高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义课堂导学案 新人教A版必

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

课堂导学

三点剖析

1.向量加法运算的意义

【例1】如右图所示，已知三个向量a、b、c，试用三角形法则和平行四边形法则作a+b+c. 思路分析：本题主要利用三角形法则和平行四边形法则求几个向量的和向量，只要按三角形法则和平行四边形法则作出即可.

解：用三角形法则作a+b+c:作=a,以A为始点作=b,再以B为始点，作=c，则OC=OB+BC=a+b+c（如下图（1）所示）

用平行四边形法则作a+b+c:作OA=a，OB=b，OC=c，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则=a+b.再以，为邻边作平行四边形ODEC，则=+=a+b+c （如下图（2）所示）

温馨提示

要求作三个向量的和，首先作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则和平行四边形法则.

【例2】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2 km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.

思路分析：本题用向量知识解决物理问题.由于速度是矢量，可以用向量表示速度，然后用向量加法运算合成速度即可.但要注意解决实际问题中的向量问题不仅要求出大小，而且要求出方向.

解：（1）如右图所示.表示船速，表示水速，以AD 、AB 为邻边作

ABCD ，则表示船实际航行的速度.

（2）在Rt△ABC 中，|AB |=2，|BC |=5，

∴||=295222=+=≈5.4.

∵tan∠CAB=2.5,

由计算器得∠CAB≈70°.

答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角约为70°.

2.对向量加法的理解

【例3】已知向量a 、b ，比较|a +b |与|a |+|b |的大小.

思路分析：因为向量包含长度和方向，所以在比较长度的大小时，要注意其方向. 解：（1）当a 、b 至少有一个为零向量时，有|a +b |=|a |+|b |.

（2）①当a 、b 为非零向量，且a 、b 不共线时有|a +b |＜|a |+|b |.

②当a 、b 为非零向量，且a 、b 同向共线时有|a +b |=|a |+|b |.

③当a 、b 为非零向量，且a 、b 异向共线时有|a +b |＜|a |+|b |.

温馨提示

（1）解决此类问题可利用三角形法则作出图形辅助解答.

（2）在向量的加法定义中要注意两个向量共线的情况.

3.对向量加法定义及运算法则再理解

【例4】 下列命题中：

①若非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a +b 的方向必和a 、b 之一的方向相同.②△ABC 中，必有AB +BC +CA =0.③若AB +BC +CA =0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点. ④若a 、b 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |相等.其中真命题个数为______________. 思路分析：①假命题，a +b =0时命题不成立.

②假命题，向量之和仍为向量.

③假命题，A 、B 、C 共线时也可以有AB +BC +CA =0.

④假命题，只有a 、b 同向时才成立.

答案：0个

温馨提示

向量之和仍为向量，注意0与0区别；注意两个共线向量求和情况.

各个击破

类题演练1

如下图（1）（2）（3）所示，试作出向量a 与b 的和.

解：如下图（1）（2）（3）所示，

首先作OA =a ，然后作AB =b ，则OB =a +b .

变式提升1

如右图在正六边形ABCDEF 中，=a ,=b ，求AC 、、.

解：连结FC 交AD 于点O ，连结OB ，由平面几何知识得四边形ABOF 、四边形ABCO 都是平行四边形.根据向量的平行四边形法则知： =AO +，AO =+，∴AC =++=a +b +a .由正六边形知识得AD =2AO =2（a +b ）. 又根据三角形法则知：=+，且=-=-a ,∴=2(a +b )-a .

类题演练2

某人在静水中游泳,速度为34千米/时,他在水流速度为4千米/时的河中游泳. 如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少?

解：如右图所示,水速速度v 1=4 km/h.

游泳速度v 2=34km/h.

设合速度v 与v 1所成角为θ,

tan θ=34

34 ,∴θ=60°.