管理运筹学目标规划

（2）设 d2、d2 分别为未达到和超过产品比例要求的偏差变 量,则产量比例尽 量不超过1.5的数学表达式为：
mind2 x1 1.5x2
d2
d2
0
（3）设d3ˉ、d３＋分别为品丙的产量未达到和超过30件的偏差 变量，则产量丙的产量尽可能达到30件的数学表达式为：
mx3indd33 d3 30
目标规划问题及其数学模型
目标规划问题及其数学模型
Page 8
线性规划模型存在的局限性：
1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问题中并非 所有约束都需要严格满足。
2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，目标和约束 可以相互转化。
3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地位，但现实 问题中，各目标的重要性即有层次上的差别，同一层次中又 可以有权重上的区分。
目标规划问题及其数学模型
产品
资源 设备A 设备B 材料C 材料D
利润（元/件）
表5.1 产品资源消耗
甲
3 2 4 2 40
乙
丙
1
2
2
4
5
1
3
5
30
50
Page 18
现有资源 200 200 360 300
目标规划问题及其数学模型
mZ a 4 x x 1 0 3x 2 0 5x 3 0
3 x1 x 2 2 x3 200
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
例； (3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。 要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
经济学核心课程
运筹学
( Operations Research )
Chapter5 目标规划
( Goal programming )
本章主要内容：
目标规划问题及其数学模型 目标规划的图解分析法 目标规划应用举例
目标规划问题及其数学模型
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问题的提出：
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多 目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。
目标规划问题及其数学模型
Page 5
例5.1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在 A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。
A
B
C
D
单件利润
甲
1
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
最大负荷
12
8
16
12
问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最 大？
目标规划问题及其数学模型
实际利润只有上述三种情形之一发生，因而可以将三个等式写成一 个等式
40x1+30x2+50x3+d1－－d1+=3200
目标规划问题及其数学模型
Page 24
（1）利润不少于3200理解为达到或超过3200，即使不能达到 也要尽可能接近3200,可以表达成目标函数｛d1－｝取最小值， 则有
4mx01idn13x025x03d1d13200
Pl (
d lk k
lk
d
k
)
l1
k 1
n
c kj x j
d k
d k
g k (k 1.2
K)
目标约束
j1
n
a ij x j ( . ) b i
(i 1.2 m )
j1
x j 0 (j 1.2 n)
d
k
.
d
k
0
(k 1.2
K)
其中：gk为第k个目标约束的预期目标值，
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解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12
s
.
t
4
x1 x1
2
x2
8 16
4 x 2 12
x 1 , x 2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
目标规划问题及其数学模型
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由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益 复杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作， 产生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标 管理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标 的轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目 标或从总体上离规定目标的差距为最小。
4
x
2
12
2
x1
3
s.t. x1 x 2
x2
d
2
d 1
d
2
d 1
0
12
2 x1
2x2
d 3
d 3
12
x
1
2x2
d 4
d
4
8
x
1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0
(i 1,...,4)
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目标规划问题及其数学模型
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目标规划数学模型的一般形式
L
K
达成函数
min Z
目标规划问题及其数学模型
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则问题的目标规划数学模型为：
min
z
P1d1
P2d
2
P3
d
3
P4
(d
4
d
5
)
40
x1
30 x2 50 x3 x1－1.5 x2
d1
d
2
d1
d
2
3200 0
x3
d
3
d
3
30
3x1
x2
2 x3
d
4
d
4
目标规划问题及其数学模型
40 x 1 30 x 2 50 x 3 3200
x
－
1
1
.
5
x
2
0
x
3
30
3 2
x x
1 1
x2 2x2
2
x3 4 x3
200 200
4 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x x
1 1
5x2 3x2
x 3 360 5 x 3 300
x 1 0 ， x 2 0 ， x 3 0
正负偏差变量两者必有一个为0。 当实际值超出目标值时： d+>0, d-=0; 当实际值未达到目标值时： d+=0, d->0; 当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0;
故恒有d+×d-=0
目标规划问题及其数学模型
Page 10
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
目标规划问题及其数学模型
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线性规划模型的特征是在满足一组约束条件下，寻求一个目 标的最优解（最大值或最小值）。
而在现实生活中最优只是相对的，或者说没有绝对意义下的 最优，只有相对意义下的满意。
1978年诺贝尔经济学奖获得者.西蒙(H.A.Simon-美国卡内基梅隆大学,1916-)教授提出“满意行为模型要比最大化行为模型 丰富得多”，否定了企业的决策者是“经济人”概念和“最大 化”行为准则，提出了“管理人”的概念和“令人满意”的行 为准则，对现代企业管理的决策科学进行了开创性的研究
>0用目标约束可表为:
mind{ d}
x1
x2
d
d
0
目标规划问题及其数学模型
Page 12
2）力求使利润指标不低于12元，目标约束表示为：
mind{}
2x1
3x2
d
d
12
3）设备B必要时可加班及加班时间要控制，目标约束表示为：
mind{}
x1
2x2
d
d
8
4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班，目标约束表示为：
（5）材料不能购进表示不允许有正偏差，约束条件为小于等于 约束．
目标规划问题及其数学模型
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由于目标是有序的并且四个目标函数非负，因此目标函数可 以表达成一个函数：
m z P 1 i d 1 n P 2 d 2 P 3 d 3 P 4 ( d 4 d 5 )
式中：Pj（j=1,2,3,4）称为目标的优先因子，第一目标优于第二 目标，第二目标优于第三目标等等，其含义是按P1、P2、…的次 序分别求后面函数的最小值.
