵若x2－ x＋1=0，求的值为⑶如果,那么= 2、已知，那么=_______⑷已知，则的值是⑸若且0<a<1,求a－的值是⑹已知a2－3a＋1＝0．求和a－和的值为⑺已知，求①= ②=⑻已知a2－7a＋1＝0．求、和的值；（七）知二求一例题：已知，求：① ② ③ ④ ⑤ ⑥⑴已知，，则_______⑵若a2+2a=1则(a+1)2=________.⑶若7，a+b=5，则ab= 若7，ab =5，则a+b=⑷若x2+y2=12,xy=4,则(x-y)2=_________.7，a-b=5，则ab=⑸若3，ab =-4，则a-b=⑹已知:a+b=7,ab=-12,求 ①a2+b2= ②a2-ab+b2= ③(a-b)2=⑺已知a＋b=3，a3＋b3=9，则ab= ，a2+b2= ,a-b=第五讲乘法公式应用与拓展【基础知识概述】一、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a—b完全平方公式：(a+b)=a+2ab+b(a-b)=a-2ab+b变形公式：（1）（2）（3）（4）二、思想方法：① a、b可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a或b，再用公式。

乘法公式(题型扩展)

乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，xyyxx2y2② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4④ 系数变化，2ab2ab4a2b2⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz例1．已知，，求的值。

解：∵ ∴=∵， ∴=例2．已知，，求的值。

解：∵∴ ∴=∵， ∴例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1）=19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。

〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。

解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2（a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x2-z2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。

七年级数学下册乘法公式6种解题方法

七年级数学下册乘法公式6种解题方法一、对号a、b，正确运用【例题】计算(-2+3x)(-2-3x)．【分析】两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．解：原式=(-2)2-(3x)2=4-9x2．二、适当变形，灵活运用【例题】计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．【分析】两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕·〔(2x+5)-(y-z)〕=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．三、分析情况，合理选用【例题】计算(2a+1)(2a-1)(4a2-2a+1)(4a2+2a+1)．【分析】前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，但若先利用乘法交换律与结合律巧妙结合，就可以用立方和、立方差公式简算．解：原式=〔(2a+1)(4a2-2a+1)〕〔(2a-1)(4a2+2a+1)〕=(8a3+1)(8a3-1)=64a6-1四、创造条件，巧妙应用【例题】计算(5a+3b-2c)(5a-3b+6c)．【分析】从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c,6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．解：原式=(5a+3b+2c-4c)(5a-3b+2c+4c)=〔(5a+2c)+(3b-4c)〕·〔(5a+2c)-(3b-4c)〕=(5a+2c)2-(3b-4c)2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．五、避繁就简，逆向运用【例题】计算(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2【分析】若先平方展开后再计算，比较复杂，但把(x+y)看作a，(x-y)看作b，可逆用完全平方公式，迅速得出结果．解：原式=〔(x+y)-(x-y)〕2=4y2．六、明确联系，综合运用乘法公式的主要变式有：①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；②(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；③(a+b)2-(a-b)2=4ab；④a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．【例题】已知：a+b=5，ab=2，求：(a-b)2的值．解：由完全平方公式得(a+b)2-(a-b)2=4ab，则(a-b)2=(a+b)2-4ab．∵a+b=5，ab=2∴(a-b)2=52-4×2=17。

三年级口算题的变形练习

三年级口算题的变形练习口算是小学阶段数学学习的基础，通过口算练习可以培养孩子的计算能力和思维灵活性。

在三年级口算中，变形练习是一种有效的训练方式，可以让孩子在巩固基础的同时提高解题能力。

本文将介绍三年级口算题的变形练习方法及其重要性。

一、加减乘除的变形练习1. 加法的变形练习加法的变形练习主要包括逆序相加、换位相加和进位相加等。

通过这些变形练习，孩子可以加深对加法运算规律的理解，提高计算速度和准确性。

例子：将24+36变形为36+24，以及将38+25变形为25+38进行计算。

2. 减法的变形练习减法的变形练习包括逆序相减、换位相减和退位相减等。

这些练习可以帮助孩子熟悉减法运算的特点，提高运算能力。

例子：将56-28变形为28-56，以及将47-19变形为19-47进行计算。

3. 乘法的变形练习乘法的变形练习主要包括交换乘数和乘积、零乘法和单位乘法等。

这些练习可以帮助孩子深入理解乘法运算规则，增加计算的灵活性。

例子：将4×7变形为7×4，以及将5×0变形为0×5进行计算。

4. 除法的变形练习除法的变形练习包括交换被除数和除数、零除法和整除法等。

通过这些练习，孩子可以更好地理解除法运算的特点，巩固除法的基本规则。

例子：将32÷8变形为8÷32，以及将48÷6变形为6÷48进行计算。

二、整数与分数的变形练习在三年级口算中，也可以引入整数和分数的变形练习。

这种练习可以拓展孩子的数学思维，让他们在实际问题中运用口算技巧解答。

1. 整数的变形练习整数的变形练习包括正负数的加减运算、乘除运算和数轴定位等。

通过这些练习，孩子可以更好地理解整数的概念和运算规则。

例子：计算-5+8、-4×3、12÷(-6)等。

2. 分数的变形练习分数的变形练习主要包括分数的加减法、乘除法和比较大小等。

通过这些练习，孩子可以加深对分数概念的理解，培养对分数运算的灵活运用能力。

整式乘法公式变形应用

运用乘法公式计算：
解： (1) (x+y+1)(x+y−1)
平方差公式：
= [ ( x + y ) +1 ][ ( x +y )−1 ] (a+b)(a−b) =a2−b2.
ab a
= (x+y)2−1 = x2+2xy+y2−1;
b 两数和的完全平方公式： (a+b)2 = a2+2ab+b2.
=x2−y2+2y−1．
新知探究
例求代数式的值： 1.已知a+b=2，a2− b2=6，求a− b的值；
分析： a+b , a2− b2
a− b
(a+b)(a−b) =a2−b2
新知探究
1.已知a+b=2，a2− b2=6，求a− b的值；
解： ∵a 2−b 2=6，(a +b)(a−b ) =a 2−b 2， ∴(a+b)(a−b)=6，又∵a+b=2， ∴a−b=3；
（3）已知(x y)2 25, ( x y)2 16, 则xy ________。
新知探究（二）
6.若 x2 2kx 9 是一个完全平方公式,则 _______;
解：原式=x2+2kx+32 由题意得：原式=（x-3)2
或=(x+3)2 解得：k=3 或k=-3
7.若 x2 8 x k 2 是一个完全平方公式,则
• 7、已知 m2 n2 6m 10n 34 0 ，求m+n的值
x2 y2 4x 6 y 13 0 y都是有理数，求 x y
的值
谢谢指导
_______;

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