（1）利润不少于3200元 （2）产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过1.5 （3）提高产品丙的产量使之达到30件 （4）设备加工能力不足可以加班解决，能不加班最好不加班 （5）受到资金的限制，只能使用现有材料不能再购进
【解】 设甲、乙、丙产品的产量分别为x1、x2、x3。如果按线 性规划建模思路，最优解实质是求下列一组不等式的解
目标规划问题及其数学模型
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设d1-未达到利润目标的差值, d1+ 为超过目标的差值
当利润小于3200时,d1－＞０且d1＋＝0,有 40x1+30x2+50x3+d1－=3200成立
当利润大于3200时，d1＋＞０且d1－＝０，有 40x1+30x2+50x3-d1+=3200成立
当利润恰好等于3200时，d1－=０且d1+=0,有 40x1+30x2+50x3=3200成立
2 4
x1 x1
2 5
x2 x2
4 x3 x3
200 360
2
x1
3x2
5 x3
300
x1 0， x 2 0， x 3 0
最优解X＝（50，30，10），Z＝3400
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目标规划问题及其数学模型
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现在决策者根据企业的实际情况和市场需求，需要重新制 定经营目标，其目标的优先顺序是：
目标规划问题及其数学模型
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∵正负偏差不可能同时出现，故总有：
x1－x2+d--d+ =0
若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d->0,用目标约束可
表为:
mind{}
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d＋>0,用目标约束可
表为:
mind{}
x1
x2
d
d
0
若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d＋>0,也不希望d-
lk
和
lk
为pl
优先因子
对应各目标的权系数。
目标规划问题及其数学模型
用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
Page 16
求出满意解
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
分析各项目标 完成情况
目标规划问题及其数学模型
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【例5.2】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、 乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需 要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加 工及所需要的资源如表5.1所示。已知在计划期内设备的加工能 力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、 乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定 市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在 计划期内总的利润收入最大？
第1优先级P1——企业利润； 第2优先级P2——甲乙产品的产量保持1:1的比例 第3优先级P3——设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性 比设备B大三倍。
目标规划问题及其数学模型
上述目标规划模型可以表示为：
min
z
P1
d
1
P2
(
d
2
d
2
)
3
P
3
(
d
3
d
3
)
P3
d
4
4 x 1 16
Page 25
（4） 设d4ˉ 、d4+为设备A的使用时间偏差变量, d5ˉ、d5+为设备
B的使用时间偏差变量，最好不加班的含义是 d4+ 和d5+同时取最 小值，等价 于d4+ + d5+取最小值，则设备的目标函数和约束为：
mind4 d5 3x1 x2 2x3
d4
d4
200
2x1 2x2 4x3 d5 d5 200
4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意 解就可以。
目标规划问题及其数学模型
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目标规划怎样解决上述线性规划模型建模中的 局限性？
1. 设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。
偏差变量用下列符号表示： d+——超出目标的偏差，称正偏差变量 d-——未达到目标的偏差，称负偏差变量
mind{ d}
2x1
2x2
d
d
12
目标规划问题及其数学模型
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3. 目标的优先级与权系数
在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些 目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低 可分别通过优先因子P1,P2,…表示。对于同一层次优先级的不同 目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个 具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。 现假定：
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目标规划问题及其数学模型
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通过计算不等式无解，即使设备加班10小时仍然无解．在 实际生产过程中生产方案总是存在的，无解只能说明在现有 资源条件下，不可能完全满足所有经营目标．
这种情形是按事先制定的目标顺序逐项检查，尽可能使得 结果达到预定目标，即使不能达到目标也使得离目标的差距 最小，这就是目标规划的求解思路，对应的解称为满意 解．下面建立例4.1的目标规划数学模型．
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过 目标约束来表达。 1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为： x1=x2。由于这个比例允许有偏差， 当x1<x2时，出现负偏差d-，即： x1+d- =x2或x1－x2+d- =0 当x1>x2时，出现正偏差d+，即： x1-d+ =x2或x1－x2-d+ =0